4.3.1 洛必达法则(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第四章

微分中值定理和导数的应用

第三节

洛必达法则

在极限求值问题中

如果当x趋向x0时

函数f(x)与g(x)都趋向于0

或者都趋向无穷大

那么他们比值的极限

有可能存在

也有可能不存在

所以一般的

就称这类极限

为不定式

简记为0比0

或者是无穷比无穷

对于这类极限

即使他的值存在

我们也不能直接使用

两个函数商的极限运算法则

那么如何确定

这类极限的值呢

本讲

将介绍求0比0

和无穷比无穷

不定式极限的

一种简便且但是有效的方法

这就是洛必达法则

我们首先看一下

基本不定式

0比0型和无穷比无穷型的极限

我们假设函数f(x)和g(x)

满足条件 1

他们在x趋向x0时的极限

都等于0

2 在x0的某个去心邻域中

他们的一阶导数都存在

而且g(x)的一阶导数不等于0

3 f'(x)比上g'(x)

在x趋向x0时的极限存在

或者这个比值是一个无穷大量

我们的结论就是

f(x)比上g(x)

在x趋向x0时的情况

与f'(x)比上g'(x)

在x趋向x0时的情况

是一样的

所谓情况一样

指的是

如果等式右边这个比值

极限等于A

那么我们等式左边

这个函数的比值的极限

也是A

如果等式右边

这个比值是个无穷大量

那么我们等式左边

这个比值也是个无穷大量

下面我们介绍定理5的证明

我们定义f(x)和g(x)

在x0这点的函数值都等于0

那么f(x)和g(x)在x0这点

就都是连续函数

他们在x0附近也都是可导函数

那么根据柯西中值定理

我们就存在

介于x与x0之间的一个点ξ

使得f(x)比上g(x)

就等于f(x)减掉f(x0)

除上g(x)减去g(x0)

也就等于f'(ξ)除上g'(ξ)

因为在x趋向x0时

ξ也是趋向x0的

而且我们的条件三说

他们导数比的极限

是存在的

或者是说导数比是无穷大量

这样我们就得到了

f(x)比上g(x)

在x趋向x0时

他与f'(x)比上g'(x)

在x趋向x0时的情况是一样的

这就是我们定理5要证明的结论

在这个证明过程中

我们之所以定义

函数在x0这点的值

我们主要是想

怎么样把函数值的比

与导数值的比联系起来

根据我们前面介绍的结论

我们知道

柯西中值定理可以把

函数值之差的比与

导数比联系起来

所以如果我们定义

x0这点的函数值等于0

那么证明过程中

我们就可以把f(x)与g(x)的

函数值之比写成

他们在两点的函数值之差的比

这样就与导数值

它的比联系起来

就可以利用条件

得到我们要证的结论

在我们的定理5中

我们考虑的极限过程

是x趋向x0

如果极限过程

不是x趋向一个确定点

而是x趋向无穷

这个时候

我们也有类似的结果

如果函数f(x) g(x)满足条件

1 他们在x趋向无穷时极限都等于0

在某个闭区间之外

他们的导数都存在

而且g(x)的导数不等于0

3 他们的导数之比

在x趋向无穷时极限存在

或者是无穷大量

那么我们照样有

函数比的极限与导数比的极限

情况是一样的

关于这个结论的证明

我们只要利用

x趋向一个确定点时的结果

再做一个简单的变量替换

就可以得到

我们令t等于1/x

那么x趋向正无穷时

t是趋向0的

所以f(x)与g(x)的比值

在x趋向无穷时的极限

就等价于f(1/t)

比上g(1/t)

在t趋向于0时的极限

我们利用定理5的结论

他就等于f'(1/t)

除上g'(1/t)

在t趋向于0时的极限

我们再让x来表示t

他就等于f'(x)比上g'(x)

在x趋向无穷时的极限

这就是x趋向正无穷时的结论

下面我们给出

无穷比无穷时

这个不定式极限的定值方法

定理6

我们假设f(x) g(x)满足条件

1 在x趋向x0时

他们都是无穷大量

2 在x0的某个去心邻域内

他们的导数都存在

而且g(x)的导数不等于0

3 他们导数值的比

在x趋向x0时极限存在

或者是无穷大量

我们的结论就是

f(x)与g(x)的函数值之比

和他们的导数值之比

在x趋向x0时的情况

是一样的

对于这个结论

在证明过程中

要用到极限的严格定义

还要用到一些

比较细碎的处理技巧

在这儿

我们就略去它的证明

有了定理6之后

我们也可以得到

极限过程是x趋向于无穷时

无穷比无穷

这样的不定式的定值法

在定理5和定理6中

我们将分子分母分别求导

再取极限的方法

就统称为洛必达法则

洛必达法则实际是

利用导数运算

给出的一种

求不定式极限的方法

在利用洛必达法则

求极限时一定要注意

f(x)与g(x)比值的极限一定是

分子分母都是无穷小量

或者是都是无穷大量的形式

在具体的计算过程中

如果导数值之比仍然还是

0比0或者是无穷比无穷型的不定式

而且导函数仍然满足

洛必达法则中的条件

那么我们可以继续使用洛必达法则

也就是对于他们的分子分母

可以分别在进行求导

考虑二阶导数

他们比的极限情况

在运用洛必达法则过程中

如果遇到我们无法判定

f'(x)比上g'(x)它的极限情况

或者是说我们能够断定

他是来回振荡

而极限不存在的时候

那么这样的不定式

就不能用洛必达法则

来确定它的值

这个时候我们需要选用

其他的方法来求我们的极限值

下面我们来看几道具体的例题

例1求下列四个函数的极限

我们首先看第一个极限

我们知道x趋向1时

它的分子和分母都是趋向于0的

所以我们利用洛必达法则

就会得到

他们的极限应该等于

他们分子的导数与

分母导数之比的极限

也就等于m比上n

我们再来看第二个极限

在x趋向0时

这也是一个分子分母

都趋向0的分式极限问题

我们利用洛必达法则

对他的分子分母分别求导

我们就会得到

我们要求的极限

就等于ln2减掉ln3

下面我们看第三个极限

在x趋向0时

这也是一个分子分母

都趋向0的分式极限

我们运用洛必达法则

对他的分子分母分别求导

就会得到1减掉cosx

除上3倍的x平方

在x趋向0时的极限

如果我们不用我们前面

得到的重要极限的结论

这仍然还是一个

分子分母都趋向于0的分式极限

对它的分子分母再分别求导

最后我们要求的极限就等于

sinx比上6x

在x趋向0时的极限

就等于1/6

下面我们看第四个极限

在x趋向0时

这仍然是一个分子分母

都趋向0的分式极限

我们继续运用洛必达法则

得到的是e的x次方减掉

e的负x次方除上sinx

这还是一个

分子分母都趋向于0的

极限问题

我们再用一次洛必达法则

就能得到我们要求的极限值

就等于2

下面我们来看第二个例题

我们求下面两个函数的极限

对第一个极限

我们知道

x大于0趋向于0时

tan5x和tan3x都是

大于0趋向于0的

所以第一个极限

是一个分子分母

都是无穷大量的分式极限

我们利用洛必达法则

对他的分子分母分别求导

这样我们就得到

我们要求的极限值是等于1的

我们再来看第二个极限

在x趋向正无穷时

这是一个分子分母

都趋向于正无穷的分式极限

我们利用洛必达法则

对它的分子分母分别求导

我们会发现

这仍然是一个

分子分母都趋向正无穷式的

分式极限

我们继续运用洛必达法则

就能判定

我们要求的这个函数极限

是不存在的

他在x趋向正无穷时

是一个正无穷大量

下面我们来看第三道例题

我们求下面两个极限

我们首先看第一个极限

我们考虑lnx除上

x的α次方

α大于0

它在x趋向正无穷时的极限

这是对数函数

和幂函数之比的情况

我们知道

在这个极限过程之下

他是一个无穷比无穷型的

分式极限问题

利用洛必达法则

我们对他的分子分母分别求导

就会得到我们要求的极限

就等于1除上α乘上

x的α次方

这是一个无穷大量的倒数

所以我们的极限值就等于0

接下来我们来看

第二个极限

这是一个幂函数

与指数函数之比的极限问题

在给定条件下

他是一个无穷比无穷型的极限问题

我们利用洛必达法则

对他的分子分母求极限

我们发现

仍然是一个无穷比无穷型的

不定式问题

我们不断地运用洛必达法则

一直用n次

最后我们会发现

我们要求的极限也就是要求

n的阶乘除上λ的n次方

再乘上e的λx次方

在这里面n是常数

所以这是一个

无穷大量的倒数问题

也就是说我们要求的极限

是等于0的

在我们的例3中

通过我们求两个具体的极限值

我们知道

幂函数与对数函数相比

在他们趋向无穷时

幂函数总是要比对数函数快得多

而指数函数和幂函数相比

当他们都是无穷大量时

指数函数的阶最高

幂函数次之

对数函数的阶最低

下面我们来看第四道例题

我们求这个极限

在x趋向0时

这也是一个

分子分母都趋向0的

分式极限问题

我们知道x趋向0时

tan(x^2)是与x的平方等价的

1减cosx与(1/2)x的平方是等价的

所以我们要求的极限

也就等于sinx减x

比上x三次方的极限

我们分子分母分别求导

他也就等于cosx减1

比上3倍的x平方的极限

我们的分子用他的等价无穷小

1/2的x平方代替

我们最后求得的极限值

就是负的1/6

这个例题提醒大家

在掌握了洛必达法则之后

不要忘了我们极限运算中的其他方法

再利用洛必达法则求极限时

做等价无穷小代换

往往能够减少

导数运算中的计算量

下面我们看最后一道例题

我们求x方乘上

sin(1/x)除上tanx

在x趋向0时的极限

在x趋向0时

这也是一个分子分母

都是无穷小量的分式极限问题

如果我们对他的分子分母分别求导

我们就会看到在x趋向0时

分母的极限是等于1的

而分子的极限是不存在的

这说明他们的导数之比

在x趋向0时

极限是不存在的

也就是说我们这个极限

是不能利用洛必达法则来定值的

事实上对这个极限

我们可以把它写成

x除上tanx

再乘上x乘上sin(1/x)的极限

第一个因子的极限是1

第二个因子的极限是0

所以我们利用极限的乘法运算

就知道我们要求的极限值

是等于0的

在这一讲中

我们介绍了

求分式不定式极限的洛必达法则

这是利用导数运算

求不定式极限的方法

也是一种重要

而且简便有效的方法

使用洛必达法则时

应注意检验定理中的条件

并注意几何运用其它求极限的的方法

如等价无穷小代换等

这样可以进一步简化我们的运算过程

此外还应注意

洛必达法则的条件

是充分的并不是必要的

如果所求的极限

不满足定理中的条件时

则应考虑

利用其他方法

来求极限的值

除了分式不定式

还有其他不定式的极限问题

下一讲中

将介绍其它不定式的

定值方法

谢谢同学们

下一讲 再见