6.3.2 有理函数的积分法(2)在线视频

同学们大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第六章

积分法与反常积分

第三节有理函数的积分法

在前面我们已经介绍了

有理函数的积分

我们知道有理函数的积分问题

在理论上已经彻底解决

在这讲中

我们将介绍

另外一类特殊函数的积分

即三角有理式的积分

下面我们来看一下

三角有理式的积分

首先我们介绍一下

什么叫三角有理式

有sinx cosx以及常数

经过有限次的

四则运算得到的函数

我们就称作是三角有理式

一般用记号R sinx cosx来表示

下面我们来介绍一下

关于三角有理式的积分

从理论上讲

我们是根据有关的三角关系式

通过变量替换

将三角有理式

转化成一般的有理函数

这样我们就把

三角有理式的积分问题

转化成了有理函数的积分问题

下面我们介绍一下

我们常用的变量替换

我们令tan2分之x等于变量t

那么我们就知道x是2倍的arctant

dx就等于2除上

1加t的平方再乘上bt

因为sinx根据三角关系式

我们知道它是等于两倍的tan2分之x

再除上1加上tan平方2分之x

也就是引进了上面的变量替换时

sinx就可以用2倍的t

除上1加t方来表示

同样的

利用有关的三角关系式

有了上面这个变量替换之后

cosx就可以写成是

1减t方再除上1t方

我们将t与x的关系

代入我们考虑的

这个有理函数的不定积分

那么这个不定积分

就转化成了积分变量时提的

一个不定积分

我们根据三角有理式的定义

我们知道这个关于t的被积函数

通过整理之后

它一定是可以写成t的一个多项式

再除上t的另外一个多项式

我们分别用Q和P来表示

分子和分母上的这个多项式

也就是说如果我们用

t来表示tan2分之x

那么我们就可以把

三角有理式的不定积分问题

转化成了一个

有理函数的不定积分问题

所以说从理论上讲

通过这样的变量替换公式

总可以处理三角有理式的积分

这个变量替换公式

我们也称了是半角万能变换公式

这就是我们处理

半角有理式的一个常用的

一般的思路

下面我们看几道具体的题目

例1我们求1除上1加sinx再加cosx

它的不定积分

在这个不定积分中

被积函数是一个简单的三角有理式

我们就作半角万能变换

也就是令tan2分之x等t

我们将x与t的关系

代入被积函数

我们就将我们要求的不定积分

转化成了一个关于t的不定积分问题

我们将这个被积函数进行整理

就会得到这个被积函数

就是t加1分之1

那么它的原函数

就是ln1加t绝对值

再加上积分常数C

我们将t与x的关系带回

就得到了我们要求的不定积分式

1加tan2分之x绝对值

取自然对数

再加上积分常数C

这就是利用半角万能变换处理的

一个简单的三角有理式的

不定积分问题

下面我们看第二道例题

我们计算1除上1加两倍的cosx

在0到2分之π上的定积分值

在这个定积分中

被积函数也是一个

简单的三角有理式

我们直接做半角万能变换

也就是令tan2分之x等t

那么dx就等于2除上1加t方乘dt

而且我们知道x等0对应的t等0

x等二分之π对应的t等1

这样利用定积分的换元积分公式

我们就得到了我们要求的定积分

就变成了一个关于t的被积函数

在0到1这个区间上的定积分值

我们对这被积函数进行整理

就会发现这个被积函数

就是2除上3减t方

我们要求这个函数

在0到1上的定积分

2除上3减t方

我们可以给它分解成

是根下3减t分之1

再加上根下3加t分之1

这样我们就求出了它的原函数

那么利用牛顿莱布尼兹公式

就得到了我们要求的

定积分的结果是

3分之根下3再乘上根下3加1

除上根下3减1的自然对数

我们来看第三道例题

我们求sinx

除上5加4倍的cosx的不定积分

我们首先利用半角万能变换

也就是令tan2分之x等于t

那么我们将x与t的关系

代入被积表达式

就会得到了一个新的

关于t的不定积分问题

我们对关于t的这个函数进行整理

就会发现我们的被积函数

是4倍的t

除上1加t方再乘上9加t方

这是一个简单的真分式

我们将这个真分式

分解成两个最简分式之和

这两个最简分式分别是

二分之一倍的t除上1加t方

和负的二分之一倍的t

除上9加t方

而对这两个最简分式

它的不定积分

我们利用凑微分法

就可以得到它的原函数

分别是4分之1倍的ln1加t方

再减去4分之1倍的ln9加t方

我们将t与x的关系代回

并且利用三角关系式

进行变形

最后我们可以将

我们要求的不定积分

表示为负的4分之1倍的

ln5加上四倍的cosx

再加上积分常数C

对于这个例题

尽管被积函数的形式并不复杂

但是我们用了半角万能变换之后

变成了有理函数积分

整个计算量还是比较大的

事实上对这个不定积分

大家应该能看出来

sinx自然可以看成是

负的cosx的导数

那么sinx就可以凑成是

负的4分之1倍的

5加4倍的cosx的导数

我们利用错误用法

就很容易得到了它的不定积分

就是负的4分之1倍的

ln5加上4倍的cosx

再加上积分常数C

我想通过这个例题给大家强调的是

对于三角有理式的积分

尽管我们得到了所谓的万能变换

但事实上在处理具体的

三角有理式的积分问题时

我们首先想到的可能不是万能变换

而是根据具体的被积函数的特点

我们通过利用有关的三角变形

对这样的积分问题进行处理

下面我们来看最后一道例题

我们求两倍的sinx加上cosx

再除上sinx加上两倍的cosx的不定积分

这个不定积分中的被积函数

也是一个简单的三角有理式

但对于这种形式的被积函数

我们不用所谓的万能变换

我们用下面的方法进行处理

也就是我们将被积函数

分解成两部分之和

第一部分实际上

分子就是常数乘上分母

常数A乘上括号里面

sinx加上两倍的cosx

第二部分的分子

就是常数乘上分母的导数

我们就将这个被积函数

分解成这两部分之和

如果我们能够求出待定系数

A和B的值

那么我们就将这个不定积分问题

彻底解决了

我们看一下怎么样求

待定系数A和B的值

我们将上面等式的右端进行运算

并且以sinx和cosx作为公因子合并

我们就会得到等式的最右端

它的分子就是A减2倍的B

再乘上sinx

再加上两倍的A加B乘上cosx

我们比较这个等式最左端和最右端

它的分子就会得到

两被的sinx加上cosx

总是等于A减2倍的B乘上sinx

再加上两倍的A加上B乘cosx

这个等式要想恒成立

那么A减两倍的B一定是等于2

两倍的A加上B应该等于1

也就是说sinx和cosx

对应的系数应该相等

这样就得到了AB满足的

一个一次方程组

我们求出A和B的值

分别是5分之4和负的5分之3

所以我们要求的不定积分

就变成了我们要求5分之4

减掉5分之3

再乘上分母的导数乘上分母

它的不定积分

最后的结果是5分之4倍的x

减掉5分之3倍的lnsinx

加上两倍的cosx绝对值加C

最后这个例题中

这个处理的方法

不依赖于我们这个表达式中

系数的大小

也就是说对于

这个形式的三角有理式

也就是asinx加上bcosx

除上psinx加上qcosx

对于这种形式的三角有理式来说

我们求它的不定积分问题时

总是可以把它变成

两个简单的不定积分之和

用的仍然是待定系数的方法

在这讲中

我们介绍了三角有理式的概念

并给出的利用半角换元

将三角有理式的积分

转化为有理函数积分的方法和结论

关于三角有理式的积分

除了我们介绍的半角换元之外

还有利用全角换元

将其转化为有利函数积分的方法

尽管半角换元

或全角换元

都称为万能换元公式

但这更多的是强调其理论意义

也就是说同我这样的换元

一定能将三角有理式的积分

转化成有立函数的积分

事实上我们在处理

具体三角有理式的积分时

一般的更多的是利用三角关系式

寻找简单的特殊方法

比如说当分子和分母都是sinx

和cosx的线性组合时

就有比万能公式更简单的方法

下一讲将介绍

定积分的几个应用问题

谢谢同学们

下一讲再见