S6.5 Principle of superposition and the quantum decoherence在线视频

下面我们就逐渐接近核心了

下面讲的就是

在量子力学里面经常要用到线性叠加原理

principle of superposition也就是说你

\psi1

是你量子力学的一个解

赛兔也是量子力学的一个解

那么

把这两个合起来

做一个线性叠加

仍然是量子力学的解

这是经常要用的

那么当然你为了归一化

应该等于1

我们原来介绍过密度矩阵

density matrix

密度矩阵写出来就是左边是一个ket右边是

一个bra

这是个矩阵

写开来以后就变了4项

这4项里面第1项和最后一项

这个就分别代表我这个体系处在\psi1的

几率

|c1|^2 \psi2 的几率是

|c2|^2

中间这两项是包含了这两个component之间它的

一个coherencne

这是它的相干的性质

就是等于说你写出density matrix来以后

你看第2项和第3项

写出

density matrix就是在非对角项

对角项代表几率

非对角项就代表它的一个项的coherence

如果我对这个体系做了测量

做完了测量以后

这个体系就发生了一个冯诺依曼叫做

state collapse或者是wavefunction collapse

他要塌缩了

我本来是4项

中间两项没了

就剩下第1项和最后一项分别代表体系

处于\psi1的几率和处在\psi2的

几率

这时候我density matrix就是一个

mixed state

原来的rho是puse state经过了测量以后

变成一个mixed state

中间的coherence是没了

怎么没得有不同的做法

我们下面主要要讲的

好

所以这个时候经过了测量

这是经典

都可以接受

你说我这个体系我经过了测量

它处于第1个状态的

这个几率是|c1|^2

第2个是|c2|^2

这个是几率

经典物理也可以接受

关键就在于他这两个component

\psi1 psi2

它的相干的部分的phase没有了

就是这样的一个状况

好

所以说这就是刚才那一段话的结论

经典也可以接受

既然经典可以接受

为什么你说量子力学我们认为它就是一个

正确的理论

对于微观它可以应用

对于宏观它也可以应用

那么我们就问为什么有的时候某很多宏观

体系他都没有principle of superposition

没有这个东西

有这个东西就矛盾了

最尖锐的薛定谔猫

这个就是把波尔最后逼得没办法放弃他的

要求的这样一个例子

所以薛定谔还是做了好多的好事

薛定谔猫就是一个重要的例子

说的是什么呢

好

我把一只猫还有一个放射性的和

还有一个探测器放在一个箱子里面

这个探测器如果他接收到了我放射性核的

放射性产物的话

它就能够启动一个机构放出毒气

这个时候猫吸了毒气就要死

这个体系

大家看这猫的命运是怎么样

我们知道放射性的核

他什么时候衰变的

是个随机的

如果他他所有的寿命是多少

那是一个统计下来

它平均值在那或者叫周期的一半半周期

所以放射性的核他的是否衰变

这是一个随机的现象你不知道

所以这猫死不死也不知道

他要不衰变猫就老活着

他一衰变猫就死了

所以薛定谔对这个体系的波函数就给出来了

好

如果说原子核的衰变不衰变

它的波函数

我用这样的东西给出来

朝上就代表不衰变

朝向就代表衰变

那么所以这时候猫死不死

波函数在这儿

你看

如果我的放射性核不衰变

就是朝上

这个时候猫只是笑 活着

但是放射性衰变不衰变是随机的

它要用这样一个波函数给出来

所以如果放射性核一衰变坏了

猫就死了

哭了

所以你看这猫的命运也跑到叠加里边去了

放射性和猫组成的体系

它可以有一个量子力学的波函数

而且是满足量子力学线性叠加的要求

这不挺好吗

但是又坏了

你这猫你如果按着脖子说话

猫当然是个宏观的一个动物

猫现在描写猫的波函数

猫或者是活着或者是死的

而且这俩还得相干

也就是这只猫你把他关到笼子里头

那就成了一个设定跟猫它的状态

那就是活猫和死猫在那干涉

这叫什么

你宏观上说不通

所以这就给波尔出了个难题

波尔就不得不承认薛定谔

巧在他把宏观和微观用因果给你给耦合

到了一块

就成了一个线性叠加的体系

玻尔就不得不放弃他原来的要求

但是你猫活还是死

我们按照

density matrix的要求

你得想办法把density matrix变成一个

mixed state

猫宏观能接受是什么

我打开一看

这个猫或者是活的或者是死的

不能是一个活猫跟死猫干涉的一个状态

对吧

所以你得把density matrix的

非对角的那两项就得去掉

所以波尔就不行了

去掉了那两项就发生的现象叫做退相干

decoherence就是原来density matrix

第2项第3项就代表黄猫死猫的干涉

或者是活猫跟死猫的之间的phase relation

phase coherence你要想让宏观接受

你得把density matrix 非对角两项拿走

下面要讲的是冯诺依曼先生的做法

他说这两项你就得拿走

才能过渡到宏观

才能发生decoherence

但是我们现在的立场不同了

我们认为量子力学是个普遍的理论

你用到设定的猫

你就得从量子力学出发

让density matrix的那两个非对角项

让他作为量子力学的结果消失掉

这个就是一个最难的挑战

我们当然首先做的还是冯诺依曼先生的

他想办法把它拿走

但是拿走以前它还有一系列的重要的贡献

就是探测仪器和你的体系之间的关联怎么

建立

什么意思呢

我比如有个自旋1/2的体系

它自旋朝上或者朝下

我现在拿一个测量仪器来量

比如这次量着上下测量

朝下量很多次

你发现朝上的几率1/2朝下的几率1/2

你就知道你mixed state前面的两个系数

是相等的

上朝下几率各自一半

冯诺依曼做的是用量子力学把仪器和体系给

它耦合起来

写成一个superposition

这个时候你就可以产生我的仪器可以做

测量

这就是为以后的工作打下了一个基础

所以虽然他企图最后你就发现他并不成功

因为它取消掉一个是你体系和探测器的

相干

它会变

你会变就不行了

你量出来是什么

就是什么地儿

他测量怎么样把

density matrix

除非对

然后拿掉

这是冯诺依曼先生用手拿掉

我给拿掉了就完了

那不行

我们现在要求用量子力学拿掉了

好

所以下面就讲冯诺依曼 冯诺依曼就是把探测

仪器也用量子力学来描述

我的体系当然是用量子力学描述

然后之间给它一个相互作用

具体的如下

我们的体系写本很简单

就是我刚才举的例子

自旋向上或者向下

够了

这个就组成一个正交归一完备基了

那么朝上或者朝下

这当然在量子力学里面是sigmaz

状态

对吧

sigmaZ作为力学量

它的本征态朝上朝下就组成了一个正交归一

完备基

但是我们描述自旋

我除了用sigmaZ来作为力学量以外

我也可以用是一个sigma x

作为力学量

我也可以用是一个sigmaY作为力学量

用sigmaX做力学量

它的本征态

沿着X轴是正的1/2

还是-1/2

我就用加和乘来代表 那么加和乘原来

沿着Z轴的上朝下是个线性叠加的关系

知道吧

好

同样的sigmay沿着Y方向的自旋占1/2

-1/2

我用往右和往左来代表

他们和原来的Z方向的这上朝下是这样

一个叠加的关系

原来是两个实时的叠加

这里都乘上一个\pi的phase factor

这个是讲的体系

好

下面讲探测器

冯诺依曼做的跟原来的体系很相似

这个探测器他的只是有两种指示

那么我可以让他试探测 笑了

或者探测器哭了

这就是探测器的

我叫tauz的本征态

但是我也用taux的本征态

那我叫加减

也可以用这个tauy的本征态

我叫尖朝上坚朝下

对吧

也分别的都是原来哭和笑的线性叠加

好

冯诺依曼下面说我的仪器和探测器会有个

相互作用

你看冯诺依曼是非常巧的

什么相互作用呢

这个Hamiltonian S代表

system

D 代表detector

这个Hamiltonian

都是由一些projection

operator组成的

你看前面写的是探测器的

projector

是探测器尖朝上的指示的projector

这个是叫尖朝下的好

projector之间我线性组合用符号

我体系跟探测器来相互作用

它通过这个来相互作用

前面这一项是往上这个状态的projection

operator

后面是往下

中间是个符号

当然探测器和仪器它是独立

所以中间是一个direct product

相互作用的强度

用g来代表

还有个强度

具体的就等于gh后面这两个括弧的

cross product

我叫做H H有个极好的性质

什么性质我来算

HSD的平方

它的平方就是G^2 H^2对吧

所以就是G^2

然后括弧和括弧自己成

因为他们是独立的

前面和括弧乘后面

括弧和括弧乘

前面括弧平方是什么

你看尖朝上的projector和尖朝下的

时候

projector

它是彼此的作用都是得0的

所以你一平方就得出来第1项的平方

第1项的平方还是第1项的自己对不对

加上尖上尖上乘上尖上尖上 中间的这个bra 和ket

product 是1

剩下的前面有个朝上

后面有个朝上

所以第1项的平方还是第1项

第2项的平方还是第2项

前面一个符号后面变正了

交叉项是0

所以等于后面这个也是一样的

第1项乘第1项平方还是第1项

第2项乘第2项平方

还是第2项负号变正号

可是这俩咱们认识尖朝上的projector

加上尖朝下的projector

他们就完备了

没别的

所以这就是一这是一个算符1后面还是

一个算符一

所以结果就是G^2

前面是D空间的算符一

后面是S空间的算符一

所以还是妙极了

SD的平方项就是G平方

*1

那么我H的平方 G没有了

所以H的平方还是1

那就好了

H的三次方是什么

那还就是H因为其中的两次方一了

剩了一个还是HH的4次方又回到一了

所以奇次方全是H偶尔次方全是一

那好极了

我的time development operator就完全

一致了

你看

我的time development operator

就是在这里

这个我的HSD就写成

现在exp我可以把它展开

所有的奇次项

应该是前面乘上sin的对吧

而奇次项还剩下一个H在这里第2项

所以你看sin出来了

还要留下一个H前面当然是A是吧

就是这有个负号

所以这是

偶次项没有H都是一

所以结果就是一个cos

exp肩膀上有算符的家伙

我愣给你都搬下来

而且没有近似

这太棒了

好了

这是time

development operator有了

我就假定我时间等于0的时候

我的体系和探测器的状态我都给出来了

你看体系是A朝上加B朝下

探测器也是笑 这俩

中间是一个cross

他彼此是独立的

规体系是处于前面的

圆括弧状态

这个探测器就是笑

这就是我时间等于0的体系和探测器的

这个状态

我现在用我的time development

operator作用一下

就这个都会算

我现在把h改写一下

原来是尖朝上和尖朝下

但是我现在这儿探测器我用的只是是笑

或者哭

所以我得把尖朝上脚朝下变成笑和哭

那很好变出来就是

所以我现在就是他 好有了

我现在把time development operator

作用在\psi

很简单的

你作用在T=0的state

那就得出来下边的这个 为什么你看这个

地方

我的system

我的体系的这个地方是往上projector减去往

下的projector

作用在我T等于0的状态

上 往上projector

这是+1

所以这就是A 往下的projector -1

所以这就是B往下

所以作用在体系上就得到了结果

A向上加B向下

后面探测器的时间可能是他作用在P等于

0是笑的

所以你只有笑的起作用

那就是他还是笑的就得到结果

这个是我H是作用上去的

得的是A是往上减去B往下在这儿A

往上减去B往下

T=0的时候

这个仪器只是我让他是哭

所以在这还是projector哭的状态

所以还是哭的这个情况是我H作用上去

所以是代表我的奇次项

是刚才这个地方是\psi 请大家看

我的time

development operator 奇次项有个H

所以我一作用得到

这是奇次项作用的结果

前面还有一个

所以就还在这

而偶次项就是个cos

后面是个不作用

所以我直接把T=0的state就写在这

那么

T=0

在这儿我直接把它写到这前面是个cos

得有了都齐了

这个就是我把time development operator 作用

在T=0一个特定的状态上

所得的结果前面是even power

后面是odd

power作用的结果

我下面来看特例

我现在来看

经过了T的时间

在这里

这么一段时间

当然有了这个就是cos和sin都可以

给确定值了

正好是周期的1/4

所以都是45度

这俩就相等了

你看得出来的结果是什么

向上的A向上

就在这

cos和sin他是相等的

对吧

都有一个相等

比如说state在那

然后向上和向下的他就正交了

因为一个哭一个笑

他就正交了

现在一个向上一个向下

然后向下的这一个

我得到的就是B还是B向下

不过这里这个符号有一个变化

本来是笑现在是哭 哭+笑

你两个情况不一样

一个前面这个得的是负号

后面得的是正号

哭和笑

它的线性叠加会出来负和正

所以你把这个时间带进去以后

仔细一算

就得到了下面这个结果

重要的在于如何诠释

你一看本来我这个探测器在T等于0的

时候

探测器和仪器是独立的

探测器是归他探测器自己归自己哭

而我的体系一个向上一向下是一个是superposition

但是我经过了1/4周期以后

你就发现体系的状态和探测器的状态有了

关联了

什么意思

现在告诉你

探测器如果给出负这个指示

我就知道我的体系它的自旋是朝上的

几率振幅是A如果我的探测器得到的只是

正

我就确定我的体系处的状态是朝下

而且几率振幅是B这就太好了

这就把体系和探测器不就连上了吗

我探测器的不同的只是就告诉你体系是

处在什么状态

这岂不就是解决了测量的问题了吗

不过大家不要高兴太早

我这只看了1/4周期

下面看这个半周期

半周期

你还是照样计算

你就会发现哪坏了

我1/4周期的时候

体系和探测器刚刚好有了关联

到了半周期了

体系归体系

探测器

归探测器 关联没了

我再来1/4周期

到了整个的3/4周期

这个时候坏了

为什么

原来体系往上是和探测器只是是负关联的

体系往下是和探测器是正关联的

现在把这关联到了个了

好了

我现在探测器是给了正的关联

我问你体系是朝上还是朝下

不同的时间它的不同的关联

你这仪器是不好用的

所以说这不行

这是一个问题

还有一个重要问题

就是说我刚才举的这个例子

正好是我仪器和体系的关联导致了我仪器

的正负和你体系的朝上朝下

关联

我问测的是体系Sz的本征态

我的仪器可不可以测你这个体系的SX本征态

可以SY本征态它也可以好

我怎么做

这样就可以做

我把1/4周期普遍的结果

我把它拿来改写一下

我把上和下

我用SX本征态来改写一下

我现在我可以把我探测器的量什么给他改

一改

原来是sigmaZ对吧

量出来的

只是我的体系是朝上或者朝下

现在我把我1/4周期的结果拿来看它一个

特殊的情况

这个是1/4周期的普遍结果

就按刚才T=0状态还是给定的

相互作用还是给定我得的1/4周期的普遍

结果是他

我现在看它一个特殊的情况

A和B我都设定它是根号1/2

所以现在你就可以把它归并一下

归并一下以后

你把向上和向下

你就可以用加号和乘号来代表加号和乘号

是什么呢

代表的就是我体系

我现在要测量它是一个sigmaX的本征态

那两个本征态

一个是加号

一个是乘号

所以现在1/4周期

你刚才关联是我探测器的加号和减号

告诉你体系的sz是朝上还是朝下

现在你在一个1/4周期的一个特殊的例子

那么刚才你当然A和B也可以相等

你得的还是原来的

只不过A和B是特定值

现在我仪器的指示变了笑和哭了

体系的状态

不是是向上向下

而是变了加和乘了

变了sigmax的本征值了

所以按照原来的那一套形式

放冯诺依曼先生把仪器和体系来一个相互作用

可能得到关联

原来的坏处看出来这关联会变

而且会没有 现在还有个不确定性

你究竟要量谁

你按你原来的那一套formalism没有给出来

你有灵活性

你这个仪器到底是量什么的仪器

所以原来一套formalism不太好用

所以现在就明白了

冯诺依曼先生原来这个工作还是有很重要

意义

下面我们就知道该往哪努力

还有冯诺伊曼先生另外的一个工作

这个工作它管它叫做波函数的塌缩或者

叫做状态的塌缩

state collapse或者是波方程

collapse

具体的说就是你在density matrix

本来有4项

你一测量就把第2项第3项拿走了

怎么拿走的

冯诺依曼老爷们当然也可以说

你一测量就拿走

我不测量

你不测量

你这个体系原来的coherence 是不是还老存在

不是我们下面要证明 state collapse

是在一定条件底下

decoherecne 就这两项就没有了

所以实际上冯诺依曼是用手把这两项给拿走

的

一拿走以后

density matrix就变成了一个mixed state

是吧

是朝上还是朝下对吧

几率分别是

所以我们的努力方向已经完全明确

第一我们接受冯诺依曼的遗产

把探测器和体系你要有相互作用

有了相互作用

你才能有关联

当然要解决冯诺依曼工作原来的缺点

第1个缺点量什么你不知道

现在我得想办法

实际上下面我们要讲的是Zuric的工作

他就把环境引进来了

引进来环境以后

让环境和体系和探测器都有相互作用

相互动的结果就要解决冯诺依曼的第1个

缺点

量什么不确定

现在他让环境进来以后的关联跟体系

探测器的关联

首先是探测器的关联

就确定了你要测什么

这也就是说你这个探测器你是要测Sz的

你就不是测SX也不是SY它要把它确定

下来

第一第二

你这个探测器和体系的关联

也就是我探测器的不同

只是要告诉你我的体系处在什么状态

这个关联不能变

也就是说把测量什么

确定下来以后

你得想办法

用这个环境把刚才第2项第3项

density matrix这个代表第2项第3项代表

coherence要把它取消掉

就是发生decoherence

强调现在我们要做的是让量子力学的规律

把这两项给除掉

你不能拿手拿你量子力学相互作用体系

探测器和环境

都确定

初始条件确定了

相互作用确定

下边的工作完全让量子力学来做

让量子力学通过随时间的演化

决定测什么

决定把coherence term是拿掉

然后最后把关联给它定死

这就是我们以后要介绍的入Zuric的一个

重要的工作

也就是实际上是我们这这一章的相当核心的

这样一个内容