S8.11 Dicke Model and Phase Transitions(4)在线视频

好 Klitzing就是讲只要我的\rho xx等于0

只要有这个条件在

你算什么修正

这些修正最后在这样一个

对于Hall resistance都没有修正

这个事情怪

为什么它之这个Hall resistance这么基本

它只有宇宙常数

和那些个样品的具体条件毫无关系

在理论上走第一步的是Laughlin

他就用gauge invariance来解释这个问题

好 他第一步首先说

他注意到von Klitzing说的那个事情

就是说当\rho xx等于0的时候

也就是说正好是你上面那个plateau

就是那个平台

给出quantum Hall resistance的那些平台

这俩条件同时成立

那当然就是说我这个体系\rho xx等于0

没有这个这个纵向的resistivity

所以就没有耗散

没有耗散我这个体系能量是守恒的

我就下面就大胆不去考虑耗散

按照能量守恒来做

也就是说Laughlin要做的

他是这个工作是在1984年做的

他就不去用任何具体Hamiltonian

不管你具体的材料的性质

我就从最基本的一些问题上

根据你这个量子霍尔效应最基本的条件

我给你推出你的Hall resistance来

这个有意思吧

他就用了一个道理 就是gauge symmetry

还有一个就是说我们原来特别强调过的

我把一个整数的磁通量子可以gauge away

我做一个gauge transformation

就把整数的这个磁通量子都可以给gauge走

物理是不变的

它根据了这么一个道理

他就证出quantum Hall resistance多大

你看 他就这样

本来那个样品是一个长条的 对不

他现在把那个长条的

上下两个端给它粘到一块

一粘不就粘成一个环吗

这个纵向的电流这不就在这嘛

沿着这个长条

现在这个纵向电流就变成一个环状的电流

就沿着这个上面流 对不

这两个箭头就代表这个纵向电流

你quantum Hall要加一个

z方向的一个很强的磁场

你看这个地方就这个磁场

画的就是垂直于你这个样品平面的

然后你等到电荷稳定了

你在样品的两端就会产生一个横向的电场

也就是横向的potential

那Laughlin把这个样品两头粘起来

就多了一个新的东西

多了一个什么 大家看 就是多了一个\Phi

因为你沿着这个圆周有这么个样的电流

对吧

那它当然

这个电流要产生一个磁通\Phi

这个是Laughlin把它一粘起来以后

得的新结果

下面就是这个新结果

就会产生效应了

好Laughlin说我现在把这个\Phi

给它增强增强一个磁通量子

那这是什么意思呢

增强了一个磁通量子

刚才说那就相当于

你做一个gague transformation

做了gague transformation以后

如果你增强的是一个单位的磁通量子

我的物理是不变的

好 我现在增强完了

物理不变 物理不变是什么意思呢

好 我们看物理是什么

物理就是原来我们沿着这个y方向

我不是可以放好多个电子吗

每一个电子它都有它的平衡位置

对不对

我物理就是这个物理

我\Phi变了一个磁通量子

物理还是这个物理

\Phi它会变 我从 比如说某一个值

你从那个值开始 你慢慢增加

给它增加一个量子 这是物理

所谓的物理不变什么意思呢

他就想像 下面你看

立刻就可以看到他这想像是对的

就是实际上我在这个y方向上

有好多个电子的平衡位置是吧

我的\Phi增加的时候就等于

我比如说第三个 就往第二个挪

第四个往第三个挪

最后就是我第一个就挪出去了

然后下边 又从下边进来一个

还都回到原来的位置

这不是物理就不变了吗

所以说他这是他的猜想

下面咱们来看果然如此

怎么说呢 好

我就说那一个一个平衡位置

一个一个平衡位置在这里对吧

y0就是minus c px over eB

这个px是不不同的值

因为它是沿着这个x方向

它可以有容许你若干个值

px就是后面的这个对吧

那\delta px当然就是2π\hbar over Lx

这个n就等于1了 n变1嘛

我n变了1 \delta px就变了这么多

这个变了这么多

那好我刚才中间的那个\Phi不是在变吗

这不就是相当于1个gauge transformation吗

那我看我本来的波函数是在这的

前面这个是x方向的平面波

后面就是y方向的那个谐振子的波函数

当然他用的还是Landau gauge

你做规范变换的的时候

那不就是相当于

我要让一个波函数的phase要有一个变化嘛

这个phase是什么呢

本来是这个

我现在我这个\delta p

我挪一个单位的话\delta p就是这么大

那不就是等于是这样这个东西吗

也就是说我一个整数的quantum

就是相当于这个变化

这个变化正好就是我这个\delta p

所以说我现在就是知道

我加变了一个磁通量子

就是说我原来的所有的这个电子

沿着y方向的这些轨道

第二个跑到第一个去了

第三个跑到第二个去

最后一个跑到n-1去

从下边又进来一个

也就是说我实际上是把一个电子

从这头挪到那头去了 对吧

一个电子从这头挪那头去

是个什么关系

那它就是你得到的能量变化

在这就是i e UH 就是这么大

好 另外有一个电磁学的关系

我在这里就不证了

这个书里面是有的我现在

如果我让中间的\Phi一变

能量就会变化

是吧

那我这个电流和能量变化的关系

就是电流 就是

上面是\Delta E 下面你\Phi变多少

\Phi变了\Phi 0你出现\Delta E的变化

你I就是么大

现在\Delta E有了 带进来

有了这个以后

你就可以从UH被I除是什么

就是resistance

你一算这个\Phi 0

你把它用原来的值一代就是h over i e square

所以 你看妙不妙

Laughlin就用了一个规范变换

还用了我们一个概念

就是磁通变化一个量子

物理是没有变化的

他就是通过了他这样一个预想

而且这个预想是得到了实现的

确实你做一个这样的规范变换

就是等于你的p从一个变到另外一个

也就是说我最后就推出来了

他就从这样一个简单的关系里面

把quantum Hall resistance给推出来了

所以说这个实在是一个很妙的一个贡献

那也就是说让人们认识到quantum Hall effect

是一个很深刻的物理现象

只要你温度足够低

你变也没有关系

磁场足够强

你变也没有关系

所以在这些具体的条件都不要

具体的Hamiltonian也不要

它就会有这样quantum Hall resistance

所以说

这个现象确实是一个非常非常基本的现象

下面就到第二步

Laughlin的这个做法

就是让人感觉到你和具体的Hamiltonian没关系

这是不是拓扑有关系

于是 这个Thouless 他的物理是很敏感的

他就发现你这个quantum Hall resistance

你不管什么样的样品都是那样的值

而且Laughlin可以用这种

有点跟拓扑有关的这种类似的

argument就把它推出来

那好 他就来仔细钻研这个问题

这个一般叫做TKNN

他那个文章是四个人合作的

当然主要的是Thouless

那么TKNN K是Kohmoto

第一N是Nightingale

第二个N是den Nijs

这个一般叫TKNN

他们做的是什么呢

就是用一个公式叫Kubo formula

他就假定你给这个样品上

这个样品的波函数我知道

这是一个固体的样品它当然有Bloch波函数

Bloch波函数除了平面波以外

当然很重要的就是那个u

好

他用了这个Kubo formula

一带进去以后就得出来这样一个式子

他就算Hall resistance来

下面的问题是

你如何来interpret这个结果

所以他是先用物理上

具体的Kubo formula求出一个Hall resistance

求的过程最后一步

让你看出到了这么一个结果

当然要求这个某个算符的平均值

平均值你要把波函数带进去

波函数里当然波函数也就有这个u了

这样一个东西我们太眼熟了

在讲这个Berry phase的时候

你看这个什么

这个括弧这些东西乘一个i的话

就是Berry connection呐 对吧

这个就是Berry connection

所以你这个地方Hall conductance

就是相当于Berry connection这样的东西

这个事就妙了

当然这个里面解释了u \alpha是什么

就是Bloch波函数里那个u

它就是那个Bloch波函数周期的部分

当然我现在在平面上所以是k1和k2

这个k就是这个地方

是k1、k2的函数

那么现在这个地方contour integral

那么这个积分是沿着谁做呢

就是沿着你这个样品

它的周期长当然有它的布里渊区

这个积分就是沿着布里渊区

现在因为有了磁场

所以稍微复杂一些

在这我们不能仔细讲了

这个叫做

magnetic Brillouin zone

磁布里渊区

就是沿着磁磁布里渊区的周围

转一圈做的这个contour integral

所以这个contour integral能够代表什么

就代表你把一个被积分的东西

绕着一个封闭的曲线转了一圈

转一圈以后

opposite winding 它的phase的变化

我们这不就是Berry phase吗

对吧 好

你现在要求你的波函数当然是单值的

所以你沿着Brillouin zone

沿着磁不里渊区

它也个长方体 长方形

沿着这个长方形转这么一圈

回来

phase的变化就那个吗

phase变化能变多少

2\pi n 对吧

所以你这个积分2\pi n

好 你把2\pi n拿来

下面是个2\pi h

所以我后面是2\pi n

2\pi n

2\pi跟这个2\pi消掉

那就是e square over h 乘n

请大家看这是什么

这个原来那个\rho

那个i在下面对吧

你现在我写的是Hall conductance

所以 它是resistance的倒数了

所以

那个i下面一个整数

现在跑到上头去了

这就是n在上头

这个是Hall conductance

这就是Hall conductance

但也就是我们原来一直说的那个Hall resistance

所以说

第一步Thouless TKNN他们认识到

Hall conductance就和Berry phase有关系

和Berry phase有关系

这就应该是和拓扑有关系

刚才

这个Lauglin粘他那个样品的时候

他先把长边的两个头粘起来了

把这一张纸变成了一个纸的一个环

那如果你这个环呢

比如说很长

那就是一个圆柱面了是吧

你把圆柱面那个头再给它接起来

我就从一个圆柱变成什么了

变成了一个torus

torus一出来它的拓扑性质

那就非常非常的explicit

就完全明显了

对不

所以这就和拓扑就直接挂上钩了