S7.4 Lieb-Schultz-Mattis theorem 在线视频

刚才我们说过Afflect他的工作

他这个工作就得出一个Wess-Zumino term

这一项就可以来区别

整数自旋和半整数自旋

但是他没有说整数自旋怎么样

半整数自旋怎么样

下面我们要讲一个定理

这个定理就是Lieb-Schultz-Matties定理

这是在1961年

他们给出的定理

他们给出的定理是针对spin-1/2的

那么后来在1986年

Affleck和Lieb把他们给推广到任意的半整数

自旋

都对

是这样

下面我们就给出来定理的讨论

这个定理的讨论也还是Affleck给出来的

最后

Affleck 在

condensed matter

杂志上1989年

给出一个review

就把一维反铁磁链的整个过程

很曲折的一段历史过程

怎么正确的来认识一位反铁磁链

他给了一个review

好

现在我们来说这个定理

他说的是什么

定理告诉你

For a half integer

spin chain

respecting

translation of

symmetry

parity

And rotational

symmetry in the

spin space

either has a zero

gap

has degenerate

ground states who

is opposite

parody

他的意思就是说

我现在只考虑半整数

自旋的量

因为整数自旋链

他底下当然一开始都包括 最后的整数

自旋链

这个定理根本就什么也说不了

给不出任何物理结论

就是给不出任何新的物理结论

所以

对半整数自旋链

它是有意义的

他证明了本整数自旋链的

是由无质量激发的

他有zero gap

但是

它有个先决条件

就是它有这几个对称性

这几个特征性当然是一般的

一维的反铁磁自旋链是完全都满足的

哪几个

对称性

一个是translation of

symmetry

平移对称性

它晶格 当然是一个分立的这样一个

平移的

对称性

还有 parity

空间反演

还有呢

在自旋空间的

旋转 rotational

symmetry in the

spin space

这三个对称性已经都满足了

你本整数的自旋

他就有无质量的激发

或者是有个zero gap

就没有能隙

但是

还有一个例外 例外就是有一个简并的基态

简并的基态

那是两个能级在一块

他这两个基态的parity又相反

当然是个极端

特殊的情况

所以总的来讲

当然包括什么其他很多

Coleman theorem

等等

最后就证明了

Haldane猜想

是对的

当然除了有极端的例外以外

当然我们就不考虑了

所以说Haldane猜想

实际上通过Coleman theorem

通过Leib-Shultz-Matties

theorem

是可以说是得到了证明的

好

现在我们就来考虑这样一个事情

我的做法是什么呢

我有一个基态

|\psi_0>

我们原来讨论过的

他是在Neel基础上它有量子涨落的

那么另外它的能量给出来

|\psi_0>的能量就是E0

当然满足刚才的这三个对称性

想办法构造一个状态

叫|\psi_1>

构造出来

|\psi_1>以后

我将来要证明|\psi_1>的能量和|\psi_0>是

一样的

就是说他这两个能级是在一块的

而且|\psi_1>的宇称和|\psi_0>的宇称是相反

的

所以说它不是一个状态

|\psi_0>

是基态

|\psi_1>

是一个和他宇称不一样的一个状态

但是激发能是0

这个

Lieb-Shultz-Matties 定理

Lieb-Shultz-Matties 定理

Lieb-Shultz-Matties 定理

那么我们下面说怎么来告诉他

比较数学化的一个证明

你看我构造一个|\psi_1>

下面是说怎么构造

我要证明的是什么呢

就是 H-E0

对于用这个|\psi_1>来做平均

他应该得的是这个地方

课件做的有点毛病

所以这个里面应该是E1-E0

-E0不太明显

后来加上去的

就是E1-E0

|\psi_1>的能量是多少

它和E0差多少呢

就差平均值

E1-E0将来要

被证明

他是链长的

倒数的这样的量级

你让这个链是非常长

毕竟无限大

当然E1逼近E0

对吧

但是还有一个证明的最重要的部分就在

这儿

|\psi_1>

他和|\psi_0>不一样

他有不同的宇称

所以它不是一个状态

如果他宇称一样

你有什么也没证明

你给我造了半天|\psi_1>

在极限底它就是在一个|\psi_0>

它是一个状态

我证明他

宇称不一样

所以他就只能是一个无质量的激发

当然还有一些特殊的特例不说了

好

这个时候我怎么构造呢

|\psi_1>

我用|\psi_0>

前面乘上一个幺正算符

但用幺正算符作用一下

就构造出|\psi_1>了

幺正算符是一个很妙的算符

就写在这儿了

你看

它是一个exponential I是

吧

上面的算符是Sj的z分量

这是什么意思呢

它要围绕第j个格点

上边的沿着自旋的z方向要转一个角

转的角多大

前面的 multiple是什么

是pi

还得乘上一个j+l就转这么

一个角

怪怪的角是怎么回事

咱们一个来分析

好

我转的角就在这里了

大家看

是

转的角是它

我先这样来看

我求和

是j是从负l到正l然后的

我下面画了一个图在这里

这就是我那个链

链长

是L所以我这一点左端

是-L/2-1

右端就是L/2

这是零点

我那个l 比如说-l我设定在

这里

+l我设定在这里

好

所以我这求和是从-1这个格

点算起

算到+l这个点上

我这个算符不涉及

-l左边的这些个点

也不涉及+l右边的这些格点

只作用在中间的这一段的格点上

我要转沿着自旋的z方向转这么一个角

好

我从左边看起

左边是-l

对吧

这是-l

那就是0

所以这点还是他的转的角

是0

他右边的一个

那么j就是

-l+l

他转多大的角

Pi/L如果我L是一个很大

的数

他就转一个很小的角

好

再往右边去

他转的角增加了增加多少

一直到哪儿

他转的角从这一开始是0

很小

然后还比较小

然后越来越大

到0这个地方

j=0

那么L消掉了

他转pi

那么大

所以到这儿就转pi了

再往右边比

pi大一点点

再大一点点

再大一点点

最后到了l他传是2pi

所以转动的角度

从零开始到出发中间一步一步是非常小的

步

来完成转动

那么我们来分析先定性的分析

最后他会实际给证明的

那么好了

我们来想的Heisenberg model

它是两个s之间的自旋的dot product

你现在本来他你算了基态的能量是

E0

我现在新的态|\psi_1>状态

它和原来你的|\psi_0>有什么不一样

他就是在中间

从-l到+l这一段

它每一个spin都转一个角度

在两头的转的非常小

中间他转了pi

是吧

右边是2pi

当然和零就一样了

对吧

所以说你算还Heisenberg model

他是两个自旋之间的dot product

两个自旋的本来

|\psi_0>都算过了

你现在就算它的变化

就是一个旋转带来的变化

它两个相邻的各点

它旋转的差别是非常小的

他是pi/L

它的差别就是pi/L l也要是非常大的

话

它有差别

基本上没有了

所以你可以想象他对于能量的贡献

就是E1应该和E0是极端接近

的

L变成很大的时候

他就基本就一样了

这是一个定性分析

这个不作数

下面我们要来证明他

这句话上面就说我小l的数量级跟是大L

数量

即它是一样的

你看我刚才画的这个图

我 l画的也是很大的

是吧

整个的长度是大l我小l它的量级跟二分

之l是差不多大的

所以将来你让 L的逼近无限大小

L的逼近无限大了

我是这么选的

所以说差不多就中间有一半自旋的要转了

向你算它的能量差

当然就会是很小

这段话

刚才说的是吧

你最近紧邻转的的角差别

是pi/L当然跟不转差不多了

这是个定性分析

那么下面要给严格的证明

好了

我们现在刚才说过要证明的就是|\psi_1>和

|\psi_0>它的宇称不一样

所以它是个无质量的激发

这个我的证明分两步

第1步证明

|\psi_1>的能量和|\psi_0>差别是

1/L的量级

你L逼近无限大 它就不差了

第2部分就要证明他的宇称是相反的

下面就是证明这两个都在下面证明

Heisenberg

model里边

这个Si\dot S_i+1

当然就是这样三项的和

对吧

比如说A是Si B就是S_i+1

结果这就是有三个算术

一个A^+B^-

一个是A^-B^+

还有一个是A^zB^z我就现在分别来算

Si^+S_{i+1}^-

Si^+S_{i+1}^-

然后加减号

反过来是第2项

然后算z分量

我算的那就是我这转一转带来的变化

所以前面是一个+

后面是U

这个是个简单的一个代数运算

比如说你可以用

Baker-Campbell-Hausdoff 公式

Baker-Campbell-Hausdoff 公式

Baker-Campbell-Hausdoff 公式

来去算

然后你知道这两个的commucator就行了

当然这些都是知道的

好

算出来的结果第1项等于前面成了一个

factor

第2项也是成了一个factor

正好一个

一个是

第3项不

变化

所以说我中间用这个U让从|\psi_0>变到|\psi_1>

转一转

主要就算前两项的变化

这个变化能量变化就给在这了

然后\Delta E是什么

\Delta E其实就是 |\psi_1>和

|\psi_0>

它的能量的差当然就是这个算出来就是

\Delta E是吧

因为这是E0了

这就是|\psi_0>的能量

H的平均值就是|\psi_1>的能量

好

现在|\psi_1>是怎么构造的呢

由作用在|\psi_0>上面构造

前面这个当然就是把它倒一个个 刚才算过

了

第3项没有变化不算

第1项

在望的多了这样一个factor

大家看减1就是减去没转的|\psi_0>的

factor

对吧

第2项在这里

这个factor是转了以后的变化

|\psi_0>的原来就是1

所以结果就是这样一个东西

这样一个东西

我把它exp那时候分成实部和虚

部

实部是cos

就和-1写在一块在这里

然后还有虚部

但是 I sin

原来括弧里没有虚的量

所以就分成这两个

下面要告诉大家

我们原来一开始准备好三个对称性在那

有了对称性

你就可以证明出来

我那

等号后面有两行

第1行就有两项

这两项的求和是相等的

这两项求和一相等

你就看出来

下边这两项

这中间是个减号

一求和

当然这一项虚部就没有了

我怎么证明

它上面这两项求和是相等的

好

我们来看

我们这是把这一项拿出来

我们说过它对空间反演对称

对吧

所以你经过空间反演

它变成什么了

那就正的变负了

我原来 index是I就变了-I了

原来是i+1

就变成-i-1

所以就变成了把这个指标换一个号

现在这两个格点是不一样的

不一样的格点它是独立的

所以它的S operator

s component它是对易

所以你要把这俩换一个个儿就完了

对不对

好

然后我们知道你求和的时候

你对待指标

你可以很随便的来对待

你把指标给随便换

这求和照样是一样的

所以说我们现在好

我们把这一项的指标给他换一换

对后面这个的求和

我现在求和了

我现在把它指标换个怎么换

我把-i变成了i+1

这个时候

前面的-i-1

那就变成了i了

对吧

可是你看这个sum原来你一开始的

sum

他应该是一样的

对吧

所以他就等于一开始这一项的sum

那就证明了什么呢

我这两项两个sum

正好是我第1行的这两个sum

对不对

所以这两个sum一样

然后下面第2行

这两个上面就消掉

所以\deltaE就算出来了

就是这么大

对吧

算出来就是这么大

好

下面再看

我有rotational

invariance

在自旋的空间里面我有旋转对称

我还是Heisenberg里面有三项

对吧

一个是S+S-

S-S+

还有是两个Sz的

前面这两个前面都有个1/2

对不对

好

如果前面其实这两个从两个Sx的乘积和

两个Sy的乘积变来的

所以原来你SxSx SySy SzSz

你旋转

对称这三项都一样

所以每一项都是原来的1/3

对不对

现在加减的跟你Sx Sy都一样

所以这一项1/2的他

也是和Sz

都相等

所以这一项前面有1/2的话

它就应该是整个的

Heisenberg the

dot product的1/3

现在在前面没写那1/2

所以后面这个东西应该是个2/3对吧

这个东西就应该是个2/3

然后这个就是我的基态的能量

基态的能量

这个能量我原来用E0大写的E0

表示

现在看

根据他原来的论文

我就改成了一个小的\epsilon_0

这个就是大的E0

所以你算的 j乘上

平均值

求和

E0 好

那么这个地方我有多少项

我这有个求和

我说这一项单独一项你算出来

那个叫做E0是吧

你有多少项

从-l到+l有2l

这么多项

所以你得成一个2l所以这就是2/3

J×2l这个就是我整个求和以后的值

已经把它算出来了

我现在带到\DeltaE的式子里面去

咱们回来看一下

\DeltaE的式子

除了刚才后面的人我们算了的以外

这也算在里边

前面还有那么一个cos的

factor

有个1/2

对吧

所以你看我这里是2/3

是吧

这个东西

这是 cos factor

这是二倍的l cos factor

我l非常之大的时候

当然这是一个很小的角

我一展开

它就是

一和一消掉

所以这个括弧就是负的

这个地方看的不太清楚

这是1/2的东西

好

然后你一算

12

大家可以跟前面这1/2消了

这个地方是一

我这地方改过来了

这是一是吧

其他的照常

就是这么大一个数

我这是分母上有个l平方

分子上有个2l所以整个的数就是1/l的

量级

当你l非常之大的时候

它就是0

好

所以这就证明了

第1部分

|\psi_1>和|\psi_0>它的

能量差多少

能量差是1/l的量级

你l趋近于无限大

它这两个就一样了

好

下面证明|\psi_1>和|\psi_0>

它的parity是相反的

怎么做

我们就要专门来研究 U

operator

U operator

我现在来做一个parity

transformation

空间

反演

另外

我还在做一个在自旋空间里边

沿着y轴转pi

沿着y轴转pi

什么意思

那就是让你的spin

你的z分量从正的变负了

因为沿着y轴做了pi的转动

你 z轴如果原来从上现在就变成从下了

所以正好他的component就改了

号

所以这两个变换同时做

我的变化是什么

第一parity

所以原来的i现在变了-i了

原来的Sz

你来一个

对

y轴的转pi角

所以是前面出了个负号

也就是说我 U经过对称变换

我的变化是什么

Sz的-J就变了这个东西

好

我求和

我可以把指标随便变

我把指标换一个号

那就变了什么了呢

指标换号

这个地方就是-j是吧

然后我负号乘过来

那就变得正J了

原来的+l

这个地方应该是-l

可是我偏偏要把它写成正l那不对

我后边再成了因子两倍的 l所以你看

这个地方有个l这儿有个l

这一消掉以后本来是i\pi

factor

我现在后面我给他来个负的两倍的i\pi

我就不就把我这个改号给纠正过来了吗

好

你再看前面这个家伙

我原来的U

所以经过了这两个变化以后

就变了这个东西了

这个东西是什么

我们看从j等于负l到正l有多少个自旋

呢

有这么多个自旋

对吧

2l+1

所以好了

你现在这是有个自旋

自旋

z分量

它或者是整数

或者是半整数

所以说我们就下边就可以得到这样一个

结论

这就是我多出来的 factor

大家回去看一下

我现在U经过了变化以后

我还是U 只不过后面有 factor

我现在就来算 factor

这个factor怎么算呢

我知道一共有2j+1

自旋

自旋整数可以是半整数

所以你一看你就很明白

知道我这个求和求和如果是整数自旋的话

你2l+1个自旋

加出来

它准是一个整数

对吧

所以它就是一个整数

那么整数的2\pi

他exponential当然就是+1了

可是如果我的自旋它是个半整数

的自旋

你前面是一个奇数倍

半整数自旋的奇数倍他总还是一个奇数

对吧

总是一个奇数 \pi的奇数倍

你最后他应该是个1/2的奇数倍

根据前面的二消掉就是\pi的一个奇数倍

\pi的奇数倍 factor准是负1

所以说我们这个因子算出来

在整数自旋的情况底下不变

半整数自旋的情况底下变号

好了

我们现在来看

这两个

基态|\psi_0>和我

构造的|\psi_1>

他们的scalar

product

这个是scalar product

当然就是U|\psi_0>

就等于这个

是吧

好

我现在做不变的变换

做了不变的变化以后

我们就知道如果自旋是整数的

这个U不变

它当然 scalar product就是1

说明什么呢

说明|\psi_1>和|\psi_0>

它是同宇称的

如果我自旋是半整数的U变号了

好

你这个量你经过一个对称变换

它变号

所以它必须是0

就是说|\psi_1>和|\psi_0>的dot

product是0

那就说明宇称是相反的

所以我就得到了这样的结论

如果我这个自旋是整数的

我就什么也没证明

我得不出任何结论来

对于整数的自旋

我这个定理就根本不应用了

我什么结论没有

对于本整数自旋我有两个可能性

一个可能性是什么呢

你|\psi_1>和|\psi_0>

同样能量

但是宇称相反

所以你在|\psi_1>基态|\psi_0>的

一个无质量的一个激发态

所以这就是得出Haldane猜想了

但是也有个极特殊的情况

我这个体系

我的基态是一个简并的基态

两个状态一起都是简并

但是他们的宇称又是相反的

这是极为特殊的情况

但是也有特别的例子

这个我就根据论文上这么说了

我也没去看这个例子

这两个都有

具体的模型可以说明

但是绝大多数情况是第1个可能性实现

这个也就是Haldane的猜想

是对的

Affleck

后来有一篇论文我们不在这仔细说了

他是在

PRL是1986年的论文

他了给了argument

说明什么呢

\theta等于0

这就是整数自旋

这个时候他真正会有mass gap

刚才Lieb-Shultz-Matties

定理

对于整数自旋他不做任何结论

但是Affleck在这做了结论

整数自旋

有mass gap

它没有无质量计划

它有gap

gap哪来的呢

是由你这个体系的电荷是1/2的

这些个涡旋的

condensation来产生的

激发态

我这就是引证他的结论

就不说了

另外 Affleck在另外一篇文章

我刚说过他 review paper

里面

他给了一个demonstration

他说如果你是半整数自旋

然后刚才我们

Lieb-Shultz-Matties

Lieb-Shultz-Matties

证明它可以有无质量激发了

那么在这儿Affleck就证明

为什么有\theta=\pi

就是半整数自旋

Coleman定理管不住

因为Coleman定理告诉你

如果有了红外发散

你 Coleman定理就是用上去就不让

你有

对称的自发破缺

所以你就必须有质量激发

他现在就说明\theta=\pi

使得他用非微扰的 argument

证明了 mass

generation被压制了

也就是Coleman定理在这儿使不上了

所以说一维的反铁磁链有无质量的激发

最后给了这么一个结论

当然从Bethe ansatz我们就知道

他就证明了1/2自旋的

是

有无质量激发的

那么

这个定理和Affleck后来的argument的证明

你不只是自旋

1/2

只要是半整数自旋

它都有无质量激发

所以到这儿我们把一维着反铁磁链给了

一个最后的这么一个结论