S9.4 Quantum anomalous Hall effect(2)在线视频

好 我们下面就来具体的来看

在K1

K2不同的地方

它会有什么性质

这还是原来Semenoff的工作

我们先看K1 在K1附近

那个vector小k 我把它写成小k这是一般的动量和K1

这是个固定的点

我不是说在K1附近吗？

所以这个k的值呢

k减去K1就是一个很小的vector

我叫做q q的大小是小的

所以这个时候我原来要用的cos k dot a

对这个ai这个a求和

或者是sin

原来在exponential 现在你这个q小了就简单了

所以下边就都是qx qy component出来

在这儿我就不仔细从前面具体的数值

算了就告诉了大家一算就得出来这样两个值

所以这个非对角元上面东西就简化了

本来是个sum一大堆

现在你看这个q+

q+就是qx + i qy

左下角是q-

就是qx - i qy 别的一样

这是在K1附近

那么在K2附近呢 差不多

是吧 就是这个前面的符号不一样

然后右上角是q-

左下角是q+

别的都一样

好 我们现在就来看

它在空间反演和时间反射的情况底下

它的性质有什么不同

这个还得回去看一下

好 我们来看这个布里渊区

现在我来做空间反演 空间反演的定义

就是kx的方向

我给它改号

ky不改号

这个结果是什么呢

就是K1变成了K2了

K2变成了K1了

也就是这两组不等价的

这两组它互相交换了 A变成B

B变成A了 这是相当于空间说的

在布里渊区 就是两个不等价的组

它要交换 所以说我就是K1变成K2

我们做了空间反演

就是K1变成K2

在这里边要把q反号 q一反号

当然这个负号就变正号了 对吧

那就变成右边的正号

而且这个地方是qx + i qy 你一反号

反了不说

然后q就是变成qx - i qy了

所以就变到这边

也就是说我这个h1就变成了h2了

就是你来个空间反演呢

就从1变到2

它这两个Hamiltonian还是相等的

就是新的Hamiltonian

等于老的Hamiltonian

也就是说这是两个不同的Hamiltonian

它的物理是一样的

但是实际上你算一算也知道了

你在对角化的时候

你看你这两个乘起来两个负号

这两个正号

q+ q-等于q- q+

它本来就一样是吧

这个是合道理的

也就是说两个不同的Hamiltonian

实际上你经过

空间反演一个变到另外一个

它的Hamiltonian一样 谱是一样的

这就是说它是1变成了2

2变成了1

但是它的谱一样

时间反射的话也是这儿有一个-q你前后

用\sigma 2来夹一下的话

你发现它是不变

就是说我这个体系对时间反演是不变的

这个是个非常重要的一点

这个跟下面的性质有很大的关系

我们记住了 好

另外也可以证明它们对于电荷共轭它们都是不变的

就是说你用\sigm 3夹一下的话

另外你取它Hermitian conjugate

结果它前面变个号

所以正好粒子变成反粒子

下面呢 我说anomaly前面没有仔细讲

所以在这只能一说

现在我把我的体系跟规范场给它耦合起来

而且实际上他们讨论的是SU(2)

就是非阿贝尔规范场

这个时候就出现一个真空的感应的一个出现流了

出现这个流呢 很有意思

就是在K1和K2附近

它一个是正号

一个是负号

本来你根据任何一点 六点上都有会有真空

的感应的反常的真空流

但是你要算它总的物理效应

你六个点都有贡献

三个正号三个负号抵消掉了

所以这个反常没了

本来2+1维有反常

现在因为出现一个叫做species doubet

你看两个不同的inequivalent的点给出同样的谱

所以这个叫做species doubet 我一个本来是一个

现在它变成两种了

所以留了两种

所以它就会不出现反常了

这个是Semenoff最早提出来的

species doubet

好 下面我们来看

就用Semenoff这个结果我来算一算

现在二维的蜂窝型的这样晶体它会不会

给出霍尔效应呢

好 我们来看 现在是考虑K2这一点

刚才Semenoff要考虑的是K1

下面我们这无所谓考虑

你算K2

然后给出K1就完了

考虑K2的这一点 是吧

它的Hamiltonian你把它写出来

写出来以后

好 所以说刚才其实我们已经说过

你把它一对角化得出来

下面一个能带上面一个能带它的能量一正一负

我们说过

我每个格点上一个原子不考虑自旋

我就把下面的能带 就是价带全填满了

所以说我下面讨论基态

我就讨论这个价带性质

我要求价带的波函数

但实际就是在上面做对角化的时候

你求这个spinor就是了 求出来的

这个\psi下边有个minus

上面有一个2 2代表什么 代表我在K2附近

是这样 下面的minus代表我是算的是

价带 能量为负的带

你这一算就得出来它

这就是我得的波函数

算波函数干嘛

你要想算

这个Hall conductance 我们还用原来TKNN的办法

TKNN就是Thouless Kohmoto Nightingale den Nijs

那它是算什么

首先算Berry connection 谁是Berry connection

就是这个东西 我上面必须算出波函数了

谁的平均值呢 -i gradient sub k 这个得出来的

就是Berry connection 上面的2就代表着K2附近

我现在呢 在K2附近

我是用q来代表小的那个和K2的偏离

就在这个附近

有了Berry connection

我就可以求出这个Berry curvature

我求它的curl就是了 这个就是把Berry curvature算出来

就是K2附近的Berry curvature就是这么大

然后有了\Omega 2 q1那个算出来的

正好是负的这个这么大

好了 有了Berry curvature了

你就可以算conductance了

为什么 因为conductance它是一个常数

实际上就是e square over 2\pi h

再乘A的closed integral

就是Berry connection的沿着布里渊区的周围

算一个封闭的积分

那你根据斯托克斯定理

那就等于curl A的面积积分

curl A就是Berry curvature 对吧

我们算出来的是这个 那你甭算了

你这三个点得的是正的这么多

三个点是负的这么多

当然这个积分积出来是- +\pi

三个都是负\pi

三个是正\pi

你加起来当然是0

所以说没有Hall conductance

为什么呢 因为\sigma xy是在时间反演的时候

时间反演是odd 它是变号

为什么呢 你想根据Hall conductance的定义

它是一个电压被一个电流除

或者一个电场被电流密度除

这个电场是在y方向的

对吧 电流是在x方向的 好是这两个是互相垂直的

你做一个时间反演

做一个时间反演

电压不变号

它不理你时间反演

但是电流要变号

你电压不变

电流变了

你conductance当然就变号了

所以我的Hall conductance \sigma xy它对于

时间反演是变号的

而我们体系刚才说了证明了它是时间反演

是不变的

你在一个时间反演不变

体系里边根本就不应该有这样的物理量

而\sigma xy正好是这样的物理量

所以它一定等于0

所以我们知道为什么这样的样品它没有

Hall conductance

就是因为它满足时间反演

所以过了4年以后

Haldane就给出正确的结论

不过在这儿我刚才说这个结论当然没有错误

但是我偷点懒在这

我必须把功课给补上

好 原来说过Hall conductance是什么呢

就是一个常数e square over 2\pi h

乘上一个contour integral

这contour integral怎么做的

就是沿着Brillouin zone的边缘

沿着这个六边形走一圈

积分积的是谁呢 积的是connection

好 这个根据Stocks定理

它呢就等于curl Berry connection

这就是Berry curvature

它的这个面积分 什么面呢

当然就是我的Brillouin zone围起来这个面

就是应该算是算这个

可是真正不这么算

怎么算

我们知道这个Berry curvature只在这六个点顶点附近

它的值才是明显的

一会我给大家看

就这Berry curvature 它的q square在分母上

这样东西你能算它的面积分

它只有在这六个顶点附近

它的值才比较明显

这中间儿它的值都是0

所以我算一点的时候

实际上我应该算什么

比如说我从这地方开始

我会沿着一个圆算到这个地方

然后回来 就是一个扇子型的面积就够了

对吧 可是我用不着算扇子的面积

我就算这个圆面积就是了

那你说不对

你不是个扇子吗 没问题

我这个扇子正好等于圆的三分之一

对不对所以我算来一个点

我不算扇子

我算一个圆

就等于我把这一点和这一点和这一点都算了

好 我说了这个道理

下面给大家看

Berry curvature在这里

你看这不是有个q square吗

也就是说q要一大

也就是你这个圆离开圆心一远

它这个值很小

也就是说物理只是由那个点附近才决定的

对吧 所以说我这就给了一个node

就是说我在算这个Berry curvature的时候

这是沿着布里渊区的这个边界

那么你要到时候算到surface integral的时候

你就应该算那个扇形的

但是我现在的干脆我就算圆 算一个圆就

等于算三个扇子

就把所谓不等价的点就都算到

于是呢 这个node

就是说实际上算你就直接算一个圆就完了

那个积分也很好算

这个是为了下面说的

因为上面你甭算你一个正一负

你不算他就它俩就消掉了

对吧 下面是要算

下面这个就是Haldane的工作

Haldane的工作是什么呢

就是说他指导思想很明确

为什么Semenoff得不出Hall conductance

因为它的体系是时间反演不变的

好 我现在就想办法破掉它

怎么破

当然你一加磁场就破了

你加一个整个的强磁场 那不就成

Hall effect了 你不就得不到这个anomalous的结果

所以呢 这个Haldane想了一个巧办法

他引进除了原来相邻的隔点之间有hopping对吧

对吧 你从黑点往白点可以有hopping

白点往黑点可以有hopping

现在她引进了同样点的之间的hopping

比如说你看从白点通过这个到上面这个白点

这个也可以 这个也可以

然后反过来也可以

但是有个的区别是什么

他这个hopping amplitude是一个复数

你从这点到这一点

他有个相角e i\phi 你回来的那就是e -i\phi 对吧

你就用这样的东西 用了这个东西

他有了这个项

你的Hamiltonian里的这个

叫做next-nearest neighbor hopping

就是nnn 有了这种hopping你就破掉了你的

时间反演对称性

好 所以现在我们回来就按这个Haldane的做法做

Haldane原来他说你怎么实现呢 实验物理学家

就说你怎么能实现这种

他就说好办

我加local flux 就是我这个不是这样的晶体吗

我在这个里边加个负的\phi

这邻近的三个加正的\phi

你别看这是3对1

每一个负\phi它有三个正\phi邻居

每一个正\phi它有三个负\phi邻居

所以最后你加进去的场 locally有场globally都消掉了 没有

globally场是零

而且它可以加的很弱

Haldane是老老实实地按照加了场 我加了弱场

然后我有一个induced charge

然后怎么样怎么样 那样的算

这样算在物理上看比较曲了拐弯

他用一个热力学的公式来求Hall conductance

我们还是用TKNN的办法来算

所以你甭管他这个

你就只知道将来我用不着你去证明它是

但你证明可以发现它破了这个时间反演

你真正结果

你看就知道它破的时间反演

好 所以说我们就不去管他那个磁场了

Haldane引进来的一个t \prime乘上e +- i\phi

引进这个东西

它的这个Hamiltonian我们就把它写出来

它的Hamiltonian就是这个样子 这个就都写全了

除了有nearest neighbor hopping以外

又有一个next-nearest neighbor hopping

而且是个复数

t1 他用的符号不大一样

t1是代表nearest neighbor hopping那个振幅

t2就代表next-nearest neighbor

hopping的正负

\phi就代表那个相角

你去和回这个\phi是要变号的

好 他这个地方这个m就是我们原来的\Delta

就是两个不同的格子

它不同的原子能量不一样

我们原来用\Delta来代表

所以这个里边这就是Haldane的

现在的这个Hamiltonian

它这里边你看

原来的质量项是从\Delta来的

现在他这儿就多了这么一个东西

它这个t2

我们的原来说的t \prime 这个地方的t \prime

就是next-nearest neighbor hopping的振幅

他叫t2 有两个来源

一个是m 他的m就是我们原来的\Delta

我们原来那个\Delta

是破坏phase reversal 因为什么呢 A到变B了

B变A了嘛

所以它是破坏P的

但是它是T守恒的

这个时候他这个mass term 就是那个\Delta 是吧

\Delta当然就是一个\Delta

我们现在你看这个地方不同了

多出这么一项来

这一项它是破坏时间反演的

这个我们将来你就看出来

K1和K2那个地方得出来的mass

它会差符号

在这我先说一说你说明这两个不一样的来源

好 下面我们就具体来做 具体来做的时候就偷个懒

我让\Delta是0

因为它并不影响Haldane

加进来这个next-nearest neighbor hopping那一项带来这个的贡献

这个贡献在这里

在这里呀你看这出来个

k dot b b1 b2 b3

这是新的东西

不过有原来我的坐标都给了

所以你一算你就可以算出来就是K1 K2

两个不一样的东西

你就可以算出来K1和

K2的 K1的这个值

K2的就是负的这个值

所以K1是负的这样的个数

K2就是正的这个数

所以这样一来的话

好了原来那个地方是\Delta

\Delta那对于K1 K2

它一个是上面是一个正号下面是一个负号

那是由\sigma 3 是吧

由那个来 前面一个\Delta

这有个\sigma 3 所以以才有一个正号一个负号

现在这个东西呀 这个是next-nearest neighbor hopping

这就是Haldane新加的

你看新加的这个后边这个东西对K1 K2

它是不同的

你这有个\sigma 3

你让它变号

它在这儿又再给你变一次

所以结果K1 K2的给出来

那两个\Oemga

就是Berry curvature就一样了

它就消不掉了

所以你一算Hall conductance 本来还挺别扭

每一个都是e square over 2h 你说这是

出了分数电荷

没那个事儿

你在这实际上是两个不等价的这个顶点的贡献

所以你看就把这个Hall conductance给得出来了

因此我们就是说Haldane的聪明

就在于他破坏了时间反演

破坏了时间反演

就使得本来它是个time odd

time odd现在你本来破坏了

我当然可以不给你了

所以这样就得出来

这就是我们直接很简单的

就算出来

Haldane他是算起来比较麻烦

他用了一个热力学公式

它要算我加弱磁场以后

我在我的样品上各个不同的地方会有和场

有关的感应电荷

他文章确实很难看懂

恐怕他给的也只是结果

他就先算那个电荷 他这个\Delta

他不去掉 \Delta不去掉的话

为什么就麻烦了

请大家看他在这 看这个地方

这个m就是\Delta

后面有个t2

你怎么想办法把这俩变的大小相等

方向相反

你得调参数 各种参数都得调

你调参数的时候你得留神

你别让那个Fermi energy跑到这个你的gap外边去

你跑到gap外边去的话

那就不行

一定得让Fermi level保持在gap里头

还得调参数

把这两个调的大小相等方向相反

然后算出感应电荷密度来 感应电荷密度

和场有关系

他用的热力学公式呢 是把这个电荷密度对于那个场

来做一个偏导

就求出Hall conductance来

我就在这当然就不按照他那个讲

我们在这很简单的就把这个conductance得出来了

对吧

好 最后在这说一下

Haldane多给了一个东西是什么

就是相图

这个相图上面画的就是什么时候它会给出

Hall conductance来 纵坐标

他这m就是我们的\Delta \Delta over t \prime

他是t2 这就是两个不同的子格子

它能量不一样

一个\Delta 一个负\Delta

就是那个\Delta

这个是next-nearest neighbor hopping amplitude

横坐标就是那个phase \phi

它的nnn tunneling过去和回来\phi是变号的

所以下面你看\phi从0到+\pi到-\pi

你\phi你用设了不同的正负值

它将来这个Hall conductance这个方向就不一样

就是一个正的一个负的 他得出来的

就在这两个曲线里边是有这个反常霍尔效应的

在外面呢就没有

那是个normal conductor

所以这个是我们的一个附加的知识

在原来没有给相图 在这儿就把这个Haldane的

相图给出来了

所以Haldane这个工作叫做anomalous quantum Hall

最后他使加入了这样一个

next-nearest neighbor hopping

以后破了time reversal

也使得原来那个Semenoff发现的那个species doublet没有了

就是反常的真空电流就消不掉了

所以Haldane加加了这个东西以后

就出现了2+1维的这个anomaly

所以它叫做anomalous quantum Hall effect 就是说在

这个情况底下有2+1维的anomaly

也就是说有真空的感应电流

有anomaly

所以才叫做这个名字

以后我们会向大家介绍清华大学的薛其坤组

做的anomalous quantum Hall实验