S3.2 The evaluation of path integral在线视频

下面我们就来讲

什么是路径积分

路径积分里面算的东西

实际上就是propagator

大家看propagator是什么呢

就是我的Time development operator

在R表示里面matrix element

原来叫做r r'

现在叫做q q'

这个就是propagator

它在量子力学里

另外一个名字叫做transition amplitude

你看原来是在qt状态

新的状态是q't'

它的scalar product就是看

这样一个transition

它的probabiltiy amplitude是多少

就是这么大 这么大

它的模的平方就是transition probability

好了 要算的其实就是这个

它在这个里面path integral

它的名字就叫做transition amplitude

另外它还有个名字

在场论里面叫做Generating functional

因为从这 从它开始

你就可以把所有的波函数

都给它求出来

所以它叫成一个生成泛函

有了生成泛函

你就可以生成你要的很多transition amplitude

那么到了统计物理里边

我们下面要讲到

它就变成了density matrix

实际上是量子力学里面的密度矩阵

所以你看这些东西

在量子力学里面

实际上都是一回事情

都是串起来的就是

好 我们下面要做的

就是要把我们的这个transition amplitude

也就是刚才那一节讲的propagator

如何把它用一个路径积分

表示出来

那下面呢我们就来做这件事情

我们假定起始的时间t

我这个粒子在q这个地方

我的末态到了时间t'

我的粒子就到了q'

我现在呢我就把

这整个的这个过程的时间过程

从t到t'

给它分成很多小的等分

等分的大小是δt

分成了很多小的等分

我现在看一个中间的

某一个普遍的这么一个小段

这小段长度δt

起始是q_j-1

最后是q_j

我有多少个中间的q的这个点呢

我假如分成了N个等分

就是我有δt N个等分的话

我这个q中间的点就是

j减1这么多个

就到这就完了

所以我就把它分成了这么多份

然后再来看下边怎么计算

计算这个就是说

我要用这个完全完备条件

我要算的是这个transition amplitude

也就是原来的propagator

我现在把中间的这个t'-t

分成了很多等分

所以中间这个地方

实际上是好多个exp-H

这个时间间隔就变了δt

是很小的一个时间间隔

over H(bar）

然后我这很多个这个小的

δt这么多因子中间

每一个中间我都给它塞一个1进去

所以我就变成了我有

这个N个δt这个间隔

我就有N个这样的matrix element

刚才是t'-t

现在每一个都是δt了

间隔呢最左边的q

起始状态是q

那么最后的状态是q'

在最左边

中间我塞了好多中间进去

你看这有q1 这也有个q1

然后最后的q'

离得最近的是qn-1

这还有个qn-1

然后qn-2等等

就分了好多小括弧

为什么分了好多括弧

δt很小

我就可以把这个exponential

肩膀上的这个东西

我就一展开就下来

我取到一阶为止

所以这个exponential是1

减去这个东西

我就中间都是两边有q夹在这里

这个二阶以上的我不要了

所以说我现在把Hamiltonian写开

它一项是动能

还有一项是这个势能

然后我下边要用的

这个就是代表平面波

你看p状态在q2的

全权代表就是exp(ipq_2 /hbar)

这个就是这个全权代表的complex conjugate

p在前边

所以这个地方exponential和原来有差号

好 那我现在就选一个来算

一个会算我多个就会算

这是一个

从q1到q2中间是H

H有两项一个是动能 写在这

势能这个v(q)

我把它写成一个对称的形式

q现在的q就是在这个q2和q1中间

所以我就把它写成q1+q2

小的 这是大的

中间加起来被2除

写成一个对称的形式

因为我这个q1 q2距离非常小

所以它的平均值

当然也就等于两边 没有关系的

后面这还有一个δ(q1-q2)

这是因为我算的话这个v

我这个积分中间有一个

要对q积分

对q积分这个平面波对q的积分

当然就是这个q1-q2这是个δ

这个地方对q积分

这个地方我对q不好处理

所以就写在这里

要想处理它怎么办呢

我还用完备条件

我就是在p表示里面

p表示的它的本征态

就是这个vector p

这是projection operator

我对于dp积分

它是完备条件应该等于1

我这里这个normalization下面是2π

就是一维的平面波它的

这个前面的factor是1/sqrt(2π)

所以这个地方完备条件

这有一个2π

好 我这个不会算 为什么

这后面是个δ函数

你这个就挺麻烦的

我怎么办呢

我在这个地方

我塞一个1进去

那用完备条件就变成了它

这个时候把这个算符

作用到左边来

我就会算了

因为左边正是它的本征函数

这个地方本来我这个p

大家注意我戴着帽子

这是算符是吧 戴帽子

现在把它也往左边一作用

就不戴帽子

就得出这是个C数了

得出一个C数来了

好 所以呢你看

那这个时候

我再把右边的这个加以处理

原来是个δ函数

δ函数我把它用这个

它的定义

用在P表示里面把它写出来

这个地方就是一个

把这个δ函数写出这个来

那么这个左边

我这有一个q2p

那后面呢还有一个q1

所以左边这个地方

你把这个q2p

这有一个pq1

你用平面波的定义写出来

就是这个

其目的就是我这

前后这两个我好把它并起来

可以把这个后面这个东西

看成就是|p> |q2>的scalar product

这个scalar product

因为原来戴着帽子

我一作用以后它不戴帽子了

变成C数了

所以剩下的一个

那这就是平面波的complex conjugate

所以你就可以把它写成这样

这块你看

原来戴帽子现在不戴帽子了

我做这些事的用处

就是我把原来的量子力学里边

算符所有戴帽子

现在都变成C数 都可以乘了

这个v它本身是q的函数

那么在Schroedinger方法里面

它当然是

也就是乘一乘就是了

所以呢有了这个

那现在我就没有算符了

我就把刚才量子力学的算符

算出来

所以呢现在我就可以把

刚才计算的结果写成这个样子

这个前面的一切照常

后面就是我刚才算的这个结果

刚才算的这个结果

我这是有个δt

是个很小的一个数

我前面还有个i/h

这个东西前面有个1 1减去这个

1减去这个

本来是从一个exponential展开

我取到一阶项 后边扔了

我现在再把它再抬回去

又抬回exponential上边

这个当然是相等的

这个是相等的

因为我二阶项以上是不要的

δt是很小的

原来展开把它从肩膀上拿下来

现在又扔上去

你干嘛这么折腾啊

不折腾

现在这个和原来不一样

原来那个H是戴帽子的

现在的H不戴帽子了

这个里面这个p

本身它就是一个C数了

所以 好 你现在这个地方

你把它写齐了

我刚才整个的这个matrix element

我本来是切了好多段

切了好多段

中间有好多的这个dq

现在我又插了好多completeness

我有了dp

所以这又有dp又有dq

dp在这里dq在这里

好了 现在我可以把这个dp

积分积掉了

因为p对p的依赖

我刚才想办法

把它算成了C数

它就变得很简单了

现在哪有p呢

大家注意这里有一个p平方

这里有一个p平方

在这个平面波里边有一个p

这是p的2次方

这是p的1次方

你现在在这看吧

就是exponential上边

exponential上边这有个p的1次方

这个里面

H里面有p的2次方

怎么算呢

不要紧

这有个高斯积分的公式你看

exponential上面有这个X的2次方

系数是a

有x的1次方系数是b

这个公式给你了

你现在这个dp在这不要紧

我一算就把它算出来

就得这个

所以你按照这个公式

把刚才那个积分的结果写出来

结果把p积分积掉

结果就是这个

结果就是这个以后那我们来看

把刚才那个给它凑全

我算的这个matrix element

这是算了一小段

一小段呢我只对dp积分

我要整个算起来

那式子在这

从q算到q'

所以这又对dp积分又对dq积分

现在我把dp的积分算出来了

所以我原来的这个propagator

现在我只对于dq积分

其他的

就是把刚才积分的结果

写在这就是了

写在这以后

大家就看这个东西咱们认识

它是什么呢

你看exponential上边

我们先看这个上边

这个上面是两项

这两项前面这个m/2

后边这个

正好就是那个v平方

你看这是两个相邻的q的差

相邻很近的这个q的差

所以这就是那个δp

下边δt

δp被δt除

这就是速度

这是平方

所以这就是mv^2/2平方

所以它是什么

它就是动能t

后面是减去v

在分析力学里面大家熟悉

t减去v是什么呢

就是Lagrangian在这

Lagrangian就是t减去v

而有了Lagrangian

在分析力学里面

有一个重要的量叫做action作用量

action S就是integral Ldt

L就是p和p dot的函数

所以在这

我们就把我们的路径积分

也就是propagator

也就算出来了

算出来了

前面呢有这么一个因子

这个因子

大家看这有个δt

将来我要让δ趋于0

大家说坏了

你是不是一大堆无限大吗

Feynman的做法就是说让它带着

带着为什么呢

下边还行

我们具体来做就知道

下面有Feynman一句话

所以这我们先不要怕

这有一个好多个无限大的这个

前面的因子

所以这呢有好多个因子

刚才说过是吧

我们有多少个段呢

有N段

这个因子上面是二分之一

所以这就是二分之n

我都把它写到前头了

然后我将来要limit

这个n要等于无限大

n一等于无限大

δt要逼近于0

现在放那了不管

积分刚才把p的积分积掉

所以这里剩的是q的积分

然后就是e的上边

这有δt

然后这个后面就是Lagrangian

Lagrangian δt做一个无穷多项的积分

这就是一个求和

就变成了一个积分了

所以这就是积分

dt从t积到t'

这个后面这就是L

Ldp那其实就是这个

得到了这个

Ldp积分就是action S

最后算出来

这个就是我们的路径积分

大家说你这里有毛病

这个毛病在哪

前面这个n是个无限大的一个因子

这块Feynman

在它的路径积分文章

第33页里面有一句话

就是说告诉你

你呆到那吧 我没法办

Feynman承认他没法办

他说的话在这

Unfortunately to define such

a normalizing factor seems

to be a difficult problem

and we do not know how to do

it in general terms

Feynman承认了我拿它没办法

But we do know how

to give the definition

for all situations which so far

seem to have practical value

就是你在量子力学做的

你要做有实际意义的那些问题

我都有办法

这个待在那块

最后你还能把结果算出来

当然我们下面就会举例子

然后也可以这个

通过一些实际的例子来看

下面最后就要说到

为什么叫路径积分了

大家注意我们的

刚才路径积分的表达式

这个地方有这个对于

好多个dq的积分

就是实际上在这

你看这就是dq1 dq2

一直到dq1

这个是n减1个维的积分

所以是个多维的积分

所以这里面dq

这是一个product

我后来简化的把它写成方括弧dq

就代表实际上这是一个

很多维的一个积分

很多维的积分是对这个q积分

q代表什么

就代表

我这个路径中间的某一点

我把那个路径切了好多份

其中有某一份

最普遍的一份

比如说有一个端点叫做q

这就是这个q的意思

我现在对q来积分

那我在图上看代表什么

我这是t对吧

我中间有一小段叫做δt

纵坐标画的就是q

这个代表的就是一个轨道

那么我分的话dp

左边是qi比如说

那么右边就是qi+1

实际上意味着

我这个粒子有一个轨道

在t1这个时间它在q1这个地方

然后到了t2这个时间

它到了q2这个地方

它中间实际上有个轨道

我随便画一个轨道

这一旦叫做qt和q't'

这是一样的

好 积分是对谁积的呀

是对q积啊

你实际上是在我这个地方

这个垂直线上积分

可是呢你q在变

我就从这一个轨道

就变一个相邻的轨道

这边也有个相邻的轨道

再有一个相邻的轨道

还有一个相邻的轨道

我有一个限制

就是Boundary Condition

我起始和终结的这个条件是固定

起始的时间是t

终结的时间是t'

起始的位置在q

终结的位置在q'

也就是说我考虑了一个轨道

第二个轨道 第三个轨道

很多很多轨道

具有共同的始点和终点的

很多很多轨道

我在这个地方对于

所有的竖着的

垂直的这些q积分呢

那么就等于说

我把这所有的轨道都加起来了

所以呢我刚才得到的

那个积分呢

实际上就代表很多很多的

路径求和

所以说The transition

amplitude is now expressed

in terms of a sum over all

possible histories from q,t

to q,t, weighted by phase

factors depending on the

action S of the histories

我先回头让大家看那个式子

然后和这个图来对照

你看我得的是这个

现在写的

我这是对于所有的q来积分

实际上我写的

那就是说我这个地方

是integral Ldt

所以这个地方就是i/hbar乘上S

i后面一个东西不就是phase吗

exp(i/hbar S)

这个S/hbar是代表phase

这是那个相位

Exp(is)不就是cos(S)+1i*sin(S)吗

所以这就是那个phase

S/hbar就是phase

你积分q的时候你要注意

你实际上就是

好多好多个这个轨道

刚才说过

垂直线上的积分就像那好多个

路径相加

每一个路径有它的权重函数

它的权重函数就是exp(iS)

就是这个S 这个phase

每一个轨道有它这个phase

作为权重函数你算了

然后有其他的

你再算其他的这些轨道

你把这些轨道都加起来

就是我要算的这个propagator

或者transition amplitude

它的表达式

就是好多轨道的求和

所以叫做path integral

就是path integral

就是加了好多好多个轨道

因此就是加了好多好多个轨道

现在说一点点历史

现在就把path integral

路径积分是什么

就是无穷个轨道的和讲完了

历史上为什么Feynman在这个地方

用这个Lagrangian

他就能得到这个action作为phase

就是S/hbar

就是这个

这个就是这个phase

这是因为他原来我一开始说的

和韦勒研究这个所谓的radiation

问题的时候

研究这个电子电子相互作用

我要有超前

我要用推迟

有这些东西的时候

你要是用Lagrangian

你比较好定义这个东西

所以呢他就在这块很自然的

用了原来他那轨道的概念

原来他是电子和电子

大家运动有好多不同的轨道

他脑袋有轨道的概念

所以在这他就等于用到

这个transition amplitude上面的时候

他就把这些轨道和这些Lagrangian积分

这就是action

就把这些东西用到他的

路径积分里

这还是很自然的

然后 好

把这个路径积分的物理意义

说一下

In Feynmans terms

the evolution of any quantum

system follows from a sum

of probability amplitudes over

all possible trajectories

each amplitude being simply

exp where S is the classical

action for the trajectory

这句话说的

在Feynmans的语言里边

任何一个量子体系

它从一个已知的状态

演化到一个最后的状态

它这个演化就等于说

你把好多不同的可能的轨道

都得给它加起来

每一个轨道的权重函数

就是这个地方写的

exp(iS/hbar)

而这个S就是classical action

你这个轨道classical action

好 下面再说

你下面要计算这个

path integeral的时候碰到的

This suggests in effect

that a quantum system

differs from its classical

analogue because it explores

all possible trajectories

in space time at once

这句话说的

你现在做的是量子力学

它和经典不一样

经典呢从一个状态到一个状态

只有一个经典轨道

你现在把不同的轨道加起来

这个里面用的这个S作为权重

s就是经典的那个作用量

那么这样

将来下面我们再看

就说你量子和经典不同

经典只有一个轨道

你量子就有很多很多的轨道

我们看下面一句话

One cannot as usual say more

about which trajectory

the system actually follows

except in the classical limit

where classical trajectories

emerge as stationary

trajectories for which the

action S varies slowly

causing the amplitudes for

adjacent paths to add

coherently rather than

cancelling out

好 下面就是Feynmans来讲

我的量子和经典有什么区别

在量子里啊

你就不能再说一个轨道

因为它

现在你有很多无穷多的轨道

就是从一个状态到一个状态

经典只有一条路

量子有很多路

但是如果你这个作用量

是个最小作用量的话

这我们下面要讲

或者说你现在用这个

exp(iS/hbar)

这个它不是Euclidean spacetime

这个时候这个是个phase

这个时候不是最小作用量

而是叫做stationary action

就是一个恒定的

它的变化是非常小的

这个时候经典作用量

是一个主要的

因为它是stationary trajectory

然后有了stationary trajectory

它变得很和缓

所以使得它附近的那一个轨道

可以用coherent

就是相干的办法来相加

这样得出量子力学来

所以下面实际上我们要讲的

就是你怎么算经典轨道

这个当然很容易

然后你的量子修正

就是量子涨落

这就给你量子力学了

这就是量子力学里面的经典轨道

当然到多体 到场论也都是一样的

我们今天呢就讲到这里

下面再讲我们的路径积分

确实怎么计算