S5.4 Parallel Transport, Connexion, Curvature & Anholonomy在线视频

在讲关于微分几何的联络

和曲率以前

需要给大家介绍一下

微分几何里面

一些矢量场张量场它的指标

怎么写法需要介绍一下

矢量场或者张量场的指标

有两种写法

一种是把个指标

写到矢量的右上角

这个叫做contravariant index

逆变的指标

如果写在右下角就叫做covariant index

是协变的指标

那么在相对论的习惯里面

它是这样来定义的

我们知道四维的动量

它的零维的分量就是能量E

我现在C等于1了

不等于1也可以用

就是能量E是四维P动量的零指标

原来的三维的动量

PXPYPZ三个分量

就是我四维动量的一二三分量

E是零分量

Px Py Pz就是一二三分量

这就组成一个四维的矢量

那么相对论的习惯四维的矢量

四维的动量它的四个分量

零分量是 E/C

这是保持C只是 e over C

然后一二三维的动量

Px Py Pz分量

如果我要是

这个矢量要是写成

逆变式的这种分量的话

那就是我原来E/C Px Py Pz

如果我要写成协变分量的话

那这三个一二三分量的

动量的这个分量

就应该是负的Px Py Pz

这是定义

为什么要有这样的定义呢

因为在微分几何里面

协变指标和逆变指标

它有这样一个关系

请大家看在这里

协变指标和逆变指标的关系

前面要乘一个g\mu ν

什么是g\mu ν

就是你这个时空的

它的这个度规张量

叫metric tensor

当然狭义相对论里边

这个Minkowski spacetime它是平直的时空

所以它的Metric tensor g就是1

然后空间的部分

G11 G22 G33都是-1

这是定义

这是Minkowski时空的

度规张量的定义

当然你要到广义相对论里边

时空有了曲率了

它的metric tensor

当然就不这么简单了

它都是时空的坐标的函数了

现在我们一直讨论

都是狭义相对论的问题

所以我们有个方便

我们就用Minkowski时空

它的度规张量是1

还有一个-1

有了这个度规张量的定义

那我的协变指标和逆变指标

它的关系就是这个关系

你看这个地方

一个协变指标和一个逆变指标

如果一样的话

你看这有一个逆变的ν

这有一个协变的ν

一上一下同样的指标

都代表求和

这个就叫做爱因斯坦convention

就是爱因斯坦的约定

你看如果你要有这个关系

我给了这个逆变分量的

这四个分量

E/C

三个Px Py Pz

那就在这了

你要想得到协变分量

那你要对它求和

ν等于零

那就G00这是P0

那还是E/C

这的第一个协变指标P1

这应该是G11

这是P1

P1就是Px

我这个G11是-1

所以我这个地方就变了-Px了

同样-Py -Pz

所以说协变指标和逆变指标

要经过一个度规张量的

这么一个变换的关系

那你物理里边到底你一说P

你指的是协变起来逆变的

习惯讨论狭义相对论的时候

我告诉你有个four vector P

指的就是逆变指标

E/C

这三个P都是正的

我是逆变指标

所以比如说dxμ

那有我如果不声明

那它也是这个逆变指标

那就是ct,x,y,z

我不声明的话

一般我说four vector

都指的是逆变指标

那么还有这个如果说

我求一个四维矢量的平方

那P^2它的定义是什么呢

实际上就是它的协变指标

乘上它的逆变指标

然后呢对这个指标求和

那当然大家知道这就是

这就是P0P0

然后后边P1P1P2P2P3P3

前面当然这个地方是负号

所以这个就是-三维的P^2

那这个当然就是m^2c^2

因为你把这个三维的

P^2拿到右边去

那岂不就是爱因斯坦能量关系嘛

所以我们下面讨论Minkowski

空间都用这个

到了Minkowski空间

这四个就不这么简单了

但是协变逆变的关系

仍然是由它给出来

只不过对弯曲空间

这个Gμν是X的函数

是时空坐标的函数

就是在介绍微分几何概念以前

必须把这个给大家交待清楚

下面要将一个新的概念

这个概念其实用在这

只是用在关于AB效应的一种

从几何上让你理解的一个机会

但是这个概念用的是非常广的

大家以后看文献

特别和拓扑有关的

你就老会看到Berry connection, Berry curvature

这到底指的是什么

所以在这我必须讲一下

微分几何里边

平行移动 联络 曲率 和非合络

这都是这个微分几何的名词

在这我顺便说一个故事

这个故事

就是关于规范变换的这个历史

最早H.Weyl他受

爱因斯坦广义相对论的启发

爱因斯坦广义相对论告诉你什么

引力

引力是什么

那就是因为时空曲率

时空弯曲

就会体现出这个引力的存在

没有引力那就是平直的时空

有了引力物质

那就会使得时空产生曲率

这个时候就表现出来引力了

Weyl就想爱因斯坦有办法

他把这个时空的几何

跟这个引力联上

那我能不能来研究研究

这个电磁场哪来的

你不是说时空可以有曲率嘛

那我试一试

这个电磁场的存在

就是因为把这个时空

给它有一个伸缩

有一个伸缩以后

这个时候就会出现电磁场

Weyl想做这么一件事情

好 那你比如说

我从一点到另外一点

我比如说某一个状态吧

ψ就有个dψ

dψ是什么呢

就是\partial_\mu \psi乘上dx

\partial_\mu和上面这个\mu是求和的

所以这个是个四维的表达式

那么这个东西从一点到一点

本来有这么一个partial derivative就完了

Weyl就说如果有了电磁场

你从一点变到另外一点

你这个dψ就不再是\partial_μψdx了

而是我这我得给你加一个xμ

这个xμ就是表现电磁场的

它和这个四维的four potential有关系

这个xμ就是和four potential

应该是成比例的成正比的

如果有了电磁场

我就让时空会有一个伸缩

这个时候你再算这个

你这一个物理的量

状态比如说变化

它不只是一个partial derivative

时空的partial derivative

而且必须得加上电磁场

这就是Weyl的想法

Weyl提出来以后

当然并没有做成这件事

因为做不成

等到后来1927年

这当然也是很早了

这个London和Fock就指出来

说你Weyl先生你这个做法不对

其实你看量子力学里面

必须有一个P-e/CA吗

你四维的表示这个Pμ用算符表示

就是\parital_μ-i e over C times aμ

你量子力学里面有了电磁场

你的这个kinetic momentum就是这样了

前面是那个kinetic momentum

这就是代表一个带电粒子

在电磁场里面运动

量子力学给的是这个

所以你说的那个s和aμ成正比

那确实成正比

但是你得有个虚数

前面的比例系数有个虚数

你用实数成如果你做不成呢

这个实际上

这是量子力学里面的

电磁场的作用

所以Weyl看到

这个London和Fock的意见

他就关于这个电磁场的规范变换

就做了很多工作

所以使得Weyl

对电磁学有了很大的贡献

这为什么说明是历史呢

gauge momentum什么叫gauge

在比如说师傅在机床上加工

加工完了以后他要量一量

我加工的满不满足要求

如果这是一个精密加工的话

他要用块规就是来量长度的块规

来看我这个对不对

这个块规的英文就是gauge

规范

所以后来本来它这个地方

就是你空间

我给你伸长了或者压缩了

时空

时空给你伸长或者压缩了

这个就相当于你一个scale变化

scale是用块规来量的

所以它叫做scale transformation

以后当London和Fock指出来以后

他就用这个虚数的这个来做了

但是他是规范变换的这个名字

他没有改

还保留原来那个

规范 块规这个意思

这个就是物理学历史上

gauge transformation的来源

就是因为Weyl的

一段错误的经历来的

好 下面就来讲微分几何了

微分几何这里说的是什么呢

就是说我在平直空间

我比如说有一个场

在这一点这个场

是这样

我就问这个场从这一点

比如到了临近一点

到了临近一点以后

它这个场的变化是什么

我怎么做呢

比如到了这一点

它的场假如说是这个样子

我的做法我就把这一点的矢量

平移到这

到这以后

到了一点上

你就好求它的差了

所以原来的这个加上这个δ

就等于我新的这个

这一点

所以我要有一个从这一点

把这个原来的场

平移到这一点的过程

如果我的空间是平面的

谁都知道怎么挪

就平行的移动

这就是平行移动

但是如果我现在

我的这个平面不是一个平直的

不是一张纸而弯了

就像右边这个图画的

它有个曲度了

有了弯度了

这个时候我再问我要从这一点

就是挪到这一点你怎么挪

那我就必须得考虑到曲率了

所以我就怎么做呢

我就从这一点到这一点

在这个曲面上画一个最短线

这都是微分几何的概念

有一个最短线

然后我在挪的时候

我慢慢挪

从这一步一步一步一步地挪

挪到这

挪的过程里边

你怎么保证它是平行移动

就是在这一点

你对这个最短线做一个切线

你的这个场和切线的角度不许改

在这是这个角度

你挪到这了

我的这个场还是这个角度

到了这和这个切线到了这了

这个切线的这个角度还不变

所以什么叫平行移动

我保持它和我最短线的切线

之间的这个角度不变

这个才叫平行移动

所以说这个场从这平行移动到这

它实际上有了改变了

这改变是什么呢

你看原来这个场在这里

它平行移动到这变了这个

所以出现了个δv

这个原来叫做v

现在平行移动以后

有了个变化叫做δv

所以由于平行移动

所得到的这个δv该多大呢

那我们知道

你从概念上来想

肯定它跟v的大小有关系

你比如这个v你给它放大两倍

这放大两倍

这放大两倍

你这个δv肯定放大两倍了

所以说它一定和v是成正比

还有那你挪的远近有关系

你挪的近当然它变化小了

所以跟这个dx也应该成正比

所以这里就是我δv

就是这个它的这个变化

这当然是个矢量

我在这用这个下面这个指标

这个指标叫做协变指标

covariant index

那么右边和v成正比

和dx成正比

我v还用协变指标

dx这个指标λ我写在右上角

这个叫逆变指标

contravariant index

就是在微分几何里一个矢量

比如说vμ

这个μ这个指标有两种写法

一种写法是在右下角

这个叫协变指标

如果你写在右上角

这个叫逆变指标

那么现在我说

δvμ应该和v成正比

和dx成正比

我前面就应该有个比例常数

而且我这个曲面是个弯曲的

所以我这个比例常数

这个是和x是有关的

是x的函数

所以前面我就乘上了一个γ

这个就是比例常数

这个比例常数是x的函数

是时空坐标的函数

然后dvμ

这个地方是个矢量

它有个协变指标

所以这右边

你这个协变指标μ还在这

而其他你成正比你就要求和

这有个协变指标

我这有个逆变指标跟它求和

这有一个逆变指标

我跟它的这个协变指标求和

这个就是我由于平行移动

我的一个矢量场vμ

它由于平行移动它就会有的变化

这个变化就是刚才这个δvμ

所以这个就是平行移动的定义

那前面的这个

就和你这个曲面的弯曲有关系了

前面这个比例常数

是你时空指标x的这个函数

它的名字就叫做affine connection

这是微分几何的一个名字

就叫做仿射联络affine connection

它就是个普通函数

你别看它这么写

它的变化性质可不是tensor

它就是个函数

普通的函数

它有三个指标

这样的

这个指标是为了

和这两个矢量求和用的

好 所以这个时候

就给了你平行移动的一个定义

我的问题是什么

我原来有个矢量场

在这个地方有个矢量场

那我就问我这个矢量场

在这个曲面上

沿着这个最短线挪到另外一点

我这个矢量场的变化是什么

那我正规的做法

就是把在这点的新的矢量场

我和谁比呢

和原来这个矢量

平行移动的新的这一点的

这个矢量来比

所以我真正你要看矢量场的变化

应该是新矢量场

减去这个老矢量场

这个老矢量场就是从原来这一点

平行移动过来的这一个

所以说我矢量场的变化在这了

叫做dvμ

我给一个矢量场vμ

我求它的变化

这个变化是什么呢

就是在新的这一点的新矢量场

我叫做Vμ

它的总量是x+dx

就是这个地方是x

到这就是x+dx

我和谁比呢

我不是和这个原来的矢量比

而是和它平移过来的这个矢量比

所以我是原来的老的矢量

vμx还得加上一个

平移过来的这个矢量

所以得这两个相减

那么前面的这个vμx+dx-vμ

这个就是我们传统的意义

就是平面的做的这个微积分

那就是\partial λvμdxλ

就是我这个x+dx-vμ

但是你后面还有个这个呢

所以你还得把平行移动的

来的变化减掉

正好是这个

所以这个就是

我们的题目叫做covariant differential

协变微分

就是你在做变化的时候

你要考虑你这个曲面的弯曲

这个时候就进来一个新的量

叫做仿射联络

affine connecxion

你看这个地方不是英文的nection

这是原来微分几何里面常用的

是不是拉丁文

这个affine connexion

这用惯了经常是这么用

这个γ叫做affine connecxion

它是时空坐标的函数

它本身刚才说过它不是一个张量

在你做坐标变换的时候

它并不按张量变换

它就是一个函数

那么如果你平直空间

当然你affine connecxion就是0

这一项没有

你这个dv当然就是普通的\parital λvμdxλ就完了

好 这是一个概念的介绍

下面有了协变微分就有协变导数

那你把那个dxλ除过来就是

那右边当然剩下

就是一个普通的derivative

减去这是由于平行移动来的变化

这个就叫做covariant derivative

写法就是D下边

这不是\parital

普通的那是个\partial λ

现在就是Dλ

好 现在我问

我有一个平直空间的三角形

我从这一点开始

我有一个矢量叫做1

我做平行移动

从这一点1挪到第二点

平行移动

用不着麻烦

我就知道它在这个方向

这是平直空间

从2再挪到3

从3到回到1

当然这个矢量还没有变

但是你要在一个球面三角上

还沿着三个边

做平行移动回到原来

它就不一样了

你看我在一个球面三角上

就是球面上画一个球面三角形

当然就是三个大圆弧组成的

我从1这一点开始有个矢量

还是这样

朝左的

我从1到2

这个挪就得你得老实点

按照我刚才那个平行移动的概念

你看我沿着切线

这个切线和我这矢量总是90度

你沿这个弧走

这个切线到了这

这个切线变成这样

从1到2

我这个矢量场1

就变了这个2这个箭头了

现在这个2这个箭头的特点

你再从2到3挪

它这个2正好就在这个切线方向

所以从2平行移动到这3很容易

就沿着这个切线方向

到了这个3就变了这个方向

到了这以后你发现

我从3要回到1的话

这个大圆弧

1不是一直沿到最短线嘛

这个大圆弧和我的矢量场的方向

正好垂直

所以从3再挪回1来

这个矢量场你看就到了这个方向

所以从1到2到3再回来

矢量场的方向

从原来平行这个大圆弧

现在那就是垂直于

这个新的大圆弧了

所以说沿着曲面平行移动

它是要变化的

好 那我下面就来问

在曲面上用最短线

做一个相类似平行四边形的东西

我从P这一点

我挪到P1

在P点也有个矢量场

我将来比如说这个vμ

我从p挪到p1

再从p1挪到p2

再从p2挪到p3

再从p3挪回来

我问你

我是个弯曲的面

它的矢量场怎么变

当然从刚才这个例子来分析

肯定矢量场要变的

我们下面就来算一下

这个矢量场变多少

请大家注意

我现在这个弧长怎么表示呢

这一段弧我用aα来表示

那你这个平行移动到这

这个弧就是aα+δaα了

那么这段弧用bβ表示

那么它平行移动到这

那就是bβ+δbβ

那这四条线就是四个最短线

组成的一个所谓的平行四边形

下面就来求一个矢量

兜一圈它怎么变

我们结果就在这里

我先从这个式子出发

我有一个矢量场v

刚才说过矢量场的平方

用我们的新的表示办法

这就是vμvμ

对这个μ要缩约要求和

这就是v^2

v^2是一个什么呢

是一个标量

所以你把一个标量来平行移动

肯定它的δ是0

好了 我把它一展开

那就是什么呢

那就是说δvμ乘上vμ

加上δvμ乘上δv contravariant vμ

就是这个东西

我们想通过这个关系来求什么

想求一下本来我给他们那个δv

是一个v subμ的

用covariant这个表达式给出来的

你看我这个地方给出来的

这个由平行移动得来的vμ

这个vμ是一个covariant vector

它是右下角的

它得了这个结果

那我下面就问了

如果我现在这个矢量场

是用contravariant表示

那么经过了平行移动

它应该怎么表示

我现在回答的是这个问题

那这个你就怎么做

那我知道δ

这两个的乘积的

应该是0

可是这两个乘积的δ我怎么算呢

我可以分成两项

第一项是covariant vμ

乘上δ contravariant vμ

加上vμ乘上δvμ

就是它分成两项

就是一项是对于它做δ

就是δv dvμ

乘vμ

还有一项是vμ在前

对于v supper μ求δ

然后这两项加起来

这样的话你就可以知道

一定得这个结果

这个请大家自己验证

我就给出来了不同的

请大家注意这里有个负号

那我为了保持我左边的

这个逆变的指标

所以我右边的

仿射联络上面一个指标

下面两个指标正好

和这两个逆变分量求和

要写在下面

我现在就已经知道

对于一个逆变指标的矢量场

它的这个平行移动的δ了

那所以你要算它的协变微分

那就应该给出这么一个结果

那这个结果怎么算呢

就是说我怎么去得出来δ呢

我现在就把刚才的那个图

给出来的很像一个平行四边形

由四个最短线组成的平行四边形

刚才说过这个是aα

它平行移动到这

所以这段弧长由于aα+δaα

同样这个bβ平行移动到这

就是bβ+δbβ

好了 那我现在就要问

我一个逆变的矢量

它的这个协变微分怎么样写

那我和刚才那个协变微分的

那个形式一样的

可以把它写成这样一个结果

但是我必须得算出来

我一个矢量从P出发

经过P1P2P3回来

这个P变多少

好 那么我下面就要来看

刚才说过我b这个矢量

挪到P1P2这个地方

它就中间加了个δ

所以这个δb

我现在根据定义

我就是这样一个仿射联络

我这是bξbxη

我这个仿射联络把ξη缩约完了

保留了左边的这个β

刚才我这请大家注意了

有个负号

所以我这是负号

所以这就是δbβ的大小

我可以算的出来的

同样δaα的大小

aα平行移动到这里

它就多出一个δaα

多大呢

那就是我刚才得的这个式子拿来

和a原来的这个vector就是a成正比

和我挪动的大小dx成正比

你要把这两个缩约掉

就这俩放上两个index

保留左边的α在这里

前面有个负号

所以这两个我都可以写的出来

好 我现在要挪矢量场了

我一个矢量场从这开始

我经过P1

然后从P1到P2

那应该怎么写呢

根据平行移动的定义

δvμ这是原来的

原来我们这个已经做过了

我知道它应该是仿射联络

乘上我这个v的大小

乘上我挪的一个弧

我第一步从P到P1

我挪动的弧多长呢

aα

所以aα在这

我的矢量场是v矢量场

所以这有个v

然后前面要有个仿射联络

为了保证左边的

仿射联络的这个指标

我这有一个μ

另外我要把我的v和a的

这个指标缩约掉

所以我这里v

矢量场是一个协变的矢量场

这是右下

所以我要用一个

逆变的指标跟它缩约

那么a我用的是逆变的表示

所以我左边要用一个

协变的指标和它求和

而我前面的γ和v

都是时空点的函数

哪一点的呢

我从P点出发

所以我来计算这个

函数的值的时候

我要用P点的坐标作为它的总量

这个是δv的从P

挪到P1这一点的变化

就是我这第一项

但是我没完呢

我还要用从P1到P2呢

那类似的跟刚才一样

我要用δ在这里

我还用原来的公式

用δ的公式就是我现在从P1到P2

所以我这个弧长在这

bβ加上δbβ

而这个地方我原来的γ

乘上这个vector长

那就你要取值的话

你就得在这取值了

因为你已经挪到P1了

我从P1到P2

所以这是γv在P1这个地方取值

那左边有一个μ指标

我这保留这个μ指标

那在这对于这个β求和

所以这要设指标

对这个v求和

这个地方设一个指标

和原来一样

只不过取值是在P1了

这个时候我P通过P1到P2这个变化

我下边呢我用另外一个办法

是从P到P3再到P2

我看一看这两条路有什么不同

那根据刚才的

这个完全同样的道理

我就可以把δv'就从这

经过另外一条路

走第二条路

我得的v'的值就有了

有了这个

那我就知道

我从b开始我转一圈了

因为你把这第二个变一个号

刚才写的是P P3P2的

所得的平行移动的变化

而我现在问

我转一圈怎么办

你把后边这第二条路

给它倒一个个儿就是了

所以你就前面这个地方

给个负号就是了

好 于是下面就得出来

好 我最后呢要改一个负号

那个负号在这

可是别忙

我先给一个

我从P的地方取值有了

你从P1那个地方取值

你怎么取呢

原来那个函数在P这一点

它到了P1这一点

函数本身变了

这个是一个普通函数

它是时空的普通函数

它怎么变呢

它从P点到P1那一点

走了多远

aα是这么远

所以它用的是一个普通的derivative

\parital α原来这个函数

乘上你变了多少aα

所以这个是函数从P点到P1点

函数变了

函数变了我那个场呢也变了

场变了一个vector field的变

从P到P1

你就不能说我再用普通导数了

我必须用协变导数

所以这个地方它就是

我原来的vector field

我现在协变导数是什么呢

我后边必须不能用这个\partial

我必须这地方是一个

仿射联络乘上这个v

再乘aα

这就是一个平行移动的关系

所以这个就是在P1这一点的

我的γ的值和v的值

同样道理

P3那一点我从P到P3

那你经过的是个bβ

所以你得了一个新函数

和一个新矢量场

好 现在都有了

我就问了我从P出发

经过P1P2P3再回来

我的vector field的变了多少啊

好 我走第一条路

变化是δv

我走第二条路变化是δv'

所以我转一圈

就是第一条路减第二条路

这个地方是负号

所以我就实际上就是把刚才的δv

和δv'再回来看

大家看这有个δv

这有个δv'

这是第一条路的这是第二条路

我刚才不知道这个P1的地方

和P3的地方怎么取值

我刚才的这两个式子告诉大家

P1怎么取值

P3怎么取值

好了都有了

这是第一条路

我现在要减第二条路

所以最后一算出来

你就发现它是和我这个a b

这个两个弧长成正比

也和我的矢量场成正比

但是这个时候

和这两个弧长的乘积成正比

所以这有两个指标一个α一个β

矢量场有个指标

前面我就定义一个函数

这个函数你必须

得把这个ν缩约掉

所以这有一个ν

你保留了左边的ν了

你得把α和β还得缩约掉

所以这有个αβ

我定义了一个量

这个量就是我的曲面的曲率curvature

所以这就出来一个curvature

那么这个curvature多大呢

要算的都算完了

你把它一股脑都带回前面的δv

和δv'

然后一减你最后把这个aαbβ抽出去

剩下的就是我这个curvature

这个就是个curvature tensor

这是个真正的tensor

最后你看得的是这么样的结果

这个结果都是由affine connexion表示

都是由仿射联络表示

不过你要正确地体现它的指标

你看它的这个指标是一个ν

前两项是普通的derivative

因为γ刚才说过它是普通的函数

你可以对它求普通的derivative

那么这个原来的affine connecxion保留了ν

然后后面的这两个

都是两个仿射联络的乘积

我要保留一个ν

所以有一个ν保留它

其他的那些指标

该缩约的都缩约掉

实际上我抽出去的是αβ

所以对于所有的ν和μ

你都要求和

好 现在αβ你这样写

这是αβ

有了这个αβ你这有个βα

前面一个负号

这是我算出来的结果

定义的是它

怎么得呢

你把我刚给的这些结果

一股脑带回去算出来

抽出aαbβ

得到的剩下的自然的就是它

这是计算结果

就给出我原来定义的

这个curvatere tensor

你看所有的指标都是缩约好了

剩下的就是我要保留左边的

保留左边

缩约在这个地方缩约

这个地方的ν要缩约到

剩下的μ是左边带过来

αβ要跟它缩约

我现在把aαβ抽出去了

我这个r本身的四个指标

你都要保持

都要保持在这个过程里边看

你看这个前两项

这四个指标分别保持

后面这两项该缩约的γ缩约掉了

这个地方该缩约的γ缩约掉了

其他那个四个指标都保持

这个叫做curvature tensor

所以这样一来的话

我们再回到Weyl那去

为什么呢

刚才讲了半天微分几何

就是要介绍两个概念

下面我们要回到Weyl

要回到规范场了

为什么呢

就是我们原来介绍了

两个微分几何的概念

一个叫做affine connecxion一个叫做curvature

affine connecxion在哪儿呈出现

请大家看在这出现

我就是定义了一个covariant derivative

那这个地方就出了一个affine connecxion

它是由于我的曲面是弯曲的

所以你做平行移动的时候

你这个平行移动的矢量场

它就要出来这么一个变化

请大家注意它和谁配对呢

前面是个普通的derivative

普通的derivative

它和那个是配对的

好 这是一个概念

还有一个概念就包括了这个affine connecxion

它本身的derivative

请大家看在这里

我刚才定义了一个curvature tensor

那个curvature tensor 的定义

就是这么来的

它从affine connecxion来的

所以你看它就包括了affine connecxion

还包括了affine connecxion derivative

所以请大家先记住这个概念就是

affien connecxion的derivative就是curvature

当然这里后面还有这一些项

这个不只是Weyl

这个已经到了nonablian field

下面我们再说

对于Weyl来讲大家只要记住了

affine connecxion它的derivative就要出curvature

有了这两个概念以后

我们就可以回到Weyl

为什么可以回到Weyl

因为Weyl是讨论

电磁场的规范变换的

讨论电磁场的变换

电磁场是able规范场

它有个four potential

four potnetial a

那么我如果写这个four potential

在场论里边hamiltonian

大家看这不就是它的Hamiltonian吗

这个就是Hamiltonian了

这Hamiltonian里边的那一项

这个就是kinetic momentum

作用在\psi上

就是这么写

这个括弧就是我的kinetic momentum

那么\parital μ就是那个canonical momentum

现在我把这个derivative就愣写成了D_μ\psi

我说这个就是我non-Ablian gauge field covariant derivative

我就是和我刚才

介绍的微分几何里面covariant derivative来比

你看微分几何里面的covariant derivative

一项是普通的\parital derivative

还有一项就包括了仿射联络了

这个仿射联络就在这了

它哪来的呢

就是因为你平行移动来

就是这一个

所以Weyl就想

原来我的那个规范不变性

里边常用的力学系统的Hamiltonian里面

这一项补足了我canonical momentum的那一项

形成了我的kinetic momentum

这项里面的A就是相当于

我这个仿射联络

对不对

这个ψ当然就相当于这个V了

所以这个就是仿射联络

因此我从空间的某一点x

挪到x+dx

原来量子力学里边ψ在变化

我就可以理解为

是一个微分几何的covariant derivative

而它的变化量的大小

就是一个covariant differential

所以我规范场里面的A

就相当于

微分几何里面的仿射联络

所以这个A大家记住

就相当于仿射联络

那你说场强呢

好啊 场强在这里

就是说我仿射联络

我取一普通的derivative

这样的话你就得到场强

而这个刚才说过我的仿射联络

你取derivative可以导致场强

那所以说这场强就叫做curvature

所以以后大家看文献

看到connexion实际上指的

就是你的gauge field和gauge potential

这就是gauge field

gauge potential就是connexion

gauge field就是curvature

这个是它有个

非常平行的一个对弈的关系

刚才不是说大家看

后边还多了这些吗

对于电磁场来讲没有这个东西

所以只有derivative相当于curvature

等到了Yang-Mills NonAblian gauge field

你来看它的几何性质的时候

将来正好就要出现这样对应的项

所以说我们微分几何讨论的

我一个矢量场兜了一圈它在变化

实际上就和我们的nonablian gauge field

有完全的对应

而在这里我们如果说Weyl

只讨论ablian gauge field的时候

只有前面两项

后面两项是nonablian gauge field带来的

所以说我们现在Weyl

原来做的那个工作

现在在微分几何里面出来意义

gauge potential就是connexion

gauge field就是curvature

所以说这个是

将来我们讨论规范场

这是两个非常重要的概念

好 最后讲了这么多

对于AB效应有什么好处呢

这个是R. Chiao说的

他说AB phase就相当于

微分几何里面的一个parallel transport

怎么说呢

好 他说电子看不看得见

你这个flux呢

你要是在不到这个flux里面去

在外面你是看不见magnetic field的

电子在外面看不见磁场

那就相当于你的空间是平直的

不是Weyl原来就想

把空间的几何性质

跟这个电磁场挂上关系嘛

现在在这个意义上他成功了

因为在外面没有磁场

空间是平直的

所以这个电子看不见磁场

等到电子看见那个flux

这个就是什么

不是local的性质了

这是成了一个global的性质

就是整体的性质

local性质就表示在空间各个地方

只要你不碰这个flux

这就是local

你一到了flux

这就是global的性质了

电子看不看得见flux

看见了

因为你干涉的时候

不是它表现出

它那个干涉条纹的平移吗

所以说正好这个AB phase在这

造成了那个干涉条纹的平移

它正好就相当于这个global的phase

所以正好就把

这两个让Weyl在AB phase上

就得到了这个一个几何的解释

它这个几何解释和它原来不同

只不过就是这个几何

不是压缩或者拉伸

而是一个phase

这么样个关系

那个P后边要-i乘上一个e/ca

这是一个imaginary

就是London和Fock表示出来的

Chio也得比方

就是把AB phase

比成在圆锥面上的一个平行移动

因为电子它在空间里面

感觉不到磁场

也就是说我的空间是平直的

没有曲率

这个是我的空间的一个局域性质

就是在空间的哪一点哪一点

都是平直的

但是你不能碰这个flux

这个flux是一个奇异的

你电子不许碰那个flux

也就是说我这个圆锥面上

这个a点是一个奇点

我这个圆锥面

我剪子剪这一刀剪开

圆锥面变成平直的

那个顶点a点就是一个奇点

就相当于我那个flux

通过的那一点

那么这一点是一个整体的性质

这是一个global feature

电子看得见这个global feature

那表示什么呢

那就表示你在P这一点的这个场

沿着这个轨道平移一圈

回到原来这一点

你看它变不变

它和flux的关系怎么样

现在你平移好办了

因为你拿剪子一剪开

我的原来的圆锥

就展成了一个平面了

我原来的场在这里

这个是我的场

这个场是垂直于

我P到a这个连线的

我P到a是这个连线

我开始的时候

这个场是垂直于这个连线的

那现在我要平移它

画在这个上面你不好平移

我一剪开以后我知道

它该怎么平移了

你看它从这沿着这个线

在平面在你就让它平行移动

到这平移到哪儿了

平移到了通过a了

所以本来是一个垂直于Pa直线的

一个场

现在变了沿着Pa曲线的场

就是我这个

切于这个圆周的一个场

转了一圈以后

变成了通过Pa的这个场

所以这出来这么一个平移了以后

出现了一个角α

这个角就相当于什么呢

就相当于你电子从空间一点

绕着一个封闭曲线做积分

你这个封闭曲线

包括了你的flux在内

所以电子转了一圈以后

它的波函数就出来一个相

这个相就是AB 相

而在这里就相当于你一个场

从开始这个P点出发

本来它和Pa是垂直的

绕了一圈以后

它和Pa就成了一个通过了Pa了

就和Pa这个线共线了

差了一个角呢就是这个α

这个角呢就相当于那个AB phase

在微分几何上这个角叫非合络角

angle of anholonomy

叫做这个角

angle of anholonomy

叫做非合络角

也就是说Chio把AB phase

给了微分几何上边

这个非合络角的

这样一个几何解释

当然我们看的出来

这个非合络角

是一个拓扑的效应

为什么呢

我们看这个图

你这个曲线就是我这个圆

你不管怎么动你可以让它扭曲

只要它不碰这个顶角就行

你比如原来是这样一个曲线

我这扭了一下

它结果起来一样的

它还是差这个角

只不过当然你做起来

你还得拿切线做

就没有现在这样

这么样的方便就是了

所以这样的话

就是AB phase有他的

一个几何的意义就是

而且它是拓扑的

你这个曲线可以扭曲

这样的话我们就把AB phase来介绍完了