S1.1 Algebraic method of solving the 1D harmonic oscillator eigenproblem(1). 在线视频

这一门课程叫做

量子力学前沿选题

开设这个课程的目的

是为了帮助我们的研究生

和本科生

要接触科研了

要看很多文献了

一看起文献来就会发现

里面有好多概念

是原来量子力学正规课程里面

没有包括进去

所以呢需要有一些补充的知识

让大家比较顺利的能够进入

看大量论文的这个阶段

还有呢量子力学并不是

到了上个世纪

比如说五十年代差不多了

不是 一直到现在还有所发展

所以呢需要把这些新的进展

属于最基础的部分的

比如量子力学的诠释问题

需要把它加以深化

还有呢有一些最新的进展

是对量子力学将来

有关系比较大的

那么也需要包括进来

所以课程分为三个部分

一个部分就是量子力学的

这个一些基础概念的回顾

第二部分呢就是量子力学诠释

和一些这个新的概念性的进展

第三部分是量子力学的

某一些应用

就分这么三个部分

下面呢我们就开始讲第一章

叫做二次量子化

那么我们为什么需要

这个二次量子化呢

大家可以看这个图式

这里边有量子力学多体问题的

这个量子力学多体波函数

对于费米子是一样

对于玻色子是另外一样

但是同样的都包括

这一些单粒子波函数在内

比如说像这一项

它就是第一个粒子

处于K1这个状态的波函数

这是若干个波函数的乘积

但是请大家注意

量子力学多体的波函数

是要满足对称性的

所以说你看前面有个求和的符号

这有一个下标P代表 permutation

就是排列

需要把这个n个粒子

在n个状态里面给它排过来

所以写了一项

实际上有很多项

n factorial这么多项

所以写起来当然是很麻烦

费米子和玻色子不一样的地方

玻色子的波函数是对称

而费米子呢是反对称的

所以这个地方

费米子的波函数里面

有一个 δP

表示你换了一对

你就要加一个符号

这个是量子力学的情况

它有些哪些问题

它解决不了呢

二次量子化来解决

比如说一我这个体系啊

它的这个粒子数是可以变的

为什么会变呢

比如说我有五个电子

有一个正电子组成一个体系

那说不定过一会儿

这个正电子和电子湮没了

那就变成三个电子了

那数不就变了吗

还有第二个情况

是这个粒子数它不确定

粒子数怎么能不确定呢

比如我们下面要具体举例子

超导理论之所以成功

就是在于它摆脱了粒子数

必须确定的这个束缚

这样子才能够取得进展

那么解决这两个问题

包括我刚才说的

它这个求和里面有很多项

太麻烦了

这个问题也可以解决

这就是二次量子化在

要解决的这个任务

好 这里有写了这样三个问题

第一个就是原来的描述太麻烦

第二粒子数会变

第三粒子数不确定

那么总体来讲

除了解决

这几个技术性的问题以外

主要的就是下面的红字

就是二次量子化是

可以给予量子场论的

这样一个过渡

它代表了对于量子物理的

更深入的理解的一个层次

这就是二次量子化的好处

下面呢就来具体讲这个

二次量子化的理论

二次量子化呢

有的同学可能学过

不过我还是要在这

把它重新重复一下

目的是为了告诉大家

你看看理论物理是怎么做的

理论物理不是说

没有一定之规

它有一定的思考的路线

比如说这个二次量子化怎么出来

就代表它这个思维的发展的路线

我首先1.1节要讲的

是用Heisenberg方法

或者叫代数方法

来解一维的谐振子的本征函数

本征值问题

本来量子力学是在1925年开始

就是Heisenberg开始

他就用了这个代数方法

大家学呢都是学的是Schroedinger

那个体系

所以在这特别我再把

Heisenberg当年

解决量子力学的方法

再重复一下

比如说谐振子

大家看这里这个方程代表的

就是谐振子的Hamiltonian

其中有两项

第一项是动能

第二项是势能

谐振子呢就是一个粒子

它的质量是m

用一个弹簧连接到一个固定点上

那么你把这个弹簧一拉伸

然后一撒手

于是这个粒子就振动起来了

好

理论物理里面有这么一个办法

就是说啊

当然

首先你要想解决一个物理问题

你必须得知道

你这个物理问题的尺度

你解决原子 原子里面的电子

它有一定的大小

你要是解决太阳系

那太阳系若干个行星

太阳系有一定的大小

它都有一定的尺度

那么对于这样一个谐振子来讲

他给了两个参数

一个是质量m

一个是弹簧常数ω

那有了这两个常数

再加上一个宇宙常数

也就是hbar

就是普朗克常数被2π除

有了这两个

于是你就确定了

我这问题的能量的尺度

大家看这里就是hbarω

长度的尺度呢就是这里

根号底下的hbar over mω

动量的尺度就是根好底下

mhbarω

你看我这个体系给了

有两个参数

一个m 一个ω

还有一个宇宙常数hbar

用它们就可以把这些尺度的问题

都确定下来了

理论物理里边有个办法

我带着这些东西怪麻烦的

于是我就让这两个参数

和一个宇宙常数

我都等于1

我定义一个新的这个单位值

那这样你写起来不就简单了吗

你看m也没了 ω也没了

这个H就变成这个样子了

那就很简单了

那这两个物理量

一个x 一个p它要满足

本来应该是i乘上hbar

现在hbar等于1了

这就是i了

于是我下面算起来就简单了

可是大家不要忘

你算完了以后啊

你要把这些个尺度都给它还原

要不然就出笑话了

好 下面我们来讲Heisenberg

他的代数方法是怎么做的

Heisenberg定义了两个算符

一个叫a 一个叫a\dagger

那么它们和原来的两个

动力学的变量

一个是x 一个是p

用这两个的线性组合来定义

a和a\dagger

请大家看这里

那我们知道量子力学有个规矩

它的动力学量或者是算符

必须是厄米Hermitian

也就是说它的这个Hermitian conjugate它的厄米共轭

就是它自己

这样它的平均值和本征值

都是实数

那这里Heisenberg的这个

a和a\dagger

你看可都不是Hermitian operators

为什么

x和p本来都是

但是这出了一个i

一个加i 这有个减i

所以你看它就

a和a\dagger就不是Hermitian operators

a的厄米共轭就是a\dagger

a\dagger的共轭就是a

好 有了这个定义以后

你就可以做

得出一个逆变换

原来是用x和p来表示a和a\dagger

现在我用a和a\dagger来表示x和p

请大家看这里

这是这两个式子

那么有了x和p对易关系

现在它们的对易子就是i

下面根据这个定义你自己一算

就知道a和a\dagger

它的对易子是1

然后a和a a\dagger和a\dagger

自己和自己当然对易

有了这个以后啊

Heisenberg把这个x和p

用a和a\dagger代替了

这样一代请大家看

这个Hamiltonian就是这个样子

a\dagger a加上二分之一

很简单了

好 Heisenberg就说

我定义一个新的算符叫做N

N是什么东西呢

就是a\dagger乘上a

就是这个东西

N现在我们姑且把它称为energy level operator

就是能级的算符

为什么是这样

下面我们来证明它

确实是如此

当然大家一看

刚才这个Hamiltonian得的这个

你学过用Schroedinger办法你做过

你知道我这个N呢

这个N这个算符

就是代表这个能级的那个量子数

那我们现在在这里

不是Schroedinger的方法

而是Heisenberg

所以要证明

首先我证明这个N呢

它这个算符呢

它是一个Hermitian operator

同时它是一个正恒定的

positve definite 什么意思

就代表它的平均值或者本征值

只是包括零在内的

最后我们看到它是正整数

现在我第一步证明

它是正的实数

下面再证明它是正整数

好 那我现在从这个来看

你看它的平均值

平均值是什么呢

你把算符放在中间

后面有个ψ前面有个ψ

这中间有一撇加一个括弧

这个东西大家可能不熟悉

它是这个一般抽象代数里面

用的这个方法

这个就代表我有两个矢量

两个矢量做它的标量乘积

scale product

一个矢量我们知道波函数

就是Hilbert空间的矢量

ψ就是一个矢量

后面这一撇

撇后面

这原来有一个ψ

你现在拿一个算符作用于

在它上面

一个算符作用在这个矢量上

它还是一个矢量

中间有一撇

前面这个ψ

这就是代表我有两个矢量

一个是ψ

一个是a\dagger aψ

两个矢量来做标量乘积

scalar product

大家熟悉的是什么呢

我一说大家清楚了

就是积分ψ*a\dagger aψdx

就是这个东西

这大家就知道了

就是这样正好代表我算的

就是a\dagger a的平均值

量子力学里边的一个规律

就是我做这个scalar product的时候

我把后面有一个算符

我可以把它紧挨着的这个算符

把它挪到前头来

但是你挪的时候

你要取它的Hermitian conjugate

这个地方是个a\dagger

它的Hermitian conjugate就是a

所以你把它写到前头

就是变成这样了

这样的话你看

这个scalar product它的标量积

是两个等同的矢量的标量积

那就是标一个

就是这个矢量的模的平方

好了 一个矢量的模的平方

当然只能是大于或者等于0的

所以现在呢证明了

它是一个正的实数

但是还没有证明它是整数

怎么证明它是整数呢

那我们看下面这一页

下面呢Heisenberg

定义了两个算符

一个a一个a\dagger

这两个算符的物理意义是什么呢

下面我要证明的

这个a它是一个降低算符

就是本来你在这个

你的体系是处在能级n上

这个状态你拿a一作用

它这个能量水平呢就降低了

原来是n现在变n-1了

a\dagger和它相反

是个提升算符

本来你的体系处在n状态上

你现在用a\dagger一作用

它的能量就升高了

变n+1

那么怎么证明呢

那么我们来看下面这一段

我现在呢假定我这个算符N

它的这个本征值处于n水平的

本征函数

就叫做这个vector n

这个n呢就是它的本征值

所以下面有这样一个本征函数

本征值方程

算符N作用在n状态上

等于什么

就等于n状态乘上一个

这个C数n

这就是本征函数 本征值方程

好 那我们现在有了这个

所以我把Hamiltonian

作用在这个|n>上面

那就是刚才说过

Hamiltonian就是n+1/2

就是作用在|n>上

那所以就是n+1/2

现在把这个量纲还回来

我算的是能量

Hamiltonian这个本征值

所以你要把这个hbarω还回来

就应该是这个

好 我们现在休息一下

下面呢我们来证明