S6.6 Decoherence caused by interaction with environment在线视频

下面我们就讲一个

这一章的很重要的一个内容

题目是Decoherence caused by interaction with environment

原来冯诺依曼打开了一个局面

他把探测器和体系

给它有个相互作用了

给它让它关联起来

但是两个问题

一个问题是这关联不稳定

它会变

一会儿变没了一会儿变相反了

这样的话那你仪器

由一个指标

它不能确切地对应

你这个体系的状态

还有一个问题是量什么

是还是可以变的

但是有了冯诺依曼

这个开始的这个努力

现在这个我们要介绍的是这个Zurek

他一个模型

这是他在1980和1982

当然在phys rev letter发表的一些文章

现在他后来知道他这些文章

大家要看那么多文章

是挺费力气的

所以他在Physics Today上

把他的这些工作给总结起来

一篇文章里面代表出来

而且当然加以一些通俗化

因为Physics Today

究竟不是个专门的学术刊物

1991年发表在Physics Today上面

下面我们就来做一个一般的讨论

在真正进入它的模型以前

我们给个一般的讨论

说明它的思路

他把环境加进来

这个环境用e来代表environment

这个环境是什么呢

它就是一个有很多很多自由度的

这样一个体系

这个体系主要是

和探测器发生相互作用

当然因为探测器

和我们的体系是有关联的

那就当然就一起作用了

这个环境的作用是什么

两个作用

一个作用就是它和探测器

一发生相互作用以后

就把这个探测器要测什么

就给在再确定下来了

然后继续演化的时候

这个环境的作用就是把

我们整个体系的density matrix

就是密度矩阵的

那些个非对角的项

都被环境给吸收了

环境我们是不测量的

所以最后我们还要对环境

要做一个处理

这个下面再说

所以这个时候

当环境把密度矩阵的非对角元

都吸收进去以后

那这个时候我们的密度矩阵

就变成了一个混合态

也就是说最后发生了这个

所谓的状态的塌缩state collapse

是这样的

刚才说了

他这个会确定你这个探测器

环境和探测器的相互作用

就确定了你这探测器测什么

这个在Zurek的模型有一个名词

确定下来要测什么的这个物理量

它叫做pointer observable

就是指针的客观测量

什么意思呢

就是你仪器有个指针

你这个指针指来指去

它是指的是什么

这叫pointer observable

那这个物理量的它的这个eigenstate

它的这个本征态就叫做pointer basis

叫做指针基

它形成的这个基因就叫做指针基

就这么个名词

重要的是环境干这些事

你设定了相互作用就够了

其他的都让量子力学

它的这个关于

对时间的演化这个理论来

自己来做

都是由量子力学的

这个幺正的演化过程来完成

物理学家是不参与的

所以这和冯诺依曼就不一样了

冯诺依曼把那个非对称项拿走了

它是手拿走的

然后把现在没有了

你看我这个状态

就从瞬态变了混合态了

那是用手拿的

现在不 一切设好了

所有的结论都是量子力学的

幺正过程给出来的

你事先稍微给大家做一个介绍

那么现在我们的体系

就是分三块了

总体系就分三块

第一块还是我们的物理的体系

这个就是量子力学

确定的这么一个体系

这个体系要和探测器

是会有相互作用的

那么所以还有一块就是探测器

再有一块就是刚才说过的环境

在t=0的时候

体系 探测器 环境是独立的

你看中间都用这个直积表示

就是现在谁也不管谁

彼此没有关联

都是独立的

这是在t=0的时候

下面从t=0开始

我们先让体系和探测器

先相互作用

它们的相互作用

从时间等于0开始

到时间等等t1这个时间

在这一段过程里面

根据冯诺依曼工作我们知道

体系和探测器就会进入关联

所以这个时候它们就有了关联了

这个体系的N状和探测器的指示

|DN>这个它就关联在一起了

对于各种各样的状态

都会有个求和

那么前面的这个几率振幅是Cn

我们原来在冯诺依曼工作来面看出来

这个关联是个暂时的关联

所以这我写的temporary correlation

它是暂时的

什么意思呢

它会变

它也会变没有了

它也会变成另外的那样了

所以这个是我们说这个冯诺依曼工作

还不够成功

那从t1开始

在t1这个时间环境和体系探测器

还是独立的

你看这有个cross

从t1开始再演化

把环境和探测器的相互作用

引进来

那当然就关联在一起了

那么继续发展下去

好 那么下面我们就来具体的

看它这个怎么样的运作

环境和探测器的相互作用

从t1开始

那么又演化了一段到了t2了

这个时候我们总的体系

它的状态怎么表示呢

你看φ就是总体系的这个矢量

在t2这个时间

现在这个体系 探测器和环境

已经都关联到一起了

你看它在N这是它的

这是它的N都关联到一起了

到了t2这个时间

三者都关联到一起了

那么这个时候

我们下面要给大家说明的

就是你给定一个相互作用

那就使得这个E和D

就是环境和探测器

它的相互作用就定下了

你这个探测器你去量什么

你量体系的什么

你是量Sz你还是量Sx还是什么

由环境和探测器的相互作用

来确定这个所谓的

指针的客观测量

pointer observable

就是通过它这个相互作用的关联

来解决这个问题

那这个时候就把point observable

和basis就都确定下来了

也就是说

由于环境和探测器的相互作用

使得原来体系

和探测器的关联会变

它不稳定

一会儿有一会儿没有

一会儿跟这种关联法

一会儿那种关联法

这种自由就被环境和探测器的

相互作用就给抹掉了你

你没有这个自由了

我给你确定下来

那以后它的这个幺正的发展

就使得这个环境

它就把你的密度矩阵

那些非对角项

一点点的它都吸收进去了

你不测环境

你这个当然这些信息就没了

那剩下总的体系就变成一个

这个混合态了

好 这个就是它环境怎么作用

下面我就得具体地给出来

这个相互作用了

好 这个Zurek这个工作

实际上是个模型

你要拿现实的物理体系去要求

你为什么你这个相互作用是这样

你这个从哪个Hamiltonian来

不是的

那它作为一个模型

如果我设了这样一个相互作用

于是就有以下的各种后果

让你看这个环境怎么起相互作用

对于环境我们是不去测的

环境在那

它起很大的作用

但是我们对环境并不测量

我们在探测器只测量我们的体系

那你不测量你又把它引进理论了

那你最后怎么办呢

那就是做一个理论的处理

就是取trace

这就是trace with respect to E

就是对于这个环境

当然它在密度矩阵里边

有它的位置

我们对于环境的这一部分

我要取trace

具体的我们这个看下面

这一段红的字就是我刚才说的

我们不测量环境

怎么办 就是trace

好 现在我们来看

总体系的密度矩阵ρ

它本来我现在已经演化到t2了

就是环境已经充分发挥作用了

以后环境还在这

它继续发挥作用

那我这个时间就是大于t2的

那我对于大于t2时间的

这样的总体系的状态

这是它的这个密度矩阵

总体系的密度矩阵在这

我对于环境不测量

所以我要取总的密度矩阵的trace

tracef要取这个

那你怎么取法呢

那我把这个φ展开就是了

因为原来大家看

φ就是这样的东西

这个φ t2那大于t2

当然在后边你注上时间就完了

它这三个已经都关联起来

所以它的密度矩阵是什么

就是这个|φ><φ|在这里

大家看这是|φ>这是<φ|

这是总的密度矩阵

我要取trace

那我就把这个|φ>和<φ|

用刚才那个表达式给它代进来

你看有C

那么这个ket用N展开的

CN你看这有这个|N>

这里有这个environment N

这个就是ket

那么bra我是用的指标M

你看这里Cm它有star

这里是

Dm

这里是

这样写好了

我取trace跟前面没关系

探测器的D和体系的这个Nm我不管

写在前头

trace只对于environment来取

那它等于什么呀

我要做的是trace|En>

后面这一个ket在前bra在后

这就是个矩阵

我取矩阵的trace

那我就随便找一个表象

我找它在k表象

然后我把这个矩阵的对角元

都给它加起来一环

所以我现在取一个k表象

这是原来那个matrix

我前面左乘一个k右乘一个k

这就是在k表象里了

现在要取trace

就是对所有的对角元来求和

我取的积是k

我现在对这个basis的

各种状态给它求和

所以是这样的东西

那现在这是两个普通的matrix element

你这一组乘一又乘

你从原来一个matrix

等于你现在把它变成了

这个matrix element的乘积了

matrix element是C数

你可以随便谁放前谁放后没关系

好 你把这个放到后头

你就发现中间有一个|k>

前面对k求和

正好是完备条件

它等于1

所以那就把后面这挪到前头

|En>在后了

这个就是Em和En的这个scalar product

这会算了

这个trace完了以后

这个环境就变成这个了

trace一下以后

这就是在同一个时间

大于t2的一个时间

我环境的两个不同的状态

m和n的这个scalar product

那么我们物理上希望什么呢

希望这个dot product

随着时间越来越长

时间长到够长了

那它就趋向于一个δmn了

δmn就代表我这时候这个环境

它在这个密度矩阵里边

它这个非对角元那么就没有了

对角元是1了

非对角元就没了

这样的话

它环境并不是我们这些个

phase correlation的信息没有了

信息没丢

信息哪儿去了

让环境给吸收走了

而我们对环境又不做测量

我们只测量体系

所以所谓的我这的这个phase information丢了

其实没丢

都在环境那藏着呢

你不测环境所以你就不知道了

这个时候所有的

这个ρ的非对角元没有了

所以我的密度矩阵

就变成了混合态了

这个就是整个的之这个program

好 下面给相互作用

给出相互作用来

我们看它怎么发展

所以说实现很大了以后

你看这个ρ就变成了

这样的一个混合态了

混合态探测器处在n状态

这个相应的就代表它指出来

你的体系是处在这个n状态

这时候这是个混合态

它们之间没有相位的关系

好 那具体的来说

这个Zurek它这个环境是什么呢

它这有很大量的这个自由度

具体的它都是一个一个的

二能级的原子

有很多这种原子

所以它的这个自由度是很大的

这个原子是个二能级的

它只有两个状态

它不是笑就是哭

来代表它的状态

请大家注意

我这里用的这个|>和<|

它不是尖括弧而是个圆括弧

你看我现在这个这就是|>

前面一杠后面是个圆括弧

有个subk代表第k个原子

你有很多很多原子呢

我这是第k个原子

这个是笑这个是哭

哭的|>也是这样一个圆括弧

好 那么我现在

我的整个体系的Hamiltonian

这个environment Hamiltonian我不写了

反正我也不测它

但是它和探测器的

这个相互作用是非常重要的

所以E它的self Hamiltonian我不写

我只管它和探测器的相互作用

所以这是HDE

那HDE是哪儿来的呢

因为我的environment有很多个原子

每一个原子都可以去

和探测器相互作用

好 于是环境的第k个原子

和探测器的相互作用

就用这个Hsubk来表示

那我现在每个原子都可以

和探测器发生相互作用

所以我要对k求和

具体的来讲

Zurek给出来的相互作用就是这样

它是写第k个原子相互作用

那它就具体的就是这么些的

那就是环境的

这样的一个projection算符

相对应的是探测器的

这样一个算符

请大家注意我这里

探测器的两个这个projection是笑和哭

也就是说我将来让这个探测器

以这为笑和哭作为pointer observable

那你说我不用那可以

你不用笑和哭好了

你可以用就是说向右和向左

或者尖朝上尖朝下都可以

你将来的pointer observable是什么

你要把它放在这

让它去和这个环境相互作用

所以说环境和谁相互作用

就是和将来那个pointer observable的

这个探测器相互作用

而且在这个里边的强度

用jk来表示

每一个原子

分别的跟探测器相互作用

我这个第k就是这样相互作用

将来我要求和

彼此之间没有牵涉

而在这个第k个原子和探测器

发生相互作用的时候

其他的那些原子干吗

旁观

所以这有个isubj

j就是除了k以外的其他那原子

在那看着

看着那个第k个原子

去和探测器相互作用

那轮到了谁 谁就来

其他的都作为旁观者是这样的

现在特别重要的就是

我们来看这个Hamiltonian

他的这个本征态

这本征态其实是确定的

也就是说探测器什么状态

和环境什么状态

你选出来只有四个这个本征态

你看环境笑

所以这是subk也是笑

探测器也是笑

这两个的状态再乘积

就是这个HKDE的这个本征态

为什么呢

你看它这都是投影算符

你这个环境得笑

好 谁来投影它

是这个投影算符 对不对

这是笑的这个bra

乘上你笑的ket

那就是1了

那就剩下的还是笑

所以这投影笑

前面是正的

那环境的这个笑

同样道理是谁投影的呢

也是这个笑

这总的这有subk

这个圆括弧都是subk

它投影

投影完了也是正的笑

所以它的eigenvalue就是前面那个jk

因为两个是正号

那后来俩负号的也同样我不说了

还有交叉项

你看探测器笑和环境哭

乘起来也是它的本征态

为什么呢

那探测器笑还是由第一项投影

其结果就是正1乘上笑

环境哭是由这个环境的

这个第二个投影算符来投影

好 投影完了以后的结果

是负的环境哭

前面这个是正的

后面这个投影是负的

所以它的eigenvalue是负的j

所以第一项第四项这交叉项

是eigenfunction

它的eigenvalue负的jk

第二第三也是负的jk

所以写出这个相互作用来

一下子就把它的这个本征函数

本征值都给确定了

那这样就好办了

那我现在怎么做呢

现在这个时间

和刚才说的那个不太一样了

那么现在这个时间实际上

是原来那个t1你怎么知道呢

那你看我现在体系和探测器

已经有关联了

你看这不是两项之和了嘛

上和笑关联

下和哭关联

体系和探测器已经关联起来

但是这个时候

我的环境还没有跟它们关联

所以这就是我们原来讨论的

那个t1

我先让体系和探测器

从时间等于0关联开始

关联到什么时候呢

关联到t1

这个时候 好

我的探测器开始要参加进来了

那这个时候当然原来的

我的环境就处于这样的状态

现在假设环境

环境是k个原子

我现在从第一到第N都求和了

那么第k个原子

它处在笑的几率幅叫αk

处在哭的几率幅的叫βk

当然αk和βk

它们的模平方加起来一定是1

行了 现在我就让原来

给的那个相互作用

对于这个在t1

原来的t1现在叫t0了

对于这个态开始作用

作用干吗

就让这个环境跟探测器

它们的这个关联让它发展

这是量子力学的unitray evolution

发展的结果刚才说过了

给过相互作用的

本征态和本征值了

因为那个本征态和本征值在哪儿

你看比如说探测器的笑

它可以和环境的笑关联在一起

它也可以和环境的哭关联在一起

那么我探测器的哭

它可以和环境的笑关联在一起

也可以和环境的哭关联在一起

这四种可能就是我们刚才

分析过的那四个本征态

一四的笑笑的关联

和哭哭的关联

就是原来第一和第四

它的本正值是正的jk

一四和二三的这种关联

它的本征值负的jk

所以下面这个time evolution

我一下就都写出来了

你看探测器的笑在这

它和环境的关联有两种

一个是环境的笑关联

一个是环境的哭关联

而且这个关联它们的能量本征值

我知道

笑笑的本征值是jk

笑和哭的本征值是-jk

所以你看前面这个随时间演化

就是按照正规

那么笑和哭关联

它eigenvalue是负的jk

你看这是正号 对不对

这个是我的探测器的笑

那么探测器的哭同样

哭笑关联

本征值是-jk

所以你看这是正号

哭哭关联本征值是jk

所以前面是负号

所以全有了

我这关联这是量子力学的unitray evolution

全有了

所以说好

我现在也从环境进来为止

然后相互作用就发展

发展到时间t最后的结果就在这里

我们前面这一项是体系的向上

和探测器的笑是关联的

也就是说

我将来你看到探测器笑了

那你就知道体系肯定是朝上

探测器哭了

体系肯定朝下

那么现在这样两个状态

都和环境关联起来

我这个地方红字的E笑t

那就是代表我后面的

这个地方这个求和

连后面的这一大堆这一个东西

我就叫做E笑t

什么意思呢

它是环境 没错 所以是1

这个笑指的是谁呀

就是它和探测器的笑关联

这个笑指的是探测器

所以你看这是尖括弧

在时间t的时候

我的环境和探测器的笑关联的

那环境的状态就是它

好了 我在t的时间

和探测器哭关联的

那个环境的态就是它

所以全求出来了

这个时候我们注意到

第一 pointer observable已经定了

究竟测什么定了

这我刚才说

你在设定探测器

和环境相互作用的时候

你输进去的那个究竟是什么

是哭和笑

那最后你这个探测器

去测体系的时候

自然它测的就是哭和笑

所以这个pointer observable就确定下来

它就是笑或者哭两种状态

所以这是pointer observable的算符

就可以写成这样

那将来它笑和哭

你设定的这个体系的解释是什么

就在这

将来测出来的就是它

好 那这个时候重要的是

我刚才那个环境的

这个状态还写在那

我要对它求trace

所以我经过了一段时间从0到t

我的这个整个的体系

演化到了刚才给的那个状态

那我现在就问我要做测量的话

那你这个测量结果是什么

你对环境不测量

所以你在这要取trace

取trace我们刚才说过

实际上本来是一个

ket一个bra

你就是将来就变成bra

和ket的dot product

好 那我们现在再回头

回过来看我们将来取trace的时候

会遇到什么

这个是φ(t)

density matrix就把这个φ(t)

翻过来放在后头

这个在ket前bra在后

所以将来就会出现什么

我现在取trace取的是环境

所以将来要取的就是这两个

这两个现在都是ket都在φ里边

我在φ后面要放了一个bra

所以将来就是这个|E笑>

我取trace

或者是|E笑>

我取trace

当然后来|E哭>

我要有四个要取trace

好 我们就来取

一取trace那就出来

它的这两个的dot product了

|E笑>

所以是1

在这trace完了这个就是1

最后这一项也是

两个都是哭的

那么你|E哭>

所以这没有那个了

一四二三这两项

那你就得认真地来取trace了

认真地取trace

我下面这给了一些具体的公式

这个公式是大家都看得懂的

我就不在这�嗦了

就是你一四的那个取trace

你最后的结果

就是这得出一个z(t)来

z(t)下边我就说是什么

一二那个取了trace

你得到的是z*

z和z*就写在这了

z就是|E笑(t)>和|E哭(t)>的dot product

那你一四二

你把这两个倒个个儿就是了

具体的它和我们原来的那个

给的相互作用的常数jk有关系

给的初始时间的环境的

这个波函数αkβk有关系

就是这个给出来了

所以我们的这个结果

动力学演化到最后

结果的density matrix完全知道了

好 那下面就要看这个z(t)

给出来了它随时间怎么演化

我们希望它根据unitary evolution的结果

t越来越大

这个z(t)就越来越小

最后让这两个非对角元都没了

希望得这个结果

那么好

z(t)是物理意义

它就是叫做correlation amplitude

这个correlation那是你把环境引进来

使得环境和探测器间接的

探测器也和体系有关联

大家都关联在一起

它是这个correlation amplitude的

代表一个关联的这个振幅

因为它正好是这几项东西的关联

那我们回头来看

你看z(t)这就是所谓的correlation amplitude

体系在哪儿呢

体系在这 上下

环境在哪儿

a和b*

这是环境开始的时候它的状态

这个是探测器哭和笑

就是这些东西得关联

有一个z(t)这个作为correlation amplitude

同样这个关联这是z*

这个amplitude

所以物理意义它就是correlation amplitude

再有你回去看那个式子

那很容易你就看出来

z0就是1

就是在时间等于0

环境刚刚进来

还没等这个相互作用发挥作用

那当然这个z0就是1

它那个correlation是完全的

这都在那的

那么另外这个z(t)的magitude squre

因为你看那个z

咱们回头再来看一下

这个z是什么

z是好多方括弧的乘积

每一个方括弧里面

那都是cos和sin

都是这样的东西

中间它一个是实部一个是虚部

所以它每一个方括弧的magnitude

都是小于等于1的

你把很多方括弧再给它乘起来

它当然仍然是小于等于1的

那就是这个式子

另外这个z它是sin cos

每一个方括弧都是sin和cos

你要取它的平均的话

平均当然是0

但是你先取magnitude在这

先取magnitude的再平方再平均

它就不是0了

你看z在这里

你先取magnitude

你把实部 虚部

各自取magnitude的平方

这样的东西

这样的东西来取平均

这时候

你最后剩下的就是α^2

和β^2

这个大家根据

刚才给的这几个结果

就可以得出来

那么最后我这个z(t)magnitude

先取magnitude

然后平方再平均

得的就是这个东西

好

所以说下面会给大家看一个图

就是说除了极特殊的情况以外

什么特殊情况

就是一开始的时候

环境有k个原子

那么所有的原子

都处在这个本征态上面

就是说它不是在哭就是笑

就是所有的原子都表态了

当然实际上我们那里给的初始态

它是一个αk乘上比如说笑

加上βk乘上哭

这是都是一个纠缠的态

特例就是它不是纠缠态了

那这个时候

你的z当然就不一样了

这个特殊情况我再说一遍

with the exception

就是把这个特殊情况要刨掉

什么特殊情况

inital state of E is an eigenstate of \Pi

它是相互作用的一个本征态

也就是说

对于所有的粒子没有例外

你第一个粒子你是哭还是笑

好 确定

第二个粒子也确定

第三个粒子也确定

这就是个特殊情况

这个特殊情况当然极为罕见了

这不大可能

一般它原子都是处在本征态的

它的自由度很大

它的环境

那比如说处在一个常温状态

它这个当然它会有激发各种情况

都会有的有碰撞

所以除了那个以外

我们就知道

实际上我们下面要看出来

刚才说过z(t)的magitude的平方

小于等于1

对 实际上它就是从1开始

越来越小越来越小越来越小

它这个unitary evolution的结果

它就会上这个z(t)magnitude的平方

小于小于1

它的平方平均值也是小于小于1的

那具体的这个Zurek

就给大家这么一个结果来看

它这个环境其实还比较简单

它是用了5个

或者10或者15个原子

这个不就是原来

所有的自由度非常大

不非常大

但是有一定的自由度就是了

给的状态也比较简单

α和β的模是相等的

所以这时候那个z(t)也简单

只有实部了

那个虚部没有了

只剩下cos这个了

jk这是重要的

请大家注意

jk每一个原子

和这个探测器相互作用

它随机的不一样的

可以随机选

它就将来真正做计算的时候

就用个随机数发生期

第一个原子 好 选一个jk

第二个随机的选第二个

都是随机的

这种随机的安排

只要有一定的自由度

就会出现下面的情况

你看N等于5

z(t)时间从0开始

下面也要随时间的演化

你看就会变成这样

越来越小然后有的时候有一些波动

有时候有一些波动

然后它继续的是这样这样的

所以说这个z(t)在1和-1之间波动

时而长一下

但是总而言之是比较小的波动

不过这个小还不太过瘾

你看N等于10

一开始是1很快就掉到0

但是偶尔振荡一下

偶尔振荡一下

它这个振荡都是比较小的

这样的振荡

到了N等于15你看着就更舒服了

开始是1减到0

半天半天偶尔冒一个尖

偶尔冒一个尖

所以这样的一个情况

那就很满足我们这要求了

就是基本上你那个密度矩阵的

最小元都不见了

不见了那不是在物理上消失了

而是这些个关于它相干的

这个phase information的这些信息

都跑到环境去了

而环境里是不测的

那信息都在那

你不测当然你测的是体系

用探测器来测体系

那当然这时候

这个z就表现就非常好

我的密度矩阵

就从这一个纯态变成了混合态了

好 现在关于Zurek的工作

小节一下

现在就发生了推相干了

Decoherence

它哪来的呢

Decoherence follows from quantum mechanical principle

它完全是按照

量子力学的原则来发生的

实际上就是

就是因为你环境有大量的自由度

每一个自由度

跟探测器都有相互作用

而且这个相互作用是随机的

它没有任何规律你随机选的

这样的一个做法就使得你把

原来探测器和体系的

那个开始的关联

它有相位

这个相位最后都丢了

它就不再变成很多相的关联了

它就是完全就是确定下来了

都在那个对角里面

这个地方你看用的词叫做bury

埋 埋葬

把phase correlation埋葬在environment里面

不是丢了 物理上没丢埋在那了

你不会去测就是了

就是那个z(t)

对于很多很多时间来讲

它基本上是相互作用

偶尔跳一下偶尔往上跳一下

偶尔往下跳一下

而在整个的过程里面

没有用手来拿任何东西

完全是unitary process

那么刚才是告诉你N等于5 10 15

实际上如果你真正让这个

它的环境的自由度

变成无限大的话

这个HDE就完全是不可逆了

就是说到时间够一定长度

它就干脆就是平的

它并不会在有个涨落或者是回来

对于有限的N

你的unitary evolution的很多性质

它还都保留

就是说Zurek后来比较晚的时候

在2003年在RMP上边

发表了一篇文章

这个是关于他工作从八十年代初

二十年以后

当然他自己的概念是

也有很多的发展

他把它系统的

而且就后来的发展都在里头

系统化了

这个是个专论的文章

发表在RMP

在这里面你可以看到

有限的N

所有的unitary process的特点都在那

它有coherence有fluctuation

而且还有revival

就是你很多东西你把它叠加起来

等到这些东西

它的比如说它的周期

到了一个最小公倍数的时候

它当然周期性的现象都回来

所以还有revival还有recurrance等等

recurrance就是指的它物理上的东西

原来开始的东西又会回来

你只要N是有限

它还会回来

只不过N越大

这个回来的时间

最后可能比你这个寿命还要长

那当然就是不是现实的了

关于Zurek的工作就介绍到这里