S4.6 EPR paradox & Bell theorem(2) 在线视频

好 这个就是说明了这个

爱因斯坦的对波尔的攻击

好 这个时候

其实波尔1935年回答的

回答的是对的

本来就问题作为就已经解决了

但是实际上因为爱因斯坦

根深蒂固的

对于量子力学的不喜欢

当然爱因斯坦的那个挑战实际上

是说发出了一个号召

这个号召是什么

就是要来创造一个叫做local realistic theory

爱因斯坦关于这个第一个粒子

被测量要给第二个粒子发信息

你要是同时一测第一就知道第二

那就说明你有一个超距作用

给它打招呼了

所以爱因斯坦管

这种超距作用叫做Spook-like action-at-a-distance

这就是鬼怪式的这种超距作用

你不可能的

你那个量子力学

那个结论是不对的

当然实际上我们上一次

讨论过这个叫做delayed choice experiment

这是韦勒提出来

就是一个粒子进了设备以后

它是不是要得接受点信息

它说我看看

你这里边是波的这个设备

还是粒子的设备

我好让我自己有一个正确的表现

不是这个问题

它不是那传信息

让你这个进去的粒子接收

所以就是normal choice

我早就设好了

或者我本来不设好

等这个粒子已经进入了这个仪器

它不可能再改它的表现的时候

我再加上

这是一样的

根本没这个问题

所以说爱因斯坦

这个反对是没道理的

当然既使是1935年波尔回答了

下边还是一直在讨论

为什么

实际上爱因斯坦

等于提出一个号召

你要改造量子力学

既使我承认量子力学和实验符合

你也得改造它

哪两点上改造它呢

第一 理论必须是local

是定律的

就是说不许传信的

没有传信这个可能性的

必须是这样的

一个粒子的性质

我这个粒子2的性质

我的自旋该朝上也好该朝下也好

跟你第一个粒子没关系

你第一个粒子

活该你愿意朝上朝上

愿意朝下朝下

我自己该怎么样还是怎么样

所以必须是local的

不许两个粒子有纠缠

第二 必须是realistic

就是说我一个体系的

物理性质物理量

它就是该多少就是多少

那没有一个不确定

50%是朝上50%是朝下

这就不是物理实在

所以爱因斯坦实际上是等于

要号召建立这样的理论

把量子力学改造了

这个一般是有两种方向

差不多在1965年

这种论文是相当多

phys review

应该说总的来讲

看起来是非常难以看懂的

为什么难以看懂呢

它就分成两类

第一类是我假定量子力学是对的

我往里加点东西

就是你量子力学不完备

爱因斯坦不是说它不完备嘛

怎么就完备了

就是有某些物理量

是你量子力学看不见的

量子力学不知道的

而你真正的体系

它是具有这种性质的

比如说我粒子可以有动量

可以有位置

它还有一种性质我叫λ

你不知道它是什么

但是我现在的理论里边

我要把它放进来

放进来以后使得什么

使得我的体系的物理量是确定的

没有分布

你说有分布实际上

你测的是λ不同的体系

一个λ确定了以后

它的动量该是多少就是多少

位置该是多少就是多少

想做到这一点

这个当然实际上做起来

那必须得加进好多

非常神秘的东西

比如说叫什么quantum interact之类的

加入各种各样奇怪的东西

这种理论出来

当然第一很难看懂

第二它很难自洽

就是它解释这个解释了

你让它解释另外一个现象

立刻就矛盾了

这是一种

还有一种就是

我不从量子力学出发

我从爱因斯坦的他的前提出发

第二和第三出发

我来创造理论

我要最后得一个结果

我跟量子力学来比

看它一样不一样

但是实际上很多理论

做的都不可能一样

可是那有的人说你不成功我再试

很多人按照爱因斯坦的指示

在这个方向来做

写了很多别人看不懂的论文

刚才这里我就是说明了

有两种取向

第一种取向就是量子力学对

我要加一个λ

加一个叫做hidden varible

隐变量使得能够得到

爱因斯坦要的那个结果

这种往往它是不自洽的

下面这一段

就是我先不管量子力学

我就按照这个

爱因斯坦的这两个前提

第二第三来做

我把做的结果和量子力学来比

那这个时候

当然也要加进这个hidden varible

使得我这个爱因斯坦的

这两条做出来的结果

才能够去和量子力学来比

但是我往往比的也不一样

所以这个时候

很多人花了好多力气

实际上是白费了

在这Bell在1965年给出一个定理

告诉你你要想按照

爱因斯坦那两个前提

创造一个local realistic theory

还有一个名字叫做

hidden variable theory

就是我这我得往里加一个隐变量

你加了这些东西

你实际上跟量子力学的

这个理论结构是互相矛盾的

所以说它不可能给出

和量子力学同样的结果

这个定理就是Bell theorem

他就告诉你这种企图是不可能的

这个Bell定理出来以后

你要是相信Bell定理

你就不要再按照爱因斯坦

那两条前提去做工作了

在关于这个Bell定理这个B. Josephson

Josephson效应那个发现的人

他给一个很高的评价

他说这个Bell定理是一个

most important breakthrough

是一个最重要的一个突破

给了很高的评价

这个就是Bell

1982年在CERN的一个照片

正好他讲的就是爱因斯坦

EPR paradox

你看是吧

实验怎么做

正好给听众在介绍这个

好 那么下面

我先给一个简短的证明

证明怎么证呢

就是还是用的

那个Bohm的那个波函数

就是两个粒子纠缠的

两个粒子的自旋加起来是0

自旋二分之一的粒子

合成是0

然后它的波函数

当然一个朝上那个必须朝下

这是一个纠缠态

现在Bell的证明

就是我们来考虑这个算符

我有两个粒子

一个粒子我叫1一个粒子我叫2

两个粒子现在已经分得很远了

我现在来量它们的自旋

我这个自旋是随便选方向

第一个粒子

我量它a方向的自旋分量

第二个粒子

我量b方向的自旋分量

这两个自旋分量可以毫无关联

这很任意了

我们还用这个Bohm

刚才给的那个波函数

那么在量子力学的结果

我如果按照量子力学做

我第一个粒子

我测A的方向的自旋分量

第二个粒子

我测B方向的自旋分量

我分别用A_a表示

这就是说

我第一个粒子的测量我叫大A

我在自旋以A方向测A方向的分量

第二个粒子的测量结果是B

我测量的时候

我用的是B方向的自旋分量

那当然它就应该是刚才

我给的那个算符

σ.aσ.b

那我对这个ψ来求平均值

这个ψ就是原来给的

这个Bohm那个波函数

在这补充一下

就是这个A_a和B_b

我现在这个自旋分量的结果

我的单位是hbar/2

二分之一hbar

我本来是自旋二分之一的粒子

所以这个As_a或者B_b

得的结果不是正1就是负1

对 因为它自旋

不是朝上就是朝下

好 这个请大家做个练习

我不在这�嗦了

你有了这个算符

你把Bohm那个波函数拿来

做一个平均值你一算

就发现它是负的a・b

这个结果非常重要

这就是量子力学的结果

凡是我这个结果你比如我这

这个东西是什么

Eab_ψ

它就是A_aB_b的乘积

这个ψ写在这什么意思

就说这是量子力学的结果

我刚才证明了Eab_ψ是-a・b

如果我取个特殊情况

我在b就等于a

就是我第一个粒子我测的z分量

我第二个粒子也测的z分量

这个时候当然E of a and a subψ

就应该等于负1

因为这个地方a是一个单位矢量

b是一个单位矢量

这个是代表它自旋取向的

那个单位矢量

两个单位矢量它又是一个方向

同一个当然这是应该是负1

好 下面就来看我用这个

爱因斯坦的指示做的local realistic theory

或者叫hidden variable theory

应该得出什么结果

好 现在下面就是

按照爱因斯坦的指示来做了

你量子力学一个体系

对我来讲是一个系综

我这个统计系综里边

是你那个体系的

很多很多个同样的copy

但是它实际上是不一样的

因为它有隐变量λ

这个λ是你量子力学里不知道的

所以不同的λ你的那个体系

我来做一个系综

那这个系综我具有我隐变量λ

的它的这个几率就是ρ of λ

所以我这个里边

有很多很多个体系

这些个体系它到λ是一定分布的

这个分布当然要满足ρλdλ

对于λ它这个域来积分

应该等于1

这就是归一

好 下边就是说如果我遵守

爱因斯坦的这个第二个前提

就是必须是local

local什么意思

我第一个粒子和第二个粒子

一个在北京一个在上海

离的那么远

我第一个粒子的性质

跟第二个粒子都有自己的性质

彼此是不相干的

不是说我第二个粒子性质

我得看看你第一个粒子的眼色

来行事

没这个关系

所以说local

它两个测量必须独立

你比如说我对第一个粒子测量了

这个是A_a

我第一个粒子我把自旋取向

我在a这个取向测分量

但是我测的体积λ不同

它的结果应该是不同的

这是爱因斯坦的信徒们的做法

那么第二个粒子我测它的b

测出来的是Bbλ

在这里

那这两个如果根据

爱因斯坦Locality的原则

它应该没关系

我第二个粒子的性质

由我自己决定

跟你第一个粒子毫无关系

你在北京呢你也发不来信号

所以说这两个必须是独立

这个就是locality的这结论

重要

这个是local realistic theory的

一个重要的一个推论

就是我第一个粒子

在A方向测自旋

第二个粒子在B方向测自旋

每一个都可能是正负0

或者是正1或者是负1

当然也可能是0

0 +1 -1

可能性的值都有这些

那么如果我现在我测的这个体积

它的隐变量是λ

于是这个结果当然就是Aaλ乘Bbλ

到此为止为什么

因为我测A和测B

这两个完全独立的

两个独立事件它乘下来的结果

当然就是两个的乘积

不许再有那个entangle没有了

到此为止

locality就要求

这两个测量是独立的

独立的它就是乘积

我现在预言一下

就是这个爱因斯坦的信徒

做了这个推论

他是付了很高的代价的

因为本来我这个体系

是有个最大的关联的

就是我朝上你就朝下

我朝下你就朝上

这个关联是个50%50%最大的关联

所以这个地方说爱因斯坦的信徒

做了这个推论

这是a high price to pay

他这是付了很大代价

因为 quantum mechanical correlation

besed on angular momentum

这个东西你把它破坏了

它两个的和是1

它自然一个人朝上

那个就得朝下

不能看第一个的眼色

必须彼此看眼色

你测了一个

另外跟着就确定了

这个是波函数的

一个这个状态的塌缩

那你是两项不是这项就是那项

你得选一项

好 有了这个

你看下面它就被动了

所以说我拿来一个状态测

是这个结果

我现在这个ensemble里边

有很多很多个copy

我都测完了

我得的最后的结果这个平均值

就应该是对ρ乘起来

刚才这个结果

每一个λ不同它是不同

我要对ρλ乘一下

做λ积分得这个结果

这个就是爱因斯坦信徒的结果

看一看爱因斯坦的这个信徒

能不能得出量子力学的结果

量子力学的结果在这里

你看它这是对ψ

这是量子力学的结果

如果两个都是A它就是-1

那我们看这个爱因斯坦的

信徒的结果是什么呢

刚才那个结果就是

你对A测A方向的自旋

第二个粒子测B方向的自旋

它的结果就是这两个的乘积

没有别的了

你要想这个结果

和量子力学这结果

你不说你要跟它比吗

你要想它得到它的结果

你现在这个subb这也变了suba了

所以这个时候

它必须有这个红颜色的这个结果

为什么呢

左边你要得-1

你怎么得-1

必须这两个都不能是0

一个是+1一个就是-1

所以如果你在一个方向上

一个+1一个-1

你要得-1

所以你Aaλ必须等于-的Baλ

必须得这个结果

好了 这个就是

爱因斯坦的信徒们的结果

我现在来看

我现在再找一个C方向

我来看爱因斯坦的信徒

得什么结果

我算Eab-Eac

那根据上面的定义

当然就是这个是A是subaB是subb

后边那是AC

所以我这个地方是subC

都要乘ρλdλ

你要算-我这当然得给个负号

现在上面这个结果我说

就是下面这个结果

为什么

我实际上把第一项提出来了

提到外面了

而第二项这一项就应该

从我这一项乘上这一项得到

两个负号我不说了

都有

我就必须由这四个因子乘起来

得上面两个

你看第一个因子

和第一个因子一样

我这个第二个因子乘第三个因子

我利用刚才这个关系

我在同一个自旋方向上测量的

它必须中间有个负号

你看这个地方

是第二个粒子我测B

这个地方是第一个粒子我测b

所以这两个应该

是有个负号的关系

所以我记住了这有个负号

就是说还剩下最后一个

这俩乘起来是-1了

就没有了

这是第一个因子就在这

二三乘起来是-1

第四个因子你看

第四个因子和上面这个

第二个因子有什么区别

都是C方向的自旋

一个是A一个是B

好 那它又应该是-1

所以原来有个负号

现在有个负号等于没有了

所以上面这个式子

可以写成是这个式子

好 下边我就argue

这个因为我这个大A大B

下面你来测它就是+1或者是-1了

因为它自旋不是朝上就是朝下

原来说过0的那是丢了的

不丢的不

不是+1就是-1

所以说我们来看前面这个因子

这个因子λ不同

它当然有的时候可能是+1

因为它现在有两个不同的方向了

一个是A一个是B

两个数自己不是+1就是-1

所以它的乘积也是

有时候是+1有时候是-1

你在做这个积分的时候

前面有这么一个前值因子

结果括号是-1的话

它这就是2了

当然就有贡献了

就后面反正不是负数

后面不会是负数

它不是0就是1

前面这是一个

有时候是正有时候是负

那我怎么想办法

让右边可以更大呢

让右边可以更大的话

我就把这项取消

前面本来是一个正的或者负的

那当然最后就抵消了

因为后面这个不会是负数

都是0或者是正数

所以我把它一取消

右边只可能变大

所以说我左边取绝对值

右边我把这个取消

那它结果就是这个结果

结果就是这个结果了

因为我把这项取消了

那就是这个结果现在在这里

大家看结果就在这里

那我把这个1拿出来

后面就根据定义

下边看看这个sub1和b一个C

所以就是Ebc就是这个东西

我就得到了一个不等式

这个不等式

就是一个有名的Bell不等式

我们从这个Bell不等式来看一看

做这个local realistic theory的人

他们如果想吸收

量子力学的其中的一个结果

他们就必须满足这个Bell不等式

那么现在我们把这个abc

原来是随便哪个方向

我就取成图上的三个方向

a b和c

ab和bc之间都是60度角

它就应该得出来

量子力学的结果是

然后看local realistic theory的结果是什么

量子力学的结果

a和b选定了方向

它是一个1

量子力学就是-a到b

-a到b

后面这个Eac是-a到c

前面有个负号

所以这加了

根据上面这个图a・b二分之一

a・c负二分之一

所以这里就是

负二分之一负二分之一

就是-1

外边取绝对值

所以就等于1

因此根据量子力学

这个左边就是1

那么看右边Ebc

bc之间当然就是负的b到c

这就是负二分之一

如果根据量子力学

看看上面这个结果对不对

量子力学这个左边是1

1要小于等于1-1/2

1-1/2就是1/2

你要求1小于等于1/2这是错的

所以说你要是相信量子力学

那这个结果就是错的

那就是local realistic theory根本达不到

量子力学的结果

所以这样一来的话

好像应该就说这个你别沿着

爱因斯坦那条路走了

你沿着那条路走你也没有

做什么特别多的假设

你就得不到量子力学的结果

你想要得到量子力学的结果

你最后就得到

是个错误的一个不等式

当然没有那么简单

你要想拿实验来验证的话

验证这个不等式的话

你实验有很多具体的情况

刚才这个是个理想的情况

你要真正来做现实的情况

你要想取自旋的某个条件

如果你量的是做的测量是光的话

那么这个光你要用极化器

极化器它有这个可能

你光子通过它被它吸收了

这个探测器也有效率的问题

所以远远不是你很简单的

你这个Asuba或者Asubb

它就是+1或者-1它不可能的

它可能丢了

那怎么办

那你验证这个结果

不说明什么问题

所以Bell这个很重要的任务

就是要找一个反证的

证明这个local realistic theory不对的

这个必须得找一个现实

跟现实联系起来

现实联系起来就是得考虑

可能我这个粒子就要丢了

所以说我们现在要做的

the case of failure

就是你粒子丢了

你就必须把它考虑进来

那么Bell怎么做呢

他是这样

我比如这个Asuba

本来只能是+1或者是-1

现在如果你把自旋选定好了

来的这个粒子的自旋

确实它是朝上的

那你就给+1

你的结果就是+1

如果朝下那就是-1了

如果粒子丢了怎么办

它给补充进来了

我考虑了粒子丢了就是0

这是A_a

B_b当然也是一样

也是+1 0和-1

好 现在你从这个local realistic theory

他说你这量子力学测量的这东西

其实你还有个变量

你不知道的就是λ

所以说这个A_a

对于λ这个体系来讲

如果我做平均值的话

那就是+1-1平均值

还有个0

这些东西都来做平均

所以它的这个绝对值

一定要小于等于1

因为有0包括进来了

当然你如果你的仪器特别棒

没有0

那它就是+1或者-1了

那它的绝对值那就等于1

现在你的仪器不那么理想

你必须得考虑仪器的现实

所以它的平均值的绝对值

要小于等于的

B也是这样

所以这个时候按照这个locality

也就是说测量第一个粒子

跟测量第二个粒子

必须是绝对独立的

所以它只能是两个的乘积

不许你再加别的东西

那这个时候好

最后的你得的结果

就是这两个的乘积

要对我就是系综的里边

不同的λ的分布

乘起来再做积分

好 下边Bell

再跟你推一个不等式

还是我选一个a和一个b

或者是一个a和b'

两种选法

那当然两种选法我要取它的差

那么这就是第一种选法

第一种选法根据刚才那个证明

本来是两项

我现在算的这个是

local realistic theory

它根据刚才的

这个要求locality的要求

它应该得的结果

这不是量子力学的