S8.11 Dicke Model and Phase Transitions(2)在线视频

好 下面就是Dicke来做他的

最初的理论了

还是引入这个Pauli operator Rj pseudo spin就等于二分之一个的\sigma j

这是个矢量了

那现在呢

我找一个状态

这个集团里面第j个原子

是处于正激发态或者是负

这就是基态

考虑这个状态

我们现在让Rj123

三个不同的分量作用上去

你看它应该是什么

Rj后边的1代表第一个分量

就是x

那这个地方就是\sigma j x over 2

那这个呢

\sigma就相当于反对角的1 1 对吧

所以你作用一下

就等于把spinor

二分量的波函数

上面的元素变到下面

下面的变到上面

所以呢

10是激发态 所以加就变了减了

下面这个01是基态

\sigma x一作用就变成激发态

这就变成减加

前面还有个二分之一

相同的道理

Rj2这是\sigma y

反对角的

一个是-i 一个是i

这出来一个i 是吧

前面是plus minus

这个是正符号

后面这个是minus plus

因为它也是反对角的

就把基态上边那个倒到下头了

下边这个倒到上头去

这就是基态变激发态

激发态变基态

最后这个z分量的很简单

就是plus minus的二分之一

这个是本征态

Dicke的创造就在于

我要考虑我这个

这么多N个原子都是二能级的

我考虑它的集体性质

所以他定义这个collective R

这就是总自旋了

这就是总自旋了

你把第一个原子的自旋

R1加上R2再往后加

一直都加完

这就是j from 1 to N sum of Rjk

第j的原子的第k个分量

这就是总的pseudo spin的

这个k分量

k就是k分量

xyz或者123

那当然R平方就是

R1的平方加上R2的平方

加上R3的平方

那我们原来写过

知道Hamiltonian应该是质心部分

加上后面的\hbar\oemga

原来那个地方是sum over Rj3 现在sum over Rj3变成了R3了

就简单了

当然R3作用在本征函数\psi gm上

就是m倍的\psi gm

好 下面我原来已经说过

第j个原子它的质心坐标就是Rj

这个也就是它里面发射辐射的

电子的坐标

那我有了这个Rj

那当然它就有它的conjugate

Rk的conjugate就是Pk 对吧

Rk的conjugate就是Pk

Rj的conjugate是Pj

那现在我们原来讨论过

辐射场和原子的相互作用

也就是原子里的电子的相互作用

那就在这个地方

这个大家熟悉的

本来就是一个\pi over substitution以后 p -e over ca 然后平方

那我现在p平方就到了动能里去了

交叉项经过

一个gauge的运算

两项就一样了

这变成这个

这个就是引起相互作用

后面还有一个a平方的一项

就不考虑了

我们不考虑同时的双光子过程

当然在原子的时候

它是作用在原来的原子里面

电子的那个轨道运动的

\psi初始态

然后它就引导

让它跃迁到原子的末态

\psi k

现在我们用的是自旋对吧

那这个p k原来就是相当于

让它发生跃迁的对不对

从\psi initial到\psi finial

现在我们这个二能级的

我用的是pseudo spin

所以这个地方就应该是谁起作用

就是我这个Rj的x分量

和Rj的y分量起作用

你看在这里j分量我一作用

就把原来是激发态的

现在变成基态了

那不就发射了吗

如果我用y分量

它也是激发态变成基态

只不过前面这儿有个i就是了

所以我就一般的

我就写成R1j 这是第j的原子了

R2j是第j个原子

这是x分量 这个是y分量

当然我最高要求和

对所有的这个求和 对吧

前面还有一大堆东西

总之而言

这个最后并不需要它

所以我就写成e1加上e2

后面 e1乘上R1j

plus e2 R2j

这个就是代表产生跃迁的算符

好了

所以我这个interaction

最后就写成下面这个样子

A of rj dot e1 R1j plus e2 R2j

前面对j求和

我要用dipole approximation

我这个放射辐射的电子

它的位置就跟我的原子的

质量中心一样

所以我就干脆就代成0了

这就是很简单的这样一个

相互作用Hamiltonian

下边就要求我这个一个

大个原子团里面的

不同的本征函数都写出来

首先我们注意到R 这是pseudo spin

pseudo spin它的对易关系

显然就是标准的角动量的对易关系 对吧

现在的i j

不是第几个原子

而是123分量

它不同的分量

R1R2的对易是i R3

其他用effectively permutation

还有一个是运动常数

就是R square

和任何一个分量都对易

刚才写了相互作用项

里面是R1或者是R2

R1j或者是R2j 任何一个j

它们作用的结果都是基态变激发态

激发态变基态

所以都是\delta m等于正负1

这就是它的选择规则

作用一次只能变更m一个单位 对吧

因为它是一个相加的

每次只是一个起作用

这一个作用在第j的原子上面

好 现在要来考虑所有的

这个eigenstate

complete set of stationary states eigenstate of R square

还有一个R3 这两个的

当然我们知道你这个interaction作用的时候

interaction作用在原子上面的时候

就是最后的这个东西 是吧

R1和R2都是求和的

所以你一次只能一个起作用

你一个起作用

那就是R1j或者R2j起作用

它们起的作用是什么呢

就是把第j的原子的基态变激发态

激发态变基态

就是这样就完了

你只是在第j个原子上来发生

Rj3的变化

而你在原来这个系统的总的

R的第k的分量的话

都是每一个相加的

所以你变的时候

只是变的j的那一个

所以你最后发生了跃迁

我这个m当然是指的集体的m

我集体的有一个m

它只能变成正负1

这个正负1怎么变的

就是一个原子发生的变化

所以就是说它只是

在同一个R平方的

这个状态里面来变的

我们回顾一下Cohen-Tannoudji的例子

或者是Dicke的例子

它发生变化的时候

triplet还是变成triplet

它那个R在原来那个

原来那个不是R了

我叫S pseudo spin S

S等于1的它的零分量变到负1分量

那个m比如说是减1

那它就是从0分量变到负1分量

它仍然是triplet的member

它不会变到singlet去

singlet是不能辐射的

所以说我们这里也又明确

H1 can lead to transitions only between the same eigenstates of R square

R square是triplet还是singlet 也就是1或者0

它同一个multiplicity里面变

好 那我们现在所有的

complete set of eigenstates

就在这了

叫做\psi gmr

它是R square的本征态

相当的本征值我们知道

根据spin的规律

这就是r(r+1) 对吧

另外呢它是能量本征态

能量本征值是E0 m\hbar\omega 乘上它

当然这就不用说了

它是Rz的本征态

本征值就是m

乘上它就是

这个m是R的分量 对吧

那一个分量绝对值最大

不能大过总自旋 对吧

所以我是二分之一自旋

一个正二分之一 一个负二分之一

如果我自旋是二分之三

你那可以有正二分之三

负二分之三

正二分之一 负二分之一

这个M总是小于等于R的

R最大值是多少呢

R最大是二分之n

因为你所有的粒子都处于激发态

对不对

原来的R值的确定是二分之一的n

所有都朝上 一共有n个

这是n

前面有个二分之一

所以R的值最大的就是二分之n

这就是刚才我们在这儿

给大家演示的这个关系

好了

我呢要想把所有的这个得出来

怎么得啊

我们就从这一个状态开始

这个状态是什么

m等于二分之一的n

就是所有的原子都在激发态

当然这个时候

这个R也就是二分之一n 就是m

R等于m 等于二分之一

这个状态是非简并的

它没有第二个

我们下面给大家看一个图

大家就明白

它只有这一个 独一无二

然后还有一些状态

那些状态它们的R跟它们一样

但是m比它小

m是m-1 m-2 m-3

一直到-m 对吧

那整个加起来是多少个呢

那是一共有n个状态 对不对

m从二分之一n到负二分之一n

所以一共是有n个状态

它们是属于同一个R的

你怎么获得它们

好办

我们知道这儿有一个total pseudo spin

R1

-i R2 这个就是管

把激发态变到基态

就是m减1的算符

本来是m

你现在m最大的是R

我现在作用在R上面

作用R减去m次

所以结果这就变成m了

作用这么多次你从R把它减到R-m

m的值就是R-m

好 下面一看图大家就知道

你看这个图

我们刚才讨论的是这个能级

m是二分之n

R是二分之n

都是最大的

它独一无二

在同一个R这个组里面

你可以用刚才那个算符

作用一次、两次、三次等等等等

一直作用n次

就变成了m等于负的二分之n了

这一共有多少个状态呢

R底下有n个状态 对吧

而最高的这个显然没有人跟它比

因为你R要是减1的话

那就变成了二分之n减1了

二分之一n减1的R不可能有投影

二分之n 对吧

你不能说投影比我的原来的值还大

这是不可能的

所以这是一个非简并

这没有 对吧

好 我们下面来看这个

下面这个状态它的m减了1了

什么意思呢

就是我原来n个都是向上的

都是激发态的原子

我现在想办法把其中的一个

把它变成基态

哪一个呢 随便

多少可能呢 n个可能

所以说你把它减1有n个可能

那n个可能在哪儿呢

就在这里面

这是一个可能 对吧

除了它以外

你让R减小了的

还有n-1个可能

就在这个里面

所以这里面的一共有m

等于二分之n-1这些个状态

然后它所有的m的状态

最大的都给定了

然后你用刚才减的算符往下减

这个时候减呢

那就不是n次了 而是n-2次了

到这儿为止

因为你再减投影的绝对值

比起本来的pseudo spin的值还大

这是不可能的

好 这样又往右边数

这样的状态

m等于2n-1的状态

它的R值到这个为止

R值再减这边就没了

就是下面的一个

所以这样的一个就都把它排定了

那课件里面的这一大段

就是我刚才在图上给大家演示说的

那现在看我这个本征函数

\psi gmr

它R有各种不同的值

m也有各种不同的值

我原来算的

只是m的不同的值的时候

它的degeneracy

现在我出来R了怎么办呢

那其实是这样

我说过一个R里面它有多少个m

也就是我一个spin

有多少个不同的投影呢

这个大家当然都知道

就是2R+1

m可以有正有负

所以我就把这个degeneracy乘上

原来只考虑n的简并度这么大

现在把R的简并度考虑进去

就是这么大

下边你可以用m来表示

也可以用R来表示

这都一样

这个就是degeneracy

好 下边呢

我们就来问

我现在这样一个集体

我定义了集体的pseudo spin operator

在这儿R1 R2

前面有两个我不用求的e1和e2

这个就代表A的方向

其实跟偏振有关系

当然也还有一些具体的常数在里头

我们不用求它

我现在知道这样一个operator

它的作用就是把m这个状态

跟m+ - 1这个状态

联系起来

这样的一个相当于我们原来常用的

S+ S-

那个时候你作用的时候

前面要有这样一个系数

这就是前面那个系数

所以这个时候我们就知道

你现在引入了一个集体的R

当然R最大可以等于二分之一n

你n要是个宏观量

R也是个宏观量

所以你看这个里面有R在这儿

这是个很厉害的家伙

它这个系数可以是很大很大的系数

所以实际上这个R有一个名字

学名就叫coopreation number

合作数

它就是让你这么多原子

通过它波函数

通过它状态之间的coherence

相干 使得我这个辐射加强

这样一个东西叫做合作数

这个就是自发辐射

那你自发辐射率

当然下面写出来就是这个

这个就告诉你我现在的辐射率

是我单个的原子的辐射率

你看这个里面它是和R平方成正比

当然后面有减的东西

并不是就是R平方就完了

可能比R平方小一点

这个我们下面会具体看到

但是它是和R平方成正比的

R最大是二分之n

所以这个I等于I0

它和谁成正比

是四分之一的n平方成正比

它不是单个和n的线性成正比了

它是和n平方成正比

虽然你下面有分母不要紧

那个时候反正是宏观数

宏观量增大了

好 我们就看这一个特别的状态

R等于m等于二分之一

我们就看一个原子

n就是1 所以R就是二分之一

m就是二分之一

那当然一个就是一个

那这个时候你把它带到这里你看

你得到的就是单个原子的辐射公式

应该是这个

原来用的是R

实际上这个地方应该是p

所以这个你要用R的话

R等于m等于二分之一

你后面这个地方就是e1 square + e2 square

所以这个矢量你不用求

它就是和它的跃迁几率有关系

这里面有偏振的方向

还有其他一些

这个我们原来都知道

好 所以现在就得出来

所有这么多个波函数

都得到了

我们现在就问

这个里面合作最厉害的是哪个状态

是这个状态

大家看

R等于二分之n在这个里头

然后m等于0

m在这中间是0

那什么意思呢

n个原子里头二分之n是朝上的

是处于激发态的

二分之n是处于基态的

为什么这样的状态

将来合作起来最厉害呢

我们回到原来Cohen-Tannoudji

和Dicke他们最初想的情况

你一个朝上 一个朝下

你把它配成对儿

你就有二分之n这么多的对儿

这个时候是二分之n个triplet

对不对

所以它们都是可以加强的

所以这个时候

它才正是加强的最厉害的

它加强的多少呢

加强成这么多

你看这个I等于I0

第一项是四分之一的n平方

后面再加一个二分之n

当然你说它不是n平方吗

可是它和n平方成正比

这个是很厉害的

所以这个就是super radiant

大家商量好咱们要发射

相干的发射一块来

这一下它的强度就会强得很多

那么我们讨论像其他的例子

如果我们考虑的是这样一个状态

m等于R等于二分之n

也就是所有的原子都处在激发态上

这个大家猜一猜它怎么样呢

结果你看你代入刚才那个式子

R等于m等于二分之n

你就发现I就等于n乘上I0

线性的就是我现在有n个发射体

那这n个发射体

大家独立的来发射

所以这个时候

其实要看刚才那个图的

我们考虑的就是这个状态

这个状态没人跟它就伴

你看这边没有

所以说我n个发射体

我发射出来

就和一个发射体

我就给它乘一个n一样

对不对

刚才我们说n等于0

R等于二分之n 在这儿

它的伙伴最多

这边都是它的伙伴对不对

大家都是它的伙伴

所以它要合作

它可以有很多很多可以合作的

所以这样的话

就是说明你不在乎

你处在激发态的数多少

看你能配出多少个triplet

但是投影是0的triplet

你能配多少对儿

主要是看这个

我们来看还有一个特殊的例子

很有意思的

R等于m等于0

这是什么意思呢

m等于0说明polarization是0

也就是我这n个原子里面

我有一半是处于激发态

有一半是处于基态

你说不对啊

刚才你不是说这种情况

它是合作最好的吗

那看你配成什么样的状态

你要把它配成triplet

就是R等于1 但是m等于0

那样的状态

triplet的状态大家都合作

现在呢

你这个R是等于0的

不是二分之n的

这也就是说你把它都配成

singlet了

就是每一对都是R是0 m是0

所以你一共二分之n那么多对儿

它的R和m都是0

刚才我们从Cohen-Tannoudji

和Dicke的例子都知道

triplet它是不会辐射的

因为辐射完了它是singlet

你R守恒它变不过去

所以说你别看这个状态

它是很高的coherence

但是这个coherence是个

大家互相矛盾的这样的coherence

所以最后它干脆就不辐射

好了 这个就是Dicke原来的工作