S1.4 The continuous one-particle spectrum S1.5 Quantum dynamics: Time evolution在线视频

上面我们引入了一个

连续变量的表示

就是r representation

用这样的表示

来做二次量子化理论的

它的产生算符和消灭算符的表示

是ψ和ψ^\dagger

比如说像大家看这个

这就是在r表示里面的产生算符

它就在r这一点

产生一个自旋为σ的

这样的一个算符

那么这样东西很容易

跟量子力学里面的波函数混了

你那说这一看

这不就是波函数吗

不是 它是算符

ψ和ψ^\dagger在这里

和波函数毫无关系

它就是r表示里边

二次量子化的算符

所以下面我特别要用一些关系式

来说明各个物理量的它的意义

希望大家不要弄混

这一段大家可以参考一下

Merzbacher Quantum Mechanics第20章

这些关系它都是从那里引过来的

大家看看以后

熟悉了就不会弄混了

比如说首先单粒子的状态矢量

One particle state vector

我可以有这样的一个矢量

我就是代表在r这一点

有一个自旋为σ的这样一个状态

它是怎么得来的呢

是从真空态这个0

前面用一个产生算符

ψ^\dagger_σ of r来作用

这样就得到了

所以在这里这个ψ是算符

不是波函数

你要是和分离变量的

这个表示的办法一比呢就清楚了

我如果说我现在有个状态

这个有一个粒子它的动量是p

自旋是σ

它是怎么得来的呢

是从真空用这样一个产生算符

a^\dagger_pσ作用就得到了

所以你看我刚才

这个r表示的这个ψ^\dagger

和我现在p表示的这个a^\dagger

是完全处在同样的位置的

这个ψ是和波函数没有关系

好 那你说我现在有一个波函数

这个波函数是Schroedinger波函数

它就是ψ of rσ

这个σ你写在上头

下头无所谓

这个是波函数

那这个波函数它在这个

二次量子化理论里边

是什么样的呢

你可以用一个抽象ψ

这是一个state vector表示它

那我这个Schroedinger波函数

和我在二次量子化里边的

存在的关系就在这里左边

是Schroedinger波函数

右边是一个两个矢量的scalar product

用Dirac的话来说这就是个bracket

左边有一个bra vector

右边有个 ket vector

凑起来这就是个bracket

一个bracket是一个普通的数

不是算符

这是有两个state vector做scalar product得到的

右边这个就是我们要代表的

我们要描述的这个ψ

就是这里这个state vector ψ

左边这就是代表这个r表示rσ

用Dirac的语言来讲

这个就是我ψ状态

它在r表示里面的代表

presentative

这个代表就是Schroedinger波函数

所以 好 那像这样一个scalar product

我把左边的bra vector改一改

就写成<0|

这个就是基态

然后这个地方有ψ

这是一个算符

典型的二次量子化的算符

是ψσ on for r

把它往左一做又作用在这个<0|上面

就得到我在这个r表示的

这样一个bra vector

所以你看我左边是Schroedinger波函数

这个右边里边的这个ψ(r)_σ

它是一个算符

我上边给它戴了个帽子

让大家不要弄混

大家习惯了我也不给它戴帽子了

好 你比如说我现在有个多体系统

它的多体波函数是ψ里边这些arguments

它你根据上面的这个类比

你就可以把它写成两个vector的scalar product

右边的就是我要代表的这个ψ

左边的这个bra vector

就是前面是真空|0>

后面一系列的消灭算符

因为你要真正

把它写成个ket vector的话

这些算符就都变了产生算符了

就是在这个真空上

要产生这样一些粒子

多个粒子它们的状态就是riσi

所以说这个就是给大家提醒一下

不要把这些东西的概念搞混

重复说一下这样的一个表达式

这个不是Fock Factor不是Fock_c

这个大家不要弄混

这个地方都是消灭算符

实际上它是作用在这个

真空上的产生算符

放在左边是个bra vector

好 那么像这样的表达式

我写一个就够了

波函数的这个你要把它写成

单粒子波函数的乘积

那就是说很多项

而我们这里一项就够了

也就是说我波函数的对称性

是完全由ψ的

它的commuting表示出来了

那么现在把二次量子化的

基本的概念基本的骨架都讲完了

下边我们要开始讲

二次量子化的应用

准备讲两个应用

一个就是密度矩阵

和二粒子关联系数

再有一个就是超导

现在我们开始介绍第一个应用

这个它谈到的就是Density matrix

还有2-particle correlation function

这个应用就要凸显出玻色统计

和费米统计它的不同

这两个东西都是讨论关联的

但是这个关联

不是由相互作用的引起的关联

而是纯粹的统计关联

刚才强调过玻色还是费米

在这一段大家可以参考

G. Baym 的一本书

叫做lectures of quantum mechanics

它的第19章

首先介绍单粒子的密度矩阵

Density matrix

我分费米子和玻色子分别来讨论

先讨论费米子

它的定义就在这里

它的符号就是G_σ

括弧里面r r'

这是两个position vector

这是一个粒子两个位置

它的定义就写在右边

我是把两个一个产生算符ψ^\dagger

一个消灭算符ψ

它的一个乘积

对于我的费米子

很多个费米子的基态φ0做平均值

所以这个你可以叫做是

expectation of correlator to psi vectors

就是这样一个东西

它的定义就叫做One particle Density matrix

为什么叫Density matrix呢

你想如果我这个地方这个r'

这个\prime没有

就是r

那是什么呢

这不就是Density operator了吗

这就是Density

现在我把这个Density

本来是两个都是r

我把一个给它错一错

错开了那就成为一个对角

变成一个matrix了

从对角的一个序列

就变成一个matrix

所以这个叫做Density matrix

这就是为什么它叫Density matrix

它的这个原因

如果我这个体系

是一个均匀的体系

比如说我费米子气体

它就放在一个容器里面

没有任何外加的势

所以它就是个均匀的体系

在一个均匀的体系里面

有个对称性

就是translational invariance

就是平移的一个不变性

或者叫平移的对称性

这是一个均匀的系统

均匀的系统

你要是在这里面选两点

讨论这两点之间的关联

那当然我实际上

我的最后这个性质

只和这两点的相对位置有关系

你把它平移挪到哪儿都是一样的

所以这个时候这个Density matrix

as a function of r r'

就写成这个下面这个样子

你看G_σ(r-r')

就可以写成这个样子

这是一个一般的性质

那么这样一个Density matrix

它本身是代表一个关联的性质

就是r和r'的关联

它的物理意义是什么呢

黄克孙在他的统计物理里边

有一个描述

他就说这是他的原话

roughly speaking

this is the probability that

having lost a particle at r'

you will find one at r(second)

他这个原话就说明就是大略说来

我用红字出来

为什么要有这样一个提醒呢

就是我们得个结果你看要看出来

大致说起来

密度矩阵它的物理意义就是说

你在一个体系里面

你在某一点r'丢了一个粒子

你在另外一点r找到它了

那我把他的话翻译一下

也是这个意思

就是说我只有一个粒子

你在r发现它了

你同时又在r'发现它

这是在同时一个粒子

可以在两个地方

这当然是量子理论的

这样一个特点了

它nonlocalized

这就是关于它的物理意义

一个粒子你在两点发现它

那么下面我就来分别来讨论

我现在只是先讨论

没有相互作用的费米气体

它自旋二分之一

我在0温的时候来讨论它

首先我们知道

你要算这个密度矩阵的话

你要知道它的基态

它的基态很简单

电子气的在T等于0的

它的这个密度

它的这个基态的这个状态

很简单你在动量空间来看

就是说我的这个粒子费米子

都在一个费米球里面

Fermi Sphere

它的球的半径就是Fermi momentum

这个Fermi momentum一会儿我下一页

大家可以看到它的表达式

就是说在这个球里面

有一个粒子你肯定

就在球里边找到了

在球外边就一定没有

所以它的这个动量的分布

就是在一个费米球里面

所以我写在这里

你看N of pσ

动量为p自旋为σ的这个粒子数

它怎么分布的呢

它就是说你把这个算符

在基态里边一平均

结果就是在费米球里面

p小于等于Fermi momentum

它一定这个粒子就在这

它不会在外边去

p大于P_f这个N就是0了

平均值就是0了

所以这就是当然都熟悉的

这是Fermi-Dirac统计

0温的

好 那这个中间的这个粒子数算符

Npσ我们知道

它就是a_pσ^\dagge a_pσ

我们用的就是动量的表示

动量的represention

好 下面这一些仔细的东西

就是告诉大家怎么求这个Fermi momentum

Fermi momentum你求出来就是这个

这个就是Fermi momentum

好

下面我们就直接就

来算这个密度矩阵了

算密度矩阵的话

这个它的定义是用sin定义的

这个G 密度矩阵它是用psi定义

它是一个

expectation value of vector ψ

这两个ψ在r一个在r'

可是它的分布那个φ0

在一个动量的空间给出来的

它是个动量分布

所以你看我们这里

就得找它的一个变换

从p表象变换到ψ表象

就是这么一个关系

所以我把刚才那个G里面的两个ψ

用a表示出来

那么这个exponential

你看这不就在前头了嘛

下面两个square root v这就是v

后面本来这是

expectation value of vaccum to ψ^\daggerψ

现在就变了a^\dagger a了

这是pσ和p'σ'

现在首先大家看后面这个

matrix element怎么来计算

这个很简单

它就是等于一个kronecker delta

这两p必须一样

你说为什么必须一样呢

你看我这个matrix element

实际上就是两个vector的scalar product

后面是a_p'σ作用在φ0上

就是你把那个基态拿来

你把里边有个动量p'的

那个电子给它拿走

抠出去了

而左边这个你看它在ket vector

它就是在这个基态上

把一个动量为p的粒子

给它抠出去了

你如果p不等于p'

前后的这两个状态不一样了

那它的kronecker delta当然就是0了

所以你必须得一样

所以有个kronecker delta_p p'

如果这俩一相等

它就变成了一个粒子数算符了

所以就是N_pσ了

好 有了这个关系

你把它跟前面你比如

对于这个p'求和

用掉了这个δ

得到就是下面这个式子

这个式子N_pσ我们上页给出来

在费米球里面它是1

费米球外面它是0

所以很容易你现在

把这个一个分粒子量求和

变成一个对于连续量的积分

因为这个p实际上非常的密集

如果你的这个体积非常之大

它就p的点是非常密集的

就可以用积分来计算

那上面这个求和

当然就变了下面这个积分

这个N在费米球里面是1

所以我这个积分

就从0到费米球的半径

就是Fermi momentum Pf

那这个1当然就是也在这里了

外面是0

就不用积了

这个积分积出来就得这个

我这一节主要讲物理的概念

这一些推导有的时候就简略了

就得出来的是这个

这个sin里面有个x

x是什么呢

就和原来你看r-r'

这是一个vector

我这个积分实际上最后积出来

它只和它的这个r-r'

这个vector的大小有关系

这个大小我就叫做（英文）

这个x这里的x就写在这

x就是kf乘上r就是

也就是pf是Fermi momentum

它over hbar 当然就写到kf

好 这个下面有一个曲线

一会儿大家可以看到

我着重要讨论是这个性质

这个Gs function for r

我如果我让这个x逼近于0

就是r逼近于0

什么意思

我本来就两点一个r

一个r'在空间分开的

我现在把这两点往一起聚

让它聚成一点

这个时候这个r就逼近于0了

也就是这个

这个x就逼近于0了

那么你把这两点聚成一点

r和r'合一了

所以Density matrix

就变了Density了

所以你看在这个情况底下

G of r就变了ρ of r了

那这个时候

你如果把后面这个式子

你算一下它的极限

然后整个的结果就是二分之N

这个的物理意义

在这要需要强调一下

第一我这个Density matrix

在两点趋近的时候

它和r就没关系了

它得的结果是二分之N

什么意思

我现在从头到尾这个计算

并没有进入就是

写在那是代在那的

这个（英文）它是一样

往上往下它是一样的

好了

我现在这个费米气体

它里边它是等权重

自愿往上往下等权重

所以你算一种

得出来的当然是二分之N

这个结果很当然trivial

没有特别什么要强调的

这个曲线给大家画出来

看在0点这地方是二分之N

这个Density matrix

就是刚才那个

用x表达的那个

就是r-r'的绝对值

就和x成正比了

那画出来就是这样一个曲线

现在我们就回到黄克孙的这个

说他的物理意义了

你一个费米气体

作为一个量子的体系

你就问我在一点找到一个粒子

同时我在另一点也找到它

那当然你这两点必须很近才行

一个粒子我找它在这一点

同时它又在很远

这个粒子在北京

我同时又在上海看见它

这个当然又不可能了

所以这个r要大的话

这是趋近于0的

如果我这个粒子就距离的非常近

在一个德布罗意波长里边

我找两点

那你说这个粒子是在这还是在那

这同时都在

所以这个地方二分之N

黄克孙为什么说roughly speaking

你看我这个定义

Density matrix的定义

两个vector的dot product

它当然可以是正可以是负

所以说你看我现在算出来的

这个Density matrix

这是正的到这变负了

然后这又是正这又是负

它是一个saturating fluctuation

趋近于0

那么如果你说它是probability

它就不能是负

所以黄克孙那个解释

就是roughly speaking

当然对于这两点离得很近

没有关系

它就是probability

远了你就知道它趋近于0就完了

好 这就是Density matrix

下面讲的一个性质特别

可以凸显出来

这个统计的这个意义

它叫做Two-particle

correlation function

二粒子关联函数

记号就是这个

g_σσ'(r-r')

一个粒子它是rσ

还有一个粒子它是r'σ'

前面这是个归一化因子

将来你这个G它就是归一化1

那后面有4个ψ product

其次序你看r

这个ψ^\daggerrψ^\daggerr'

接着是ψr'ψr

是这样一个次序

这是定义

好 那么刚才说过ψ0

这个分布是在p表示里面非常方便

它就是个费米球

前面有ψ是r表示

所以我得把它变成这个p表示

那就是下面这个式子

请大家记住前面这有个

p-p'

后面这个是q-q'

因为你做表象变换的时候

你不能重复这些指标

所以在这我是对p p' q q'

我这四个算符

它是四个不同的动量

所以这是对这四个都要求和

前面有一个exponential

后面有一个exponential

下边我们就来具体讨论

它的物理意义是什么呢

这个物理意义很简单

用不着roughly speaking了

就可以直接说它

就是有一个电子自旋是σ

你在r这里找到它了

那么你同时在r'

那找到一个自旋为r'的粒子的几率就完了

这个几率是在什么时候实现呢

是在你这个费米气体的

基态里面实现

所以这个地方它的求平均

是对这个基态求平均的

有意思的地方在于

你这两个粒子的自旋一样

或者不一样

它得到非常不同的结果

那我们现在看假定它不一样

这是个简单的粒子

假定不一样

那你在这看这个matrix element

你就发现它只能是在p等于p'

q等于q'

这个matrix element才不是0

因为什么呢

因为你p和q这四个本来是独立的

你现在把这个自旋一样的

它有两个自旋是一样的

我们现在回去看刚才那页的定义

一看它有两个自旋是一样的

第一和第四是一样的

是σ

第二和第三是一样的是σ'

我们现在假定这俩不一样

所以你要看它的话

你只能说这两个可以合成

一个密度矩阵的算符

它的动量不一样

自旋是一样的

那自旋一样你不管它了

这就是一个密度矩阵算符

然后剩下的依次

是一个密度矩阵算符

一个是σ'一个是σ

这是它是这两个不一样的

好 回来

所以如果你这两个自旋不一样

你只有一种配对的方法

就是一四配了对

二三配了对

所谓配了对你就是还是

刚才我讨论过的那个性质

如果你这个地方p和q不一样

a^\dagger_p a_q它的真空期望值

如果p和q不一样它就是0

一样了它就是密度矩阵

所以那你这个平均下来

那就是\delta pq乘上Np

只有一种配对的办法

那就是二三配对一四配对

在一四配对的时候

你当然要把这第四个算符挪两次

挪到前头去

现在p和q不一样

所以它挪一次换一个号

挪两次不换号

所以它就是两次都得的是N

两次都得的是N

那你这个就是不同的自旋

它的N是一样的

所以是四分之一N方

得出这个结果来就告诉你什么

它的自旋要不一样的话

它就没有关联

你看这个关联函数和r

和r'的相对距离毫无关系

说明什么呢

不同自旋的两个电子比如说

它没有关联

这是为什么

这是泡利不相容原理决定的

你把泡里先生请来

他一看

你这两个电子自旋不一样啊

自旋不一样它不算全同粒子

所以我不管

泡利不管

它这两个都是均匀的

所以两个二分之N

就是四分之一N方

这就是泡利不相容原理

不管了

好 下面两个一样

两个一样跟刚才两个不一样

有个什么特点呢

你看这四个σ都一样

你就不管它了

这个时候你的配对这个两种配法

一个和刚才一样

二三配对它就要求你q等于q'

然后一四配对

它就要求p等于p'

q等于q'

p等于p'

那个时候

就是我在这写的这个第一项

这就是有这样两个δ

好 这是刚才一四二三

我一二也可以配对

就是p'和q要配对

所以你看这是p和q'在配对

那就是二四然后是一三

这个配对就是有两种配对办法

一个是一三和二四

一个是二三和一四

二三一四和刚才一样在这里

那么还有一种配对的办法

就是一三和二四

就是后面这一个

然后下面这个matrix element

和刚才一样

配好了对的话

那就是有个Kronecker delta

所以这个地方就是这样两个N

不同的是请大家记住的是

原来我有两个exponential function

前面一个后面一个

你两种不同的配对办法

它这两个function不一样

你看我一四和二三配对

那就是p=p'

q=q'

这两个exponential都是1

一三二四配对

p=q'

q=p'

那这个时候这两个都还存在

所以你看我的

这个算出来的这个结果

就是这个exponential在这里

前一种配对办法它就是1了

后一种配对办法

这两个exponential都在这里

所以这个那就结果

就和刚才不一样了

这样你一看后面这个

我算这个Two-particle correlation function

得的这项和前面的

那个Density matrix表达式一样了

所以这个结果

就可以用我的Two-particle correlation function

可以用Density matrix的

这个表达式来表达

所以结果是这个

关于这些具体的计算

大家可以参考曾谨严的

量子力学下卷

里面讲二次量子化的时候

他也讲了这个应用了

所以我们得的结果你看

现在是两个自旋一样

它的Two-particle

correlation function

和r-r'就有关系了

当然最后你积分出来

它只和x有关系

就是只和这个vector的大小有关系

自旋不一样它就没有关联

而自旋一样的话就有关联

这个太自然了

这就是泡利不相容原理的结果

因为你两个粒子它的自旋一样

这时候它就是全同粒子了

全同粒子

那咱们两个就离的远一点

刚才说过

二粒子关联函数的物理意义

就是说一个粒子在rσ

另一个粒子在r'σ'

它的几率

如果你现在让这个r趋近于

r'的话 那就不行了

r要是趋近于r'的话

我们下面可以看见个曲线

这个时候

泡利不相容原理就起作用

你这两个电子就有关联了

你一个电子在哪儿

它就影响

你第二个电子的几率分布了

也就是说一个电子确定了位置

这第二个电子

就得想办法离它远一点

为什么呢

就是这个曲线我把它plot出来

大家看就是这样一个曲线

纵坐标这就是二粒子关联函数

横坐标就是两个粒子

相对的vector的它的大小

关联函数是0

一个占山为王了

第二个就得找另外一个山头

你要想占这个山头不行了

这就是泡利不相容原理

所以这里就是

量子统计在这起作用了

量子统计起作用

就是说玻色子全同粒子

下面那要讲粒子之间

有个亲近的趋势

而费米子泡利不相容原理决定

一个占山为王

你第二个就得离得远一点

那你就说究竟多近算近呢

我到你山根底下行不行

我到你山腰行不行

那你这个定量的概念是什么呢

定量的概念在这

这个性质就叫做费米子

它有一个反聚束的性质antibunching

就是说两个相同样的

咱们就离的远一点

它的定量的关系

这是在统计物理里边讲的

有一个叫量子浓度的东西

Quantum concentration

统计力学里的东西

你看和温度有关系

这个样的一个密度相当于什么呢

如果你算一算

这个时候在这个温度底下

我的电子的德布罗意波的波长

量子浓度的意思就是

密度是等于这个值的话

它两个电子的平均距离

正好就是一个德布罗意波与波长

什么意思

德布罗意波波长就是量子力学

就说这时候

你按经典统计就不行了

你要用量子统计

也就是说你两个粒子的距离

相对距离是一个德布罗意波波长

它到了这个时候

正好就是这个量子浓度

到了这个量子浓度

我这个二粒子关联函数的曲线

它就要从原来是1

就急剧下降

这个时候就到量子浓度了

当你两个粒子到一块

它就变成0了

好 现在我们休息一下