S5.1 Geometrical phase in quantum mechanism(1)在线视频

今天我们开始新的一章

题目叫做

Geometrical phases in QM

在这一章里面

我们要讨论两种相位

一种叫 Aharonov-Bohm phase

一种叫做Berry's phase

首先我们讨论Ahronov-Bohm effect

这是在1959年提出来

上个世纪已经到了后一半了

提出来来这个问题

是从这样一个物理问题提出来

也就是说有一个无限长的

很细的一个通量管

在这个里面有磁通

但是外面没有磁通

那么我们就问了

现在在外面有一个电子

这个电子不到通量管里边去

就在外面

那我们就问

它是不是感受到了

这样一个通量管

也就是这个地方提的问题

Does a fre electron feel the existence of an infinity thin flux tube?

看不看得见它

请大家注意

所有的磁通量全在这个管里边

外面是没有的

所以在外边呢

B应该是0

就是在管子外面B是0

但是你如果用vector potential

A来描述的话

在外面这个A并不等于0

我们下面会看到

你要在外面做A的一个线积分

所以在外面A不是0

这个A当然和里面通量管的

通量φ是有关系

那么对这个问题怎么回答呢

经典力学就回答

根本它看不见

外面没有它当然看不见

它不到那管里边去

那它当然感受不到

这个通量管的存在

在这以前呢

量子力学在 Aharonov-Bohm

提出这个效应以前

量子力学不知道的

但是他们提出来以后

经过实验的确切验证

那么就知道

感受到了

也就是说外面这个电子感受到了

不是B 而是感受到了A

这是物理里边

非常重要的一个认识

好 我们从薛定谔方程开始

一个电子它在一个电磁场里面

它的运动当然就有这样一个

薛定谔方程来描述

这个里边呢有vector potential

有scalar potential

这就是电磁场里面

我们现在呢在薛定谔方程里面

都是vector potential和scalar potential进去

但是在我们学电磁学的时候呢

经常物理上碰到

不是这个A和A0

物理直接遇到是这个B和E

那BE和vector potential scalar potential的关系

就是这个式子给出来

B就是curl A

E呢是

也就是说我们有了A和A0

我就知道B和E是什么

在电磁学里边呢我们知道

有一个重要的不变性

这就是规范不变性

你可以把我们的vector potential和scalar potential

作为一个变换

变换就在这里

就是原来的vector potential

你可以加上一个gradient certain function λ

就是加了一个gradient λ

λ是任何一个x和t的函数

任意并不限定

但是当然它必须表现好

所谓表现好

就是它的这个gradient存在

它的\partial_t是存在的

刚才说的是vector potential的变换

scalar potential是原来的

后边你要减去一下

在做了这样一个变换以后

下面我们还要看到

我的量子力学的微分方程ψ

也要相应的变化

这样变了以后

我的薛定谔方程

它的物理效应是完全不变的

这个就是gauge invariance

刚才做的变换叫gauge transformation

为什么这么叫呢

我们后面会给大家讲一点历史

好 现在我们就提这个问题

物理上直接测量的

电磁学里测量的是B和E

那它和A0和A的关系呢

刚才给过了

他们之间有这样一个关系

叫做多对一的关系

我有不同的A0和A

只要他们满足

刚才给出来的

这样一个规范变换

你看我现在A改了

A0也改了

那他们的B和E是不改的

为什么呢

你看B这里应该是curl A

你现在这个变化是个gradient

curl of gradient那当然总是0

所以B并不变

E呢也是一样

你把这个代进去

把这个A A0做了这样一个变化

那这时候gradient A0

当然就多出一个gradient λ

但是你这个A

因为你做了这个变换

所以这也有个

这样的话呢这个E也不变

所以说你做了规范变换

A和A0变了

B和E还不变

我再做另外一个规范变换

A和A0变了

它这个B和E仍然不变

所以说potential和field之间

它是一个对多一的这个关系

那人们就要问了

那这样的话

你还要用A和A0干什么呢

物理里面

电磁学你测的是B和E

你可以用好多套A和A0

这干吗

有什么必要吗

问题在于量子力学Hamiltonian里面

它是包含A和A0

就是vector and scalar potential

而并不包括B和E

这个原因呢

还是有物理上的原因的

因为你在分析力学里面

你写

这个比如说写Lagrangian

这个Lagrangian里边

它是有这个A和A0

但是呢你

这个经典力学

它来描述的这个粒子运动

它是满足这个minimal action

这个时候你来求action的时候

action Lagrangian对时间做积分了

你求变分的时候

你就把A和A0就变成了B和E了

所以说呢

经典力学里面

它可以只用B和E来描述

但是量子力学里面

因为我们刚讨论过路径积分

知道这个经典轨道是重要的

但是它不是唯一的

还有好多在经典轨道旁边的

那些偏离对不对

那些偏离呢

当然就不满足

最小作用量了

所以你在量子力学里面

你不能用最小作用量原理

那个是

它是一个主要的轨道

但不是唯一的

这也就是说

原来经典轨道它是个

first approximation

这个就叫做一个鞍点

鞍点近似 saddle point

所以说历史上

曾经有很多的人想

我干嘛你在量子力学里用A和A0

我把它变成B和E不成吗

所有的企图都失败了

也就是说是不应该做的

你做不成的

那下面我们讨论了AB phase就知道了

好 现在呢我们就来看

怎么会出来这么一个phase

刚才说过规范变换

说过了A0和A的变化

我说过一句

量子力学ψ也要做相应的变换

你看这就是ψx变成ψx

后边有一个phase

你A和A0都通过一个任意函数

λ做变换了

相应的ψ应该也有一个相位的变化

这个相位上面你看

正好就是这个λ

所以上面是

这块乘上λ

λ是x的函数

如果ψ也这么变的话

那你薛定谔方程就不变

那么我们假定

我现在考虑只有A0没有A

我现在着重讨论

将来讨论的是那个A

所以我就假想了

我这个量子力学的问题

这个A取0

是动能的部分

加上这里有一个scalar potential

我可以要scalar potential

你比如解氢原子问题

那我这个A取0

你解了这个薛定谔方程

它的本征函数就是ψ0

那我就问了

我现在把A加进来了

vector potential加进来了

那这个时候

你这薛定谔方程当然这变了

这个地方

这个时候vector potential进来了

这时候它的解就叫做ψx

那我就问

如果原来你知道了ψ0

现在的ψx应该是什么呢

那我告诉你

ψx就是ψ0乘上这样一个phase factor

这个phase factor就是

就是x

中间的被积分函数是

就做一个line integral

一个线积分

这个就是这个phase factor

你要不相信

请你把它代入薛定谔方程

你就发现确实它满足

这里面呢

我告诉你要用这样一个关系

你看我这里是

这是个dot product

积分变量是x'

我的积分上限是x

那我们知道

微积分就告诉你

对于这样一个东西

你对于上限来求导数的话

结果你就得到的

就是原来的x幂

把这个里边的积分变量

改成这个上限就完了

你用这个关系

你把刚才这个式子

代入有电场和磁场的

这样这个薛定谔方程你就发现

这个ψ确实是它的解

我在这里我就不来做了

大家自己可以验证

这个道理其实刚才说过了

就是说我有一个经典路径

有一个一般的路径

你做路径积分的时候

你那个权重因子就是这个

S就是action

action就是积分

Lagrangian里面你看有这一项

E V点 over C

这是分析力学里边

你一个带电粒子在电磁场里运动

它Lagrangian就有这一项

好了 action当然就有这个积分

你把这个积分拿来仔细看一看

Lagrangian就是E V点A

然后下面当然还有个C

你对dt积分

这个vdt不就是ds嘛

就是那个element ds弧长的这个

所以这就是个线积分了

那为什么我现在这个解

上边要出现一个积分

Axds就从这来的嘛

E在前面嘛

E在前面

C在下面

就是这个C

所以你看

为什么我没有vector potential的解是ψ0

有了vector potential就出了这么一项呢

那正好就是说明

你现在

你一个任意的一个轨道

它的路径积分的权重函数里面

这个就是这个路径积分

权重函数就是从那来的

所以我们原来讨论过路径积分

你现在理解

为什么这个解是这样

就好理解了

大家会怀疑

你看我刚才这个积分

我只给了上限

让你验证的时候用这个

我没给下限啊

下限用不着给

因为你验证的时候根本不用

你给出一个明确的下限来

不需要

为什么呢

因为我刚才这个路径积分

Ax'点dx'

积分上限是x

那这个是重要的

这个确定这个积分式

下限无所谓了

你说好我给一个x0

我告诉你这个积分从x0积到x

这个路径积分

它是和路径有关系

叫做path dependent

它和路径有关

为什么呢

我下面就举一个例子来讨论

我这个就是积分下限x0

这是积分上限x

我分两条路径来积分

一个是走路径1

一个是走路径2

他们有什么区别呢

就是正好这两个路径中间

包了一个磁通管

这有个φ

我这个A和φ是直接有关的

所以说这个积分和路径有关

你不信那你来看

我现在沿着1这条路径积分

这就是第一项

沿着2做路径积分

这就是第二项

1减2是什么呢

那就是1从x0到x

减2就等于说

我这个积分从x回到x0

这就是这个减的意思

所以现在这个积分呢

1减2那就变成一个close line integral

就是一个封闭的一个线积分

所以这就是变成

就是这个东西

那从电磁学我们知道

A你做一个封闭的路径积分

等于什么

就等于这个封闭路径里边

包含的磁通量

就是因为什么呢

因为你看

刚才这个是个线积分

你用斯托克斯定理

这个线积分就变成了一个

surface integral

你对哪一个面积来求积分呢

就是你这个线包含的这个面积

所以实际上就是

原来这个封闭的线积分

现在就变了一个面积分

围绕它中间包含的这一块

这个表面来做积分

Stokes定理这是

curl A是什么 就是B

好了 我一个B

通过一定的面积

把这个B积分起来

那不就是通量嘛

所以这就是磁通量

因此说这个积分

线积分是和路径有关系的

为什么呢

如果我这个做一个close integral

中间我不包括通量

比如说我这个x啊

我把它改到这个地方

我从x0积分

Ax到Bx

我从x0积到x然后回来

中间不包括磁通量

它就是0

这个时候我从0到x

我走两条不同的路

它是相等的

因为你是close是0

所以说我这个

一般说这个线积分

它是和路径是有关系的

那你就看

你有没有磁通

那没有磁通的话

x当然你可以随便设一个函数

它的close是0就完了

你设它是gradient就完了

那这个时候积分就和路径有关

好 所以说

我这有了一个磁通

它起了什么作用

它把我的平面

从单连通变成多连通了

multiple connected

变成多连通

多连通的意思

你这个线积分就和路径有关系了

所以说我刚才给的

原来有了ψ0

你加了一个vector potential变了ψ

它差在这个phase integral

它是一个和路径有关系

吴大俊和杨振宁

给他们起了个名字

叫做non-integral phase factor

这个项因子是不可积的

因为什么

因为它和路径有关

好了 下面就正式进入 Aharonov-Bohm effect

1959年提出来

那么Aharonov-Bohm

回答我们刚才的问题

我有个无限长的通量管

我电子在外边

外边没有B

外面的B是0

但是呢我这个电子

我也不到那个通量管里边去

这个时候

这个电子还能不能感觉到

通量管的存在呢

那他们告诉你

Aharonov-Bohm告诉你

它还能够

为什么呢

好 因为外面B是0

但A并不是0

刚才我们看到

你积分Ax到Dx

它和里面通量管是有关系的

它并不是0

好 我们现在来看双缝干涉

双缝干涉一条是路线1

一条路线2

我这个地方

我可以放上一个

这是给出来的是截面

我放上去的是一个无限长的

垂直于我这个画面的

一个通量管

在通量管里边我有通量φ

在外面没有B

但外面是有A的

行了 我现在来做

电子的双缝干涉实验

你看如果我没有这个φ

我在屏幕上这任何一点的波函数

ψ0就应该是ψ01+ψ02

一条路径从上面过

一条路径从下面过

你要干涉就是这两个Amplitude之和

那现在有了通量管怎么办呢

好 有了通量管我知道

那我刚才给出来

那就应该是前面乘上一个phase factor

乘上一个phase factor

但是呢这两项的phase factor是不一样的

为什么呢

就是这个线积分啊

有一个是我从上面这个孔过

有一个是从下面这个孔过

好了 我现在这两个都有phase factor

我把前面的这个phase factor提到外面去

我就叫做n

那后面这个呢

那当然就是这两个之差了

就是第二条减去第一条

那第二条减去第一条

我假设我这个积分呢

是从左边很远的一个地方

的一点出发的

那通过第二条减去第一条

那就等于这样回去了

所以结果就是这样一个封闭积分

所以后面这一项

现在就变封闭积分

刚说了这个封闭积分的值就是φ

所以这个地方就是这个φ

好 你看有了这个无限长的通量管

干涉的结果和原来就不一样

这多了一个relative phase出来

所以呢物理上应该看到不同

这个就是Aharonov-Bohm结论

差什么呢

差的这个phase

就叫Aharonov-Bohm phase

它表达式就是S of AB

它等于什么呢

就是ihbar c乘上

你的通量管里面包含的通量

这个呢叫做magnetic AB effect

因为什么呢

因为还有个相应的electro

当然这不是他们提出来

这是后来吴大俊和杨振宁

研究这个问题提出来的

这个照片

这就是Aharonov

你看黑板上画的

它就是一个通量管

通量管外边路径积分等于φ

是在讲他的这个phase

好 下面呢我们来看electric AB

现在我考虑静电学

没有 现在没有那个vector a了

也没有磁通量

经典学里面有个现象我们知道

如果我有一个很长很长的

一个空心的一个金属圆筒

我这金属圆筒上面

我给它加一定的电压

这个时候我们知道

在金属圆筒里边是没有电场的

所以你现在有一个很

非常长的金属圆筒

它里边是没有E的

但是它是有A0

这A0就是外面

因为里面它这个电位和

和外面筒是一样的

里面不会再变了

一变不就有了电场了嘛

里面没有电场

它的scalar potential都是一样

好 我现在也假想

做一个干涉实验

通过两个不同的圆筒

它这两个上面

加的电压不一样

一个是A01

一个是A02 不一样

它的干涉也要感受到phase的不同

这个phase实际上就是A乘上dt

所以说这个就是AB effect

原来我只有这一项

你看积分

我上限是x

现在我又加了一个积分

A0乘上dt scalar potential又乘以dt

上限就是这个t

中间是个减号

那么一起就可以写成一个

四维的矢量的线积分

所以这个地方Aμ

μ就是1230

这个dxμ就是dxuidt和dt

所以这样写成一个四维的

一个协变的形式

上面还是x

这个phase factor

就是杨振宁和吴大俊

管他们叫做non-integral phase factor

而这个它是gauge invariant

它是规范不变的

他们两个人就研究了

这个phase factor的性质

他们研究的结果呢

发表在physics review

1975的一篇文章上面

大家可以看我和葛墨林的书

那有参考书

大家要查可以查阅原文

这篇文章是非常重要的一篇文章

实际上它给学物理的人呢

一个洗脑的一个作用

就是要纠正你原来错误的概念

把fields

就是B和E

还有potential

就是vector potential和scalar potential之间的那个关系

物理由哪个量来决定

这个时候给了一个

完全新的一个认识

当然基础就是Aharonov-Bohm效应

比如说我们来看这个表

这个表是作为一个对比

把经典物理和量子物理来做类比

如果说我们考虑场

场就是B和E

那在经典物理里面呢

就是由这个场就决定了

你知道了B和E粒子的运动

就完全决定

但是这个是经典物理

那你要说到A vector A和scalar A0

那这个呢它多余了

因为他们

这个A和A0 four potential

对于fields 和1来比

是多对一的关系

这个一是起决定作用

所以这就叫determine

它决定了

那你A和A0

不同的对

你可以给出同样的物理结果

所以是它有

A和A0就包含多余的信息了

用不着那么多

这是经典物理里边

那么在量子力学里边呢

你单给B和E就不够了

我们刚才不是讲了AB effect嘛

你电子在外边

它能够看到你里边的那个flux

外边的A是0

那所以你单靠

你说B是0决定不了物理

所以这个时候场就变了underdetermine

是欠定的

单靠它不够了

你还要靠什么呢

如果我这个时候考虑A0和A

当然可以描述物理

但是呢大家知道A和A0

是满足规范不变性的

你可以做规范变换

如果你的一个A

这是vector potential和scalar potential

描述你的物理现象

描述得很好了

那我现在做一个规范变换

我得到了另外一套vector potential和scalar potential

那这俩你说谁说了算

两个说了都算

所以这个时候这个A0和A

这个four potential叫做overdetermines

four potential overdetermines

因为你给了一个你可以换

换了还是一样好用

它多了

真正解决物理的

完全决定物理的

就是吴大俊和杨振宁引入的那个

叫做non-integrable-phase factor

它是满足规范不变性

但是给了这个

你物理条件一定

这个non-integrable-phase factor

就确定下来了

好 我们现在来看

AB phase的性质

第一呢它是个global effect

什么意思呢

你在空间各个点都没有B

这B等于0

这B等于0

所以locally speaking各个地方的B全是0

但是你整体的来看

你整体的空间

有那么一个奇异的一条线

这就是你那个无限长的

通量管所占的

所表现线

这个线是singular

有一个奇异的线

所以你讨论它的整体性质

你必须得考虑这个

也就是在这个情况底下

这个整体性质起了作用

所以说Aharonov-Bohm phase

你可以在空间里面算一个close integral

或者从一点到一点算一个line integral

这个实际上它表现的是它

这个close integral围起来呢

那个中间的通量

所以它是一个整体的性质

不是局域的性质

第二呢

它是一个geometrlcal phase

是一个几何项

也就是说你并没有讨论

我这个粒子运动得多快是不是

你只是个几何概念

我做了一个close line integral

这是一个几何的概念

所以说是个几何相

而且说它是一个拓扑相

为什么呢

你可以把你的line integral

你的这个line integral你可以变

只要你别惹了中间的那个flux

就是你原来有flux

你不许变的时候

你怎么扭来扭去

不许让你这个line integral

它这个contour碰中间的flux

你如果原来

你这里边根本没有flux

你动的时候不许让你的这个contour

去碰那个

真正flux所在的地方

所以说你可以扭

但是有条件

这不同的这个代表拓扑不同

你中间包flux

和中间不包flux

你这是一个topological

而且非常重要的一条

就是Aharonov-Bohm-phase follows from known principle

你看我刚才介绍

Aharonov-Bohm phase的时候

没有介绍全新的东西

那都是原来量子力学的东西

所以这是很妙的

所以说Aharonov-Bohm phase

出来以后

在物理界引起一个

很大的一个波澜

引起波澜的原因呢就是

明明外面没有B

你为什么电子还感受到B

这太奇怪了

所以引起是这个surprise

结果就是有人赞成

有人说你胡扯淡

各种不同的意见都有

后来Feynman讲了一句话

现在我把Feynman这句话

给大家读一下

The implication was there all the time, but no one
paid attention to it

这个flux对于电子的影响

一直就在那

它本来就是

但是呢没人注意

大家就觉得

我电子有电荷

我看见的当然是B

你那A管什么事

没去注意

下面Feynman接着说 很有意思

It is interesting that something like this can
be aroud for 30 years

很有意思

像这样的事

能够在那三十年没人注意

量子力学1925

1935 1945 1955三十年

1959年Aharonov-Bohm

提出这个phase来

这是Feynman讲的

我再读一遍

Feynman就解释原因了

就是人们有成见

什么成见呢

就是什么是有意义的

什么是没意义的

比如说电磁学里面

BE肯定有直接的物理意义

那么A和A0

这只是一个所谓的导数的概念

叫做derived concept

你没它我做实验

我测的是B和E

所以说

这是人们有个成见

就是说B和E是significant

A0和vector A是insignificant

这种成见存在

所以始终使得这一件事是被忽略了

直到量子力学发现了以后

过了三十多年了

才有人发现了这个东西

所以这个原来是非常争论的