S8.11 Dicke Model and Phase Transitions(1)在线视频

今天我们来讨论Dicke模型

和有关的相变

我们原来讨论过一个简单的

就是Jaynes-Cummings model

那个模型里面就是一个谐振腔

里面有一个单个的原子

来研究腔和原子之间的

很强的相互作用

产生的物理现象

现在这个Dicke Model把它扩大

就是在一个腔里面有好多个原子

所以这时候是多体的问题

多体问题里面就有很多可以研究的

就像你原子和原子之间的关联

或者是相干

然后呢

相应的腔里面的状态

也可以有正常的状态

比如说腔里面有若干个光子

它现在就可以腔里面有宏观数量

这么样多的光子

所以这样的话

有好多新的现象可以研究

这个工作最初是Dicke

在1954年的一篇文章

他讨论的是原子叫做超辐射

super-radiant

就是你本来有N个原子

假如说都是二能级的原子

那么你单个原子辐射

他给出来的辐射的强度是I0

你现在呢它有N的原子

这N个原子都是双能级的原子

它聚集在一起

这时候他们的相干就可以产生

这样的所谓的超辐射

super radiatings

这个时候大家要发射就一起发射

所以结果它这个强度

和单个的原子发射的强度的比

就是和N平方成正比

当然前面有一个小于1的系数

但是它不是和N成正比

而是和N平方成正比

这是由于相干产生的

这是Dicke最早的工作

后来Hepp和Lieb

在1973年在Ann Phys和Phys Rev A

发表的文章

仔细地发展了Dicke Model

这个文章比较长

另外还有一篇文章

讲到Dicke Model里面的相变问题

这个是比较简洁的

是Wang

还有一个是不知道该怎么发音

Hioe也是在1973年

有一篇比较短的

但是比较简明的文章

这就是关于Dicke Model的文献

下面我们就从Dicke Model of

Coherent Radiation Processes

相干的辐射过程的Dicke Model

在这以前呢

我们先讲两个概念性的考虑

一个是Cohen-Tannoudji

这是研究光学方面的专家

他就让你考虑

我有两个原子

两个相同的原子

放在比较近的距离R

这个R当然要比

原子的大小大得多

这样就可以避免

要必须得考虑两个原子之间的

所谓的dipole dipole相互作用

当然这个R比起它

从激发态到基态

跃迁发出的辐射

这个辐射的波长

要比R要大得多了

所以这时候你可以用dipole approximation

就是你把原子它的位置

你就固定在一点就完了

R dependence 跟距离的关系

你就不必考虑了

它这个电子和原子核的距离

你就可以让它是0就完了

好 这就是我们原来曾经介绍过的

dipole approximation

下面Cohen-Tannoudji 他的argument是这样的

我有两个原子

其中一个处在激发态

另外一个处在基态

所以你写这个体积的波函数有两种

一种叫triplet

第一个原子在激发态

第二个原子在基态

然后还有一项第一个原子在基态

第二个原子在激发态

我取它的正

把它加起来

这个组合当然下面有个

square root 2

还有一种我就是这两种可能

我中间用减把它叠加起来

上面这个就是对称的

下面的是反对称的

好 下面就是说我们来考虑它

处在激发态的这个原子

它会跳到基态 发生辐射

如果是单个原子

那它这个辐射的辐射率

或者它的强度你用I0来代表

现在如果我是处在上面这个

triplet这个状态

你看我这个e1可以跃迁

就变成g1了

那这个时候呢

它这儿有个square root 2

它对于辐射率的贡献就是

I0 over square root 2 对吧

但是呢

我这儿还有一项呢

第二个原子处在激发态的

它也可以跳到基态 发出辐射

它对于辐射率或者强度的贡献

也是square root 2 times I0

你两个跟二分之一加起来

岂不就根号2了吗

所以这个时候它的transition amplitude是

square root 2乘上应该有的原来的transition amplitude

它的强度就变成二倍

square root 2要平方一下

如果是处在上面这个triplet

这个状态的话

结果因为这两个原子之间的相干

你把它写成叠加态了

它相干了

这个时候它的辐射率就要加倍了

如果是下面这个状态

这个状态虽然它有一个原子

处在激发态

但是它不会发射了

这个我们原来讲过dark state

它就是两个跃迁项

它是destructive interference 消掉了

这个呢

理由是类似

因为如果发生了跃迁以后

这就变e1 g2 minus g1 e2

当然没有了

所以它不会发射

这种情况

或者你用另外一个角度来考虑

发生辐射以后这个状态

是上面的这个

它是什么呢

e1 g2 plus g1 e2

下面一个square root 2

两倍一消

变成square root 2乘上这个

这是triplet还变成triplet

这是可以发生的

而下面这个它原来是singlet

如果它要能辐射

它就要变成triplet

当然它这种相干它是属于

比如你用一个pseudo spin来代表

pseudo spin是一个守恒量

它不会从singlet变成triplet

刚才也说过它要发生跃迁

这两项就消掉了

这跟dark state类似

所以这个时候你要考虑辐射的时候

要考虑辐射源的相干的影响

而Dicke有另外一个例子

他就想我把两个中子放在比较近

也都放在一个磁场里面

我们知道中子有一个负的磁矩

这个时候如果中子的自旋

跟你的磁场要是反平行的话

它是处在一个高能量态的

如果是平行呢

就处于低能量态

所以如果中子的spin

开始的时候是和磁场反平行的话

它就会反转它的spin

放出一个光子

你现在有两个中子

它的spin当然可以合成

一合成有两种叠加的方式

一种是变成spin triplet

一个是spin singlet

和刚才那个Cohen-Tannoudji的例子

完全一样

当然这是Dicke独立的考虑

那么当然这个时候

如果你考虑到两个中子之间的相干

那么如果它处在triplet state

这个时候它的反转spin

发射光子的跃迁率

那就要是单个的中子的两倍

如果处在(singlet state)

它就干脆就不发射了

前者叫做超辐射

super-radiant

后者叫做亚辐射

sub-radiant

sub-radiant在这个情况就是说它

根本不辐射

这当然是个最简单的情况

这是有两个原子或者两个中子

那么Dicke下面

他在文章里面考虑的是

有N个可以处于两能级的原子

他放在一个体积里面

这块体积的大小

当然是比波长要小得多

所以你可以用dipole approximation

就是这样

那么他现在假定我第j个原子的直径

就叫做Rj

当然这个时候这个原子里面

发生跃迁的电子

它的电子的坐标你就可以把它

看成就是Rj一样 这就是dipole approximation

好 那么现在呢

Dicke他考虑的原子

可以处在激发态

可以处在基态

这个时候就可以用pseudo spin

来描述

这个pseudo spin operator用R来表示

这就相当于spin的S

spin的S呢 可以用二分之一的

Pauli矩阵来代表

所以我第j个原子的pseudo spin叫做Rj

我整个体系的spin

我就可以把它求和

从1求和到N就完了

写Hamiltonian呢

那么我现在有N个原子

它的质心的运动

我这波函数用U sub g来代表

这是R1到RN

这是它的center of mass motion

还有一部分内部运动

也就是激发态还是基态

加号代表激发态

减号代表基态

那么这个时候我们整个的波函数

就可以写成质心运动和内部运动

这样的直积

这是个多体的波函数

在这里边我们就用pseudo spin

来描写

还和过去一样

我处在激发态它的原子的能量

叫二分之一\hbar\omega

处于基态的是负的二分之一的\hbar\omega

所以这个时候你看

前面有个hbar\omega R就是二分之一的\sigma

所以处在激发态 这是正二分之一

这后面是\sigma j

我用的这地方是Rj3

第三个分量

第三个分量就是看它朝上还是朝下

也就是说它处在激发态

还是处在基态

处在激发态它这个pseudo spin

二分之一

所以能量二分之一\hbar\omega

处在基态就是负二分之一

\hbar\omega

然后加起来这个就是原子的

内部运动的能量

这个是它的质心部分的能量

当然现在只考虑原子

还没有考虑到腔的问题

好 在这里我来描述

集体的激发可以这样来考虑

我有N个原子

其中若干个处在朝上

就是激发态

若干个处在基态

那么这时候我定义原子集团的

叫做polarization 偏振或者极化

这个m 就是n+ minus n-

朝上的原子数

激发态的原子数

减去基态的原子数被2除

这个2是因为你pseudo spin是2

是从这儿来的

然后朝上的激发态的原子数

加上基态的原子数

当然要等于总的原子数N

好 那这时候你写它的

Shrodinger方程

本征值一下就给出来了

那它前面的这个质心的运动

当然前面的H0

作用在它上面

给出质心运动的能量是叫做

Eg 就是这样

那么这个m给定了以后

它是高度简并

为什么

因为你这个里面有若干个朝上

就是激发态的原子

你可以选择一三五七

也可以选择二四六八

也可以随便你选

选一二五七九十等等等等

你这个选择

最后的能量都是\hbar\omega乘上m 对吧

所以说呢

它是高度简并的

简并度多少呢

总数是n个原子

上面是n factorial

分母上一个是激发态的原子的数目

那就是二分之一的n+m

大家不信自己一算一写就知道了

这是处于激发态的原子数

factorial

这是处于基态的原子数factorial

这就是它的degeneracy

来考虑我们现在集团的

它这个degeneracy

这就是将来Dicke要做的

主要的工作