S9.3 The integer quantum Hall effect(3)在线视频

下面呢

我们再来仔细讲一讲出拓扑的根据

好

我做这个量子霍尔效应的物理

那它是一个长方形

长方形本来

它应该有边界条件对吧

现在有了磁场

就稍微复杂一些

就是我这个边界条件 要稍微修改修改

在这大家可以看我的教科书 里面有

那么在y方向

是朗道gauge

y方向还和原来是一样

你看

波函数x是不变的

y我从0变到Ly

它波函数是不变的

在这个x要变的时候

这个式子要改变一下

你看y不变

我让x从0变到Lx

它不是波函数不变

因为这个时候它有个Ay

那么这个时候

你就要把原来的布里渊区

现在改成磁布里渊区

也就是周期边界条件要加上

前面有这样一个因子

不是直接的波函数相当

而是它有一个phase的变化

这个就是边界条件

好了

我现在有个长方形

比如说是从长方形上的某一点出发

我到另外一点去

我做我的旅行计划的时候

有两个计划

一个是先往东再往北

达到目的地

可是我也可以先往北再往东

同样到达目的地

好 那就是我用这个刚才的

周期性的边界条件的时候

一个我先往北再往东

我就是先用后面的条件

后用前面的条件

我要是先往东后往北呢

我就是先用前面条件

后用后面的条件

你这俩得的结果得一样

你要要求这两

边界条件to be consistent

那你得到是的是什么结果

就是这个结果

大家一做就知道

就是说这个东西要等于1

而这个东西是什么

那就是相当于

你原来有比如说有一定的F\Phi

我把\Phi变了一个\Phi 0的整数倍

那个时候它的这phase的变化就这么大

所以说这个时候

也就是说你通过你这个样品上的flux

就应该是磁通的整数倍

好 你现在把刚才的那一张纸

两头一接

x的两头一接 再把y的两头一接

就变了一个torus

那么在这个torus上面

经过了有整数倍的这个磁通

这个时候它这个拓扑就完全就清楚了

这个地方我把这个话稍微为严格一点

所以我得仔细说一说

Once a tours is obtained

the inevitable topology appears

你把这个样品做成一个tours

这个时候它的拓扑就明显

It is the topological invariant

that defines the first

Chern class of the mapping

of the Brillouin zone of a torus

onto the complex space

of wave functions u(x, y)

这句话比较长 解释一下

这个拓扑是什么拓扑

这个拓扑是代表一个映射的拓扑

什么映射呢

你就是在这个torus上面一点

这点的坐标是什么

当然实际上就是(kx, ky) 对不对

你把这个(kx, ky)带到那个u of (kx, ky)里头去

这个u当然就是

比如说是x y的函数 对吧

你把(kx, ky)一固定 这个函数就固定了

所以你这个映射就是从torus上面一点

(kx, y)就映射到

Hilbert空间上面去

就是波函数空间的这个上面这一点去

那点就是这个波函数u as a function of x y 对吧

这个就是这个mapping

这个mapping 这个映射的拓扑

来代表这个映射的拓扑的

有一个量子数

也一个整数

就叫做the first Chern class

这个Chern就是陈省身先生

陈 就第一陈类

这样一个就是这个拓扑量

下边更拓扑了

还得解释一下

In the language of fiber bundle theory

the Hall conductance is the first Chern class

of a U(1) principal fiber bundle

of the ground state wave function

on the base manifold

of a torus the Brilluoin zone

这句话引入纤维丛的概念

纤维丛它有个底空间

这个底空间就是我们的这个

磁布里渊区它上面一点

原来是xy

你当然也可以把它用\phi和\theta来表示

沿着这个torus

大圆这个方向用\phi来表示

沿着小圆这个变化你用\theta来表示

一样的 是吧

这就用u

原来是kx ky

你现在是torus上面那个坐标

来表示它 对吧 好

那么现在呢 你就把这个

布里渊区叫做底空间 base manifold

这个底空间上边会长出头发来

长出一根一根头发来

这些头发呢就是相当于纤维

这就叫fiber

如果你要是一个non Abelian

你在一点就长出若干根头发来

当然得好多点

那当然就是好多丛头发

就是有好多丛头发

这就是叫纤维丛

这头发是什么

头发就相当于wave function

所以你在底空间

底空间里边有这个kx ky

你把它一投影

投影到Hilbert空间里面

就得到了u sub (kx, ky) of (x, y)了

对吧

你就从这个torus

做一个映射

映射到Hilbert空间去了

这样的几何的东西

就叫做一个纤维丛

为什么叫U(1) principle fiber bundle

你现在用的

你只加了一个磁场

这是一个Abelian gauge field

所以这叫U(1)

你要是加的是SU(2)场

那就是SU(2) principle fiber bundle

好 代表这个mapping的

就是这个first Chern class

这个一会再来表示

wave function of the torus

我们就把它写成u of (\phi, \theta)

(\phi, \theta)就代表了

你可以把它看成是一个Bloch球上面这个坐标

那么我们这个torus上面的坐标

在讨论物理的时候是(kx, ky)

你现在把这个平面折成一个torus以后

它上面的坐标就是(\phi, \theta)

对吧 刚才说过

比如说沿着这个大圆

你这个坐标的变化就\phi

小的一个圆你坐标就是\theta

那现在torus的local curvature是什么

torus它是一个曲面了

曲面上每个点它有它的这个曲率

那就这个东西

两倍 你把这个u拿来

一个是对\theta做偏导

一个对\phi为偏导

它的这个scalar product imaginary part

这个就代表local curvature

这个local curvature是什么呢

就代表你

比如说你把一个量

一个物理量

一个物理场

在这个torus上面你做一个封闭的曲线

你在这个封闭的曲线上面把一个物理场

它是个矢量

你要把它做平行移动兜一个圈

local curvature is the parallel transport

mismatch around a closed contour

per area closed

你在torus上面做一个封闭曲线

你把一个矢量从一点开始

兜一圈回来了

它 平行移动它这两个矢量之间

并不重复 重合

所以有个mismatch

好了 你现在把这个mismatch的角

被你这个曲线包含住的面积

来除一除 得到的就是这个local curvature

这个local curvature在这

就陈省身先生

为什么叫fist Chern class

他把原来的这个微分几何里面

这个Gauss-Bonnet formula给它推广了

本来是这样

你把一个曲面拿来

你把这个local curvature做这个面积分

沿着这个torus做面积分

再被2\pi除

原来这个Gauss Bonnet证明

这个东西应该是一个整数

那个是local curvature

现在陈省身把它推广了

陈省身的这个local curvature是这个

这个就是我们量子力学里的问题了

这是量子力学里的u

所以这个呢

我的物理问题它的几何意义

所以这个是物理的东西

也就是陈省身

把原来的Gauss-Bonnet formula给推广

就是我现在的 从我的这个

quantum Hall里面的这个

TKNN做的这个local curvature

我要是在我的torus上面做一个积分

被2\pi除应该是一个整数

这个当然别人就管它叫做Chern number

好

现在我们就来考虑具体的量子Hall的情况

我在这个torus上面画一个封闭曲线

我来算这个东西

问题是你这个算这个积分是沿着这个曲线积分

一个torus上面的封闭曲线

它有一里面有一个外面 对吧

所以说 我做这个积分

我们可以做它沿着里面做积分

我可以沿着外面做积分

那你得出来的东西怎么办

那也就是说积分不算那个2\pi

integral KdS我沿着里面做

沿着外边做

你要应该得到一样的结果

结果那就应该是差2\pi的整数倍

对吧 好

我现在这么办

我把这个封闭的曲线

越做越小 越做越小

就是里面的这个积分越来越小

外边的积分越来越大

我把里边的缩成0

外边的减里边的 本来应该是差2\pi n的

现在外边干脆就得2\pi n了

所以 我这个积分本身是2\pi n

你把2\pi除过来你就得到了这个结果

我这个积分被2\pi除就是一个整数

对不

这个就first Chern number 第一陈类

或者第一陈数

所以说现在经过了陈省身推广的

这个Gauss-Bonnet formula现在就叫

Gauss-Bonnet-Chern relation

你就知道为什么TKNN他们得到那个积分

必须是个整数

在这里把这个整数告诉你了

特别奇怪的这个quantum resistance

它可以量的非常非常之准确

跟具体的物理性质

只要你满足决定性的物理条件

低温强磁场 no mobility

行了 别的不要

你怎么换怎么变它这个数不变

结果它这个拓扑量你小变

你说我变一变Hamiltonian

本来你一变Hamiltonian 物理应该变的

可是现在这它捆住了

我这个quantum Hall resistance它是个

拓扑量是受拓扑保护的

你不能说我让变一点

它是个整数 它不能变一点

所以说这个量它是一个拓扑量

等你到了那个要填充第二个

另外一个朗道能级的时候

它那个的Hamiltonian当然变的非常大

在那个地方 就离开了plateau和下边那个

\rho xx等于0这个条件的时候

填充朗道level的时候

你当然那个时候的Chern number

就是ill defined的了

它就不再存在 它要变嘛

它从2变成3 你中间没有这个整数

所以它是ill defined 当你填完了

到下一个 上面是plateau下面\rho xx等于0

这套东西就都又应用了

于是你那个n就是first Chern class

或者是

first Chern number 就完了

在这个地方仔细把这个讲一讲的目的

就是要告诉大家

拓扑

当然在粒子物理里面讨论的比较早

在凝聚态物理里面首先把拓扑引进来

就是1980到1985这一段

发展起来的整数量子霍尔效应

于是拓扑就进到物理来了

我们这一章的下面还要继续

跟这个拓扑打交道