S1.7 BCS wave function, Bogolinbov transformation and quasiparticle excitation(3)在线视频

前一次我们讨论了BCS

这个超导基态的它的性质

这个对于超导理论来讲

这是一个决定性的一个步骤

这就是施里弗最早写出来的

这个超导基态状态矢量

把它写出来

这个特点就是这个状态里面

它可以没有库珀对

可以有一个可以有两个

一直可以有二分之一N0个

N0就是在这个费米球边缘

两个虚线中间的这些个状态

在这个里面的电子的数目是N0

所以对可以有二分之一N0个

这是最多的可能

从没有到二分之N0

也就是说它在粒子数是不确定的

这样的一个基态

它可以做到哪一点呢

就是如果我们考虑电子

在这个虚线之间的

薄层里面的电子

如果都是自由的

那这个时候那就是说实际上

这就是一个费米球了

费米球外面没有粒子

费米球里面填满的

这样一个状态它有一定的能量

可是呢如果我们允许这个

两个虚线之间的薄层的电子

接成库珀对的话

那这个时候我们这个

这样的状态的能量

就要比原来的这个单个的费米球

没有相互作用的这电子

它能量要低

换句话说没有相互作用的电子

它所填满的这个费米球

对于电子电子之间的

有效的吸引力它是不稳定的

也就是说可以通过吸引力

造成一个状态

它的能量

比起没有相互作用的状态

这个它的能量要低

得到了这一点

我们上一次讨论了

怎么算出这个u和v

就是u代表没有对

v代表在这个μ状态上

有一个对的

这个probability

然后在计算的过程里面

我们算出来的u平方和v平方

如果我们解了这个Number equation

和Gap equation联立的解

就可以把λ和δ求出来

求出来以后

这个δ我们下面会看到

它就代表超导的能隙

在这个推导过程里面

我们得过两个结果

请大家注意稍微记一下

因为我们下面再讨论

还要会出现这两个式子

一个就是我们通过有约束这变分

得到的这个运动方程

这样一个方程

上面这个带星号的

这个方程

请大家记一下这个样子

下面还会出现这是一个

还有一个就是这样一个关系

我们定义了一个gap

定义了一个quasiparticle energy

它和uv的关系

这个我们下面也会要看到它

好

下边我们就要讨论一个新的问题

这个问题就是超导体的

它的激发态是什么样子

也就是我们最后

要给出这个能谱来

这一节的题目叫做

Bogoliubov Transformation

and quasi-partcle excetations

of the BCS state

我们要求这个激发态

好 我们有一个超导体的基态

这个基态我们怎么来激发它呢

得到它的更高的能量状态呢

我们知道这样的一个状态

它就是在这个

一个很薄一层的里面

这个库珀对的状态

这个有许多是被库珀对占据了

你要想激发它

怎么办呢

你就只能拆库珀对了

把其中的某一个库珀对给它拆了

怎么拆法呢

两种可能

假定我们要找的这个激发态

它的动量是p

这个自旋是σ

也就或者是简称为μ

μ的这个状态

大家看它这里

我们要找这样一个状态的激发态

这个激发态的动量是p

自旋是σ

你怎么办呢

有两种办法

那么这有

那个费米球外面的薄层里头

有一个状态μ

我们怎么办呢

我们可以如果这个μ这个状态

原来是空的

那我就可以我在这个μ状态上

产生一个电子

我用aμ^\dagger来在这个状态

基态上作用一下

它的结果就是在这个基态上面

产生了一个在μ态的电子

就是单个的电子

它不配对

所以这个时候配对的能量最低

你现在多出一个单个的来

所以它就没有那个pairing energy

它就这个时候它这就是激发态了

但是有个条件

必须这个μ原来是空的

如果μ上面原来就有一个电子

你再拿这个aμ^\dagger作用坏了

它给出0来了对吧

还有一种办法

就是如果我这个μ这个状态

上有一个库珀对怎么办呢

我就把这个μ的

这个是按这个状态

它的那个伴侣

那个伴儿partner

上面不是本来有电子吗

我把它给消灭掉

这个时候剩下什么

剩下的就是在μ上面的一个电子

因为你把μ（bar）上面的电子

给消灭掉了

所以这是两种不同的情况

那究竟怎么办呢

博戈柳博夫很巧的就定义了一个

准粒子产生算符

就在这里

大家看这个α就代表准粒子算符

我们原来电子的算符是a

现在准粒子算符是α

μ态产生一个准粒子

刚才我们已经讲过有两种办法

一种是用aμ^\dagger作用一下

这是原来这个μ状态上

是没有是空的

我就用aμ^\dagger

如果有我就用aμ（bar）

把它那个伴侣给消灭掉

博戈柳博夫说我这个新的准粒子算符

就是原来这两个的线性叠加

它这在叠加系数用uμ和vμ代表

那当然这两个的平方加起来

必须等于1

现在大家注意这个uμ和vμ

和我们上一次求出来的uμ和vμ

你暂且当它根本不是一回事

现在是新的两个系数

那么它们的平方是1

那就或者就是sin和cos

所以这样一个变换

就是a到α的变换

就相当于一个正交变换

就是一个转轴

我原来的这个a和

和a^\dagger的这个坐标轴

我把它转一个θ角

那么前面的系数

当然就是cosθ和sinθ

这就是一个正交变换

好 那么将来大家会看到

我们来在这种情况底下

来算这个激发态的时候

得出来的u和v

正好就是我们原来的u和v

所以这个是很有意思的

我们看这个α这个算符的性质

它是a和a^\dagger的线性组合

所以说它是不满足粒子数守恒的

因为你这有一个消灭算符

有一个产生算符

一个减掉一个粒子

还一个算符增加一个粒子

所以它是粒子数不守恒的

那么正交变换

我刚才说了一个α^\dagger

我们有一个二维的x y坐标轴

我把它转一个θ角

当然我得出一个新的y轴

和一个新的x轴

那么刚才我们的那个变换

就是博戈柳博夫定义的

αμ^\dagger它比如说

就相当于新的y轴

我还有个新的x轴

那就是下面这个式子

所以它的这个αμ（bar）

就是αμ^\dagger的

它的那个正交的伙伴

原来那个是y轴

这个y坐标这个就代表x坐标

所以你按那个

正交变换的规律就知道

上面那是系数一个cosθ

一个-sinθ

所以现在的这个系数

这就变成sinθ和cosθ

这中间是加号

我把这两个式子

用一个矩阵关系表示出来

就是这样一个关系

你看这里我新的坐标

就是αμ^\dagger和αμ（bar）

这就是博戈柳博夫的准粒子算符

我的老的坐标

就是aμ^\dagger和aμ（bar）

这是电子的产生和消灭算符

当然这个变换

很容易求出它的逆变换来

这就是下面逆变换

就是我用准粒子算符

αμ^\dagger和αμ（bar）

来代表电子算符

代表旧的这个算符aμ^\dagger和aμ

当然有了aμ（bar）

我就会有个aμ（bar）

有了αμ（bar）

我就会有个αμ（bar）^\dagger

那就是你把原来那个αμ

这是在前一个透明片上

那么我现在把那个αμ

αμ^\dagger那个^\dagger去掉

就得到了它的αμ^\dagger的Hermition Conjugate

那就是αμ

我把这个αμ（bar）

给它取它的Hermition Conjugate

那就是下面的

这个αμ（bar）^\dagger

好了

所以现在这个新的坐标αμ^\dagger

和αμ（bar）

还有它们的Hermition Conjugate都有了

所以这个时候

我们最后给出α算符

αμ αμ^\dagger

这就是准粒子算符的它的anticommucation relation

反对易子

那这个有了a的对易子 反对易子

你就可以求出α的反对易子来

这个算符就齐了

那么下面要介绍一下

我们用到的准粒子这个词了

这个词是哪儿来的

在凝聚态物理里面最有名的那就是

叫做Landau Fermi liquid theory

Landau它所创造的什么理论呢

叫做Fermi liquid theory

费米液体理论

这个词哪儿来的呢

因为原来你做多体问题

有很多电子

一个多电子问题

这些电子它是没有相互作用的

是自由的

所以这个一般就叫做Fermi gas

费米气体

气体它的密度是比较低的

就说两个电子之间的

相对距离是比较大的

所以不用去考虑它的相互作用

这叫Fermi gas

可是如果我们到了固体里边

凝聚态里边

这个电子它的密度是比较大的

这个时候你就很多情况

你要考虑它的相互作用

所以这个时候

就不再是Fermi gas了

是Fermi liquid了

好了 你要算很多很多个电子

每一对电子之间都有相互作用

那这个就很麻烦了

怎么办呢

Landau是很有创造性

他就想了这个一个近似的办法

把这个好多个粒子的

相互作用它的结果

就比喻做什么呢

就原来没有相互作用的电子

好像是没穿衣服的电子

现在有了相互的作用了

每一个电子穿上衣服了

这就叫做dressed electron

就是穿上衣服的

穿了衣服以后呢原来是哪个电子

它现在还是那个电子

只不过穿了衣服就是

所以这个Fermi liquid theory

它这是费米液定理了

它和Fermi gas theory

它这个电子有一一的对应

你就可以把原来的电子

没有相互作用

它没穿衣服

有了相互作用什么效果

它穿了衣服了

所以这是一个很好用的一个近似

这个概念其实是从原来场论来的

场论里面比如说

它粒子之间没有相互作用

这个叫做bare particles

裸的没穿衣服

有了相互作用以后这就是dressed particle

这个就是实际上

你要经过一番重整化了

所以这个是dressed particle

它的精神就是说

我现在考虑了相互作用以后

原来的电子现在就变了准粒子了

准粒子它就等于是穿衣服的电子

但是就是它穿了衣服以后

这个时候的准粒子和准粒子之间

你就当它是没有相互作用一样

所以这样的话是一个近似

但是这是对应凝聚态物理来讲

是一个很好的近似

好 下面我们就来做

把博戈柳博夫关于准粒子算符的定义

就是αμ^\dagger和αμ（bar）

当然也还有它们的这个Hermition conjugate

和原来我们的Hamiltonian里边

是大家看在这里

用电子算符表示的Hamiltonian是这两项

第一项是单电子的算符

第二项是电子之间相互作用的算符

我用刚才给出的那个逆变换

把a和a^\dagger用α和α^\dagger

用准粒子算符表示出来

那应该是什么样呢

这个大家可以看

曾谨言的量子力学的第二卷

我在这只把结果给出来

因为这里没有什么

复杂的数学的手续

只是代入

你去老老实实地算就是了

这个时候得出来的Hamiltonian

用准粒子算符表示的

有0阶项

0阶项是根本不包括准粒子算符

你看没有准粒子算符

都是原来给定的参数

G然后就是u和v就是这样的

也没有算符

第二项是H1'

这一项你看这是对角项

它包括的准粒子算符在这呢

就是αν^\daggerαν

这个代表什么呢

就是在ν状态上的准粒子的数

后边这一项αν（bar）^\daggerαν（bar）

它代表的是ν（bar）

这个状态上的准粒子数

这是一次的

然后下面还一个项H2'

它是包括这个非对角项

两个α^\dagger和两个α

就是我要产生两个

或者是消灭两个

那么我们这个地方

用红颜色勾掉了两项

什么意思呢

就是u和v那就是sin或者cos

它的平方当然就要比原来要小

它的4次方

那就要比原来当然就更小

所以这里我把4次方项扔掉

你看这个这里是v方乘u方

这是v4次方

下面这个是u的一次方

和这个v的3次方

所以这两个就都把它4次方的项

都消掉了不要

不要了以后我们看

H0是常数就不管它了

下边我要求我的准粒子是自由的

所以我只取这个H1'这一项

那前面这个是什么

后面的是准粒子数

所以前面这个就是准粒子能量

这个就应该给出

准粒子能量来放在这

当然我这u和v还得求呢

求出来以后已知了

这个就代表准粒子的能量

我要求只考虑单个的准粒子

一个两个三个四个

彼此之间没有关系

所以当然我不要这个非对角项

两个都带^\dagger

或者两个不带^\dagger

不要这一项

我就要求前面的这个系数等于0

好 我现在下面

我先来处理这个等于0的项

这项我现在把它写出来

就是大家看就是这一项

这就是刚才这个

非对角项我不要的

那前面这系数

得等于0它才会没有

刚才我请大家看

我们在求基态的时候

做变分法得出来的那个运动方程

那大家看看这个

和那个一比完全一样

这个可真是很有意思了

我现在我这个u和v不是原来那个

我先写的

可是它满足的方程

正好是原来那个

所以说这个u和v不是新的东西

就是原来的u和v

所以说行了

我另外u和v

有一个约束条件在这里

u方加v方等于1

所以说我下边要解它

用这个约束条件和它做联立

那我得出来的结果

无非就是我原来的这个u和v了

所以说没有新的东西

也就是说决定

我BCS基态的那个u和v

也就是现在使得

我在考虑激发态的时候

这个准粒子的Hamiltonian

只是调对角项的

那个条件是完全一样

好 有了这个以后

下边我们把这个能谱得出来

刚才我们讨论了不要的那个

我们还提过对角项的

那个系数是什么呢

就是准粒子的能量

我们现在看看

那个对角的那个系数在哪儿呢

我现在写出来就是这个

这个就应该是准粒子的能量

那我们现在用两个关系

这两个关系

是请大家原来看过的

现在的uv就是原来的uv

所以原来的关系现在全能用了

一个是这个关系

两倍的uμvμ

还有一个是uμ方减去vμ方

那我们看一看我们的准粒子能量

这正好有个uμ方减去vμ方

我们用它来代进去

后面这项有个两倍的uν vν

我们用这个来进去

一代进去就得这个结果

得这个结果出来以后

大家看是什么

分母一样 我分子就相加

分子一加我们就是知道是

我们原来定义过的

那个Eν的平方

分子是Eν的平方 分母是Eν

所以整个的就是Eν

好 现在我就兑现了

原来我定义那个e

原来比如叫ek是吧

那个ek我说它是准粒子能量

现在就证明了

因为这个左边

就应该是准粒子能量

而这个准粒子能量

就是我们原来定义的那个Eν

所以那个Eν是准粒子能量

就已经

这个说明白了

好 下面看能谱

它这个能谱呢就是

实际上画的

就是我刚才的那个Eν

Eν是根号下面有两项

在这看吧

根号就是那个Eν

根号就是Eν

Eν的平方呢是（ε-λ的方）

加上δ方

我现在把这个ε减去λ平方

挪到左边来

也就得到的是什么呢

就是Eν的平方减去ε减λ的平方

等于δ平方

这个是个什么东西呢

这个就是一个抛物线的方程对吧

x方减去y方等于比如说c方

这不就是个抛物线嘛

所以呢

如果我来现在画这个能谱

我的Eν是纵坐标

横坐标就是这个ε减去λ

λ就是chemical potential

就是我们现在这能量从chemical potential量起

所以就是ε减去λ

这样的话我们得到的这个能谱图

你看纵坐标是Eν

横坐标是Eν减λ

我应该得一个抛物线

抛物线画出来在这

那现在这个最低点离这呢

正好是δ

因为我这个抛物线的方程

右边就是δ平方

就是这个

所以你看我的这个

超导体的能谱

这个画了抛物线的一支

下边呢还有一支

这个中间这个地方

这能隙就是两倍的δ

从0量起这就是δ

所以现在我兑现了

我原来那个第二个定义

第二个定义呢就是

δ是什么 就是超导体的能隙

你看这里兑现了 就是能隙

好 有了这个呢

那我就现在问了

δ究竟应该是多少

δ是多少呢

就是我把原来的那个

δ定义的方程

定义的方程在这里

请大家看

这就是δ的定义对吧

我们现在要把这个能隙算出来

怎么算能隙呢

我们还用原来的

Energy-Gape equation

原来Energy-gap equation就写在这里了

我现在左右都乘以二分之G

左边呢乘了二分之G以后

就是G乘上uμ vμ

我再对μ求和

根据这个定义

Guμ vμ对μ求和就是δ

所以我左边就是δ

右边呢不变

我就是拿二分之一G

乘一乘就完了 写在这

当然我还要对μ求和

因为左边求和了

右边也要求和

就得出了这个式子

这个式子我们看

满足这个式子δ

有两个根

一个就是δ等于0

肯定满足它

但是这个解使我们不感兴趣

因为我要算超导

就要算这个能隙δ

算能隙δ

你δ等于0这不是超导

所以不要

剩下的呢你就可以把

δ不是0

你就把δ约掉

约掉以后得到的就是这个方程

这个方程右边是一个求和

我现在呢把这个求和

用积分来代替

这个σμ就等于对于这个

所有的能量ε求和

但是同时要把能级密度放进去

现在呢因为我这个状态

都在费米球附近

费米表面附近

所以我们就用费米momentum

所在地的这个energy density来近似它

就是把Gε用Gεα来近似

所以有了以后呢

我们就来做积分

把这个积分做出来

然后把δ解出来

你看就得了这么一个结果

这个就是我那个能隙的大小

如果大家把这个和过去

我们介绍的库珀对那段一对比的话

这个不是别的

就是库珀对的结合能对不对

所以现在完全明白了

这能隙怎么产生的

我有一个库珀对

就有这样一个结合能

这个结合能我们原来提过

它很小 10的负4次方electron voltage

但是我们现在

有非常非常多的库珀对

我们把这么多的库珀对

比如说10的5次方 10的6次方

那你得到的就是10个ev

或者是100个ev的数量

那这个时候这个超导体

当然就它是很稳定的

就很结实的了

最后要把这个博戈柳博夫的这个

他的这个巧妙的地方

要给大家介绍一下

博戈柳博夫用的是什么呢

就是pairing approximation对吧

我们这个叫做pairing approximation

也就是说它产生这个激发的时候

我也可以用在这个aμ这个地方

用aμ^\dagger

我也可以用aμ(bar)

博戈柳博夫就把这俩做了一个

这个线性组合

就定义了一个准粒子算符

好啊 那么现在我们就根据

这个施里弗那本书

施里弗有一本书叫做Theory of superconductivity

这个里边呢

它就让你看出来αμ^\dagger和αμ(bar)

它来激发这个超导体的时候

它的作用是等价的

而且让你看出来呢

博戈柳博夫巧巧在哪里

好 现在这个我们来定义一个

准粒子μ的定义

定义它的状态

它的状态叫做ψμ

这是个

这个哪来呢

我就可以把原来的

BCS波函数拿来

我前面可以用aμ^\dagger作用

但是我原来说过这有个条件

必须那个μ那个状态是空的

你才能产生一个电子对吧

这a是电子的算符

所以我在后面的这个

BCS基态里边

我这个地方ν求乘积不等于μ

我把那个μ扣除了

这就告诉你μ本来没有

所以这个时候我用aμ^\dagger作用

放心作用

这样得出来的就是准粒子

μ的这个状态对吧

下面我要说αμ^\dagger

和αμ是等价的

为什么

请大家把这个αμ^\dagger

或者是αμ(bar)

作用在真正的BCS波函数上

这个什么也没有去掉

所以这个时候你得出来的

就是下面这结果

下面这结果大家看怎么回事啊

我这个aμ^\dagger作用到右边

在这个乘积里头

本来有那个μ的那个括弧

那有了μ的括弧

aμ^\dagger作用

在Sμ^\dagger它得0啊

所以那个就没有了

剩下的那个就是uμ乘上αμ^\dagger

我就写在这里了对吧

然后其他的呢就是还是原来的

那个ν不等于μ的那一项

好了 把这个和刚才的定义一比

你就发现它就是μν乘上

我定义的这个波函数

所以现在这是一种做法

还有一种做法我不仔细说了

大家看用aμ(bar)作用以后

所得出来的结果

也是我刚定义的准粒子波函数μ

或者准粒子state vector |ψμ>

前面成了另一个常数

所以说aμ^\dagger和aμ它是等价的

作用在BCS波函数上

都得到了我刚定义的准粒子状态

只是前面的它的规划的系数

不一样就是了

博戈柳博夫巧在哪呢

把这个aμ^\dagger再乘上一个uμ

那这个地方不就uμ方了嘛

把αμ(bar)乘上了一个v

原来是负v乘负v

就变了一个加vμ平方了

所以呢结果就在这里

这是这两个结果

博戈柳博夫把这两个

来给它凑在一块

凑好了以后正好是

u方加v方乘ψμ

这个就是把博戈柳博夫的

准粒子算符作用在|ψμ>上

就得出|ψμ>

那就在这里

你看我把准粒子算符作用在

BCS波函数上

这个就是博戈柳博夫定义的

准粒子算符对吧

刚证明了aμ^\dagger作用一下

前面那个是个uμ

所以uμ乘uμ变成uμ平方了

后面那个呢

本来前面得出来的是负的vμ

负的vμ乘负的vμ就是vμ平方

所以你看还好

正好就是我的准粒子状态

我把BCS基态拿来

前面作用上博戈柳博夫的

准粒子产生算符

得到的果然就是这个准粒子状态

这不是很好嘛

BCS波函数还有一个性质

就是它没有准粒子

是不是还是基态

当然没有准粒子了

所以它是准粒子真空

这个时候如果你用准粒子的

消灭算符作用上去的话

那你一定得0

请大家看果然如此

我把BCS基态放在这

前边用准粒子的消灭算符

这个是博戈柳博夫一个定义

你作用一下你看

就是负的uv加uv正好等于0

所以呢这个就是

施里弗的书上告诉你

αμ^\dagger和αμ(bar)

这两个是等价的

这叫做pairing approximation

而且包括博戈柳博夫巧在正好组合到

它作用在BCS波函数上面

应该有的这个性质

那么我们下面呢再来看这个

得到的那个谱

这个我们刚才说过

得到的这个BCS超导的

基态有了

基态当然就是这个横线

这块有一个能隙

上面得的是准粒子的能谱

下面还有一半

我们怎么激发呢

激发的办法就是

我把一块超导体放到一块

普通金属上

我把这个普通的金属

给它加上电压

让它的这个电压Voltage

正好等于我的chemical potential

比我的chemical potential要大

也就是

我这个是我的普通金属的chemical potential

它要比我这个△大

比我现在的这个△要大

所以说呢它比这个△大

这是有能级的呀

所以说我的超导体可以从

我的这个正常金属得到电子

一个电子进来

比如说处于我的这个

能谱的这一点

我就得到了一个准粒子

这个准粒子它的能量

就是这么大

1α对吧 这就是一个激发

我也可以用另一种办法来激发

就是我把我的超导体

放在一块普通金属上

我的普通金属

我给它带上负的

让它的电压小于我这个负△

就到了我下面这一支了

在这个地方

这个时候这一接触呢

这个普通金属就可以从我的

超导体里边拿走一个

这个下面的电子

下面这一支的电子

下面的一支少了一个电子

这不成空穴了嘛

所以呢我这就是空穴的激发

我也可以用第三种激发的方式

就是一个超导体

它是单个的

单个的超导体我现在呢

给它能量

比如我用激光照它一下

用合适的波长的激光照它一下

这个时候怎么样呢

这个激光打到超导体上

它就拆了一个对了

就从上面就打走一个电子

打走一个电子 好

这就成了一个

这个电子空穴对了

那就剩下一个

就成了一个电子空穴对

这个激发就是这个

电子空穴对激发

因为你打走那个电子

它就会跑到另外一个

空的状态上去了

空的状态上有一个电子

因为你用光把它打走

打到另外一个μ的状态上

下面原来的这个对

下面那个伙伴还在

所以这就是一个电子空穴激发

有这三种激发的方式

最后就来总结一下

我们这一章

这一章呢总的讲二次量子化

前面就不说了

现在总结一下这个超导这一段

超导呢这三位

后来呢都得了诺贝尔物理奖

刚才说过他是一个

很好的一个团队

有教授 有博士后 有博士生

而且这个团队合作得非常的融洽

关于他们的成就安德森 PW安德森

有一个评论

这个评论发表在NATURE上面

这一篇文章

这个文章是一个book review

是一个书评

那么这里边

有关于Bardeen的一段话

现在我把这段话仔细的

给大家解释一下

Bardeen was human

说Bardeen是个普通人

and was wrong

as often as he was right

就是他啊经常会出错

就跟他经常是对的一样

他也经常会犯错的

因为他是普通人

下边请大家注意

It would have been instructive

to point out that he published

two mistaken theories of

superconductivity 15 and 17 years

before he got the right one

就是他在得到这个正确的BCS理论

这是1956年了

在这以前的15年

和在这以前的7年

他发表过两篇

关于超导的错误理论

当然那个时候没有BCS

也没有考虑这个

电子的有效相互作用当然是错的

他都 Bardeen发表了

在physics review但是是错的

这就是说明

he was wrong as often as he was right

经常犯错和他经常对也一样

这他也犯错

下边是结论

What made Bardeen great

as indeed he was

was his stubbornness and

experimental taste

Bardeen是伟大的

他真正是伟大的

他为什么会伟大呢

两个特点

一个特点是他的这个坚持

他stubbornness他是很顽强的

何以见得他顽强

他还一直就注意超导理论

等到超导一出现isotope effect

他就和施里弗做了

这个晶格和电子相互的作用

得到电子之间的有效相互作用

然后在这以前

这个他发表过错的

他坚持一直到

有了正确的苗头了

好 于是他就把库珀找来

做他的博士后

然后博士生施里弗组成了一个团队

这是一个非常好的团队

到后来施里弗发现了这个

他的那个基态的波函数以后

向Bardeen汇报

Bardeen听了以后予以肯定说对

这里边有东西

于是三个人就集中力量

来攻这个超导

据施里弗回忆

有一段时间

比如一个多月

他们这三个人

这个团队每天工作18小时

除了吃饭就干活

然后就睡觉

整天就干活

这么样三个人

这个团队团结起来

把这个攻下了

而且Bardeen作为一个

诺贝尔奖获得者

非常关心年轻人

当这个他们BCS结果出来以后

美国物理学会1956年

要开这个March Meeting

Bardeen说你们两个去开March Meeting

我留在Urbana

这就是伊利诺伊大学的所在地了

Urbana我留在Urbana-Champaign

你们俩去告诉全世界

你们做了什么工作

我不做 我不走 我在这

目的是什么

就是让全世界

给予这两个年轻人

给予他们承认

如果因为Bardeen要去了

成明星了

他当然不去

让两个年轻人去

可见他对年轻人是如何的爱护

最后要说一点

Nambu这个也是我原来提过的

施里弗写出他那个波函数来

胆子够大的

因为他违反了物理学里边一些

原来已经成了

大家认为应该那样做

什么 就是他写的波函数

破坏粒子数守恒

破坏粒子数守恒有什么坏处

就破坏了电磁理论规范不变性

规范不变性里边呢

决定它这个电荷守恒的

你带电子带电荷

电荷守恒电子束非守恒不可

所以这个Nambu

在得了诺贝尔物理奖的时候

他回忆

这就是Nambu 南部阳一郎

他获得了2008年的

诺贝尔物理奖

他获得诺贝尔物理奖呢

要给一个lecture

这个lecture在Review of Modern Physics

2009年的这个地方发表

大家可以去参考

Nambu回忆他说在1956年

我请施里弗来给做一个seminar

在seminar上他讲了他的这个波函数

讲了超导理论

这时候我对他的这个勇气

写出一个新的超导理论

然后解决了超导的问题

我印象深刻

但是I became worried about

the fact that it did not

appear to respect gauge invariance

就同时我也担心了

因为他这个做得

不满足规范不变性

超导很多要描写这个电磁现象

比如说迈斯纳效应

磁场进不得超导体

那么你要用电磁理论了

电磁理论是规范不变的

你破坏了规范不变性

你的结果还能可靠吗

所以这个时候Nambu就用了两年

而且刚才不仅仅是

BCS的基态破坏粒子数守恒

我们刚介绍过的博戈柳博夫变换

博戈柳博夫定义了一个准粒子算符

这个准粒子算符是电子的

消灭算符和产生算符线性叠加

消灭你就减一个电子

产生就加一个电子

当然粒子数也不守恒

所以不好办

Nambu用了两年

It took Nambu 2 years to

resolve the problem to his

satisfaction

这个发表在Phys. Rev. 1960上

1960年的一期上

大家看他的诺贝尔lecture

可以查到这个paper

他怎么做的呢

他是这么做的

那么我们知道

Nambu他接受了施里弗的结论

就是用这个pairing approximation

他定义了一个这个电子的状态

这里边包括你看包括ψ

包括ψ^\dagger

这就违反了粒子数守恒了

这个时候Nambu就得到了Hamiltonian

有了Hamiltonian解出来

得到了这个超导的谱

这当然是对的

这个就是准粒子的能量

但是你要有了电磁了

那你就有了charge

这个是charge density, current density

charge density和current density

要满足连续方程

这个连续方程就是下面这样

这个是Nambu用了BCS的

这个Pairing approximation得到的连续方程

连续方程右方应该是0

连续方程的物理意义

就是电荷守恒

你右方不是0

那就代表电荷不守恒

那怎么办

于是经过了两年

这个Nambu才想出辙来

想出这个辙就是说

在pairing approximation这个理论里面

在这样一个超导的理论里面

还有一个激发

中性的激发

这个激发的能量是0

是个0能量的

一个集体的激发

这个集体激发用f来代表

有了这个f的话

刚才的charge density和current density

就都要有包含这个f在内

于是这个时候呢

好 你再写这个新的这个

电荷变化和电流的divergence

关系的时候

得到的这个方程呢

这个里边和f有关系的

有这么样一项

这项正好把原来那个不好的

那个连续方程那一项给消掉

所以呢连续方程仍然成立

这个时候呢就是

Nambu实际上是最早发现

对称自发破缺

这个对称就是gauge invariance

他呢你得到的这个基态波函数

不满足这个gauge invariance

所以这个叫做自发破缺

就是gauge invariace它的物理本值并没有破

但是你考虑的这个基态不满足

guage invariance

所以这个时候呢

Nambu特别的研究了这个

guage invariance成立它就必须要有一个

Ward Takahashi identity

Nambu就在这个

他做的这个超导的场论里面

得到了Ward Takahashi identity是对的

所以说明gauge invariance的物理本值

并没有被破坏

所以被破坏这是个表面现象

就是你研究的这个基态不满足

这个gauge invriance

这个时候这个集体激发没有能量

这是什么东西啊

这个其实就是后来人们叫做

Goldstone boson

所以实际上它正经的名字

应该叫做Nambu Goldstone boson

因为Nambu得到这个在先

所以说呢这就是Nambu

得到诺贝尔物理奖的

就是因为这个

还有一个遗憾的事情

就是实际上

Nambu在他这个研究里边

也得到Higgs mechanism

也就是说呢这个

多出来的这个集体激发

你在电磁理论里面

它实际上是电磁波的

这个纵向分量

电磁波是横向的

没有纵向分量

所以这个纵向分量

实际上就被这个你原来

这个电磁场的光子吃掉了

光子得到质量

这个当然光子得到质量

它就不再是原来的光子

实际上是plasama

等离子

其实Nambu已经发现了

这个Higgs mechanism

可是他没接着往下做

他和他的一个学生

去搞核理论的东西去了

所以最后Higgs mechanism出来

受到了

这个粒子理论得到了

很重要的应用

所以这个时候

这个功劳呢就没有算到

Nambu的身上

其实他已经发现

好 现在我就把二次量子化的

这个理论 包括两个应用

这一章就讲完了