S1.7 BCS wave function, Bogolinbov transformation and quasiparticle excitation(2)在线视频

好 在开始这个BCS这个重要工作以前

我还得还一个账

就是原来说过大家怀疑

电子和电子之间的库仑斥力

你为什么不算

实际上在这方面

曾经有过系统的工作

那就是巴丁和派因斯

他们这个工作题目叫做

Electron-Phonon

Interaction in Metals

专门讨论你可以不考虑库仑斥力

为什么

就是库仑斥力它被屏蔽掉了

你两个电子之间

如果它库仑力是长程力了

它中间有好多个晶格

就是离子

这个离子的电荷

把你这个电子的库仑的这个电荷

屏蔽掉相当的部分

所以实际上

两个电子它形成库珀对

这个库珀对

当然下面有很多仔细研究

库珀对是一个很松散的一个联合

它不是束缚态

库珀对里边的这两个电子

它离的是相当远的

离的相当远的话

你两个电子的库仑

它的电荷就被要被中间的

这些个晶格上的离子屏蔽掉

所以这篇文章的结论在这

The effects of Coulomb

correlations on superconductivity

are likewise shown to be small

so that the neglect of Coulomb

interactions in the formulation of

the superconductivity problem is justifired

就是这一篇文章的结论

就是说你在讨论超导理论的时候

不管库仑斥力

是完全应该的可以的

有了这点

好

下边我们就按照这样一个约定

我不考虑库仑斥力了

来看这个BCS他们怎么解决的

这个超导的问题

这一段题目就是叫做

The BCS ground state wave function

这一节我们只讲超导的基态

这是最奠基的工作

有了它当然我们还要讨论激发态

激发态是要用这个博戈柳博夫变换

那是下面的一些

我们现在首先讲它的基态

这个基态BCS刚才说过

巴丁、库珀、施里弗

他们是在1957年发表

真正的工作是在1956年做的

这三个人非常紧张的工作了一段

得出了这个结论

而这个工作是获得了

1972年的诺贝尔物理奖

这当然是非常重要的工作

我们后来会介绍一下

温伯格关于这个工作的评价

我们刚才介绍了库珀对

库珀对是两个电子

一个电子在μ状态

一个电子在μ（bar）状态

所以我现在下面为了省事

就引进这库珀对的产生算符

叫做Sμ^\dagger

这是一产生就是两个

一个库珀对两个电子

它就是aμ^\daggeraμ（bar）^\dagger

这个当然很显然

我现在体系的Hamiltonian两部分

一部分是单电子的

我考虑的对象

就是原来那个蓝圈圈

现在我画的是

用虚线画出来两个球壳

那在这两个球壳之间的

这些个电子这就是我的对象

那么它的Hamiltonian单粒子部分

还是和原来一样

就是aμ^\dagger aμ

然后前面是Eμ

对所有的μ求和

那就是代表所有的

这个里边的粒子的

单粒子的这个能量

还有这就是对状态之间的

就是库珀对本身的

它有一个相互吸引的这个相互作用

所以这是后面这个

叫pairing energy

配对的能量

它是负的代表吸引的

极是它的强度

后面就是Sμ^\dagger S

Sμ^\daggerSμ

这什么意思呢

就说这样的一个相互作用

它就是咱们原来那四个a来的

它就是我有一个库珀对

我这个库珀对一散射

从ν这个状态

我变到μ这个状态来了

所以你看这个里面

我是 ν状态的消灭算符

μ状态的产生算符

这就代表我一个库珀对

从νν（bar）散射到μμ（bar）

由于这样一个过程

它的关联就产生了一定的

相互作用的这个关联的能量

所以在这个里边这个μ和ν

就都必须是

在我这个虚线的圈圈里边

而且彼此不相等

你要相等的就根本没散射了

好 所以这里下边

这就是当年

这是施里弗首先创造的

后来为巴丁和库珀所认同

所以他们三个人就用这个东西

来开展下面的工作

施里弗写出来的这个超导基态

这是红的

中间是个0代表基态

它这个后面是有两个括弧

这就和这单个括弧的

这个基态不一样

这个基态就是一个费米球 Fermi Sphere

而后面这个是由于

有了相互作用以后

你那个Fermi Sphere就不再稳定了

因为我有了相互作用

我形成了超导基态以后

我的能量比你干脆的

那个库珀球(误：fermi)的能量要低

所以我这个是个稳定的超导态

最后就会出这个结果

所以这个是用两个括弧后边

双括弧来代表的

重要的在这

它是很多个这个圆括弧

乘积作用在真空上

基态上得到的

每一个括弧代什么呢

它是两项

你看一项uμ

uμ和vμ是我要求的两个

将来和这个p有关系的这个函数

是个c数

这么一写vμ和这个Sμ^\dagger

是连在一块的

所以vμ就是代表产生库珀对的

这个几率振幅

Probability Amplitude

uμ就是代表不作用的

没有作用的这个 probability amplitude

所以一个括弧作用一下

它的结果是什么呢

它的结果就是说

我在一个库珀对的状态上

我也可能没有对根本什么也没有

这个就是这个uμ这一项

我也可能真正有了

两个电子占据了这个库珀对了

这就是那个第二项

这是一个括弧

这里有多少

有许许多多宏观量个括弧作用

你看前边这有一个product

有很多很多那什么意思

那这就是说明

我在这个两个虚线的圈圈里边

有很多很多个库珀对

这些很多很多个库珀对

占据了哪些状态呢

是变化的是随机的

那有和没有

它的这个几率振幅就要由我

要求我的超导基态能量最低

而且将来我可以知道

它要比那个干脆的费米球还低

这个要求就可以得到uμ和vμ了

好 所以下面我们要做的

就是要想办法求这个能量最低

要得出这个Hamiltonian的基态

这样的话把u和v求出来

u和v求出来

当然这个基态就全求出来了

好

下面的这个方法仍然是和库珀

得库珀对的方法一样

也是做变分法就是

Method of variational trial function

然后也是它有一个constraint

有一个约束条件

就是做约束约分就是了

这个变分法是做过的人都知道

它是考验一个人的聪明和经验的

而如果不是特别聪明的话

你用的这个波函数设的波函数

一般设的不好

你做要不然就是你得的

这个极小得不出来

或者得了一个极小太小了

你不希望要

你经验多了你就会设

所以下面我们要看出来

这个施里弗写出来的这个trial wavefunction

就是它那个基态

刚才那个基态

就是做变分的这个trial wavefunction

他选择太巧了

实在是太天才了

而且我们最后也要看到

他的胆子也是真大

他居然是对于量子力学的

一般的常规他是打破了

打破了常规了写出来

好 所以说这一段在物理学史上

就是很重要的这么一页

好 我们现在就要求

这个它的平均值

这个N

要求这个N可以得极小

这个中间的这个粒子数算符

当然就是这都是库珀对了

你看

μ在这是μ上边这个粒子数

这个μ（bar）上的粒子数

这是μ上的粒子数

这是一个对状态

对于所有的μ都求和

由于它这个设置

这是算符了

算符我都得算

可是我的波函数呢我的状态呢

有的有有的没有

至于谁有谁没有

有多少有

有多少没有

你就得从这个变分法

来得的结果来看

所以现在这个变分的参数

就是你的uμ和vμ

但是uμ和vμ它是有关系的

为什么

因为这个施里弗

在写到波函数的时候

那个u和v不是独立的

u的平方加v的平方是1

为什么

就是你一个库珀对的状态

你要不就占了

要不你就没占

二者必居其一

所以它这两个u的平方

加上v的平方

两个probability加起来必须是1

这个就是我讲了

变分法的约束条件

好 下面就要算得出了

这就是我的约束变分

算的就是这个

我变分的算符就是原来的H

后面这一项是Lagrangian multiplier

我现在的这trial wavefunction

就是这个施里弗

天才的这个wavefunction

下边这个作为一个习题

这个是请学习的同学们

大家必须要算的

这是也是作为留的一个习题

就是我这个地方N就是刚才给过的

就是μ（bar）和μ的上面的

这个粒子数算符

要让大家算求证这三个式子

这个里面的物理意义

就不用再解释了

大家是清楚的

下面有个Hint

这个Hint实际上是量子理论里面

非常常用的这个两个identity

所以大家用这两个

来证一证很有好处

你就来证一证吧

用这两个Hint给的这两个

这两个本身很容易证了

我不要求大家证

你就用这两个来证明上面这两个

所以用了这个以后

我就可以把我要求的

这个H（bar）和这个N（bar）

在它们的平均值

就都可以用u和v表示出来

这也就是变分的结果

这个结果请大家参考

曾谨严的量子力学下卷

里边他也介绍了这个超导

得出来的结果如下

N（bar）这就是N的平均值

就是两倍的v没有平方求和

这个当然很当然为什么呢

你vμ我原来说过

是这个库珀态上面

有粒子占据了它的几率

几率符这是vμ

所以几率就是vμ^2

vμ^2把它所有的

这个曲线圈里边都求和完了

得的是什么

就是这个所有的电子的数目

得乘个2

因为你算一个状态是一个电子

我一个上面占满了

那就是代表我这有两个电子

我占了一个库珀对的状态

所以是两倍

这个很当然

H得出来的这个就是变分法的结果

非常重要

下面的文章全从这来

那么算出来就是这样的东西

物理意义前面解释过

好 我的变分法要变谁呢

就变H-λN写出来就是这样

要变分的就是变它的分

现在因为原来这个uμ

和vμ两个不独立

所以我算变分

你只能算独立的变分

所以我就用一个Lagrangian multiplier

就是第二项这一项把它给写进来

我就可以在这俩里边选一个

作为独立的变分参量了

好 我就用vμ作为变分参量

这样一算算出来的变分

这个大家自己可以看一看就知道

得出来的变分的结果

第一步得出来的是这个

得出来的是这个

这个里边又有u又有v

我们知道u是和v有关系的

因为它们的平方加起来是1

你要求变分求导的时候

那你必须把u用v来代替

这就是下面的这个式子

我把这项里有u的

就在这里

uμvμ要对于vμ求变分

而这个uμ和vμ有关

得出来就是这个结果

好 于是我这个变分就算完了

变分算完了下面要费一点力气了

就是要得出最后的物理结果

我要求你的uμ是多大

vμ是多大

好 下面要大家就跟着我走了

我要定义一下刚才的

这个结果里边有这么一个东西

你看这个地方有一个G

后面uμvμ求和 平方

有这个

你变分的时候

后来出现这个

我要出现了这么一个量

这个量是个很重要的物理量

G乘上sum uv

这就是我要定义的东西

我现在定义sum over all the ν

ν是独立

上面是vμ

前面乘上G

这个东西我给它起个名字叫做δ

δ是什么

最后大家看出来

这就是超导里面

非常重要的一个物理量

就是这个能隙energy gap

就是这个东西

我们这个我要证明的

让大家看出来

它确确实实这是一个gap

好 那么现在刚才那个式子

我有了这个定义以后

写出来就是写成这样一个关系

这个就是我变分的结果

这是个很重要的结果

下面我要多次要用到

这就是我变分以后

得出来的应用方程就是它

好 我现在下面做什么处理

我要求的是uμ和vμ

uμ vμ有这么一个关系

所以我现在是求这两个式子

求联立

求联立的过程我就不仔细说了

就我们我把上边式子一平方

下边一式子一平方

然后把它一联立

就得出这样一个结果来

这个结果我再把它处理一下

因为它都包含一项

这个四倍的uμ方vμ方

一处理就得出这个结果

得出这个结果以后

我又要来定义了

因为这有个分母

这个分母我就定义成1μ的平方

也就是这个根号底下的

把这个分母写在这里

把它开根

我就给它定义叫做1μ

这个1μ的也是超导理论里面

一个非常重要的物理量

它的物理意义就是quasiparticle energy

上面不说有个能隙吗

我把这个超导的基态上面有一个

比如说有一个电子

我把它一激发

通过这个能隙激发到上头

这时候就形成一个准粒子

这个概念都要讲的

这个准粒子的能量就是这个

叫1μ

一个能隙一个准粒子能量

这个下面都会证明的

好

所以说刚才的这个式子

做了这个定义以后

就把这个式子1

这个式子两边都开平方

左边两倍的uμvμ

右边上面是δ

下面就是这个1μ的平方原来

一开方下面是1μ

当然我这有正负

一开方你当然有正负号了

所以现在有了这个关系

把它代回这个运动方程

就得出这样一个关系来

然后我下面要解uμvμ

有了这个方程也好解了

你看因为uμ方+vμ方等于1

你这俩一联立一加一减

立刻就得出来

但是有个选号问题

我先预告我选正号

这个选不是任意的

是有物理要求的

我到最后得出结果来以后

大家就看出来

为什么选正号是正确的

刚才说了这个好做了

怎么好做

你看在这

那俩式子一加一减就得出来

uμ平方和vμ平方

我现在已经选了正号了

为什么这么选

下面可以看出来

所以现在我把uμ和vμ

就求出来了

大家说你没求出来

你这里面还有俩不知道的东西

一个是λ一个是eμ

这两还不知道

这两个怎么办呢

这两都会求的出来的

为什么

你看我这下面有两个implicit equations

一个叫做Number equation

数目的方程

为什么有个数目方程呢

大家看数目是什么

两倍的sumvμ平方

好 我就用这个在这看

我的数目是两倍的vμ方

vμ我算出来了

在这

所以我就等于这个就是了

N0是已知的

我这个两个虚线中间的

这个有多少个电子

这是已知的

这是一个给定的数目

等于右边的

还有一个关系也是我刚才定义的

定义那个δ是什么

我就不往回翻了

你看这个

你把δ乘到左边

G乘到右边

这就是δ的定义

δ定义就等于G乘这个

那么现在G分之一当然就是它了

G是给定的

你这个超导的

是某一种金属比如说

这个金属它的这个

电子之间的这个相互吸引

有效吸引力的强度是知道的

所以这是已知的

右边这个uv我求出来了就在这了

好 大家看这里

两个方程

两个方程是联立的

我不知道的是谁呀

不知道的是λ和δ

我知道的是N0和G

所以你看这两个方程

它的未知数都包含在这里边

已知的在左边

所以这是implicit equation

这两个就是超导里面的

两个最基本的方程

一个叫做Number equation

这不是给出数来了吗

一个叫做Gap equation

它就是δ所满足的方程

就是这么两个方程

所以说现在我的问题已经解完了

系统的已知量

给出来的参量是N0和G

我的解了方程以后的物理的输出

就是λ和δ

就是我的超导体的能隙

和它的准粒子能量

因此这个问题在这就解出来了

但是我现在回答最后一个问题

为什么我取正号

我取正号的理由是什么

好 取正号的理由是

假如我考虑一个极限的情况

就是没有pairing

没有Pairing当然也就没有超导

就没有energy gap

G等于零

δ就是0

这个时候

你这个分布就是费米分布

所以是费米分布

你就带回去看那个vμ的平方

这里本来下边有个δ

你δ一等于零

它就是这个东西

所以下面就是那个eλ

它就取它的绝对值

你现在看好了

我的简单的Fermi-Dirac分布

如果我这个电子的能量

小于Fermi能量

Fermi能量当然也就是

这个我统计分布的这个chemical potential

那个λ就是那个λ

好 你所以你看

如果Eμ小于λ

后面这一项它的大小是1

上面是负的

负负得正

所以v就是1了

所以如果我电子能量

小于Fermi能量

vμ是1就是有占据

当然有占据了

我电子能量小于Fermi能量

我就有

有电子了当然它就占据了

如果大于Fermi能量

坏了

它这个

它就没有占据

你在这表现出来

这个后面这个大小是1

如果ε没有大于λ

它是正1

所以1-1是0

vμ是0

vμ是0代表没占据

所以正好

所以证明我那个加号是对的

有了这个我画出来的

这个vμ是什么样子

你看就是在这

这个就是和原来的费米分布

差不多

电子的能量小的话

起初和那个

p等于零的费米分布一样

p等于零的费米分布

就是这样一个很锐利下来等于零

这个就是T等于零的费米分布

现在由于请大家注意

由于有了电子之间的

有效相互作用

由于电子有了关联

这个完全是统计物理的效果

就是统计的关联

我的分布变成什么呢

v平方就变成

占有的

就变成这样

到了快到这个边缘

快到chemical potential的时候

它下来了

然后在chemical potential外面

它也有一点点

u是没占用

没占用当然原来到这就没占用

快到chemical potential有了这就说上去了

所以vμ方和uμ方

就是代表这样的函数

所以现在证明了我选正号是对的

u方v方求出来

λ和δ也就都有了

所以看我们现在得了什么结果

我们得到的就是BCS波函数

超导基态果然能起作用

它就给出来超导的

重要的参量λ和δ怎么计算

u和v也算出来

那λ和δ就满足两个方程

这样的话就是如果

有了一个很薄层的这个存在

就是在这里面有库珀对的存在

有很多很多的库珀对

我们就可以把这个λ equation

和gap equation求出来

把λ和δ求出来

因为我有很多很多的库珀对

所以你看它那个地方

就会明确得出一个δ

你原来的那个相互作用

也是10的负4（英文）

你将来你看得出来的λ

那就比起那个要大得多的多

因此我的超导是一个这个robust

它的这个坚硬的这个程度

结实的程度

就有了保证

这样的话得出来的这个λ

其实就是T等于零的时候这个chemical potential

如果T有限

请大家看我给出的附加的材料

关于超导

那那个T不等于零的时候

怎么解

好 这样的话

我们把超导这个作用也解完了

最后重要的是

Weinberg的一个评价

Weinberg就说物系学里边

好像有两大块

一大块是以粒子物理为代表

一大块是以比如说

凝聚态物理做代表

粒子物理怎么解问题

它是叫做一个还原论

Reductionism

什么意思

它就逐个问你

你比如说分子

分子的结构我得研究原子

因为分子是由原子构成

到了原子不行

原子还有结构

它是由原子核和电子构成

那你原子核也有结构

还是质子和中子构成

后来又发现质子中子

这强子也有结构

它是由夸克和胶子构成的

所以越来越往里边来

这种approach是reductionist approach

每一层你都必须给出它的理论

也就是能够用数学来把它推演

标出它的物理结论

这种做法叫做reducntionist approach

还原论的做法

可是这个做法不是都灵的

你一到了这个超导你就看出来

过去始终是得不出办法

你想从电子出发来加

你后来又算你加上晶格了

也很难做

但是施里弗的这个

提出来的波函数

最后理论由巴丁、库珀、施里弗

把它推出来这个理论

这个就叫做另外一种办法

叫做emergece approach

emergence翻成层展

就是我不是从根本

从夸克给你推起

而是我就从各种物理的迹象

显示出来这个超导的基态

就应该是这样

我给出来你信不信

你不信我就把这个里边有参数

我把参数求出来

跟你的超导的

这实验去比完全符合

那就证明我这样做就做对了

这就是等于呈现出来

它自己emerge自己跳出来了

这个是有层展的这个approach

所以说Weinberg

他的提法就这两种

就是在超导的这个做法

本来大家曾经怀疑

这个超导和超流

它都是所谓的

superconductivity superfluidity

它的黏滞系数是0

它的电阻是0

这都是超级的现象

好像应该有超级物理

其实没有

还都是原来的物理

超导理论超流理论

都是原来的物理

但是当然有新的东西

你这个像BCS波函数

这个就是emerge跳出来

所以这个Weinberg

就是说明这两大块

一块是以粒子物理做代表的

一块比如说

是以这个凝聚态物理做代表

有两种approach, reductionist approach 和emergence approach

These fields are relevant

to each other

彼此不是排斥的

是相互补充的

IDEAS developed in one field can

prove very useful in the other

就是一个领域里面的概念

对于另外一个有的时候会非常有用

比如说在粒子物理里面的

这个重整化理论 renormalization formalism

最后由Wilson就是用到相变去了

相变重整化群 renoramlization group

那这一个领域里面的东西

可以用到另外

所以这是Weinberg一个非常重要的

关于这个Emergence approach的一个评价

所以说BCS这个波函数应该说是

在物理学历史里面第一个Emergence approach

这样一个范例

好

关于二次量子化就到这就介绍完了