S1.2 Particle number representation, particle creation & annihilation operators在线视频

下边呢我们就要把一个

很不自然的这个限制给去掉

刚才我们限制的我有N个玻色子

所有的粒子作用在一个能级上

哪有那么

你只能用在这个情况就不太妙

其实没关系

为什么呢

我们刚才说只有一个能量状态

现在我把所有的能量状态

都可以把它加进来

你看我现在有很多个modes

就是有很多个模式

很多个不同的运动状态

我用这个i这个角标来代表它

所以我原来有一个a为和一个a(\dagger)

我现在有了i个状态怎么办呢

我就用i个a大家看

这里是a_i

这些代表我消灭一个

在i状态上的粒子

这个算符

这个a_i(\dagger)

就变成产生在i状态上的算符

n呢n_i

就代表在i状态上的粒子数

我就加一个角标

把原来一个a一个a(\dagger)

现在就变成了

如果我有n个状态的话

那么就是n个a

n个a(\dagger)

就是这不就有了嘛

但是我们要注意

你把这个原来的对易关系

现在怎么推广

这里有个重要的一个概念

就是说我现在这个体系的玻色子

它不同的模式是独立的

你有若干个玻色子在i状态上

有另外一个

数目的玻色子在j状态上

i和j是独立的

所以你看这里

我就推广的时候用这个推广

ai和aj(\dagger)

它的对易子

如果i和j是同一的一个模式

那么就应该是1

不同模式就应该是0

所以正好这个地方是Kronecker δ

另外当然两个都不带的

和两个都带dagger的

那这个它的对易子都是0

现在我就要写我现在

这个广义的这样的

一个玻色子的体系

它的这个状态怎么写了

这个state vector

现在这个空间

有个名字就是因为原来

俄罗斯的物理学家

弗拉基米尔・福克提出来

所以叫做Fock space

也就是一个特定的这个Hilbert space

就是数粒子数的space

我现在的State vector写在这里

n1等等等

ni再等等等

这个代表个什么状态呢

代表我的玻色子

有n1这么多个玻色子

处在第一个这个状态上

有i个玻色子处在ni这个状态上

有多少你把它写齐了

右边好办你很容易推广

本来只有一个a

它是有n个粒子

那就是a(\dagger)的n次方

现在你又把任意的一个

比如说ai(\dagger)

我有ni个粒子

处在第i个状态上怎么办

我就把ai这个dagger这个算符拿来

作用ni次

这样把它都作用完了

这个就是我的State vector

前面你需要有归一化因子

这个很容易推广

就是n！

同时刚才有两个很重要的关系

就是矩阵元

或者是ai和ai(\dagger)

作用在这个状态上的规律

原来没有这个角标

现在带了角标了

很简单

这很容易就推广了

大家看我从ni n1 n2 ni

这样一个State vector出发

我用ai(\dagger)作用它一家伙

注意这个i是个特定

我在第i个状态上

给它产生一个粒子

所以说你看在第i个状态上

原来是有ni个粒子

现在呢就变了ni+1个了

注意前面square root下面

那个大的数

那这个就是ai(\dagger)

作用在State vector上

这个叫做Fock state

ai(\dagger)作用在Fock state上面

就是这个关系

那相应的用ai

那么ai作用在这个Fock state上面

ai是在第i个状态上

要给它消灭掉一个

所以原来是ni现在变成ni-1了

所以这样的话就写出来

现在回到我一开始说的

为什么要搞二次量子化

这是技术性的道理

本来你要写一个多体波函数

你要写n!那么多的项

你要把它permutation都给它折腾过来

现在不用折腾

你看我这写一个式子

就代表我在第某个状态上

有多少个粒子

对称性由谁来保证

就由我这些a算符的commutation

下边我会证明

你对于费米子来讲

它的波函数要反对称

那个时候也是就写一项

那个时候是由谁来保证

由反对易子来保证

这个是后话

我们下面再来讲

现在就把，已经我们成功的

把Heiseneberg，这个Harmonic oscillator问题

推广到具有任意数的

粒子的玻色子体系

它可以有若干个状态

能量状态并不限定

这个已经成功的做了推广

下边难题来了

刚才我们限定的是玻色子

它对称

就继承了原来的

xp的对易子的关系commutate

就是继承到粒子数

到了费米子这是新的问题了

费米子它的波函数

多体问题的波函数是反对称的

那你怎么来表现这一点呢

所以现在刚才我们说

理论物理常用的方法

叫做模拟和推广

现在你看这个红字要来创造

这是新的东西

你没办法模仿

你得从头来

其实这个从头来

也是你注意这个反对称就是了

怎么把这个反对称得先纳入

所以下面我们就讲费米子的体系

费米子体系它的一个特点

要满足泡利不相容原理

所以我们现在把这个费米子

所能存在的这个单粒子的状态

都给它列出来

这个里面把不自旋

就算是不同的状态

所以说我们一个状态上

只能容一个费米子不能容第二个

所以这里头它的规律是

populated state α,β,γ 等等

我们有若干个状态上面

是有费米子的

你应该把它写出来

哪些状态

比如说α β γ等等

这些状态上都有一个费米子

我就写成这样一个state vector

|α,β,γ...>

这是个state vector

它怎么得来呢

你就从真空出发

一个费米子没有

我在γ状态上产生一个费米子

在β状态上产生一个

α状态上产生一个

就是这个

我们注意费米子的波函数

是反对称

所以我把α和β这两个状态

给它调一个个儿

我把β写在前头

我α写在后头

你调了一个个儿了

这个地方就出现一个负号了

所以 好

那右边这个

你按原来的规定写出来

就是这么的写出来

你这两一比有什么差别

上面的是a_α(\dagger)

a_β(\dagger)

下面的是a_β(\dagger)在前

a_α(\dagger)在后

这有个负号

所以说很可能的就是这个

就是a_β(\dagger) a_α(\dagger)

要等于负的a_β(\dagger)a_α(\dagger)

调一个个儿

你把右边这项挪到左边来

你看就是a_β(\dagger)a_α(\dagger)+a_α(\dagger)a_β(\dagger)

具体的数学上的符号

用花括弧来代表

这是量子力学的原来的传统

写这个对易子的时候

写commutator的时候

用的是方括弧

a b方括弧里边a b

就等于a b-b a

现在我这个地方是a_β(\dagger)a_α(\dagger)+

这是加

所以我用花括弧curly bracket来代表

这个东西的名字

就叫做这个地方anticommutator

就翻译成反对易子

所以你从这来看有了这个关系

刚才我有一个

用个默认的做法

你看刚才我这两个式子

这是两个式子

这是两个vector的等式

挪过去以后就是这个算符

作用在一个vector上等于零

这是一个vector的这样一个方程

我现在把后边那个拿掉了

我直接就写成了一个operator identity

是一个算符的恒等式

我为什么可以这么做呢

因为我后面拿掉的

那个东西是个任意的东西

你有γ也好没γ也好

你还有个δ还有个ε也好

它都一样

这个关系不改

所以我后面拿掉的东西

是个任意的

我就可以从一个vector relation

变成一个operator identity

这是一个重要的

下面我们做的时候

要严格按照这个规定来做

好

得出这样一个重要的关系来了

就是费米子的产生

算符彼此之间

不同的模式是对易的

它的消灭算符的反对易子

那不同状态之间的反对易子

就都是零

你看如果α等于β你就得到什么

aαaα作用两次得零

aα(\dagger)aα(\dagger)作用两次得零

这什么意思

如果我这个一个状态上

我本来是有一个粒子

我拿a这个状态作用一下

作用一下以后呢

原来有一个粒子现在没有了

变成真空了

我还要再拿α作用一次

第二次你再消灭上面没有

所以它就给出零来了

下面这个关系是说明

本来我是一个空的状态

我用aα(\dagger)作用了一次

这就表示

我在这个状态上产生了一个粒子

你说我再来一次

对不起我这有一个了

排斥第二个

所以得零

这就是很自然的

就代表了泡利不相容原理

这个只是两个带(\dagger)的两个不带(\dagger)的

重要的任务是要求这个

求一个带(\dagger)一个不带(\dagger)的

这个要费一点力气了

费力气费在哪儿呢

就是我先要做一点准备

推几个关系出来

下面我们要用

用来就是推一个

不带(\dagger)一个带(\dagger)

这个反对易子应该是什么

这就是要创造了你要写新的东西

过去没给人做过了

好 那么首先我从这个事情出发

这就是说我有一个状态

我在α状态上有一个费米子

这个状态本身它是归一化的

当然这个得1

好了

我把这α状态可以写成aα(\dagger)

作用在真空上

本来没有

我这产生一个

这不就是这个吗

然后前边这个就是等于说

把刚才有一个α的状态

你给它翻一个个儿

取它的这（15：28）

就是这样的一个东西

好 那现在你就注意一下

我的真空是唯一的

没有第二个真空

真空就是真空

所以我真空

它这个状态就是这个状态

真空状态和它自己的Hermitian conjugate

当然是它归一化的

可是真空是唯一的是什么意思

我这有一个真空态大家看

真空态

后面这是一个另外一个状态

我这个真空态和后面这个状态

它的（英文）是1

真空是唯一的

它不能和别的状态

做（英文）态给出1来

我只能是它自己跟自己

所以说后面这个东西

必须就是真空

这样子才能真空

和真空的（英文）比出1来

这个是一个关系

也就是说大家注意

我现在这得的结果是aαaα(\dagger)

作用在真空上还是真空

我下面就要推广

就是推广到这

你看aα和和aα(\dagger)

我现在在这写的写在这

这个地方是α态的真空

我这写的是什么

是βγδ等等等等

这个里面没有α

所以它实际上也是个α

就是α态的真空就是了

所以这个家伙

作用在α的态的真空上

还是α态的真空

也就是作用在没有α的状态上

还是原来的状态

这是一个推广

下面我们就要用这个东西

实际上也就用了这个道理

你看我本来|αβγ>

这样的一个状态

我前面拿aα作用一下

本来我α这个状态

我前面aα状态

一作用就变真空了

我现在是这有个α

我用α的消灭算符一作用

把α给消灭掉了

那当然剩下就是这个

所以我就等于

把这个关系推广到这了

前面这个是

包含一个α的这个状态

我用α的消灭算符

一作用就是没有α

也就是这样的一个原来的状态

和刚才我这个推广这个也推广了

所以说我后面这个状态里边

你看在这里

|βγ...>

没有α

你偏要消灭α

对不起 给出零来了

我得到了这样一些关系以后

下面主要大家记住了

就是这个关系

aαaα(\dagger)作用在α的真空上

这是任何一个状态

还得回原来这个状态它不变

好 下面主要就是用这个

来推定我要推定的这个关系

就是aα aβ(\dagger)

它的反对易子是什么

就是利用这个关系

就在这了

我推的时候不好推

得分两种不同情况

一个情况是α不等于β

不等于的时候

是你得推出这个东西来

我的结果给这个东西给出零来

还有一个这俩是一样

就是aα aα(\dagger)反对易子

下面一个投影片就给出来是1

好 我怎么证明呢

证明在这里

我写这么一个状态的等式

原来是真空

我前面是aβaα(\dagger)aβ(\dagger)aγ(\dagger)等等

作用它

这个我把这个第三个算符

aβ(\dagger)跟第二个算符

给它调一个个儿

调个儿的结果我知道

因为刚才证明了

两个都带(\dagger)的

它的反对易子就是aα(\dagger)aβ(\dagger)

要等于-aβ(\dagger)aα(\dagger)

就是你把它调一个个儿要给一个负号

所以好我把这调一个个儿就写到这了

这aβ(\dagger)跑到前头去了

再在这加一个负号

下面就用了刚才那个关系

请大家一下注意这个算符

aβaβ(\dagger)

作用在后面的这个家伙里边

没有β就是个β的真空

所以它作用在后面的这个家伙

结果就是后面的这个家伙

负号是本来带的

所以我这个作用下去以后

就得到后面这个

好 下面我再一次用这个关系

我在这个夹缝的地方

我放上aβaβ(\dagger)

放上一个没有关系

因为什么因为后面

本来就是β的真空

所以我放了这个和不放一样

所以我现在本来没有

我现在给它放上

你看这个当然还是对的了

现在你把这个第一项就是这一项

和这个第四项一比

你看前面第一项是aβaα(\dagger)

第四项是aα(\dagger)在前

aβ在后

所以结果就是这个

aβaα(\dagger)+aα(\dagger)aβ

作用在后面的东西上

等于零

因为我把这个第四项

挪到第一项的右边了

所以最后结果是零

那这个得到这里

它是一个vector relation

是一个vector所满足的关系

你说我能不能把前面这个拿走

就得到一个operator identity呢

在这请大家注意后面

这个是不是任意的

后面这个你一看它不任意

为什么不任意

你看这不有个β吗

这有个β这有个β不是任意

所以你还必须得证明一下

我把这个东西

作用在一个任意的状态上

它必须还是零

这个当然好证

这个大家自己一看就知道了

所以说既然后面是任意的

我就从刚才的这个vector relation

得到一个operator identity

就是aβaα(\dagger)是零

这里α不等于β

那么下面我还要证明等于的话

它这个anticommutator应该等于1

这个是下面这一页

等于了你看这里是aαaα(\dagger)

我写了这个

这个vector

这个vector我们来看

这有一个α对吧

所以我可以把这个α

提到这个vector的前面来

我后面这个是βγ等等

我拿aα(\dagger)一作用

这不后边就出来个α了吗

所以这个我可以把它拿出来

把它拿出来的话你再看

我现在来看另外一个关系

aα(\dagger)在前

aα在后

就把这两个调一个个儿

把这俩调一个个儿你看

这有aα消灭

后边有个α

这一消灭后面没有α了

所以等于这个

而这个你这有一个aα(\dagger)

所以你就是|αβγ...>

所以你看刚才

我们就可以得出一个结果来

aαaα(\dagger)作用在|αβγ...>上

得零对吧

因为这两个aα(\dagger)

不能连着作用

当然它应该得零

现在第二行是(\dagger)的在前α在后

这样的东西就是|αβγ...>

所以我要把第一式的左边

加第二式的左边

就得到第三的式的左边

而第一式的右边是零

第二式的右边是它

所以就是它

你这样一看

我暂且不能够把这个vector relation

变成operator identity

因为什么呢

因为你看它这后面有α

不普遍

所以你还得要一个普遍的

就是后面不带α的

这个是也容易证明的

能够证明出来

所以这样一来的话

你就可以把这个operator identity写出来

有这两个就可以把这个operator identity写出来

就是它这两个加起来应该是1

这两行加起来应该是1

就是后面已经是普遍的

把这个去掉

这个东西就得1了

刚才证明了αβ是不一样的

它得零

现在α和β一样了

它得1

所以最后就得到了

对于费米子适用的anticommutator

这个就是创造

是过去考虑玻色子没有

这里面是个方法

二次量子化方法一个创造

所以说在这就是提醒大家

有一个费米子体系

你写它的状态矢量

写它的state vector的时候

有一个次序的问题

你看这里αβγ

我现在如果前面我要作用一个aβ

你中间隔着一个α怎么办呢

你可以用这样一个办法

你把这个αβ换一个个儿

前面就有一个负号

负号出来了aβ跟aβ是挨着的

这个算符作用在vector上面

永远作用它跟它

这个最近的一个来作用

你把这个β放到左边来

调到左边来

多一个负号

前面aβ作用在β上

就把它消灭掉了

所以剩下这个负号前面

是个α后面是个γ

你就记住这个办法就是

你要作用你总得把

后面你调度好

让那个被作用放在最左边就够了

好 现在我们就把这个二次量子化

在粒子数表象里面的工作

已经做完了

我现在来总结

你一个量子理论它的对象有两块

一块是它的State vector状态矢量

一块是Operators

这个算符是作用在状态矢量的

我刚才讨论的是玻色子

或者费米子的多体问题

这个用的表象是particle number representation

那么费米子它得的

都是那个Fock state那个样子

玻色子的它可以是作用

a(\dagger)可以作用若干次

而费米子只能一次

第二次就得零了

这是State vector有了

就是这个Fock state

而operator就是一个ai一个ai(\dagger)

你有不同的模式

这个i有多少模式

你有多少对ai ai(\dagger)

好 另外有了ai(\dagger)

就多定义出一个Ni来

Ni现在就是particle number operator

代表粒子数的算符

对于玻色子你这有commutator

对于费米子你这anticommutator

好 那么右边的这个state vector

Fock state是这个

你用ai作用一下

得的是ai的这状态上

就少一个粒子

你用ai(\dagger)作用

它就多一个粒子

前面都有一个这个数值因子

这个对于玻色子 费米子都通用的

你比如说第一个

假如说对于费米子

我ni状态上原来有一个

你拿这个a一作用这变零了

那一项就没了

如果原来本来没有

你一作用整个就得零了

这如果你本来

这个i状态上没有粒子

你前边(\dagger)它一家伙

它就出来一个粒子

如果你本来有一个粒子

你还要(\dagger)

对不起 得零

这两个都可以应用

我们下面要做的

就是你现在我只是个particle number representation

而我真正在物理学里面用的

你不能只是用粒子数表象

我别的表象那怎么办

所以我要把所有的量子理论

里面的物理量变量

比如说Hamiltonian

或者是kinetic energy, potential energy, momentum, angular momentum

都用ai和ai(\dagger)表示

那当然你有的时候

你粒子数表象不方便

我得用一个普遍的一个办法

比如说我变到一个ψ

把这个波函数变成算符

那就是得到真正的二次量子化的

所以我现在把Feynman

这个总结给大家介绍一下

我们先讲Feynman讲的话

然后跟我们刚才所有讲的

二次量子化的问题做个对比

Feynman讲怎么做理论物理

这是他的经验

所以说这个我就题目就是

Some characteristics of developing a theoretical idea

就是我要想发展一个理论的概念

我怎么做

Feynman说我这么做

我首先得有物理的直觉

我得猜想一下

我要处理的问题是个什么结果

所以他在这里有一个Guess

要用physical intuition

要用物理的直觉来猜想

猜了以后那你不知道猜的对不对

好办

我就把我的猜想的方法

用到别人做过的问题上

别人解决了一个问题用他的方法

我现在猜了一个新的方法

我用我的方法处理同样的问题

我得的结果就可以跟他这来比

如果他的结果本来被证明是对的

我得的和他一样有希望

我就可以试第二个例子

第二个例子

和得原来的结果又一样

我的信心就增加了

那么最后第三个做若干个以后

我的信心就满满

我的方法就成功

我就可以用它来apply to new problems

来解决新的问题

做了新的问题以后

别人没解过

那你怎么知道对不对

那就要跟实验来比较

如果跟实验比较

再证明了我这个办法对了

那我就得想办法

把我原来的猜想付诸证明

这个是一个很难的过程

所以下边就得Feynman

说他的做法就是我得出一个我认为是正确的方法以后

我再去找它的证据

这个证明可能是艰苦的

也可能是一时我还找不出来的

所以他有一句名言

在这里红字写的

I know much more than I can prove

我所知道的比我能证明的多得多

所以这就说明Feynman先生

他在脑袋里面存的东西

那比他发表的文章要多得多

有些东西他有答案

但是他还没证明

他不仅对物理问题了

就像Challenger飞船爆炸

猜想什么原因

他就猜想这是橡皮圈出了问题

低温橡皮圈出问题

然后做实验果然证明

就是这个原因

他这个脑子的物理直觉是很灵的

所以他说我脑子里的东西

比我能证明的要多得多

这就说明做物理首先你要证明

要做一个什么问题

你得先有个大致的一个猜想

你猜错了不要紧

猜错了我再来嘛

但是你必须得有猜想

老师给你个问题让你算

这个不是原始的物理工作

原始的物理研究是一个过去

别人没有做过的物理问题你来做

这就是用Feynman先生所讲的方法

好 这一节我们就讲到这里