当前课程知识点：量子力学前沿选题 > Chapter 10 Bose-Einstein Condensation > Homework10 > S3.4 Density matrix & path integral S3.5 Density matrix in statistical mechanism
下面我们来介绍density matrix and path integral
密度矩阵和路径积分
密度矩阵我们在讲
二次量子化的时候曾经介绍过
在那里它主要就让大家看到
费米子和玻色子
它的统计性质究竟有什么不同
很有意思的
这里呢我们会最后发现
密度矩阵居然也可以用
路径积分表示出来
这个我们到一个具体问题的时候
就可以让大家看到
就有一个很让人困惑的问题
这个问题到时候我们再来说
当然最后我们也知道
困惑的问题的解在哪
不是什么真正的物理上的困惑
而是实际上一下子这个概念上
没有绕过来就会有这个困惑
好 我们现在考虑一个
量子力学的状态
就叫做ψ
那么ψ当然可以我来找一套基
或者一套正交归一完备基
来表示出来
这个套基叫Kn
它是算符k的本征函数
所以也就是我们现在的
K表示里面来展开这个ψ
所以ψ这里就是求和Cn Kn
Cn的模的平方就代表
我这个状态ψ
我在Kn这个n状态里面找到它了
当然你把Cn的vector square求和
对n求和应该给出1来
这个Cn怎么求呢
实际上就是你算这样的一个
scalar product就完了
好 下面说呢
刚才说了这个Cn的物理意义了
这个Cn当然一般是个复数
它是complex
这个complex为什么它是复的呢
你来诠释它的意义
你要取它的模平方
那你那个phase起什么作用呢
phase是很重要的
它实际上表现
你在这个展开里面
你这右边有好多不同的态了
很多不同的本征函数了
你是表示这个ψ状态
它用这些个本征函数展开的时候
这本征函数之间
它会有相对的位相的关系
这个我们下面可以看得出来
我们现在来定义
一个Density matrix密度矩阵
这个密度矩阵是
定义就是这个
很好定义 很容易看到的
它就是左边放一个|ψ>
右边放一个<ψ|
这个当然是个operator
Density matrix 在这是operator
好 我现在把这个ψ用k表示
表示出来
那就是后面这个
现在是个sum over mn
而你这个算符的部分呢
就变成|kn> 展开系数当然是Cn Cm* 所以呢我就把这个 前面的这个CnCm* 我就称为density matrix operator 它的matrix element 所以这叫matrix就是因为这个 Density matrix ρ 它就是一个普通的矩阵 它的矩阵元呢就是 你原来这个ρ展开的 里面这个系数CnCm* 所以你看这个一般就叫Density matrix 它是矩阵元 这个有时候就叫density operator 因为它后面是个operator 当然operator前面这个系数 就是这个矩阵的矩阵元就是 所以刚才说过这个复数之所以 它这个复数代表了什么呢 实际上你在这看 这个n和m不一样的话 那么它是非对角元 你看这个Cn等于m 这是对角元 Cn它的magnitude square 物理意义是清楚的 那么你这个 CnCm*的物理意义是什么 它的物理意义就包括 就说你这个ψ状态 你做展开的时候 它这个Kn和Km之间它是有关联的 它有phase的关联项的关联 所以这样的东西 nondiagonal n不等于m 那当然最后一般是个复数了 它是包含phase 包含位相的这个信息 好 现在量子力学里面 Density matrix 密度矩阵就是刚才那样 量子力学里还碰到过这样的问题 就是说我现在有一个体系 这个体系当然我可以用测量 我用测量这个物理量K 我就会发现它会处在 这K的不同状态里面 那么处在某一个状态上 刚才说过那就是|cn|^2 对于这个系统我现在只知道 它处在Kn状态的几率 别的我不知道 那这个时候 我也可以把它写成密度矩阵 什么样子呢 你看就是这样 我叫做ρ' 这个当然ρ' 实际上是个不完全的密度矩阵 它只有对角元 你看对角元Kn Kn 前面的系数是Wn 所以这个Wn就是 我们原来的|Cn|^2 我现在就叫Wn 这就是处在n状态上的几率 我只用几率来表示 这样的一个密度矩阵 它就只有对角元 它是不完全的 它没有phase 我说它不完全就是它没有 不给你任何这个相位的信息 那这个状态 在量子力学里叫混合态 ρ represents a mixed state 混合态就是把好多KN混合起来 为什么这个态不完全 你不知道这个Kn 不同的N之间的 那个phase你不知道 所以它是不完全的 这两种情况 它都有它的trace都是1 那当然这个的trace WN WN 当然它是几率 所有的几率的 可能的几率你把它加起来 它一定等于1 前面那个你算trace 只算它的对角元当然一样 而且还有一个特点 就是原来我们给出来的这个ρ 那个ρ Density matrix 它是Hermitian 因为你求它的Hermitian conjugate 一个|ψ>一个<ψ| 你把它调一个个 它当然还是一个|ψ>一个<ψ| 它Hermitian 你对不完全的也是一样 不完全的它只有n 它没有那个非对角元 所以你求它的Hermitian conjugate它还是它 所以ρ不管完全不完全 它都是Hermitian ρ和ρ'有什么区别呢 它的区别在于 ρ的平方还等于ρ 很简单 你那两个ψ 两个ψ把它并下来 你ρ平方那就是 |ψ><ψ|ψ><ψ| 中间的<ψ|ψ>它scalar product当然是1 所以你剩下的呢 还是一个|ψ><ψ| 所以这个ρ就等于ρ平方 那么ρ'平方就不对了 没有这个关系 你看我来求ρ'平方 ρ'平方 那你就是|Kn> 你中间的这个scalar product 它是个Kronecker δ δnm 所以你最后它就是得到一个 Wn^2 |Kn> 你和这个ρ'来比 后面一样 前面Wn现在变了Wn^2 Wn已经是probability 这个地方就是probability^2 我们知道probability当然是小于1的 那它的squre当然比它原来还要小 所以你算它的trace就是Wn的和 那当然是1 而这里Wn^2对N来求和 它每个都比原来小 它小于1的 所以trace(ρ'^2) 又小于等于trace(ρ') 这点我们下面要用 刚才说过ρ'就是ρ 完全的matrix 它的平方还是它自己 不完全的这个1平方 前面的系数小了 这两个是不一样 这个区别下面来看 我们下面就是来换基 我从原来我是以K表示 来表示我的Density matrix 我现在用L表示 所以我从K表示到L表示 有这样一个unitary transformation 有这样一个变换 所以我的Density matrix ρ 本来是用K来表示 我现在把这个|Kn>和|Km> |Kn>我用新的表示表明的话 所以你看 原来的这个matrix element在前面 没有变 后面那两个|K>我现在变成|j>了 它就变成这样了 多了两个变换的系数 那变换系数就在这 从这来的 从|Kj>变到|Lj>前面有一个系数 那个系数 这是|K>还有个 所以这出来两个系数 就变成这样 后面是|j> 前面的这个四个系数连乘 对于m,n来求和 现在新的这个前面的matrix element 就叫做ναβ ναβ就是等于后面四个 你把m,n求和掉 剩下的两个指标是αβ 就是它 ρ'同样我也可以做 就是我把原来那两个K 换成两个j就是这样 现在这个新的matrix element 和老的matrix element的关系 老的matrix element就是Wn 新的也要乘上两个变换系数 你说这样一来 本来呢我那个完全的Density matrix 它有对角元 也有非对角元 我的mixed state混合态不完全的 那个Density matrix它只有对角元 可是我一做了j的变换 你看这不都非对角了嘛 那就分不开了 表面上来看是非对角 实际上我说它的区别在哪里 然后告诉大家 实际上你怎么来区别 它的区别在哪里呢 我一个完全的Density matrix 刚才说它包含phase information 包含在哪 包含在它原来的这个matrix element里头 而我这个不完全的那个 它本来没有phase 它原来那个系数只有W W它是个magnitude square 它是一个小于1的一个实数 那你到了新的这个 好像有了非对角元 那是由于这个d 这个d和d* 它不包含原来那个K表示的那个phase information K表示那个在这Wn了 所以这是它的区别 那你说我看它都是非对角 怎么办呢 两个办法 一个办法就是说 你把它这个Density matrix 你给它对角化 你把它对角化了以后 那你就发现不完全的这个ρ' 因为不完全那个ρ' 它本来在这里 它本来是这个 这个是对角 你把它换了j那不对角 那我再对角化 把它对角化回来 那不就又变成对角 它可以对角化 它是能够对角化的 对角化以后呢 你就会出现一系列的Wn 当然如果你有几个Wn 一个以上的Wn 这就是个混合态 如果你只有一个WN 那我只是K的某一个状态了 那这个当然就是纯态了 所以刚才说不完全的这个东西 如果它这个Wn是只有一个 那它也还是个纯态 这个纯态就是Kn这个状态就是 如果给你一个ρ Density matrix 它是非对角的 那你怎么判断 它是纯态的呢还是混合态 那我们有两种办法 一种办法就是你把它对角化 对角化完了以后 你就看它的结果 如果你的对角的化了以后 你的这个Density matrix 它有不止一个元素 对这个对角的元素不为0 那肯定是混合态 如果它只有一个元素不为0 那它还是个纯态 就是哪个元素不为0 它就是那个元素 比如说对角表示是K表示 那就是那个表示Kn 它就是那个纯态 所以你就看对角化以后 它有多少个元素不为0 不止一个的就是混合态 还有一个办法就是说 我把ρ和ρ'都平方一下 ρ平方了一下还是ρ 所以它的trace一定是1 而ρ'一平方 它的那个矩阵元就是Wn平方了 这个求和小于1 所以这个时候它就是个混合态 就用这个办法 就能够把混合态和这个纯态 区别开
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-Homework10
