S5.5 The Berry phase(2)在线视频

Berry在1984年

做出一个很重要的贡献

我们刚才讨论在Bohn-Oppenheimer近似里面

你这个R变的慢

那我提的问题

就是我在0的时候开始

t等于0开始

等到时间演化到t了

这时候的波函数你怎么写啊

原来我们只写了后面这一块

这个不行它不好

它不满足薛定谔方程

它只有在R.趋近于0的时候

它才满足

R.你可以让它小

这是你近似的要求

但是不能趋近于0

好 所以原来我们前面有个am of t

讨论了半天这个am of t

就是说如果开始我是an of 0

正好等于1

那么adiabatic theorem告诉你

发展到时间等于t了

我这个状态还是处在n状态

但是那个时候你就问了

我这个an of t

你说不是1了可以小一点

到底是多少

没有确切给出来

而且这个原来

就在量子力学教科书

Schiff教科书里边

它这曾经讨论过

就是如果这个前边我乘一个phase factor

这个红颜色的

就是Berry引进来的这个一个phase factor

在那个教科书里就是说

我定义adibatic eigenstates的时候

是解了这个方程

薛定谔方程

我这个方程并不给出它phase factor

你两边乘一个同样的phase

它还是对的

所以说你这乘白乘

你根本就可以把它吸收到这个里

这个错了

因为从Berry的工作来看

我们往下看

前面的这个phase factor

也是一个和R变化路径

有关的一个phase factor

它也就是nonintegral phase

所以你吸收 不好吸收

那我问你吸收的是哪一个

它是随路径不同它会不同的

所以这一点是非常重要的

好 Berry做的工作就是

我后面这个不满足薛定谔方程

我只要乘一个phase factor

我就可以让它满足薛定谔方程

从此我从这个里面我得到γn.

然后求出γ来就是这样

其实这个你代一代就知道了

当然你必须得破除了

原来量子力学教科书给你的禁令

说你白乘我不白乘

我乘上了以后

我看它应该满足什么条件

那很容易

一代进去

你就发现我就可以知道γn.

实际上

它完全就可以用adibatic eigenstates表示

这地方有个\frac{\partial}{\partial_t}就是了

这个\frac{\partial}{\partial_t}

因为后面的这个eigenstate包含R

R是t的函数

所以你要求它

求的时候刚才说过

你就取个gradient

前面还有一个R.就完了

所以γ.有这两种写法就是了

那么有了这个你γ是什么呢

那γ好办

我这个地方把dt乘到这来

然后积分变量我改成τ

所以这是\partial \partial_τ

乘过来的是个dτ

我积分从0到t就完了

所以这个就是γt应该的就是这个

那当然我有个初始条件

就是在t等于0的时候

γn of 0就是0

这样的话γt就是它

完全用adiabtic eigenstates表示

那你说真正有意义的东西

那就在下面讨论

这个循环的过程的时候

那你就看出这个Berry's phase

它的物理意义是非常重大的

好 那么下面我们就来看

刚才我们有一个条件

就是说有一个矩阵元它是纯虚的

就是这个矩阵元

我们证明的时候

也就是说它加上它的共轭等于0

所以它是纯虚的

那我们从这个来看

回头看刚才Berry得的这个γ

γ就是这个

我们说的那个纯虚的

就是后面的

这个东西是纯虚的

这个是个纯虚数

前面乘上一个i

所以说γ就是实数

或者你从这看也一样

这个是个纯虚的乘上i

γn.是实数

可是你初始条件给的是0

所以它以后怎么演化也还是实数

所以说这个γn这个phase本身

前面这是个phase factor了

这个phase本身是实数

这个先闹明白

它是个实数

好 现在我们用一个写法

就是说刚才

把这个\partial \partial_t的那个

给他写成gradient了

就是这一项请大家看这一项

这是个gradient

我给这个gradient乘上i起个名字

叫做a

这一起名字

所以γn.就是i.点乘a

就是这个东西

你看果然我在这里

我给这个东西起个名字

这个后面这个乘上i叫做A

所以γ.就是r.a scalar product

Berry提这个问题为什么有意义呢

有意义在这

我现在就看个参数r的变化

在这个参数r的空间里面

r是一个矢量

这个矢量随时间它可以在那变

当然它也可以变来变去

变来变去又变回去了

回到原来那一点了

所以这个时候

这就是一个循环过程

是个cyclic

当然也还要很慢

是个cyclic adiabatic process

好 我时间等于0的时候

我这γn是0

我现在让r变化

在r的空间里面

兜了一圈回去了

那你这个时候γn会不会是0啊

Berry说好请看下面

他就把考虑γn of t-γn of 0

我一经过t时间

R回去了看这个东西等于多少

当然它就是Rn.的积分

从0积到t

我刚才说过Rn.我把它写成

Rn\dot A了

就把它写成这样

也就是这个了

好 你现在从0到t这段时间里面

你的R兜一圈回去了

这个地方是dRdt乘dt

所以它是dR

就是刚才这个对时间的积分

就变成了一个在R的参数空间里面

一个封闭的线积分了

而且这个封闭

因为你从0到T

你的R正好回到原来的地方

所以这个时候这个contour

在这个参数空间里面的

一个封闭的线积分

Berry给它起个名字

叫做γ_n of C

n就代表我做这个

绝热问题的考虑

不过参数R它变得很慢

那么开始的时候

它处在n这个状态

转了一圈回来了

Berry告诉你

你那前面有个项因子

那个项因子

那个γ就在这就是这个

它就管它叫做γC

C就是个close contour

就是这个东西

那在这里我们用一下Stokes定理

用了Stokes定理以后

你就发现

这个是个dR\dot A了线积分

那你就变成一个surface integral

surface integral

就是你这个R在参数空间变

画了一个封闭的面积

它就围了一个面积出来

这个面积叫做S

所以刚才的line integral

用Stokes定理变成surface integral

这个地方就是close of A了

这个是文献里经常管这个

叫做Berry's phase

Berry's phase就是

Berry给那个波函数前面

放了个phase factor

如果你这个绝热演化是一个cyclic process

那这个时候

你这个phase factor并不是1

它那个A并没有回到原来那一点

所以说这个时候

这个Berry phase就是非常重要的了

在这里

它就是用adiabtic eigenfunction定义

因为这A它的这个定义在这里

这就是A的定义

你看它就是用这adiabatic eigenfunction nR来定义的

也就是Berry's phase

是R的参数空间的性质

R的参数空间

我们往下例子里面可以看到

它可以是普通的空间

它也可以是动量空间

也可以是个一般的

就是R的参数空间

好

这个就是Berry's phase的定义

一般的情况我们来看

在这Berry's phase它是curl of A

就是在参数空间里面取curl

把这个A取curl

当然一般来讲它并不是0

所以这个Berry's phase

是非常重要

在这你就可以看出来

它转一圈等于0

所以你在这个圈上边可以选两点

从一点走一条路到第二点

还有一个另外一条路到第二点

这俩是不一样的

因为否则你不会转一圈得0

所以说原来的那个Berry

在波函数前面

加的那个phase factor

你不能按照Schiff所要求的

你可以把它吸收进去

你吸不进去因为它是个path dependent

这就非常重要了

我们现在看的Berry's phase

是一个几何项

因为它是让那个R慢慢变

慢到什么程度你没说

很慢可以

更慢也可以

和它那个速度没关系

所以它是个几何项

而且是拓扑项

就是你这个R在那变的时候

只要不惹到一个起点

这个起点我们下面

在例子里都可以看得到

我这个上面画的

这个封闭的这个路径

那不去碰这个起点

这个时候

我就有了有定义的Berry's phase

而这个是个拓扑的

因为你这个画这个路可以随便变

只要你不碰起点就是了

这个拓扑是谁的拓扑

就是R参数空间的拓扑

根据你的物理上的实际情况

你这个参数空间是什么就是什么

可以是实空间也可以是动量空间

那也可以是个一般的

一个随便的一个空间

拓扑就是这个空间的拓扑

大家会提一个问题

为什么我刚才那个有一个东西

我定义它叫A

为什么叫A

这个东西为什么叫A

我这不是白叫的

你现在来我把我的波函数

也就是我的这个adiabtic eigenstate

做一个相变换

phase transformation

那你就看我这个A怎么变化

A是哪来的呢

先得求gradient

现在求gradient的时候

你就有两项了

因为这个θ是R的函数

eigenstate里边本身又有R

所以你得变成了两项

也就是A当你的eigenstate

做相变换的时候

A怎么变呢

A的定义在这

它就变成了这样两项

这两项后面这个

就是一个原来的A对不对

所以它就是A就变成原来的A

减去一个gradient

任意函数

原来我没说θ什么函数

是个好函数就行了

所以你看这个A正好就是那个gauge potential

也就是connexion

也就是这样的话

就把这个Berry's phase

跟gauge potential联系到一块了

所以说我们刚才两个变换

一个变换是波函数的变换

它乘了一个phase

一个变换是A的变换

后面一个-gradient

所以这个A就是一个vector potential

因此这A也就是connexion

所以往往一提到这个A

就叫Berry's connexion

Berry's connexion

就是指的A这样的东西说的

好 那么这就是Berry在做报告

他当时做报告的那么一个照片

所以刚才的结论就是A是gauge potential

也就是connexion

那curl A当然就是B了

这就是

这是Berry curvature

所以这个就是在

慢的原子运动的时候

你这个参数转了一圈回来

它有一个Berry's phase

它在物理上是很重要的

那么在计算的时候

你看γC本来的定义通过A定义

这就是一个curl

那你把A的定义拿来

curl现在的这个

作用在bra vector上

也作用地ket vector上

所以下面就可以得出这个来了

原来你做展开的时候

这个它所有的m

现在在你算到这个γ的时候

它求和

m是不等于n的

为什么

你要m等于n的话你看

刚才说过像这样的一个矩阵元

是纯虚的

纯虚的乘一个纯虚的是实数

这个实数你前面求它的imaginary part

当然等于0了

所以那项自动地就掉出去了

就不用考虑不去包括了

在证明这个过程的里边

那你要用到这curl curl是0

然后中间塞了一个1进去

就是这是证明的过程

好 现在再继续往下运算的话

来算这个括弧

算这个括弧的时候

你这样来算

你把这个adiabatic eigenfunction拿来

前面取它的gradient

在左乘一个mR

那自然就得出来

这样还都是比较简单的

简单的运算我就在这不来重复了

所以你就把这个γn of C

这就是一个cyclic process下来

我前面那个Berry's phase该多少

就是这样

这个式子以后

我相信都会经常看到

算这个Berry's phase的时候

经常要碰到的

那刚才那个后边的那一大套东西

写的简单

就叫V

V其实有一个分数

上面是两个matrix element cross product

下面是能量分母

就是那个东西

好 下面就说实验里边

怎么来表现出来

我们看到刚才那个式子

觉得很麻烦

你看多麻烦

两个这样的matrix element cross

还要求和

然后还积分

其实你一个具体的例子来看

就很简单

第一个例子就是Berry

自己在1984年就建议

可以做这样的实验

好 这是个什么问题呢

那我们知道现在我有一个磁场

这个磁场它的大小不变

但是它的方向是可调的

好 我放上一个例子

这个例子是有自旋的

这个磁场在这里

B是确定粒子的自旋

是围绕这个B要有个近动的

那这个近动是个快运动

这个B的方向改变

是实验家控制的

我让它变得很慢很慢

这就满足adiabatic 这个要求了

而且我让它从一个地方开始

沿着这个curve C

然后转了一圈以后回来了

在这过程里头B的大小是不改变的

就是它的方向改变

兜了一圈回来了

那我问Berry's phase是什么

这种情况实验物理学家

爱用人世间的关系来表示

它们在这种情况就叫做vector S is slaved by vector B

就是S矢量被这个B矢量所奴役了

就是S是仆人 B是主人

主人在那散步

慢慢慢慢在那散步

这仆人就得随着主人的身边

在那打转

得伺候主人

所以这叫做S is slaved by B

这个是一般大家

文献里面会经常看到的

好 我们现在看

实际上你算这个矩阵元

那一大套东西是很简单的

先看Hamiltonian

Hamiltonian是什么呢

就是自旋

有了自旋它带电荷了

这个粒子就有磁矩

磁矩围绕B在这有个近动

那么下面我们来看这个问题

怎么分析

Hamilonian很简单

这是h(B)

B就是那个慢运动的参数

它是什么呢

就是-μ.B

μ就是我这个粒子的磁矩对不对

粒子的磁矩是什么

跟它的自旋成正比的

自旋是S

前面有一个gyromagnetic ratio

回转磁比例乘上hbar

所以μ.B最后的

除了一个常数以外

就是S.B或者B.S

那B.S或者S.B是什么呢

就是我这个自旋

在B方向的这个分量

再乘上B的大小

那么S比如说某个自旋给定

它的分量在某一个方向的分量

当然是在S和-S之间

所以n就是一个数

好 你解这个方程已经告诉你

本征值是知道的

本征值就是这个-κhBn

这个就是本征值

它是因为你这Hamiltonian

你n确定的话它就是个常数

所以你这波函数甭写了

这直接就有本征值了

好 波函数

我就抽象的就写成|nB(t)>

这个n就代表那量子数

我是哪一个分量就是了

也就是说我下面求矩阵元的时候

要求这个h它的gradient

gradient当然好算

一算就是这个κhbarS

把S恢复了

把S恢复

因为它对于B求导数

这个B就没有了

这个n是代表一个分量

你现在求它的空间的vector的值

当然你把n就恢复成S就完了

好 有了这个

我一代入原来的公式γC是什么

γC就是负的积分dS\dot Im V

V在下面可以算出来

所以这个γn就是-\int dS.V

V我下面就算

好 V就是这个

看起来很麻烦其实一点不麻烦

因为那个Hamiltonian里

剩下的就是个S

S在它两个分量之间

一个分量是m一个分量是n

它的这个矩阵元是知道的

Sz它是对角矩阵元

你m一定要等于n

我现在m是不等于n的

所以那个z的矩阵元就没有了

这是个cross product那也好办

那是什么呢

我求的这个cross起来

是一个矢量

矢量的z分量S就是x

这个x就是xy

然后减去xy的 matrix element

乘Sx的matrix element

所以你一算它的z分量

我现在把这个z轴就放在这个

我的磁场的顺时的方向上

这就是z轴

所以你一下就算出来了

只有SxSy

才能够使得m和n差别为1

因为它不是增加1就是减少1

所以这个n和m它必须只能差1

也就是说我这个矩阵元在这

都给大家写出来

你看这是Sx的矩阵元

这是Sy的矩阵元

n和m只能差1

给出来了

有了这个以后我V一下就算出来

V现在算的是z分量

因为只有SxSy的矩阵元不为0

而且n和m只能差1

那这个时候算出来只有z分量

就是这个是z分量

这是个瞬时的

我B还在那转

所以说那我就可以

把它恢复成用B来表示

上面是vector B

那你多乘了一个B

下面这个地方就是BQ

一看这个大家太熟悉了

今天学你算点电荷的电势的时候

你就可以发现你是E的magnitude

被E的3次方除

这就是和点电荷的电场

是很相似的

所以在这个地方是个什么呢

你发现原来

我算刚才这个问题的时候

那么虽然在物理上

你并没有哪里有什么monopole

但是你算它的

这个Berry's phase的话

实际上你得的那个V

就相当于你在B的这个起点

这个地方

放上一个monopole一样

放上了一个monopole

所以它产生的磁场就是B/BQ

我们刚看这个问题

就是我这个地方

在B的原点的地方

有一个magnetic monopole

B在这它的参数空间里面

画了一个封闭的曲线

最后这个Berry's phase是什么

是B/BQ

前面还乘一个n

那这个就相当于

我在这个地方放了一个magnetic monopole

它的大小是n个单位

它所产生的静磁场

那时候的磁力线通过这块面积

就是我这一个surface integral

好 那我们现在再回来

看刚才那个结果

刚才那个结果就是在这了

这个其实就是你V

对于那个dS一积分

就得出来的是Berry's phase

这个Berry's phase

就是你通过那块面积的磁通

就是磁通

所以这一项它的物理意义

也就很明确了

结论在这里你看

这是Berry's phase

我算的是这个

我把Vn算出来

就是nB/BQ

有了这个以后

那.df那当然就得到

其实这个得出来的除了n以外

你得到的就是你这个B在

它所画出来的那一块面积

所张的

在那个B的原点那里

所张的那个立体角Ω

也就是你放了一个磁单极

是n个单位

于是你通过在这个立体角里面

这个磁通

这就是你的Berry's phase

这样一放在这里

这就是Berry's phase factor

也就是这个时候

就实际上拓扑性质

就是由于你在那个原点那个地方

相当于放上了一个磁单极

那个B的原点那个地方是个起点

你只要你上边的

那个画出那块那个曲线

不碰这个磁单极

就是一个表现出它的拓扑性质

其实Berry

在发现了这个事情以后

他就讨论的一个最简单的例子

就是一个自旋被磁场所奴役

这个主人在那里慢慢地散步

这个时候这个slave在那转

转了一圈以后并不回来

回到原来那一点

插在这个phase就是Berry's phase

Berry后来写了一篇通俗文章

1990年在phys today上面

他讲了这么一段话非常有意思

其实Berry就说我发现的物理里边

Oppenheimer这个粒子里面

发现的这个phase

在经典物理里早有了

就关于有一个慢变的一个参数

它走了一圈出来一个phase

这个在哪儿有了

他就说在光偏振

在设定频率波

在分子物理

在矩阵数学

和封闭曲面全有了

他就找了好多例子告诉你

这不是什么新鲜的东西

所以当然Berry说来也有争论

因为那本来人家认为

你教科书都告诉你了

那个地方你有phase你吸进去

可以吸进去的

但是Berry并没有那样做

他研究这个封闭的一个线

引起的效应

对于一个cylic adiabatic process来讲

它是一个phase

这是一个非常重要的

好 那么我们下面来看

还有一个大家都知道的现象

这就是Focault pendulum复合摆

他们到北京天文台去看复合摆

复合摆就是在天花板上

吊下来一个摆来

这个摆在那里摆

摆的时候当然有个条件

它在上面它这根线

和上面那个悬挂它的那个点

它在这摆来摆去的这个平面

不能够绕着这个垂直线

来做任何的转动

这个是它的条件

好 现在在

这就画的是个地球

这里你看这是地球的北极

画的这个圆是一个纬度圆

这个就代表北京天文台

地球自转24小时转一圈

这北京天文台比如一开始在这

这个时候

它那个摆的这个方向在这

这是摆的方向

这样转转转转

转一圈回来

好 比如说

你今天早晨九点钟去看这个

到明天早晨还是九点整

你到北京天文台又看

那时候

你就发现这个复合摆摆的方向

就不是你昨天看到的那个方向

这个就完全一样

就是Berry's phase那个表现

所以Berry就告诉你其实早就有

那么复合摆就是一个例子

那么复合摆的

你算的这个转的这个角度

就可以根据刚才

Berry给的那个例子来算

完全一样

这个就是那个纬度圆

就是北京天文台

24小时转的那个圈

这个是地心

那么北京在的纬度

比如说北纬40度

这个Φ就是就是latitude

这个角度你

它的补角你叫θ

刚才要算的其实你算那个Ω

就是你这个圆锥它中间

夹的这个立体角就是这么大

你Φ用纬度表示

这就是sin

所以你看Φ等于0的时候

什么意思

Φ等于0的时候就是在赤道上

Φ等于π的时候

这个时候就是到了北极了

Φ等于π

北极当然就是北纬90度

好 那我们看北极

北极的这一点

你现在这个圆锥收到这

Ω是0

你到了赤道那

这个圆锥整个摊开了

所以你这个Ω就应该是2π

那这个时候你就会发现

你的这个Berry's phase Eiγ

你如果这个γ是0

当然Berry's phase是0

γ是2π

你的Berry's phase也是0

也就是这意思就是说你是复合摆

放在北极你发现

你不只是24小时

你看它一样

你任何时候去看它都一样

它根本那个平面不转

在赤道上不一样

赤道上你今天看它

这个摆动的平面在哪儿

过了24小时再看

它还是那个平面

但是实际上它一直在那转

24小时正好转了一圈

这就是复合摆

下边就讲实验了

实验分成两大类

一类是我可以控制

这个慢变的这个参数的

一种是我控制不了的

慢变参数其实就是刚才

Berry举的那个例子

仿照那个例子Chiao和Yongshi Wu

在的1986年做了一个建议

这个建议是这样

就是主人是谁呢

就是光线的这个k它的动量

光线的传播方向

仆人是谁呢

仆人是它的偏振态

那么他们建议什么呢

你用一个光栅

这是Chiao和Yongshi Wu的建议

你用一个光栅

把这个光栅

在一个圆柱面上面绕起来

这个时候

你要让这个光在光栅里通过

实际上你把这个光栅在圆柱面上

等角度的绕一圈

也就是说这个时候光从这进去

光的动量是某一个方向

你随着光前进了

你这个光栅是在圆柱面上绕着的

所以光的传播的方向

它是慢慢在那变的

随着这个光栅的是在那变的

那么你光栅绕了

正好一圈出去了到这

和原来的方向一样了

问这个时候

光的偏振方向改不改

那么这个就是Chio和Yongshi Wu

在1986年提的建议

那所以说光的偏振

或者是光的自旋

光的自旋是仆人

主人是它的动量

主人的动量在那变

它的偏振必须跟着变

我们这不变量就是S.K了

如果你说自旋

它只能是在动量的方向

+1或者-1

所以现在你看这个Berry phase是什么

就是S.K

我的这个动力学量就是S.K

它的本征值就是σk

这个σ实际上将来就是正负1

σ就是光的自旋

在它动量方向的分量

这个σ就是正负1

它的本征函数本征态用σk表示

这构造它的adiabatic eigenfunction

好 所以下面就来做这个实验

这个分析和刚才我们举的

这个Berry自己那个例子

就是完全一样的

现在这个慢变化的东西是谁

就是这个光的动量

你给比如绕了很多圈

最后还让它出去

实际上它在这个轴的方向

转起来这个速度还是慢

所以说这个是个慢运动

那光的自旋就是那个快运动

也就是说在这个情况底下

你这个Berry's phase

就是我这个圆锥

在这个原点

就是k开始的那一点的原点

所张的这个立体角

这个Ω就是2π or -cosθ

θ正好就是这个圆锥的

aπ angle一半

所以这里你看Berry's phase

就按原来那样就是-Sk乘上Ω

那看你这个圆锥

张的角大和这个小

和这个是成正比

那么Sk就是+1或者是-1

所以真正做起实验来

它当然光量起来

它还是量它的polarization

从polarization当然换算回去

那我们知道如果这个Sk是+1

那就是光子的方向

是沿着它的动量方向的

这个时候它的偏振有时候是右旋

那它是-1的话那就是左旋

所以这时候

可以用polarozation来分析

那这是进去的这是出来的

我用polarization

来记录它的激化的角

那么按刚才原来如果我这个

把光纤在这上面绕

绕的很均匀

那就相当于这个θ角

就是一个直线

你可以按照一定的角度来绕

你可以让这个螺距大

可以让螺距小

那让来改变θ

所以最后你可以不同的θ

你量出来那个张的立体角

就会不一样

应该是这个直线

结果

你这不是说是拓扑性质吗

拓扑性质我绕的不那么规矩

行不行啊

也行

它也可以这样来绕

你把它展开了以后

那个它是这样绕的

你也愿意的话

也可以让它这样来绕

就是绕的可以很不规则

但是最后它从一开始到最后

你的积累起来

它这个改变仍然是相同的

所以说它们的实验的曲线

就在这里

这是Berry's phase

当然你的不同的绕法

你得到不同的Berry's phase

但是和它张的立体角

就是一个线性关系

我不同的绕法

我张的立体角不一样

结果还都在这个实线上

这个当然并不是

量子力学的Berry's phase

这个实际上是电动力学的

Berry's phase

那你要找量子力学的例子也有

这个实验也是Berry建议做的

它是什么呢

是这个中子

大家知道中子是有磁矩的

所以这个中子它这个自旋有磁矩

这个磁矩也看得见磁场

可是中子你怎么上它拐弯走呢

那磁场拐弯

所以现在它们的实验

就是把带电的这个导线

用这种办法在一个圆柱上绕起来

绕起来以后

如果你这个中子沿着这个轴再走

中子不会拐弯

你只能让它直走

但是它看见那磁场是在那转的

也就是中子在那走的时候

它就老看到一个改变方向的磁场

就比如中子在走

你就假定它不走

它看了一个磁场

就是在这个圆锥上这样子来转

那么这样的实验

大家可以看这篇文章

那么他做出来的结果

就是这样的一个结果

量的是什么

是中子进这个场的时候

中子的自旋的方向

然后再量中子出去的时候

它的自旋的方向

所谓的进来和出去

这个时候那个磁场

正好转的回到原来的那个方向

所以这个就是Berry的一个cyclic process

那么最后的这个结果

给大家说一下

就是这是出去的时候

这个中子的自旋方向

PβT

进来的时候是Pα0

你进来的时候和出去的时候

量的这个方向你可以不一样

量中子的方向可以不一样

就是α可以不等于β

当然结果后来这实验

α就等于β

你量的是同一个方向的分量

那么前面这的这个就是代表

你这个Berry's phase的影响

GαβαT

实际上它最后量的就是Gyy of T

就是它还都是同一个方向

那么中子从进来到出去

它这个phase有两部分

一部分是dynamic phase

也就是说它中子的自旋

时时刻刻感受到有磁场存在

所以才会Hamiltonian他有个eigenstate

所以他有dynamic

还有一部分就是Berry's phase

这个就是由于做了个循环过程

才必须有的

Berry's phase

最后的结果就在这里

这给大家看一下曲线就是了

如果没有Berry's phase

单看dynamic phase

它就是这样的sin

它都是等距的

你看现在这不等距

越距离这个磁场

等于0的这个地方

它这个距离越大

而且上面还有这么一个东西

你要把它一展开的话

你量的总的total phase

就是两部分

一部分是dynamic phase

比如说这个就是代表Berry phase

而中间的这个是Berry's phase

中间是在这个B等于0的时候

它的Berry's phase

其实你B不一样

它Berry's phase不一样

下面要展开给大家看

在B等于0的时候

这个时候

这个Berry's phase正好是2π

所以你看这个地方2π

就看出Berry's phase来了

你要想知道Berry's phase

和磁场有什么关系

那就是这个曲线

Berry's phase随着磁场的不同

横着这就是Bz就在那个轴

轴向的那个磁场分量

B1就是那个总的磁场

因为你这个导线是绕在上面

所以总的磁场是在那转的

沿着圆锥面在那转的

那沿着z

轴向方向的磁场

叫做Bz

那么它这个Berry's phase

就和Bz有关系

正好你看等于0的时候是2π

Bz增加了减小

理论的曲线是画的

黑点就是实验曲线

所以你在这看

是完全验证了Berry讲的东西了

所有的东西都讲完了没有呢

还差一点 还帐

欠了哪儿的帐呢

就是原来只讲了

快运动没讲慢运动

现在简单的把慢运动再说一下

在这有了Berry

和没有Berry也是不一样的

好 慢运动说过

有一个参数在慢变

大家看这里

这是慢变的波函数

快变的波函数在这

总的波函数就这俩乘起来就是了

那么总的Hamiltonian

原来给大家看过三项

这是慢变动能

这是快变动能

这是相互作用

都有了

我们现在快变动解决了

也就是说我们解了那个adiabatic problem

所以说你把这个解原来解出来

我现在把这个ψ

代到薛定谔方程里

ψ是总的波函数

代到薛定谔方程里面

得到就是这样一个式子

这就是一个简单的代入

得出这个以来以后

我得算第一项

请大家看这里第一项是个Lapalacian

对R求两次微分的

求两次导数的

它被它作用的在哪里呢

在这里

两个因子都有

第一个因子第二个因子

所以我们要把这项算出来

算的过程你可以把这个Lapalacian

写成gradient \dot gradient

为什么这么写呢

因为你被它作用的是两个因子

所以结果就是我的Lapalacian

全作用第一个因子上

乘第二个因子

加上Lapalacian全作用在

第二个因子上

再乘第一个因子

还有一项是什么

是两倍的gradient作用

在第一个因子上

\dot gradient作用第二个因子上

这是因为你被作用的有两项

前面这个作用两次的微分算符

所以它就最后第一项

就变成了三项

你看这里

都作用在第一个因子上

这是都作用在第二个因子上

这个是一个作用在第一个因子上

另外一个作用在第二个因子上

前面有一个2

别的不变了

这个你一改写

就可以写出这样一个东西来

我把那个A拿进来

大家还记得那个A吧

就是原来我们定义过的一个

这个A就是Berry phase

所以现在Berry phase进来了

进到这个P-这边来了

你这本来是没有的

你塞进一个来

所以你这有了这有个平方项

你再把那个平方项减掉

它的交叉项我们这正好有

所以这个交叉项在这里

交叉项在这里

所以交叉项是本来有的

好 所以结果的方程就是这个

这个里面这个A

就是我们原来定义过的

这个scalar connexion

这一点物理上是重要的

请大家注意

scalar connextion分两项

有一项是谁呀

大家认识

这不是快运动的这个eigenvalue吗

对 也就是你解快运动的时候

解出一个快运动的eigenvalue

和n有关系

你有很多很多个

不同的快运动的状态

相应每一个快运动状态的

都有一个慢运动

这个慢运动的

主要的它的这个scalar potential

就是你快运动的eigenvalue

这个在老的从前的Born-Oppenheimer

近似里面就讲了

给你一个问题

有慢运动有快运动

你怎么办呢

你就先写快运动

解出来得出本征函数本征值问题

你把快运动的这个本征值拿来

当做慢运动的potential

你再解慢运动就完了

问题就都解了

所以这个东西请大家看

这个是原来Born-Oppenheimer近似

就有的

但是我们现在考虑了

Berry的贡献以后

后来就有一个connecxion

而且主要的是什么

Berry的主要的贡献在这了

本来这是一个普通的

就是一个薛定谔的eigen problem

现在有了Berry考虑

你要做这个cyclic process

那你这里就出现Berry connexion了

就出现这个Berry connexion了

所以你这个是Berry的

特殊的贡献

好 最后总结一下Berry的贡献

Berry的贡献当然首先

他是发现你应该在你原来写的

所谓的这个adiabatic wavefunction前面

必须放上一个Berry's phase

因为你不放你写的那个波函数

它不满足薛定谔方程

你必须得放一个

phase factor在内

这个phase factor干什么呢

其实它是反映了你那个慢运动

R矢量空间的拓扑性质

也就是说如果你R的运动

它要是正好做一个周期

R回到原来那一点了

你的phase前面加上的

这个Berry's phase

并不是0也不是2π

它是一个和你这个路径

有关系的这样一个积分

积分作为close integral

那个γ也不是0或者是2π

这是Berry对于物理学的贡献

当然他这个贡献

也就是在他认识到了几何意义

所以第二才解释了

phase的几何的意义

这个几何意义

就反映了R空间的拓扑性质

R空间可以随便

你像Berry原来举的那个例子

它这个B方向在变

粒子的自旋就被B所奴役了

这个时候B空间那就是普通空间

你这个B磁场可以在普通空间里面

转一圈再回来

那这个时候粒子的自旋

不回原来的位置

那么Chio和Yongshi Wu建议的实验

后来实验也做了

那个实验他是光子的动量是主人

仆人是谁呢

是光子的自旋

这时候光的动量你让它沿着光纤

在一个圆柱面上在那转来转去

你也可以转一圈回来

那这个空间就是动量空间

光子k的空间

光子的动量k就在空间在那转

它的自旋被奴役

所以这个参数空间就是动量空间

也可以是任意的空间

最后给大家一个参考的意见

就是我们讲了半天

都是讲的quantum adiabatic theorem

这个我们给了一个

所谓的事后的证明

是一个

我先假设它对

然后我证明果然它就对了

那么这个是只对于线性量子力学

是有应用的

如果你在你量子力学的

相互作用里面

要是包含了非线性的相互作用

就是说你看

这里有non-linear interaction

这个是Yongshi Wu和Qian Niu

在2000年指出来的

比如说那你在这个一个光晶格里面

你做BEC的实验

光晶格里面你说光晶格的

这个光强可以很强

这个时候它不全是线性的了

这个时候你这个quantum adiabatic theorem

就可能被破坏

比如说他们做的这个实验

他把他不仅有光晶格

你在光晶格有加速度

这个时候不同的n之间的

这个mixing

就不能忽略了

也就是说原来的n状态

你晶格一振动你发现

这个n就和不同的这个m

就有了混合

就是可以tunnel

到别的band上去

这个在凝聚态物理

就叫做Landau-Zener tunneling

这个大家在做具体工作的时候

要注意到这一点

这一章关于量子力学

里面的几何项到这就结束了