S1.7 BCS wave function, Bogolinbov transformation and quasiparticle excitation(1)在线视频

下面我们讲第二个应用

这第二个应用就是关于超导的理论

当然超导理论这是一个

即使你讲它的基础

也是一个很大的课题

我们这里主要就强调这个二次量子化

在这里怎么样用

这个题目就叫做BCS wave function

Bogolinbov transformation and

quasiparticle excitations

BCS波函数、博戈柳博夫变换

和准粒子激放

主要当然还是强调物理基础

和这个二次量子化的应用

BCS是三个人

代表巴丁(误：博戈柳博夫)、库珀、施里弗

关于超导的一般的通俗介绍

大家可能在很多地方看过了

这是一个很有趣的

一段物理学历史

那么这个团队

是一个很特殊的团队

巴丁当时已经是

获了一次诺贝尔物理奖了

因为 transistor

这是这个团队的教授

他是始终是关心

超导问题的怎么解决

这个我们下面要讲

库珀是博士后

这是巴丁找来的

因为库珀对于考虑

这个电子和晶格相互作用的问题

很符合超导理论发展的需要

所以巴丁把他找来了

作为他的博士后

施里弗当时是博士生

这是一个

有年龄阶梯的这样一个团队

这个后来他们自己都回忆

这是个非常好的团队

是真有团队精神

是大家一块干活彼此帮助

当然有的人经验更多

有的人闯劲更大

这是一个非常好的团队

好 下面就说超导

超导最初 Heike Kamerlingh Onnes发展了以后

这个理论上始终没有

得出一个很好的理论来

好长的时间里面没有太多进展

我们最后介绍安德森

关于对巴丁的评价的时候

还要提到很长时间没有突破

直到最后发现了超导的Isotope effect

同位素效应

这个对于超导理论的发展来讲

这是起了一个非常重要的作用

什么叫同位素效应

原子核不一样

原子是一样的

所以你这个晶体里头那个晶核上

占的那个离子

它有一点点不一样的是什么呢

它可以有不同的质量

就是同位素嘛它质量不同

它这个里面中子数目可以不一样

质子数一样中子数不一样

这个时候发现在超导不一样

所以这样大家恍然大悟

过去多少年没有突破为什么

就是因为大家

一直就是只研究电子

晶格我假设它存在

它提供一个这个周期场就行了

其他我研究都是电子的性质

所以得不到突破

现在告诉你不对

这个晶格上

占的那些个离子质量不一样

它的超导自然就不一样了

所以你要考虑超导理论

必须得考虑晶格

和电子的相互作用

在这里巴丁

就只是起了个先锋作用

巴丁和施里弗

他们得出的一个物理研究的结论

就是电子由于和晶格相互作用

连电子之间也有一个

有效的吸引相互作用

怎么理解呢

那是这样

我一个电子比如说在某一个地方

它的周围

都有哪个晶格上面的离子

那电子带负电

它当然要吸引那些个离子

所以它会把这个晶格来极化

固体物体里面讲polarize

其实就是这个意思

电子它要把周围的离子向它吸引

向它靠近

那这时候好啊在一个电子的周围

它这个离子的密度比远处的

没有电子的地方要大

于是第二个电子看见了

那个地方离子的密度大

那我当然要到那去了

我被吸引

所以这有一个电子

它通过把晶格极化

它可以引来第二个电子

所以这两个电子之间

就相当于有一个有效的吸引作用

这就是派斯和巴丁

他们当然这都是理论

这计算都有的

它这个相互作用怎么样计算

大家会怀疑了

电子和电子带都是带负电

它不应该排斥吗

那你怎么这有个

有效的吸引作用呢

那在超导理论里边

不考虑电子的库仑排斥

这个为什么

到时候下边有个专门的文章

这个文章是巴丁和派斯合作

得出来的结论

就是你考虑超导理论的时候

你甭管电子之间的库仑吸引

它这是有理论根据的

我们到时候

给大家看一下这篇文章

好 所以现在就有了下一步了

电子和电子之间

由于和晶格的相互作用

它也会有效的吸引力

那有效的吸引力可以导致什么呢

当然吸引力很强的话

它可以导致一个束缚态

当然电子（与）电子这个有效吸引没那么强

相当弱

到时候我们会看到的

所以它并不导致

这个它的组成束缚态

但是可以导致了一个很强的关联

这个关联叫做配对

叫做pairing

研究这个就是库珀

所以库珀有了这个成果

这巴丁就特别

把他请来一起来研究超导

所以下边那么我们就来

看库珀pairing

库珀pairing就形成一个库珀对

这个库珀对是怎么来的

我们现在考虑两个电子

这两个电子当然我们知道

温度相当低的时候

我这个电子的分布

在动量空间的分布

就是一个在Fermi Sphere里边

如果是自由电子的话

那就是干干脆脆的一个Fermi sea

里边它的分布是1

外边的分布是0

现在不同了

它有的相互作用了

电子和电子可以通过

晶格有个相互作用

所以这个时候就不是

一个严格的一个Fermi Sphere

而是在Fermi sea

外面有一个薄薄的一层

这一层当然也包括原来的

费米球的一个最外边的一层

就是最外边的一层电子

可以由于相互作用离开Fermi Sphere

到了它外面的一点点

所以原来这个Fermi Sphere里面一点点

和外面一点点形成一个薄层

在这个图上就是

蓝颜色的这个薄层

这个薄层里边

它就不是充满了这个电子

有一部分是空位

有一部分电子有一部分空位

因为它已经出去了一块了

有个薄层

这一层有多厚呢

可以用一个所谓的Debye frequency来表示

这个我们下面再说到

库珀研究的这个对它的对的状态

是什么样的

是这样的

我这个地方这个黑点

这代表一个电子

在它相对于这个Fermi Sphere的

相对对面的一点

就是这是一个直径

在这个直径的对面一点

这个圈圈是有个另外一个电子

这样一对

叫做一个库珀对的对的状态

它是一个pair state

那么好而且我这两个电子

这是库珀研究的结果了

它的自旋是相反的

所以这个状态

黑的叫做p动量σ自旋

这个对面的一点是-p-σ

那我统一的叫做一个μ

和一个μ（bar）

黑的状态就是μ

白的状态就是μ（bar）

为什么库珀要这样设想呢

就是因为实际上我们下面看到

它是个相互作用（英文）

巴丁所得到的

电子和电子之间的有效的

相互吸引是非常之弱的

因此不仅形不成束缚态

而且它这一对也是很脆弱的

这一对比如说

我这是在费米球外面这一对

这一对一发生散射

它就不在原来的位置了

它就会从原来比如这个黑的点

上面的这个黑的点

它一散射跑到下面这个黑点去了

下面的这个圈

就跑到上面这个圈去了

仍然是在费米球附近直径的两端

为什么

因为这个散射过程

有一个能量动量守恒的关系

本来它的总动量是0

现在散射以后总动量还是0

本来它的能量差不多

就是两倍的费米能量

现在仍然是那样

所以在这个蓝的圈

里边的一个对的状态

散射了

会到另外一个对的状态

比如说我到了p'和σ'

-p'-σ'

这样有什么好处呢

好处就在这

我在这个蓝圈里边

有很多个这样的对的状态

我就考虑一个对

就代表两个电子

我只考虑两个电子

它起初占据了这个蓝层里边的

一个库珀对的状态

它散射了 好 跑到另外一个

它再散射了又跑到另外一个

所以它不管怎么散射

这个孙悟空逃脱不了如来佛的手掌心

它老在这个里头

所以你本来这个一个库珀对

它只是变换状态而已

它最后它还是两个电子成对

所以这样的这个好处就在于

虽然它很脆弱

但是它有很多很多个

这个可能的状态

所以它散射完了

它还是库珀对状态

那么在这一层里有很多个库珀对

大家都在那散射来散射去

而大家都在这个蓝圈圈里面

所以很多个库珀对

它就可以形成重要的物理效应

所以这个库珀对有这样一个状态

它是有很大的优点

所以库珀对的定义是什么

库珀对它实际上就是一个对

两个电子

但是这两个电子所能够处的状态

是用这个来代表

它的波函数叫做ψc

库珀这是个库珀对

你看它是在一个裸的费米面上的

一个裸的费米球上

|0>上头

产生两个电子

一个是pσ我们叫做μ

一个是-p-σ我们叫做μ（bar）

这个μ和μ（bar）

可以是这个在这个蓝圈圈里面的

任何一个状态

这个p是可以求和的

这个地方是对p求和

就是我把所有的这些状态

都把它考虑进来

一个库珀对两个电子

可以处在这么一系列的状态上头

它的动量和能量都是确定的

所以这是个非常巧的办法

因此这个时候这两个电子

它之间有一个有效的吸引力v

这个v就是（英文）

巴丁得出来的那个有效的这个相互吸引力

它是由于升子也就是晶格振动了

所媒介的

这个时候的Hamiltonian

写出来就很简单了

就是这个样子

你看第一项代表单电子项

我有多少个电子我都给你算进来

它的电子在pσ状态上

c^\dagger c代表它的数目

εp代表它的能量

所以这是单粒子能量对于pσ求和

后面这项是重要的

这就是有效吸引力的这一项

有效吸引相互作用这一项

库珀假定你在这个蓝圈圈里边

这个当然就是很受局限的

这个时候它任意的一对

它的这个相互作用

就和你的具体的pσ没关系

就是一个v

所以这里边你看c^\dagger c^\dagger cc

这个地方是μ

后面这两项这个是pσ是μ

这个就是μ（bar）-p-σ

前面这两项这个经过了散射了

从上面那个黑点

跑到下面那个黑点去了

所以它的动量就变了

不是原来的p了

而是p+q

要是p+q的这个大小

也还是费米球的半径的大小

所以就是上面那黑点

跑到下面这黑点去了

所以这就是c^\dagger μ'

c^\dagger μ'（bar）

c^\dagger μ'（bar）cμ

是符合我们原来规定的

那样的一个次序

这个就是等于

把那个二次量子化里面

两个粒子相互作用那个写法

上一次我们强调过了

它就是应该遵守这个次序

而且玻色子也是应用

当然在这我们用不到玻色子

不过你这么一写最简单的

那么用这一个费曼图画出来

大家可以看的清楚

我入射了两个粒子

一个μ一个μ（bar）

这就是代表比如说

上边的那个黑点

和下面那个圈圈

这是一个pair state

经过了散射

那就是经过了一个通过我的晶格

有了相互作用v

这个地方就代表传递一个动量q

那就使得你原来的动量p

吃了一个动量q

变了p+q了

这个就是μ'

而原来这个μ（bar）

那么放了一个q

它就变成了μ（bar）'了

保持能量动量守恒

这个就是代表这个第二项

就是这么一个物理意义

好了 下面那就要来计算一下

这样的Hamiltonian

在我的这个库珀pair state

它的平均值是什么

这就要算它的平均值吗

这个平均值算出来

想来就是我这库珀对的能量E

就是这个东西

还要补充一下

刚才这有个二分之一

因为这种写法你有个double counting

所以这有个二分之一

而下面你算这个平均的时候

上面有一个2

因为它是两个电子

这写的是一个电子的

这个它的effective Hamiltonian

一个电子

它加后面这个

考虑了double counting的二分之一

所以在这这是两个电子

所以这是个2

单粒子前面有个2

后面那个double counting

这个二分之一不要了

所以算就是要算的是这个东西

好 下面我们说用什么计算

计算是用想办法让这个

刚才那个能量要是最小化

最小化你当然就用变分法了

变分法做最小化的话

你变分对谁变分呢

就是库珀波函数里边

不是有个a of p吗

就是对a这个（star）来变分

我现在回来还请大家看这个式子

这个式子里面你看这个有

这就是a（star）a

这个里面有a（star）

就是对于a（star）来做变分

那这个时候

我把这个e对a（star）做变分

要求它是最小

不过我们现在有一个条件

就是一个约束条件

就是在这个库珀对波函数里边

这个ap要满足个什么条件

是|ap|^2要等于1

这是一个归一化条件

所以我在做变分法的时候

是作为一个条件变分

所以这个有个Lagrange multiplier

把这个\sum over |a(p)|^2-1

把它作为Lagrange multiplier

前面有一个这个multiplier

作为那样一项

所以这样一来

我在这我就不仔细推导了

在我的课件里面对于这个问题

专门有一个附件

就是关于超导的附件

那个里面有推导

大家可以看一看推导的这个手续

那就得出结果

请大家参考我那个的Supplimentary

变分得出来的结果就是这一项

而这项是对于我所有的

这个不同的库珀对里的状态求和

所以我现在把它

可以变成一个积分

从求和到积分

你要有一个重要的考虑

就是你要把能级密度

态密度要放进来

我们现在这个态密度

就是那个蓝圈圈的态密度

蓝圈圈里面的态密度

就可以用Fermi surface

上面的态密度来近似

所以你看那个地方gx

就用g of ef 来代表了

所以就做这样一个积分

最后得出来的库珀对的能量

就表现在这里

大家一看非常漂亮

为什么

第一项这就是两倍的ef

这就是代表你库珀对

不是两电子吗

你这两个电子

都在那个蓝圈圈里面

所以它就是在Fermi surface上头

这就是两倍的这个Fermi能量

但是它不仅仅是如此

它有个相互吸引力

有了相互吸引

请大家看这有个负号

负号就代表吸引的potential

现在把这个吸引力多强算出来

这个就是库珀的贡献

这个ωq就是代表

那个蓝圈圈的那个厚度

蓝圈圈的厚度就是两倍的这个ωq

ωq叫做Debye frequency

后面是（英文）

这有个v

v就代表那个相互作用

相互吸引的强度

所以你看这个v越大

v要越大那这个分数就越小

这是个exponential负的

所以就越大

这个吸引力越大

那总的来讲这一项就越大

负号就是它负的越多

它这个结合能越大

所以后面这一项

就是库珀对的结合能

每一对贡献一个

这个能量多大

极小

10的负4 eV

那这个小的厉害了

你别着急

这是一对

我那个蓝圈圈里面

有宏观量的对

比如说10的8次方那么多的对

那这个能量就不小了

所以超导是一个很robust

很南方话叫结实

很结实的这样一个现象

那为什么呢

就是因为它有很多很多的库珀对

每一个库珀对的贡献不大

宏观量的库珀对贡献就相当大了

因此这就是库珀

对于超导体的第一个贡献

当然以后那个BCS那个理论

是他们三个人共同做的

好 我们在这要告一段落

下边就要引进BCS的这个理论了