4.9.2 泰勒（Taylor）公式(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第四章

微分中值定理和导数的应用

第九节

泰勒公式

本讲将介绍

带有拉格朗日型余项的

泰勒公式

并强调函数在x等0处

泰勒公式的基础性

这就是函数的麦克劳林公式

在前面我们已经介绍了

带有皮亚诺型余项的泰勒公式

我们知道皮亚诺型余项

只能定性的反映

多项式近似函数值的程度

而且只有当x充分靠近x0时

我们才能保证

他们的误差是充分小的

也就是说

带有皮亚诺型余项的泰勒公式

他只是定性的反映了

泰勒多项式

接近函数f(x)的程度

而且他是一个局部性的结论

下面我们来介绍

另外一个余项形式

也就是带有拉格朗日余项的

泰勒公式

我们先从基本的情况

开始讲起

我们知道如果f(x)

在x0的某个邻域内可导

那么对于这个邻域中的x

我们根据拉格朗日中值定理

就知道存在

介于x与x0之间的一个点ξ

使得f(x)等于f(x0)加上

f'(ξ)再乘上x减x0

这个等式也就意味着

在这个区间中

任何一点的值f(x)

可以用f(x0)来近似

他们之间的差就等于

f'(ξ)乘上x减x0

如果f(x)在x0的某个邻域内

存在二阶导数

那么对于这个邻域内的

任何一个x

我们根据柯西中值定理

我们就会知道一定存在

介于x与x0之间的一个点x1

使得f(x)减掉f(x0)

再减掉f'(x0)乘上x减x0

除以x减x0的平方

也就等于f'(x1)减掉f'(x0)

除以两倍的x1减x0

那么根据拉格朗日中值定理

我们又找到

存在x1与x0之间的一个点ξ

使得f'(x1)减掉f'(x0)

除上x1减x0

就等于f''(ξ)

这样我们就得到了

我们这个分式函数就等于

f的二阶导数在ξ这点的值

再乘上1/2

也就是我们得到了

f(x)就等于f(x0)

加上f'(x0)乘上x减x0

再加上1/2倍的f''(ξ)乘以

x减x0的平方

这个等式也就意味着

只要二阶导数存在

那么对于这个范围中的

任何一个x

我们都可以用右边

这个一次多项式的值

来近似f(x)的值

而这两个值之间的差

可以表示成1/2乘上

二阶导数在某一点的值

在乘上x减x0的平方

事实上

这个结论我们可以推广到

一般的情况

也就是说如果函数

在一个区间上存在n加1阶导数

那么在这个区间内

我们的函数值就可以用

他在这个区间中某一点的

n次泰勒多项式来近似

而他的误差就只与

它的n加1阶导数

在某一点的值是有关的

这就是我们要讲的

下面一个定理

定理15

如果函数f(x)在(a,b)内

存在n加1阶导数

x0 x是这个区间中的两个点

那么f(x)的函数值

就等于f(x)在x0这点的

n次泰勒多项式的值

再加上n加1的阶乘分之

f的n加1阶导

在ξ点的值再乘上

x减x0的n加1次方

这个等式就是我们所说的

函数在x0这点的

带有拉格朗日型余项的

n阶泰勒公式

其中后面这个误差

也就是f的n加1阶导在ξ点的值

除上n加1的阶乘再乘上

x减x0的n加1次方

这就是所谓的拉格朗日型余项

下面我们看一下

这个公式的证明

我们假设F就是f减掉

它的n次泰勒多项式

我们再设G(x)就等于

x减x0的n加1次方

那么我们要证这个泰勒公式成立

也就相当于证明

F(x)比上G(x)可以写作

f的n加1阶导在ξ点的值

再除上n加1的阶乘

我们知道

我们给出的F(x)和G(x)

他是满足他们在x0这一点的

函数值一直到n阶导数值

都是等于0的

我们利用柯西中值定理

就知道存在

介于x与x0之间的一些点

x1 x2一直到xn

以及点ξ使得下面这个等式

是成立的

也就是F(x)除上G(x)

我们给他写成F(x)减掉F(x0)

除上G(x)减掉G(x0)

我们用一次柯西中值定理

就会得到他应该等于

F'(x1)除上G'(x1)

类似的我们对一阶导数的比

再用一次柯西中值定理

就会得到x2满足一个等式

这样我们连续用

n次柯西中值定理

我们就得到这个比值

就等于F的n阶导在xn这点的值

除上G的n阶导在xn这点的值

我们再用一次柯西中值定理

就会得到

他就等于F的n加1阶导

在ξ这点的值

再除上G的n加1阶导

在ξ这点的值

根据F的定义

我们知道F的n加1阶导

也就等于f的n加1阶导

而G(x)的n加1阶导就等于

n加1的阶乘

这样我们也就证明了

带有拉格朗日型余项的

泰勒公式是成立的

关于我们介绍的

皮亚诺余项和拉格朗日型余项

我们做一点说明

皮亚诺型余项表示的

是一种局部性质

而拉格朗日型余项说明的

是函数的一个整体性质

与皮亚诺型余项相比

拉格朗日型余项在理论上

给出了余项的定量表示

所以在一定条件下

我们就可以利用

拉格朗日型余项得到

利用泰勒多项式

近似函数值时的误差估计

也就是在做具体的近似计算时

我们可以得到误差限的估计

下面我们来看一道例题

我们假设函数f(x)

是一个三次多项式

我们做两个问题

第一个问题是写出这个函数

在x0等于1这点

带有拉格朗日型余项的

一阶泰勒公式

第二个问题写出这个函数

在x0等于1这一点

它的三次泰勒多项式

我们来看具体的求解过程

对这个函数进行求导

我们就会得到它的一阶导函数

和二阶导函数

我们进一步就能得到

他在1这一点的函数值是5

一阶导数值是4

那么根据带有拉格朗日型余项的

一阶泰勒公式的定义

我们就得到这个函数

在1这点的一阶带有

拉格朗日型余项的泰勒公式

就是f(x)等于f(1)

加f'(1)乘上x减1再加上

f''(ξ)除上2的阶乘

乘以x减1的平方

将具体的结果代入

就会得到他在1这点的

一阶带有拉格朗日型余项的

泰勒公式

下面我们看第二个问题的解答

我们假设f(x)

在x0等于1这点的

3次泰勒多项式就是T3

那么我们根据三阶带有

拉格朗日型余项的泰勒公式

就会得到

f(x)就等于T3(x)在加上

f的4阶导在某一点的值

除上4的阶乘

乘以x减1的4次方

由于f是一个三次多项式

所以它的四阶导数是恒为0的

也就是说我们要求的

3次泰勒多项式

就与f(x)是相等的

所以他在x等于1这点的

三次泰勒多项式

也就等于f(x)本身

就等于x三次方

减掉2倍x的平方

加上5倍的x加1

从第二问的解答我们知道

如果我们函数

本身就是一个多项式函数

那么我们用多项式

来近似这一个函数

他最好的近似当然就是他本身

下面我们来介绍

在特殊点处的泰勒公式

因为根据泰勒多项式的定义

我们可以看出

函数在x0点的泰勒多项式

与函数在0这点的泰勒多项式

基本上就是一个平移变换

所以说

如果我们能讨论清楚

函数在0这点的情况

那么经过平移

我们就能解决函数

在x0这点的泰勒展开的情况

我们将函数在x0等于0

这点的泰勒公式就称作是

函数它的麦克劳林公式

也就是说我们给出一个定义

定义7

函数f(x)在x0

等于0处的泰勒公式

就称为是函数的麦克劳林公式

有了麦克劳林公式的定义

我们结合上

前面已经介绍过的例题

我们就能得到几个

简单函数的麦克劳林公式

下面是几个简单函数

带有皮亚诺型余项的

麦克劳林公式

e的x次方他在0这点的

n次泰勒多项式

就是k阶乘分之1

乘上x的k次方

对k从0到n求和

相应的我们就得到了

e的x次方

它的带有皮亚诺型余项的

麦克劳林公式

回忆一下

我们前面讨论过的例题

我们就能得到

1/1加x和1/1减x它的带有

皮亚诺型余项的麦克劳林公式

以及ln(1+x)

和sinx还有cosx

这三个函数它的带有

皮亚诺型余项的麦克劳林公式

这些简单函数的麦克劳林公式

是我们处理泰勒展开

以及利用泰勒多项式

处理一些简单问题时经常用到的

希望同学们能够掌握

尤其是能够

准确的掌握这些展开式中

前几项的具体表达式

下面我们来看几道例题

例2

我们假设f(x)

等于sinx除上2加x

我们求这个函数在x等于0处的

三次泰勒多项式

我们知道求三次泰勒多项式

需要牵扯到这个函数在0这点的

函数值以及一阶 二阶导

和三阶导数的值

我们当然可以直接求

需要的这些值

对于这道题目来说

我们也可以利用

直接求一阶导二阶导

三阶导的方法

来得到我们需要的三次泰勒多项式

但是这个函数里面

只是牵扯到了sinx

和1/2加x

而这两个函数他在0这一点的

泰勒多项式

我们是知道的

所以我们下面的具体解答

是利用所谓的间接法的思想

来求解的

我们看一下具体的解答过程

因为sinx在0这一点

它的三阶带有皮亚诺余项的

麦克劳林公式我们是知道的

而函数1/2加x我们给他变形

变成1/2乘上

1加x/2分之1

我们将1加x/2分之一

在0这点做展开

就会得到

1/2乘上括号里面是

1减x/2再加上四分之x平方

再加x平方的高阶无穷小

那么我们这样就能得到

f(x)就等于

这两个展开式右端的乘积

我们将这两个展开式的右端做乘积

我们只要将不超过

三次的项求出来

就能得到我们要求的

三次泰勒多项式

所以我们展开

最后的结果就是

1/2倍的x减掉

1/4倍的x的平方

再加上1/24倍的x三次方

加上x三次方的高阶无穷小

所以我们要求的

三次泰勒多项式

也就是(1/2)x

减掉1/4倍的x平方

再加上1/24x的三次方

下面我们再看一道例题

我们假设函数f(x)就等于

1除上x平方加上3倍x再加2

我们来求这个函数

在x等于1处的

带皮亚诺型余项的

n阶泰勒公式

对这个函数来说

我们直接求

它的n阶导数的表达式是困难的

但是对这个函数

我们可以将他的分母做因式分解

从而就可以将这个函数

写成两项之和然后进一步

利用两项的泰勒展开

就能得到我们要求的结果

下面我们来看一下

具体的解答过程

我们知道

f(x)是可以写成1/1加x

减掉1/2加x

我们对1/1加x进行变形

最后整理成1/2乘上

分母上是1加二分之x减1

分子上是1

利用前面1/1加x

它的麦克劳林公式

我们就得到了

1/1加x在1这点的带有

皮亚诺型余项的泰勒公式

类似的我们对1/2加x进行变形

整理成1/3乘上

分母上是1加三分之x减1

分子上是1

我们仍然利用1/1加x的

带有皮亚诺型余项的

麦克劳林公式

就得到了1/2加x

在1这点的泰勒公式

这样我们将这两项求差

就得到了

f(x)在1这点的

带有皮亚诺型余项的

泰勒公式

这是我们处理一般函数

在某一点的泰勒展开常用的方法

也就是说

我们利用一些简单的代数变形

将我们要处理的函数

与我们知道麦克劳林展开的

简单函数联系起来

这样就可以利用

所谓的间接法得到我们要求的

泰勒多项式

在这一讲中

我们介绍了

带有拉格朗日型余项的泰勒公式

从公式的证明可以看出

相对于

带有皮亚诺型余项的泰勒公式

它的局部性

带有拉格朗日型余项的泰勒公式

反映的则是一个整体性质

拉格朗日型余项

在理论上给出了函数与其泰勒多项式

值差的准确值

是一般的近似计算问题中

常用的一种余项形式

本讲中介绍的几个简单函数的

麦克劳林公式是利用间接法

求泰勒多项式的基础

也是利用泰勒公式

处理相关问题的基础

我们应该熟练掌握

下一讲将介绍

泰勒公式的简单应用

谢谢同学们

下一讲 再见