S5.1 Geometrical phase in quantum mechanism(2)在线视频

下面要讲的

这个物理上也是个很有意思的东西

这叫做磁通的量子化

flux quantization

那本来咱们知道

电荷是量子化

有个基本电荷

就是电子的电荷

但是电磁学

电和磁是对应的

那么磁通有没有

基本的一个单位呢

这个呢后来在斯坦福大学

有两个物理学家

就是Dcavcr和Fairbank

他们做了研究

他们研究出来的这个磁通

原来London有过一个预言

说磁通会是量子化

这当然是个理论预言在这里

\Phi_0是HC over e

这不是hbar 是普朗克h

这个就是flux quantization

但是斯坦福这两位物理学家

在这里Dcavcr和Fairbank

他们一研究实验里得出来的

他们得出来的磁通量子

是这个的一半

觉得奇怪

当然总是发现量子化了

正好当时杨振宁在斯坦福访问

所以他们就找着大物理学家

就问我们发现了磁通量子化了

这里面有没有新的物理存在

当然他们希望

磁通量子化完全新的物理出来

于是杨振宁带着当时

斯坦福的一个博士后

叫Byers

是一位女物理学家

他们合作就解释了

Dcavcr和Fairbank的实验结果

说在超导体里面会俘获住

有量子化的磁通

这个磁通量子是HC over2e

不是HC over e

比London所预言的要

是原来的二分之一

做的是什么呢

我这地方用红色写出来

希望大家一定去读一下

Feynman第三卷

就是量子力学那一卷

21章第5节

我会讲的

不过大家不读

不看那里的图

你会有损失的

非常好玩

怎么回事呢

我现在用一个超导体的

一个圆柱形的那么一个环

中间有个很大的一个空隙

我起初让这个超导体处于常温

就是它没有超导

然后我给它加上磁场

比如说上下都有线圈

于是有

磁通从

比如说从下到上吧就通过

有的磁通从中间那个孔通过

有的磁通呢

从那个金属中间通过

有的磁通

从这个金属环的外面通过

好 现在降低温度

降到超导临界温度以下

于是这块金属就变超导体了

大家知道

超导体有一个重要的效应

叫做Mcissner效应

这Mcissner效应

它没超导的时候里边有磁通

它一变成超导

全给挤出去了

所以原来这个通过金属

圆柱环的这个磁通

就都被挤出去了

有的给挤到里边了

有的挤到外边

这个还没关系

好 现在我把产生磁场的

那个线圈里边电流断掉

一断掉呢没有磁场了

就没有磁通了

源没有了对不对

当然这时候环外边的这个磁通

就都没了

那里边的怎么办啊

原来是被约束到里边的

现在这个环超导了

它想出去它出不去了

它不能通过这个环跑掉

那于是怎么办呢

你这个磁通的源没有了

那你这个

它没法从下边往上了

结果怎么办呢

你看一看这个书的图

就实际上这些个磁通

它彼此都变成闭合的了

就都围绕这个金属环

形成了闭合的磁通

你一定得看一下这个书

这样的话给你一个很深刻的印象

你就不会忘了

好 那么Dcavcr和Fairbank

做的实验就说明

在这个空心的这个超导环里面

hollow Superconductor

那么这个磁通

它会是量子化的

就会是HC over2e的整数倍

那么杨振宁和Byers

怎么解决的这个问题呢

最后使得Dcavcr和Fairbank

当然很高兴

因为理论上得到解释了

但是也有点遗憾是什么呢

没有新的物理原则给发明出来

也就是说杨振宁和Byers

依据的物理的原理就是一条

就是量子力学的波函数

必须是单值的

有了这个要求

磁通就量子化了

所以这个非常有意思

好 我们下面看他们的证明

也很简单

就是说我现在在超导体里面

我们知道有库珀对的存在

库珀对它是凝聚的

所以它是形成了

宏观这个量子状态

它的波函数

宏观的波函数是什么

就是ψ等于

前面的amplitude

已经写成sqrt(\rho)

ρ就是库珀对的密度

后边有个phase factor exp(is)

好 ρ就是库珀对的密度

那么当然在超导体

比如说这个环里面

这个密度我们认为

它就是个常数

S就是一个相位

你看这个波函数很有意思

它是momentum的本征函数

这个地方应该是momentum本征函数

你不信

你把这个ψ作用在它上面

ψ这是

所以说将来你要对ψ做微分的话

它会下来一个iS

那个i和前面的负i剩1

所以正了hbar

那么ρ是个常数

当然就写在这里

你现在要算这个exponential的phase factor gradient

那这个gradient以后

当然eiS还存在

剩下就是gradient over S

就是这个

你整理一下你就知道

都存在

所以它就是ψ

所以你看

你把momentum operator作用在ψ上的结果

仍然是ψ

前面有一个就是本征值

这个状态的

它的这个momentum的本征值

就是hhar乘上gradient over S

在这有一个很重要的概念

就是我们在有电磁场存在的时候

你写这个Hamiltonian

Hamiltonian那个动能项是什么呢

就是

然后是

就是或者这么说吧

动能项是1/2m

乘上括弧P-e over c vecotor potential a括弧完

然后整个的平方

这个大家都非常熟悉

那么现在这个

整个的这一项是动能项

所以Feynman

在他的量子力学书里面讲的

有两种动量

一种就是我们叫做

canonical momentum

什么是canomical momentum

大家必须区别

你在hamiltonian 里面

那个括弧里头是P-e over c a

那这个P是canonical momentum

它是和在力学问题里边

和X或者是R它是互为canonically conjugate

是共轭的

所谓它是canoniacl momentum

就是在量子力学里面

这个P要用来代替

它是一个differential operator

这个是canonical momentum

决定动能的不是它

决定动能的是谁呢

是P-e over c A

这个我们管它或者叫做kinetic momentum

动力学的 kinetic momentum

在这里kinetic momentum

kinetic momentum它是什么呢

当然就是2倍的mv了

这就是kinetic momentum

因为二分之一mv平方就是动能

所以你是那个整个的括弧

才是2倍的mv

所以这两种momentum你要区分开

P是kinetic momentum

它是微分算符

真正决定动能的不是P

而是P-e over c a

那在这里呢

kinetic momentum就是动力学的动量

2倍的m

因为你是库珀对

所以它的质量是2倍电子的质量

2倍的mv

刚才你拿P作用一下得的结果

就是这个 hbar gradient S

你还要减去E倍C除A

这个所谓的E原来是电子质量

我现在是库珀对

它当然就是2倍的E了

E是负的

我所以写绝对值

前面就用正号了

a over c照常

这个就是那个Hamiltonian那个括弧

P-我说q吧

P-qca就是那个东西

所以你看这个时候

这个是kinetic momentum

而这个P是canonical momentum

好了 现在在超导体里边

超导体里边这个电流

它都是在表面上的

在超导体这个bulk

就是在大块超导体里边

电流是不流的

那块它没有电流

所以说呢那个v是0

就是在超导体

大块超导体里边v等于0

v等于0

那么这个hbar gradient s

当然就等于负的这一项了

那么hbar gradient S在这

就等于负的这个

写在这

你两边沿着这个超导环

做一个封闭的线积分

那这两边当然应该相等

好了 看左边

左边是gradient S

这是S的梯度

就是我的相位S

绕着我这个超导环

这么兜回来 兜一圈

那兜一圈回来

S嘛当然可以是未知的函数

就是你是方位角φ的函数比如说

你沿着这个元做一个线积分

做一圈回来了

回到你起始那一点

积分做完了

那当你回来的时候

你这S一路变

变完了回来怎么样

量子力学要求波函数是单值

单值你这时候这个S

转了一圈回来

要变的话

它只能变什么呢

2π的整数倍

所以说 好了

你这个左边呢就应该是

这个积分积出来

因为gradient S

这个线积分整个积过来

那就是S的变化

这个积分的E就是S的变化

所以这S的变化就是2π乘上n

所以这个时候就有了

你这φ是什么呢

这个\int A\cdotdS就是φ

所以你就把φ算出来了

φ就是\int A \cdot dS

左边知道了

所以你得出来的就是这个

hc over 2e乘上n

所以这个时候伦敦说

通量量子化是hc over e

但是伦敦这个预言还是很正确的

因为当时还不知道库珀对

现在你知道库珀对

所以这个时候

你这个粒子它的电荷是两倍的E

所以这有个2e乘上n

一般说呢还是把hc over e叫做flux quantization

那么它这个

测出来的这值是2.07乘10的负7 Gauss cm^2

这个就解决了

磁通的量子化问题了

这个磁通量子

是我们以后经常要用

这就是伦敦的磁通量子

是hc被e除

经常用的是这个

好 下边说到一个很重要的

物理的结论

刚才我们用的这个超导环

这个超导环里边

套的这个磁通啊是量子化

那如果我现在是个普通金属环

那它这里面的磁通

要有磁通的话

它不是量子化的

但是呢有一个物理的结论呢

就是说

你在一个物理问题里面

比如说有磁通存在

这个时候没有超导

磁通也不是量子化

但是如果我对你原来这个磁通

拿走

这个磁通量子φ0的整数倍

就拿走整数的磁通量子

你的物理不应该变化

或者我给你加了磁通量子的

整数倍

你的物理不应该变化

这个也是从波函数的单值性

就能够决定

所以这个结论

以后大家在看文献的时候

很多时候会碰到

拿走整数的磁通量子

物理没有变化

那这个完全根据

波函数的单值性就可以得出来

比如说我们讨论

刚才这个物理情况

那现在有磁通

那么有这个A

A我可以把它写成gradient \kai

\kai是一个表现好的函数

这个时候呢

我还是有一个无限长的

一个磁通量管

这个通量管里边的通量是φ

它不是量子化

当然它应该满足这个

我现在这个磁通量

还是都在这个通量管里头

这个关系是总是对

\oint A \cdot dl=\phi

一定要等于φ

不管你是在超导体

还是在普通的情况底下

我这有一个无限长的通量管

这通量管里的通量是φ

φ可以不是量子化

但是它外面的A也要满足这个条件

当然我做的close integral

一定是包含通量管在内的

好了

我现在我就假定我做这个积分的

这个contour就是个圆

半径是R

它包含你的通量管在内

那我现在假定这个\kai

这\kai原来就是个表现好的函数

我现在假定它只和我的这个

你不是做了个圆嘛

跟这个元的方位角φ有关系

这而且是个线性关系

也就是dξdφ是个常数

线性关系

所以说我们看

这个线积分应该是什么呢

我现在是个圆

圆的变量只有方位角

所以它这gradient

A是gradient \kai

那么所以这就是1/R d\kai/d\phi

dξdφ而且是个常数

我就把它提到外边去了

线积分dl当然就是圆周2πR

那你这个积分应该等于φ

现在R和R消掉

ξ和φ就应该有这个关系

刚才说假定我这个ξ

是一个好函数

而且只和φ是线性相关

所以用刚才那个积分就告诉你

它跟φ就是这个关系

线性相关的比例常数就是φ over 2π

好了 我现在做一个规范变换

A变成原来的A加上gradient α

那么ψ相应的变成ψ'

等于原来的ψ乘一个phase factor

这两个α是一个

它是个好函数就行

但是我现在

我随便选

我选的这个α就等于

你原来那个物理问题里边

那个A是gradient \kai那个\kai

我让α等于负的\kai

α一等于负的\kai

这就是负的gradient \kai

我原来那个A呢就是gradient \kai

那俩一减

所以A'得0了

所以我这个A'就是0

我的ψ波函数怎么变呢

你就乘一个相因子就是了

这个相因子是

这个φ就是方位角

这个phase factor有个变量

这个就是它那个变量

就是方位角

好 我现在假设我外面

我这个做积分的地方

空间里面有金属比如说

这个时候呢

当然这个ψ就是代表

这个电子的延展态

我这个φ可以是

在空间里某一个地方

它可以任何的值

好 我现在呢

我让φ来变

沿着我刚才那个积分的contour来变

我从一点绕着

我的积分的这个圆周转了一圈

回到原来的地方

回到原来的地方

这个φ那就是φ加上2π

或者是我转两圈

那就是φ加上4π

不管怎么样

我波函数必须是单值线

所以我的波函数现在是什么

是这个

对不对

所以说呢

这个时候φ和φ0比

必须是一个整数

我才能让我的phase factor是单值的

你波函数要单值嘛

所以说这个时候如果你选

选定的这个α让你的变化后的这个

vector potential等于0了

你的这个φ必须是φ0的整数倍

那如果不等于整数倍怎么办呢

原来的A就没法消掉

所以在这就是验证了

我一开始说的那句话

物理的情况不因你加进去

或者拿走磁通的整数倍

而有所变化

这就是说

你如果原来有个A

你磁通如果是磁通量子的整数倍

我可以把这A变没了

也就是把这个物理问题

有限的n倍的磁通量子

它对物理不起直接的影响

好 这个就是一个重要的

一个物理的推论