S9.3 The integer quantum Hall effect(1)在线视频

下面我们在讲整数量的霍尔效应以前

要解释一个概念

我们现在做的是二维的物理

是个二维空间xy

磁场当然是沿着z轴了

你有一个A就行了

所以这是 是个二维的

在二维空间有个特点

Hall resistance和Hall resistivity一样

就是电阻和电阻率是一回事

你不信 好 我们看

原来的这个Hall

那个时候定的Hall resistivity \rho H

是什么呢？是Ey/Jx对吧

就是Ey/Jx

它resistivity的定义是上面是电场强度

下面是电流密度

z轴是纵向 那叫做纵向

y轴叫做横向

好 那我们现在看Hall resistivity

是这个横向的电场被纵向的电流密度除

对吧 行

我们现在看普通电磁学里面的电阻

那么当然Hall电阻就等于Hall电压了

被电流除 对不 那么Hall电压呢

就是这个横向的电场乘上横向的长度Ly

对不 这个就是U H 对不对

从左边到右边

有一个电场建立了一定的电位差

这就是这个关系

那么电流密度jx和电流I的关系

是什么关系呢

电流密度就是单位截面的电流

现在这个截面不是一个面积

而一个条线了 二维嘛

它这个截面就是说

y方向那个长度

我电流通过y方向的长度

沿着x轴流

所以说我的电流I

就等于电流密度jx乘上Ly

你现在 好

右边把两个Ly一消掉 正好就是

Edwin Hall定义的Hall resistivity

所以Hall resistivity

和Hall resistance是相等的

这个是指的Hall说的

纵向的可就不对了

你看

我把纵向的也照样来一次试试

纵向电流就是我加了一定的电压

对吧

在一定的电阻上它就通过电流了

所以Rx就是Ux被I除

对不对 这个没有问题对吧

好 这个Ux等于什么呢

Ux等于Ex乘Lx

我就是在纵向有一定的电场

那么我纵向的长度是Lx

所以 在这个场里边

它这个通过Lx这个长度

就建立了电压Ux对吧

那么I根据刚才的定义一样

还是jxLy

你看这回你右边一个是Lx

一个是Ly

消不掉了 对吧 所以

纵向的resistance等于纵向的resistivity

这上面有个Lx

下面有个Ly是消不掉的

行了

下面就来讲Klaus von Klitzing的事业了

就是来讲Integer quantum Hall effect

整数量子霍尔效应

那么这个是

1980年Klaus von Klitzing发现的

在1985就授给他诺贝尔物理奖了

下面大家可以看出来他的这个发现

一方面有很重要的实际的意义

另外一方面也有深刻的理论意义

5年就给了诺贝尔物理奖

Klitzing他用的是低温

一个K 这地方

few Kelvins都可能说的过分

实际上是在1个K左右

强磁场强到什么程度

10个Tesla 就是很强的磁场

让电子完全极化

当然这个时候

才能显示出你的Landau level来

否则你看不出来

好

这个时候他用的是low mobility sample

他这个样品mobility就是并不会太高

实际上我们知道

下面到了(分数量子霍尔效应)

那就要用high mobility sample

否则显不出分数的效应了

好 那我们现在再回来

他用的是什么呢

两种东西

一种就是场效应管MOSFET

就是metal-oxide surface field effect tube

这是金属氧化物的场效应管

它的这种结构是这样的

下面是P型硅的半导体

中间隔着一层二氧化硅的绝缘体

上面放上金属加上电压

这个叫做门电压 gate voltage

干嘛用的

这加正电

把下面的半导体里面的电子

给它吸到上面薄薄的一层

正好这就是个二维电子气嘛

所以这是two-dimensional electron gas

是这样实现的

或者用异质结

就是下面是gallium arsenide 是P型的半导体

中间也是放上跟它很接近的

这样的东西的insulator

上面不是用加门电位的方法

而是给它掺杂 掺杂进来positive charge

作为离子的杂质

用这个里面的带正电的的离子杂质

把下面的电子气的有薄薄的一层在这

这个叫做hetero junction 异质结

用这样的办法得到二维的电子气

好 下面代表这个实验怎么做呢

这就他的样品

是一个二维的这么一个长条

这加了很强的磁场 10个Tesla

你可以量什么呢

你在这两个之间可以量纵向的这个电位差 voltage

然后当然知道纵向电流的

你这俩一比就得到纵向的resistance

然后你也可以量出这个Hall resistivity

怎么量呢

你量的时候量这两点之间的电位差

用这个meter voltage meter

这个量出来的是Hall voltage

所以你分别可以得到Hall resistivity

可以得到longitudinal resistivity

结果如下，这个结果可是世人想像不到的

上面这个曲线画的是Hall resistivity

那么本来Hall resistivity经典的那个就是一条直线

对吧

这个就是B over nec

就是这个红线得到的

可是von Klitzing做

他加了很长的磁场 10个Tesla了

他现在把那个磁场强度往下调

这个曲线 本来这是低的磁场强度

这磁场强度往高里走

这是6个Tesla

那他从很强的磁场往下让它变化

起初一变的时候磁场变化了

当然resistivity

本来应该按照线性的减小

它不是

它很急速的减下来了

减到一定的程度它还出来平台了

然后到一定的程度

再往下减

出来又一个平台

一个一个平台的出

这是这个Hall resistivity

另外那个纵向的resistivity这样的

在这个急剧变化的时候

Hall resistivity急剧变化的时候

它这也是一个急剧的变化

很尖的一个峰

等到Hall resistivity不变了

plateau 出现平台了

这个地方就到了0 resistivity了

0 resistivity

等到这个地方plateau完了

第二次开始要急剧下降

正好一个急剧上升的resisitivity

等到它平了它也平了

完全是一一对应

当然后来你根据这个B的变化

你就可以知道这个过程是什么过程

填充第一个朗道能级的过程

把第一个朗道能级填满了

中间让B再减小

它还是平的 不变了

这个急剧变化

是填充第二个朗道能级的过程

填满了又平了

这个东西怎么解释呢

他当时用的temperature是8个毫K

8个milli Kelvin 是这么低的这样的这个温度

得出来的这个结果

还有重要的就是这样

von Klitzing发现平台这的电阻都是量子化的

它这个量子化的电阻的值下面会给出来

是有1个整数在分母上

那么这个就是整数分母那上面是1

这个分母上的整数是2

这个分母是3

这个是4等等

所以说这个时候他得到的这个结果就是这样

得到一系列的平台

这一系列的平台

它的相当的电阻的值是量子化的

就是Hall resistance

它的值是量子化的

是h over e square 这样的一个量子

一个朗道能级填满 这个i就是1

有两个朗道能级填满了

这个i就是2

所以这个下面这个i

就代表你有多少朗道能级填满了

就是这么一个情况

我们下面下来解释一下为什么会出现平台

为什么会出现平台

我们刚提到

一个朗道能级填满第二个朗道能级填满

什么意思呢

我们前面得过

朗道能级的简并度

对吧

朗道能级的简并度

就是EB over hc 在一个朗道能级上

你能放这么多电子

你把这个填满了

对不起 请你填上面一个朗道能级

而且每个朗道能级它的简并度都一样

和它的n是没有关系的

所以说 好

你根据这样的一个东西来做一个类比的话

你得到Hall resistivity 它的

正好代表朗道能级填满的时候

它就是应该是B over nec

所以说这个R H

一个朗道能级填就会提供你这么多的电阻

这就正好是说明了我那Plateau

所在的位置就是相当于

一个一个朗道能级填满

就是得到这样一个结果

也就是说我们正好得到

你根据这个朗道能级的简并度

知道一个能级填满它那个时候

电阻正好是这么多

两个能级填满下面除一个2就完了

好 下面要解释为什么现plateau

这个并没有太多的惊喜的地方

这个就是Prange在他那本书里面

解释为什么会出现plateau

就是说实际在固体里面有些杂质是吧

也还会有位错

有缺陷

凡是这种地方它都会把电子让它局域化

你电子过来了它他电子给俘获了

你别动了

所以

有了这个局域态对于电传导是不起作用

好

我们现在来看

假设这是第一个朗道能级

我们画的是density of states 态密度

第一个朗道能级

比如说有这么多个它简并度有好多的能级

我现在呢

把电子往这个固体里面填

当你的这个B很大很大的时候

你让它B也从大往小里边来

B从大往小里边来

是什么意思

就是说你的这个简并度就小了

所以说

你的电子就得从低的朗道能级

往高的朗道能级走

所以说

你填充电子

当你的磁场小下来的时候

你就得往上填

所以你的Fermi energy就要从下往大里走

我的横坐标是能量

那么我这个画的虚线

就是代表我们Fermi energy所在的位置

现在这个位置是第一朗道能级填满了

第二个朗道能级还没填呢

这样的位置

我们现在从头填起

B也从大往小里边走

于是电子就往里填充

可是你固体里面有好多缺陷

有杂质

有位错等等

它把电子都俘获了

所以这个点状的

就代表这个电子是所在局域态

它被绑住了 对于传导没有影响

所以你从这里填

一直填到地方的时候

它的电导率是平的 它不会变

等你到这的开始什么意思

我这是第一个朗道等级在这

你可以往第一个朗道能级里填了

所以从左边到右边

你可以放好多好多电子在里头

这些个电子在朗道能级上面

它是属于延展态的 它可以随便跑

所以

它对于这个传导是有影响的

你在这个里面的电子越多

它的resistivity就越小

所以你看

我这个地方写的这个E代表什么

我们现在回去就看这个地方

我的B减小的时候

开始填充第一个朗道能级

第一个朗道能级里你可以放很多的电子

所以这个时候你的resistivity就减小了

当你到这了

这就是我代表第一个朗道能级填满了

就到了这个右边了

我就把第一个朗道能级填满了

这个时候你得到resistivity

是得到一个相当小的

你再接着往里搁电子不行了

因为第二个朗道等级离这还远呢

这中间还有好多个局域态

你再填的话你填了半天

你 好 越填你这个Fermi level就越往右

越填 Fermi level跟着增加

你一直填填填 填到这为止

现在呢

这个第二个朗道能级要开始了

在中间的这段你这些电子都白费了

为什么

因为它被杂质 缺陷给俘获了

它对传导没有贡献

所以中间出现plateau

一直到你再填第二个的时候

他的resisitivity急剧下降

所以 你看

这个就相应于我们刚才这个图

我说的一开始下降

第一个朗道能级填满了

再填这个电子都是处在局域态

它根本对传导不起作用

所以出plateau

然后

到第二个朗道能级开始再急剧下降

然后再出plateau

所以plateau是可以得到解释

这个物理上没有太多的新鲜的东西

上面这一段就是说我刚才说的那些

现在呢 又提出一个问题了

von Klitzing在他的Nobel Prize里面

就是说为什么这个量子霍尔效应

是一个很基础物理的问题呢

他在他的Nobel Prize里面就说

就是他得到这些Hall resistance h over i e square

我们刚说

他的物理意义有实际意义有理论意义

实际意义好说

就这个数值 h over i e suare i是个整数

1、2、3等等

h和e都是物理常数

宇宙常数

它的值是可以量的非常非常准的

所以这个Hall resistance这个值

可以量到很多很多的有效数字的

比如说像这么多

就是你看这里面

它有很多很多有效数字

干嘛用 最妙的是

你这个做量子霍尔效应你用不同的材料

你这个样品用不同的大小

只要你低温和强磁场

你得出来的Hall resistance都是这么大

它不会变的 所以它可以作为电阻的标准

你有这么多有效数字

你这个标准还不好吗

所以在这个计量学 metrology里面

这个Hall resistance是作为电阻标准用的

所以你看它的物理意义 实际意义

应用的意义是很重要的

下面再说理论意义

理论意义 理论讲就是说怪啊

你为什么用不同的样品

你温度可以变

只要够低就可以

你可以变

你电子 电子有相互作用

而且里边有杂质 有缺陷等等

而且你可以用不同的样品

不同的电子密度

你那些东西不管你怎么变

Hall resistance不变 都是这么大

所以理论家就有兴趣了

具体条件底下我可算是修正

von Klitzing在他的Nobel Prize Lecture里面就讲

好多理论家算修正

只要一个条件

什么条件

\sigma xx等于0

\sigma xx等于0就是跟那\rho xx等于0是一回事

这个大家可以看我这书里面

这个\rho和\sigma实际上都是矩阵

\sigma xx等于0 它的倒数

\rho xx也等于0

这是因为它的矩阵里面的对角元是0

那样的原因

可以看那个书就知道