S1.3 Change of basis and dynamical variables S1.4The continuous one-particle spectrum在线视频

刚才我们把二次量子化的骨架

已经搭起来了

对于玻色子费米子体系

都可以应用

但是我们用的

这个量子力学里面讲究表象

我们用的这个表象叫做particle number representation

就是说我这个里面的算符a和a(\dagger)

就是一个管消灭一个粒子

一个是产生一个粒子

我这个体系的状态

我用的是在某些状态上

有多少个粒子

但是量子力学的好处

它可以用不同的表象

所谓的表象比如说

我有一个物理学上的一个observable

叫做K

那么我这个observable K给定了

它有它的波函数

或者本征函数有它的本征值

它的本征值的符号叫ki

那么它的本征函数就是|ki>

这是我可以用这样的一个表象

来描述我的理论

但是我可以换

我可以换到另外一个表象

刚才说这个状态用ki来表示

那么它的本征态

就是或者叫做state vector

就组成了一组基叫做basis

这一组基

是一个正交归一完备的结合

量子力学里面讲究superposition principle

就是叠加原理

量子力学可以把任意的一个状态

用我一个表象里面的本征态

完全精确地来把它展开

所以说量子力学里面

所引出来的表象

大家看这里表象Representation

你是K表象

那么它的基就是|ki>

我说但是我现在可以换

我不用这个observable K的表象

我用observable L我用另外一个

观测量来做基准

它的本征函数本征值

它本征函数就是|lj>本征

或者eigenvector

lj就是做它这个constant

这个系数就是作为表征

这是它的本征值表征这个状态的

量子力学里面讲究的是

我可以做表象的变换

我原来是K表象的

我给它换成L表象

这个时候原来的

基是正交归一完备集|ki>

现在用的新的一组基|lj>

关系就是幺正变换

unitary transformation carries

the old basis to a new one

或者是

carries the old representation to a new one

它的如果是你用基函数来讲

怎么变换我就把老的基函数|ki>

用新的基函数|lj>来展开

这样的话这是老的基函数

这是新的基函数

你展开的系数

正好就是新老波函数的scalar product

我给它起个名字叫做CQI

那就是这样的东西

这就是我的幺正变换

有了这个那么我比如说这个|ki>

我可以写成什么

我可以写成ai(\dagger)作用在

我的真空上了

那你右方当然就可以

我把这个右方

写在这里作用在真空上

那这个就显示的就是

我用新的这个算符bq(\dagger)

老的算符叫a

新的算符叫b

我用bq(\dagger)作用在我的真空上

就有这样的关系

第一步这个量子力学给出的unitary transformation

我们在这当然不用证明

而做到了这一步

我能不能从这给出来两边

两个vector相等

把它变成一个operator identity

把这个ai(\dagger)和这个bq(\dagger)

给它抽出来呢

那就要看你被作用的东西

是不是任意的

在这里我就不证明了

这给一个参考

大家可以看（Merzbacher）的

量子力学512页给了证明

就是刚才那个矢量的关系是结果

可以是作为任意的

后面那个被作用的可以是任意的

所以说我就得到这样的一个operator identity

旧的operator ai(\dagger)

和新的operator representation 的 bq(\dagger)的关系

就是这个关系

它的这个系数就是我的

原来新老新函数的scalar product

这是带(\dagger)

不带(\dagger)呢

你两边各取和Hermitian conjugate

(\dagger)没有了

这是有个C数

C数的conjugate

所以这是complex conjugate

这个就是新老基函数和

新老算符之间的这个关系

在这里我们碰到这样一个符号

你看在这看到这是老的基函数

这是新的基函数

这是一个scalar product

可是你要这样看

这好像是一个

这是个新的一个ket vector

bra-ket vector

右边是bra vector

而这个东西是什么

我就把它抽出来写在这里

|l>

左边是一个ket vector

右边是一个bra vector

写在这它是什么

它是一个算符

为什么

你比如说你可以把它

作用在任何一个vector上

比如说

我这个vector底下有个|k>吧

你一作用以后

右边的这个上面

这就得到一个|l>和|k>的scalar product

这就是一个C数了

所以你把这个家伙

作用在一个vector上面

你得到是另一个vector

因为什么呢

因为那个vector就是|l>

后面是一个C数

所以说这个算符

它的物理意义是什么

第一我刚才说明它是一个算符

它的物理意义作用完了以后

它在vector的方向就是一个|l>

后面那个是一个C数

是一个它的一个倍数

也就是说这个算符

它的物理意义

就是它是一个投影算符

它作用在任何一个矢量上

就把这个矢量就投影到

我这个|l>这个矢量的方向上去了

所以它可以有这样一个意义

那么我们知道|l>作为

我的现在的新的表象的basis

它是正交归一完备的

什么叫完备呢

投影你可以投影到

我的新的这个表象里边的这个基的任何一个轴上面

这个基就代表一个多维的

这么一个正交的轴了

你|l>这个方向的

你现在|l>是完备的

你把所有的这些个方向

这些个basis的轴

都给它包括进来

所以就会有这样一个关系

|li>

必须等于1

这就表示完备

就是你把所有的

可能的投影算符

所有可能的都加起来

如果它是完备的

给出1来

你就放心大胆可以

用这个基来展开任何函数

可以展开的是精确的

就有这个好处

这就是表象变换的

一个最基本的道理

好 下面我们就说

二次量子化的比如说Hamiltonian算符

我怎么把它做表象的变换

我先说这个算符当然分成两部分

一部分是动能

一部分是相互作用能

正好这两种算符

代表两种不同的性质

动能算符它代表的

是个单粒子算符

为什么一个体系的动能

就等于你每一个粒子的动能的和

而每一个粒子的动能

和第二个粒子的动能是没关系的

所以它是个单粒子算符

所以我们看我表象变换

我会得什么结果

你看这里就是代表动能算符

动能算符那刚才说过

就是每一个粒子的动能之和

我现在在第i个状态上

有多少个粒子

有ni个粒子

它的动能我就叫这个Ki

就代表它的动能

所以结果我就K

所总的动能就是把所有的

粒子的动能给它加起来就完了

就是这个

有了这个我现在把这个Ni

就是代表第i个状态上的

粒子数算符给它拆开

它就是a(\dagger)a

所以你看把a(\dagger)写在前头

把这个K写在这

现在我就说下面的这个次序

你就看出关系来了

这Ki是代表动能

所以这是ai(\dagger)Ki ai求和

对i求和

这个就是单粒子的动能

你偏偏是在它自己的

表示里边来写

所以它很占便宜

一写就写出来了

而且你看它是最小的

这些代表你把所有的

状态上的动能给它加起来

你要换

换表象我不愿意

用你这个动能表象

我用比如说我用角动量表象

新的表象是L怎么办呢

就用刚才我们已经给出来的

新老基函数之间的关系

跟新老算符之间的关系

一写就写出来

你看在这

ai我用bl来表示

我这要对l求和

前边有这样一个scalar product系数

前面的ai(\dagger)

我用bj(\dagger)表示

这个j和l不能重复

所以bj(\dagger)我这对j求和

这也有一个matrix element

就是那个scalar product

现在我把中间的这一大块

这有一个C数

这是个动能的值

后边又有一个C数

这个东西我就写成是

动能算符的在新的表象里面

这是li我抄在这了

我这是lj我抄在这了

所以这个你就看

就是从老的表象在这

sum a(\dagger)Ka

到了新的表象前后

这两个b的指标不一样

刚才a的指标是一样

现在b的指标是不一样

而中间的这个就好像

这就是一个矩阵元

就是动能算符K在新的表象里边

lj矩阵元

所以你看现在原来的

sum是对一个指标求和

现在这个是对两个指标求和

所以现在这个

你就可以写成这样sum over jl bj(\dagger)Kjl bl

跟原来的老的表象有什么不一样

多了一个指标

原来是一个对角的表示

现在就是非对角的

而中间的这个就是代表K算符

在这个新表示里的矩阵元

你要是从这个地方抄过来

从这个地方抄过来

其实就是抄到这

这个地方你看

把这个去掉

中间剩下那个就是这个K算符

这个时候

就是K算符的非对角矩阵元

所以说明如果我把这个物理量

用它自己的本征函数

本征值来表示的话

它就是个对角

如果你换一个表示

它就变成非对角

这是一种

这就是单粒子算符

下边我们就来看

对于Hamiltonian里面的

另外一个重要的量

这就是相互作用这一项V

相互作用的这一项

就代表你一个体系

费米子也好玻色子也好

它粒子和粒子之间的相互作用

那我怎么算呢

我这么算请大家来看

我的相互作用能量

我有分成两部分

一部分就是我有不同的状态

i状态上有ni个粒子

j状态上有nj个粒子

我这个i状态上的粒子

和j状态上的粒子相互作用

我用Vij来表示大家看

所以它的能量就是Vij

我乘上ni上边有多少个粒子

乘上nj有多少个粒子

这样一算有个double counting

因为你第二组和第三组你就算了

你求和是i不等于j

你还要算一个第三组和第二组

这就是个double counting

所以前面要有个二分之一

这个就是第i组和第j组

那大家说你没算完

为什么

我第i组有ni个粒子

它彼此自己也有相互作用

那好办

那就是我这个第二项

你看ni乘ni-1

相互作用就是Vii对i求和

好 这两项你可以把它并成一项

就是本来这个是i不等于j

这个是i等于j

我现在把它就不做这个限制

就是i和j求和

那你就把这项包括进来

这有个δij

δij是Kronecker δ告诉你

i必须等于j

所以那个其实就给出第二项

剩下的那当然就受限制

就是这个第一项

这样一个写法那是很重要

第一你看简单

我i和j不做界限

我中间就用这个算符

这个算符N就是我的

particle number operator

Ni就是ai(\dagger)ai

你现在把这个N用a表示

你可以请大家自己回去证明一下

它就可以等于这个

ai(\dagger)aj(\dagger)

ajai请大家注意

ij的次序带(\dagger)的是i在前

不带(\dagger)是i在后

这种写法对于两种统计都是对的

i它服从commucator玻色子它是对的

i等于i是遵守anticommutator

它是费米子也是对的

所以以后大家学习

二次量子化的表示来

你就这么写

对于两种统计都是对的

就有这个好处

好了 有了这个的话

那么我就把这个相互作用

给写出来

是很简单

因为我原来写的是中间

刚才大家我强调

请大家看这个地方

这ai(\dagger)aj(\dagger)

然后是ajai

中间那有个Vij

好 所以我现在

我的相互作用的Hamiltonian就写出来

中间这个Vij

两边是ai(\dagger)aj(\dagger)

注意后面的次序倒过来了

ajai

这就是这样的V的表达式

这个就是

在我这个i和j一堆一堆的

第i个地方第j个地方

那我不用i表象

我要换表象怎么办呢

就按原来的办法

你把这个东西a

用新的表象写出来

那就是b

ai这里这就是bt

aja就是bs

就是前面当然都是求和了

那就是得对t和s求和

前面的aja(\dagger)

就这就变成br(\dagger)

ai(\dagger)变成bq(\dagger)

那当然要对q和r求和

而中间的这个Vij

你用在新的表示里面

那就是前面是qr后面是ts

结果呢就是原来在做变换的时候

那四个matrix elements乘在这

请大家注意一点

你看这个地方

后面是st

你在这个matrix elements这里就是ts

这个就跟原来这个a的

这个表示是一样

这个是ajai这就是ij

这个地方这个后面就是

你要注意这个次序

这样的话 好

我就把动能也好相互作用能也好

都放在一个新的表象

任意你所选择的表象里面

来表示出来

所以现在就把最后这个结果

就讲完了

在下面就是再稍微推展一下

本来我这个状态矢量state vector

是用的是这个代表它都是ij

这i和j都是不连续的指标

比如说我动量

我动量我把这体系放在一个盒子里

动量就是分立的

所以这个地方是分立的指标

但是我也下面我要做的

二次量子化用的最多的

这个算符就是把原来的

波函数给它量子化一下

做成了一个算符

所以这个指标它这个r是连续的

所以我下面这一节介绍的很简单

就是连续的单粒子的

这个谱怎么来代表

那现在我老的表象我是一个分立

我现在就是在个p表象里面

动量和自旋

我的新的表示我用的是x表象

x和σ

我的状态矢量老表象里面是pσ

新表象里面就是xσ

这个是抽象的代数的做法

下面大家就会看到这个

在Schroedinger的做法里面它就是sin

好 大家看如果我这个p是分立

它的状态是正交和归一的

就写在这里大家看

p'σ'和pσ scalar product

后面是Kronecker δ

p必须等于p'

σ必须等于σ'

到了新表象里边

我的变量是连续的了

x连续变的

还有个σ

这是x和σ

我的state vector

它的scalar product

这个时候不连续的分立的变量σ

还是Kronecker δ

而它的连续变量就用Dirac Delta function来表示

所以这是

δ(x'-x'')

这个是state vector

operator呢

我分立的是a_pσ

p是分立

我这个连续变量

我这个annihilation operator是什么

就是ψσ(x)

这个ψσ(x)其实就是

现在不用原来的波函数了

现在我这里就是

一个量子化的算符了

它的物理意义

就是我这个ψσ(x)代表的

就是我消灭在x这一点

自旋为σ的这样一个粒子

这个算符

好 那么我现在如果要做表象变换

我从p表象我要换到x表象来

那就刚才说过

这是新的基这个是老的基

老的基是a_pσ

新的j就是ψσ(r)

当然它差的就是这样一个scalar product

这个scalar product实际上就是

这个平面波的一个

这就是一个动量为p的状态

在r表象里边的东西

你怎么写啊

这不就平面波嘛

就是它

所以你新旧表象之间

差的是这个关系

它的逆变换就是这一个

所以现在

和原来量子力学里面不同的

我现在的这个ψ(x)

ψ(x)这个波函数

原来是量子力学的波函数

你看这不就是这个平面波吗

我现在的这个ψ(x)

不再是一个C数了

它就是一个Q数了是一个算符了

它是一个消灭算符

这个消灭算符

如果用动量为p的算符来表示

就是这个

这个就是消灭动量为p的算符

乘上它的这个波函数

你得到了就是消灭

在r点的这个算符

这不很妙吗

所以什么叫做二次量子化

second quantization

就是现在你在看到的这个ψ

它不是这个Schroedinger

那个系数的波函数了

原来的Schroedinger系数波函数

在哪儿呢

在这呢

它和你这个pσ之间的关系

就是我现在新的这是个

二次量子化理论里面的算符

在r表象里面的算符

所以这个表象变换

就可以变换到这个r表象

以后我的动能算符也好

相互作用算符也好

统统用r来表示

需要说明一点的就是刚才说了

我新的表象就是r表象里边

连续变量它满足的对易子

你就不是Kronecker δ

而是Dirac δ了

玻色子用在这里commutator

费米子用anticommutator

在下面

上面的这个是全的

ψ ψ(\dagger)和两个都没有(\dagger)的

两个有(\dagger)的

下面的是红的是代表费米子

这个把这个关系都给齐了

所以这样一来的话

这个对于一个体系来讲

那么我的粒子数算符

在新的表象里面

因为ψ(\dagger)ψ原来是particle density

现在就是particle density operator

写成这样

那么我的single particle operator

比如是动能

我这个动能你看现在写的

就用我的r表象里的算符ψ表示

表示写出来

就是写成这样一个很简单的样子

two-particle operator

就是我相互作用你看写出来

前面有两个ψ(\dagger)

后面有两个ψ

大家注意你在写这个

后面这两个ψ的次序

我是r3r4

你在前面的

这个矩阵元里面写的话

这个次序和它正好相反

这是34后面就是43

应该给它调过来

好 所以现在就把

这个二次量子化的动能

势能 算符在r表象里面

把它写出来

以后经常用

两个大家都会有用

你要是用分立的这种表象

p表象也是一样

你要用连续的这个表象r表象

就是这样一个写法

所以现在这个

就把都已经交待清楚了

二次量子化里面state vector

单粒子的就是这么

在rσ状态

有一个粒子就写成这样

现在就是我在真空上用ψ(r)这点

我就在r这点产生一个粒子

它的自旋是σ

所以就是这个

好 我不用连续表象

我用分立的表象

我要在我的体系在

它有一个动量为p

自旋为σ的粒子怎么办

你就用这个分立的算符作用一下

就得的是这个状态 对吧

好 那么我的

many body state Fock state

这样的写法

就是说你就把这个真空拿来

用这个ψ作用上这么多次

你如果你要做电子的话

当然每个只能作用一次

这个时候你这个状态ψ在后面

前面是零

这样的话就得出多粒子体系的

左边是Schroedinger的表象

是多体波函数

量子力学我们熟悉

而右边是二次量子化的这个表象

这样的话把这个相对应的东西

已经给它做完成

所以说对于二次量子化

用分立的也好连续的也好

表象所能够代表出来的

状态矢量和算符

现在已经

把这个架子都已经搭起来

我们现在再声明一句

就是我们原来说

你多体波函数的对称性怎么办呢

现在都已经用ψ的对称性

ψ的对易子

或者反对易子的对称性

把它表示出来

这样的话是个干干净净的

一个二次量子化的表述

关于这方面的介绍

我这也就到这就完了