S8.1 Interaction between radiation fields & the atom(2）在线视频

下面呢我们就让电磁辐射场的

量子化它产生的重要的物理结果

第一个就是真空的电场

普通的当然我们一想

经典电动力学

我现在有电磁波 电磁场

那电磁场的最低的状态是什么呢

那就是没有电磁场对吧

你就想这个真空了

就是最低状态

干脆电场应该是零

你把场量子化了就要注意

量子场理论它的真空态是什么

它真空态的定义是

我这个场里面没有光子

那也就是我把这个

真空态前面拿光子的

消灭算符作用必须得零

这个时候这就是我真空的定义

那有了消灭算符作用它得零

你前面乘上一个产生算符

那当然它仍然是零

可是这个时候前面

这个算符定义是什么

就是光子数对吧

这就是K模的光子数

所以说现在我的

辐射场的真空是什么

就是我在这个辐射场的真空里面

没有任何一种模式的光子

那就是这个表达式对吧

a k \dagger a k

k是任意作用在真空上必须得零

好 有了这个的话

那我们就跟我们原来的

也许一想的这个概念来比

你就发现它不是一回事

你想什么是电磁场真空

那就没有电场 也没磁场

那这个说法就有问题了

你看我们原来得到的电场强度的

它的量子化的一个表达式

这就是量子化的电场

这儿是a k消灭算符

a k \dagger产生算符

你就从a的地方用- one over c partial A partial t

一得就得出来刚才

我们写出来这个式子

请大家注意

这个E 电场强度

它和a k \dagger a k并不对易

为什么

a k \dagger和a k是不对易的

和a k \dagger也是不对易的呀

所以说你要想让你这个最低状态

它没有光子 光子得零

也就是说要求它是

a k \dagger a k的本征态

那它就不是E等于零的本征态了

当然你把这个电场强度E

你说我对于这个真空

我来做平均值

它还是零的

为什么呢

你看你把它左边右边

都放上一个真空态

这一项a k作用在

后面的那个真空上得零

这个a k \dagger你把它往前作用

作用在前面的真空也得零

所以电场强度你做它的真空

平均值它是零

但是你把它平方一下

你再来做你就发现它不是零了

所以说真空态它的能量不是零的

也就是说你看我写这个式子

E dot square eight \pi 两倍这就是把

B square也算进来了对吧

这就是能量密度

真空的能量密度是零吗

你刚才那么算它不是零

而且我知道它的数值是多少

原来我们得过

有一个zero point energy

第k个模式的zero point energy

就是one half \hbar \omega k

你单位体积的能量当然用V除一下

所以说E dot square

你先平方了再求平均

它不是零

什么意思

就是你不能说这真空里没电场 它有

这个电场的值每一个模式都有贡献

就是这个zero point energy

所以说好 刚才得出它平方平均值了

然后我就把这平方平均值

再开一个平方根

这就叫做

root mean square value of vacuum electric field mode k

就是这个值 对吧

two \pi \hbar \omega k over V square root

这个是一个非常重要的概念

为什么呢

好 下面我们就要来说

在原来的量子力学里面我想不到

大家应该注意到

它讨论到我原子的自发发射

就是本来原子在一个激发态

现在自发的

你不是外面来诱导它

它自己会跳下来 跳到基态

放置一个光子

那人家就问了

它好好在那儿待着

你不是说它是stationary state吗

量子力学里面的恒定态

它的寿命是无限长的

它为什么会待着好好的

它要往下跳呢

谁让它跳的 你外面没有加诱导

这才叫自发辐射

就是spontaneous

这个字的意思

就是你外面不加诱导

它自个也会往下跳

谁让它往下跳的

原来这个解释不通了

最早给出自发跃迁辐射率

理论上还是靠了Einstein 这个是Einstein所谓的

所谓的A系数 B系数

这个东西我在这儿不讲了

课件里面有

我希望大家去看一看

这个对大家来理解Einstein

在历史上有了场的量子化以前

他就给出一个

为什么会有自发辐射

它是给出一个所谓的A系数

在这儿不讲了

我们现在有了真空的电场的概念

就可以解释这个问题了

那你这个原子它为什么好好的

从激发态要跳到基态

这真空里面它就有电场的涨落

刚才算过了 电场的平均值是零

但是它平方的平均就不是零

这个就是量子涨落

真空里面不是没有电场的

电场的平均值是零

但是它有涨落

就是因为有这个涨落

我这原子看见这个涨落了

它就于是就跳下来

下面我们就要用这个概念来算这个

原子的自发辐射率

当然还有你把场的

量子化那很自然的

原子就会从激发态跳到基态

为什么呢

好 量子场是讲什么的呢

是讲场的相互作用的

我这两个场

一个是原子里的电子的场

我们把它量子化了

一个是真空里面的电磁场

也就是辐射场

我们把它量子化了

量子场论讲什么的

就是讲这两个场的相互作用

它有了相互作用

不都可以有跃迁吗

好 我始态是没有光子

但是我原子处在激发态

这两个场一相互作用都跃迁了

怎么跃迁呢

原子从激发态跳到基态了

而辐射场从没有光子

到有了一个光子

这不正好说明吗

所以从量子场的观点来看

这个原子的自发辐射

是再自然不过的

那不过我们从刚才真空里面的

电场的涨落来说一样能够说得通

这样才把量子力学里

原来那个困惑给解决了

就不用Einstein的

A系数和B系数

好 现在我们就来算辐射率

那当然很好算

这个就是用Fermi’s Golden Rule

费米的黄金规则

黄金规则就写在这儿

你原子的自发跃迁辐射率

\Gamma等于2π

然后是H interaction相互作用Hamiltonian的平方

乘上末态的能级密度

所谓的末态能级密度

就是你发出去的光子

是各个方向都会有的

它有空间的分布

但是各个方向都会有的

而且能量也在一定的区间

因为我们知道原子的激发态

是有一定宽度的

所以你发出去的光子能量

也在这个宽度里头

所以你要乘上一个

末态的能级密度

就是我在\oemga到\oemga+d\omega之间

这段呢当然由你原子的激发态

的宽度来的

你算算在d\oemga

区间里面有多少个

光子可能的能级

这个大家在量子力学里面

原来算过多少遍了

末态的能级密度给在这里

因此你来算 一下就会把它都带进来

我们刚才算了

相互作用的matrix element

然后现在有了末态的能级密度

你都把它带进去就得到

原子的自发辐射率

就是这么多

在这里呢

本来由matrix element是E \lambda dot d ij

那现在呢你这个d ij是dipole matrix element

它在空间有一定的方向

所以你现在要把两个\lambda

要对空间做一个平均

就是在这里

原来是e dot d模平方

你把它对整个的空间积分

就给出一个三分之一来

你这个e这个vector

在空间里面各个地方都可以有

但是d是固定的

是一个固定的

你在一个固定的方向

取它的平均值

各个不同的

dot product的平均值

给出一个三分之一

所以这儿出一个三分之一

最后得出来就是这么多

这个大家在学

量子力学的时候有过

但是那个时候

你就需要用各种argument

比如说用Einstein A coefficient argument给出来

那你才能够得出这个几率来

好 现在回到这个

zero point energy

zero point energy是很重要的

不是说它是个常数

你就可以把它扔掉

你比如说你看这个跃迁几率

与末态能级密度很有关系

我们刚才算的这个末态能级密度

是在真空里面

这个光子可以往各个方向跑

它这个能量可以是任意的能量

但是你后面有个exponential

在那儿管着它呢

所以它也会有一定的宽度

总得有个末态能级密度

如果你的物理体系

它是在一定的环境里

这时候末态能级密度

就不能这么算

我举一个例子

有一个效应叫做

Casimir效应

什么叫Casimir效应

你就是把两个很大的

很薄的金属板

给它放置在一个

非常近的距离的时候

这两个金属板可以彼此吸引

怎么吸引呢

上面没有电荷啊

这个就叫做Casimir效应

为什么呢

因为这个时候

两个金属板中间的空间

它不是真空

你要算它这个里面的

电场的涨落的能量

它跟真空的就不一样了

所以就看出区别来

这个区别就给出Casimir效应来

另外还有一个事情

就是zero point energy的作用

还是这个人Casimir

他研究这个van der Waals效应

van der Waals效应是

当你两个原子距离很近的时候

它有个相互吸引的力

这时候potential是

r的六次方分之一

可是如果你这个两个原子

距离的越来越远

它的potential要偏离六次方

就变成r的七次方分之一了

这个是实验里面首先发现的

然后Casimir就想做这个理论

他不知道怎么做

他就去找Niels Bohr

究竟这个Bohr老先生

水平是比较高

Bohr就跟他说

你去想想可能跟这个

zero point energy有关系

结果Casimir回去

就用zero point energy

就得出Van der Waals

相互作用有个推势效应

这就是它的potential

就是七次方分之一

所以这个是个很有意思的一件事情

下面这个课件里面

有Einstein当初的

A coefficient和B coefficient

是怎么来的

他很自然的利用两个能级之间的跃迁

我给它一个环境让它达到热平衡

达到热平衡之后

高能级和低能级的分布是知道的

是什么呢

这就是Boltzmann factor是吧

好 然后他又用了辐射的

在温度是T的时候

辐射有一个辐射谱啊

辐射谱的关系呀

都用了已知的量子论的关系

他就得到自发跃迁和诱导跃迁

还有跃导吸收

这三个过程之间的关系

你量子力学不是不会算

这个自发辐射吗

可是你会算诱导辐射和诱导吸收

那两个是相等的 几率是相等的

结果从这个关系里面就把

自发跃迁得出来

所以这个Einstein观点 他的看法

真是非常高的

这一段作为历史

有兴趣的可以来看这个

好 下面呢把真空里面的

辐射场量子化

和它的物理效应讲完了

下面就说我现在是个谐振腔来

谐振腔来了怎么办呢

这个就推广一下就完了

怎么推广呢

我们原来在真空电磁场

里面有一个u模式

如果大家回忆一下

u等于什么

前面有一个归一化因子

然后是一个e \lambda对吧

后面是个e ik dot r

就是这个 这个就是归一化因子

体积的平方根

这就是那个e ik dot r

代表a方向的就是polarization vector e

这个东西到了腔里面

我就推广一下

把它推广成一个mode function

原来也叫mode function

只不过它是一个平面波就是

现在这个就是我

cavity的mode function

也是r的函数 也和k有关系

你本来是E的it dot r

现在就是f sub k of r

前面原来是3个L乘起来

L的三次方取平方根

这里这个不是方的了

谐振腔都有它的不同的形状

根据它里面对于电磁场

谐振的要求

它有不同的形状

所以这个地方是个V的平方根

而V是什么呢

V实际上就是你把mode function

模平方求体积积分

这个就叫做effective volume of the mode

它是和mode有关系

你看这地方有k

所以它和mode是有关系的

写在这里

而这个时候腔里面的电磁场

和我原子跃迁之间的coupling

有一个g就写成这个样子了

没有别的

就把原来的L二分之三次方换成V

把原来的平面波的exponential factor

现在换成f k就完了

别的辐射场的跃迁和原来是一样的

这个就是到了腔里面

下面我们要讲一个

很重要的一个现象

其实呢原来我们已经碰到过两次

希望大家看Feynman第三卷里面关于

ammonia molecule的一段

我有了两个能级

本来是我有两个能级

原来在ammonia molecule

那两个能级是简并的

现在这两个是一般地不一定简并了

也就是我有一个两能级的体系

也就是说在我的Hilbert

空间是一个二维的

一个是\phi 1 一个\phi 2

这两个是正交的\phi i\phi j是\delta ij

而且它们相应的本证值是E i zero

是H zero作用在它们上面

得出E i zero乘上波函数

好 现在我把这两个能级混合起来

我就加进一个W来

W是一个2乘2的矩阵

它的对角矩阵可以把原来的E i zero

给修正了W ii

你比如E 1 zero就加上W 11

这时候就成了E 1了 E 2也照样

就是加进来的W

它也修正你原来这两个能量

但是重要的它提供了

\phi 1和\phi 2之间的

coupling

这儿有一个W 12 这儿有一个W 21

当然加进去的算符肯定是Hermitian

所以W 12一定是W 21的complex conjugate

好 现在跟原来的

ammonia molecule很相像

我现在问两个问题

一个就是说现在你考虑了

W这个混合的效应

我的体系的eigenstate

是什么 求eigenstate

那也就是原来ammonia molecule

一个是下面和下面的加一加

一个是减一减

现在当然比那个稍微复杂一点

也是我要求本征态

第二个就是我不是本征态

比如说ammonia molecule放在上面

我一撒手 它就上下隧穿起来

现在呢

我比如一开始我放在\phi 1

将来有的本征态我叫做\psi +

或者\psi -

当然这时候\phi 1就不再是本征态了

一开始我把体系制备在\phi 1上

然后set free 让它自由

结果怎么样呢

它就发生一个也是上下进来进去

就从\phi 1到\phi 2

\phi 2回到\phi 1

这样振荡起来了

这个振荡非常重要

就叫Rabi oscillations

下面的数学其实大家都很熟悉了

我第一来研究静止的效应

就是求本征态\psi + -是什么 E + -是什么

就是求本征态

那这个呢就把刚才的matrix

给它对角化就是了

一对角化你就把本征能量求出来

当然我在这儿就不仔细算了

这是很简单的代数

然后把这两个本征态\psi +和\psi -

用原来的\phi 1 \phi 2表示

得到了这个表达式也就得出来了

这个里面呢有一个参数\theta

\theta是多少呢

大家一看这个就是一个正交变换

原来说过用过多少次

\theta就是用这个式子给出来

tan\theta等于这个东西

当然这个\theta的取值的范维

当\theta从0到180度

这个时候取值就取完了

就说tan\theta从0到无限大

从无限大到负值的 又回到0

这时候就都取全了

所以\theta你取就取的这个区间

等于大于零和小于\pi

因为一到π就跟零重了就是在这个区间

这个W原来在这个地方

一看本征能量里面就和它这个coupling

有关系了W 12 对吧

W 12和W 21当然是互相complex conjugate

你可以把它写成amplitude乘以一个phase

好 这个就是static fact

然后你把图画出来呢

我这儿有一个E 1 有一个E 2

\delta先定义一下

原来的E 1和E 2

这是原来的本征值

不是现在这是H zero的本征值

加一加二分之一你叫做E m

m就是mean

平均值就是E 1 E 2的平均值

再有一个是\delta

\delta是E 1 - E 2

所以说你本来的这两个能级

作为\delta的函数画出来

就是这样两条直线

大家看图

这个是E 1 这个是E 2

E 1比E 2大 \delta是正的

E 1比E 2小 \delta就是负的

本来是这么两条直线

你有了mixing以后

E 1 E 2不再是能量本征值了

本征值是E +和E -

就是上面这个双曲线

和下面这个双曲线

这样的话就正好是这个

原来我们用过这个名词

叫做anti-crossing或者叫做

crossing aviodance

你本来是两个相交的能级

你有了mixing以后

它不相交了 形成这样

也就是原来这两个能级彼此一个排斥

anti-crossing有时叫做

repel each other就是这样

下面就来回答第二个问题

就是dynamical aspect

就是一开始我放在一个

不是本征态的位置

就是\phi 1一撒手怎么样呢

一撒手大家知道就振荡起来

怎么样做呢

还是好做的

我一开始\psi 0是什么

我就故意把它放在\phi 1这个位置上

刚才已经得出来\phi +

和\phi -

是如何用\phi 1 \phi 2表示的

现在我们求一个逆变换就知道了

这个\phi 1就可以用

\psi +和\psi -来表示

这是时间等于零的状态

时间一进行怎么样呢

那我知道 \psi + \psi -的能量我知道

好 你就把time development factor

写上就完了

这个地方\psi +它怎么演化 这个factor上面是E +

\psi -怎么演化

上面是E -

所以这样一来的话

你就知道在任何时间

这个\psi t的状况

你如果前面乘一个\psi 1

你就知道它还停留在

\psi 1的几率有多大

你前面乘上一个\phi 2求scalar product

你就知道它跃迁到第二个状态上的

就是从上到下边了 几率幅多大

然后你把这个matrix element求magnitude

得出来的就是几率

这个就是translation rate

从上面跳下来的这个几率

你把上面带下来就是它

这种oscillation刚才给了一个名字叫做

Rabi oscillation

在量子光学里面是到处见的这个现象

所以呢这个就是Rabi

他在1944年就由于nuclear magnetic resonance

得到的是诺贝尔物理奖

这个就是这张后面要着重讲的

这是Ramsey Ramsey

他改进了Rabi的nuclear magnetic resonance

最后他的改进的方法再进一步

就到了现在到处应用

包括在卫星上到处用的非常重要的

物理学的工具就是原子钟

所以他得到了1989年的诺贝尔物理奖

你看他的年龄好像比他大 其实不是

他是学生

Ramsey是Rabi的学生

只不过他得诺贝尔物理奖

比较晚就是

后面我们可以看到他年轻的照片

现在我们再休息一会