S9.1 Quantum Hall: Classical S9.2 Electrons in uniform magneti field, the Landau level在线视频

我们下面介绍量子霍尔效应

quantum Hall effect

量子霍尔效应

早期的有两个诺贝尔奖

一个是整数量子霍尔效应

是Von Klitzing

他是1985年的诺贝尔物理奖

他的讲座登在1986年的

Review of Modern Physics上面

另外分数量子霍尔效应

做实验的是Stormer和崔琦

然后理论是Laughlin

他们获得了1998年的

诺尔被物理奖

他们的Nobel Lectures

登在Review of Modern Physics

1999年

我们后来呢

接着还要介绍以后的一些发展

就是主要在

Anomalous quantum Hall effect

反常量子霍尔效应

还有 Quantum spin hall effect

就是自旋的量子霍尔效应

早期有一本书

就是Prange和Girvin

他们这个书的题目就叫

Quantum Hall Effect

这是1990年出版的

以后呢有好多好多书了

我在这儿就不特别介绍了

首先我们介绍经典的

Hall effect

因为我们主要要介绍的是

量子霍尔效应

经典的霍尔效应是早期发现的

是Edwin Hall发现

所以管它就叫霍尔效应

这个Hall就指的发现经典霍尔效应

Edwin Hall他的名字

他的发现是这样

我比如说有一个很薄的金属片

画在这里长方形的一个金属片

我们沿着比如说x轴

可以给它通上电流

然后呢我在z轴的方向

加上磁场

这个时候我们来看

这个载流子

比如说是电子嘛

它就是在反j方向运动的

有了这样一个V

然后呢它在垂直的磁场里面

它要受一个Lorentz力

这个Lorentz力是v cross B

前面要乘电荷

所以结果呢

电子受的力就是朝着y方向

就是坐标轴画的平行的这个

在这个方向

所以你在通电流的时候

电子就在左边给聚集起来

相对的当然在右边

正电荷就多了

左边是电子多了

右边正电荷就多了

这样的话

就产生一个随时间增加的

一个y方向的电场

这个Y方向的电场

一点一点增长

增长到能够跟Lorentz力

平衡的时候

那个时候

载流子就不再受力了

那个时候电流也就稳定下来了

那好在这个时候呢

Hall它就观察到这样一个效应

就是说现在你在y方向

建立起来一个电场

所以在y方向

有一个Ey是吧

然后我这个电流密度

是沿着x方向的

我叫jx

这两个的比值

那就叫作Hall resistivity

就是Hall的电阻率

因为你现在是电场

被电流密度除

所以这是电阻率

叫Hall resistivity

Edwin Hall发现

你在做实验的时候

你可以变B可以变j

最后你发现

resistivity和B成正比

j原来是nev

v就是就是载流子的速度

当你Lorentz力

和后来建立起来的场的平衡

最后就得到了这样一个关系

就发现

你如果把Hall resistivity

和你加上去的磁场

画一个图的话

很简单

就是一个直线

这个效应就叫霍尔效应 经典的

这指的是经典来说的

下来为了量子霍尔效应做准备

要给大家讲一点

还是量子力学的东西

这就是说

电子在均匀的磁场里面

它的情况

就是说我现在首先

暂且不说二维怎么样

我就说三维就行了

在三维空间里面

有自由电子存在

那这个时候

我来看它的量子力学

能够对它的运动说一些什么

描写磁场

磁场大小就是B

方向是沿着z的正方向

这样一个B

我在量子力学里面

我是用的A不是用的B

所以我要选一个

某一个规范 朗道就选了

一个简单的规范

以后大家就管它叫朗道规范

就是你看 Ay=Az=0

我的Ax让它等于负的By

好我现在求curl A

那显然curl A只有z分量 对吧

因为Ay=Az=0

你x分量y分量

都会得不出B的值

B的z分量就是curl A

curl A现在只有z分量

z分量就是\partial Ay

\partial x

minus \partial Ax

\partial y

现在(Ay=0)

所以\partial Ay \partial x是0

那一项没有

因为Ay是0 对吧

第二项就是minus \partial Ax \partial y

对应的正好等于B

所以得出来的就是

我的场的z分量就是B

这样的一个A

正好描述这样一个B

好我们现在来

首先分析一下经典运动

你在三维空间里面

沿着z轴建立一个磁场

那么自由电子

就要围着磁力线

做螺旋的运动

也就是说

你把他投影到xy平面上来看

他就是做一个圆运动

当然如果我一开始

不给它z分量速度

那它就在xy平面上

兜圈子了

这个其实就是

回旋加速器的原理

你有一个均匀磁场

电子在垂直于均匀磁场的

平面里面做圆运动

这个时候

你做圆运动所需要的向心力

mr\omega square

这个就是向心力

由谁提供的呢

就是由你带电粒子

在磁场里面运动

就是Lorentz力提供

洛论兹力是e

然后over c

再有呢 就是v cross B

现在v和B是垂直的

所以乘起来就完了

这个\omega就是angular frequency

r乘上\omega就是velocity

所以说正好是evB over c

这个就是Lorentz力

Lorentz力就提供了

电子做圆运动所需要的向心力

这两个一等你就得到了一个

Cyclotron frequency

就是回旋加速器角频率

就是说电子在里面兜圈

它的角频率多大

取决于磁场强度

就是eB over mc

这是经典运动

现在还没到量子力学

下面量子力学就来了

要写Schrodinger的方程来了

好首先看动能方面

py pz简单

因为Ay和Az都是0

所以这就是XX

前面当然有一个py square + pz square 前面当然有一个1 over 2m

这就是沿着y和z方向的动能

x方向呢麻烦一点

这是px minus e over c

乘上Ax

e over c在这

Ax等于负的By

所以那个负负得正了

这就是那个动能项

第二项呢

就是代表我电子

它是有磁矩的

它有磁矩

它当然在磁场里面

它就有一个Zemann energy

就是Zemann energy的term

好这就是动能和Zemann能

当然等于右边就是E\psi

这是Schrodinger方程

有意思的是 你看

在我的Hamiltonian里面

只有y一个坐标出现

没有x坐标

也没有z坐标

所以太好了

我这个Hamiltonian就和px和pz

是交换的 是对易的

所以px和pz

就是运动常数了

那这个时候

写起波函数来好写了

我px pz是运动常数

所以当然这两个分量

就是平面波了

只有y因为我这儿

Hamiltonian里面有y

所以现在我这个地方

y的方向的波函数

是我要求的

你把这个波函数带到

Hamiltonian里面去

就得到y方向的波函数

\chi y所满足的微分方程

那就是下面这个

二阶的微分方程

别的没有解释

所有的量原来都提过了

只有多出来一个y0

你看第一项

这就是相当于 E是eigenvalue

这是那个Zeemann energy

这个是沿着z方向的动能

那\omega c刚才介绍过

Cyclotron frequency 就是这个兜圈子的时候

经典运动的兜圈子

那个角频率

多只多出一个y0来

我们看看这项是什么

1/2 m \omega square

乘上一个距离平方

不是别的

正好是谐振子的势能

正好y就代表我粒子的y坐标

y0就代表它在做

谐振子运动的时候

它的平衡位置叫y0

你把刚才这这些带进去以后

做了运算

y0是什么呢

结果就是下面这个

minus c px over eB

这个有意思

开始的时候我们说

py和pz都是运动常数

结果呢好

pz很简单

这就是pz方向的动能

px在哪去了

px在能量的关系里面

它不出现的

不能说它不出现

在动能的部分它不出现

它跑哪去了

它来决定你在y方向

做简谐运动的

平衡位置那儿去了

你看px在这儿

px正好和y0是成正比的

所以说

这就是很妙的一件事情

px不在动能里面出现

而在y方向

谐振子运动平衡位置里面出现

所以说这样的话

问题就都得解了

因为\chi就是除了前面动能

这都是常数能量

除了常数能量以外

这是它的动能

然后呢

就在谐振子的场里面

所以这个问题是得解的

本征函数本征值

我们都知道

那就写在这儿

所以说

这就是一维谐振子的

能量本征值

这个是z方向的动能

这是Zeemann energy

然后呢本征函数知道

Hermite polynomial 对吧

就给出来了

在这个里面

我们这个问题有个

特征的能量叫作a0

它的定义的什么呢

就是\hbar over m\omega c square root

这个代表什么

它的物理也很清楚

它就是我这个谐振子

运动的基态这个轨道的大小

它就在以y0作为平衡的位置

在y0左右它在那儿振动

在y的方向振动

这个振动的振幅就是

a0这么大

那现在这个\omega c是cyclotron frequency 是eB over mc

你把这个代掉就和B有直接的关系

所以a0就是square root \hbar c over eB

这个a0有个名字

叫做magnetic length 就是磁长度

这儿下面给出来

我的基态的大小就是这么大

所以呢

这个a0

刚才这个a0就决定的波函数的宽度

我现在这个样品是一个有限的样品

是一个长方形

x方向

长度是Lx

y方向的长度是Ly

所以我们刚才讨论的那个px

这个px是很重要的

它决定你这个谐振子那个平衡位置

px呢

它的值是分立的

也就是它就是2\pi\hbar over Lx

乘上一个整数

l就是正负1正负2等等

比如说在零点附近

右边我就是l是正的左边就是负的

所以现在就把这个整个的问题写下来 解开了

这个是朗道原来

解这个三维空间里面

自由电子在磁场里面运动

他的这个量子力学的解

下面呢

如果我们现在进一步来问

我的本征值给出来

实际上

在真正做量子霍尔效应的研究的时候

我不是个三维的

而是一个二维的一个样品

所以那个pz就扔掉不管了

另外呢用的是一个很强的磁场

量子霍尔效应

研究的时候用的是很强的磁场

在强磁场里面

这个电子的自旋呢

它都取一个方向

就都跟你磁场是相反的

这个时候它能量最低

所以说的那Zeemann energy

那项也不要

剩下的只有一个

这个谐振子的这个能量

谐振子的能量

回头再看一下

就是这一项

只有这个第一项

只有这个第一项

n是谐振子的量子数

n等于零

那就是一个self energy 自能

就是zero point energy 零点能 1/2 \hbar\omega c

n等于1 2 3

那这就是一个一个的能级

这能能级呢

就叫朗道能级

好我们现在来看

一个朗道能级上我就问了

我能摆多少个电子

就是要求一求

这个朗道能级的简并度

因为显然不止一个

为什么

我在这个样品的y方向的宽度叫Ly

在Ly上

我可以放很多个谐振子

那些谐振子它的这个平衡距离

是确定了的

因为就是由px确定了

你px可以不同的值

我就有不同的这个平衡位置

一个平衡位置上只能放一个电子

因为它自旋极化的

所以好了

那我就问

我两个平衡位置之间的距离是多少

好

本来的y0的就是c over eB乘上px

当然前面还要个减号

我现在不去管它了

那么px不同 它差多少呢

我在一个有限的Ly的区间是吧

这个时候px可以有的可能的值

那就是由Lx的长度来决定对吧

px呢就是2\pi\hbar over Lx

乘上一个整数 正负的整数

这就是px可能的值

所以它的间隔就是2\pi\hbar over Lx

所以我现在就给出来

我在y方向来摆

一个一个一个的摆

摆这个谐振子

我摆得下多少

我必须得知道

每一个谐振子的平均距离

就是\Delta y0

好

我整个一共多长呢

长度是Ly

所以Ly乘上\Delta y0

就是我能够放得下多少个电子

也就是说

这一个朗道能级它的简并度

就是这么大

Ly over \Delta y0

那我要问了

我现在是个样品呢

长Lx宽Ly 面积就是LxLy

我问单位面积

一个朗道能级上

你能摆多少个电子

那就是刚才我这个整个的数目

被面积除

这个正好

你把\Delta y0的值代进来

Ly消掉

\Delta y0乘Ly是一个常数

所以很简单的得出来

单位面积上

一个朗道能级的简并度

就是这么大

eB over hc 这个是Plank h

因为上面这不是2\pi\hbar吗

当然乘起来

就是Plank h

所以这个就是简并度

单位面积上一个朗道能级的简并度

当然在整个样品里面

你就把它乘上LxLy就是了

这一乘你看出来个什么

我把这个NB乘上LxLy

这个就是整个样品上

一个朗道能级的简并度

B是磁场强度或者磁感应强度

乘LxLy面积

磁感应强度乘面积是什么

就磁通了

所以我这个上面就是\Phi

我把这e搬到分母上去

下面就是hc/e

这个是老熟人呢

这个就是磁通量子的大小

所以很好玩的就是说

我们我整个这个样品上

我一个朗道能级能放多少电子

那好办

那我就问你

你这场强多强

你这个场强

它能够提供的这个磁通是\Phi

你被磁通量子一除

得出来的这个数

就是你样品的朗道能级的简并度

所以这个是非常有意思的

所以下面就是这个蓝颜色的字

结论 number of flux quanta pirecing

through the sample

就是穿过这个样品的磁通的数量

就等于degeneracy of each朗道level

每一个朗道能级的简并度

这就是朗道关于二维的空间里面

在磁场底下电子的运动