S8.1 Interaction between radiation fields & the atom(1)在线视频

今天我们来讨论新的一章

题目叫做腔量子电动力学

Cavity QED

量子电动力学

是有了量子力学以后不久

就开始发展起来

他是研究电磁场和

一个量子化的系统

比如说原子

他们的相互作用

但是在上个世纪的中期以前

一直有个很大的困难

就是叫做发散困难

就是这个理论你一阶微扰论可以算得很好

算原子和电磁场相互作用的时候

发生的过程

但是到了二阶

坏了

出来发散

所以就很长时间属于停滞的状态

直到上个世纪的中期

由Bethe开始，然后是Feynman、Schwinger

和朝永振一郎

他们就发展了所谓的重整化的方法

就把发散的困难避免了

所以这个时候

就使得量子电动力学有很快的发展

这三个人后来都得了诺贝尔物理奖

我们现在不是讲的

在真空里面的场和量子体系的相互作用

而是要讲腔的cavity

就是说我们把量子体系放在一个谐振腔里面

最起初是把单个的原子

放到一个谐振腔里面

谐振腔是这样一种设备

他的结构就使得仅有

某一些电磁场的状态

可以在里面有很强的存在

你换了模式了

比如说频率换了

或者是他的偏振状态换了

在这个腔里面可以存在

但是他的强度就可以忽略

所以这种腔叫做谐振腔

resonant cavity

你要把原子放在腔里面

他们会有很强的相互作用

在这个强的相互作用底下

腔就可以改变原子的性质

原子也改变腔的性质

所以这是一个

研究他们强相互作用的物理

到了上个世纪末本个世纪初

就开始不仅仅是把单个的原子放到谐振腔里

而是把很多个原子放在谐振腔里

这些原子他们之间是有相干的

所以这个就使得腔量子电动力学有了新的发展

那么这个图上面就是Roy Glauber

这个我们原来已经介绍过了

他对于激光物理发展起了很重要的作用

他是获得了诺贝尔2005年的物理奖

那么这两位

左边这是Wineland

右边是Haroche

Wineland是美国的

Haroche是法国的

他们都是研究腔量子电动力学的

他们获得了诺贝尔奖的2012年的奖

Haroche用的是典型的谐振腔

就是让原子在里面或者是通过谐振腔

跟腔有强相互作用

而Wineland用的是他所发展的

所谓的四级的trap

他是来用这个四级的捕获器

来捕获离子

他来研究离子的相互作用

他们可以探测甚至于操控单个的原子

同时不仅仅是操控了

还研究他们的量子性质

这些都是对于腔量子电动力学

起了重要作用的人物

下面我们就来讲辐射场

和原子之间的相互作用

也就是实际上

我们就要研究量子化的电子场

原子里面的电子的场

要把他量子化

同时辐射场也要把它量子化

这就是要研究量子化的辐射场

和量子化的原子

里面的电子场之间的相互作用

下面就研究

辐射场和原子里面的电子场的量子化

首先讨论原子里面的电子场的量子化

原子里面的某一个电子

它的量子的性质

那就用Schrodinger方程来表示

前面的这个H0

这就是指代的管理电子的哈密顿量

\psi {j}是代表处于j状态的一个电子

当然后面你看到Hamiltonian

就分这是动能的部分

后面就是势能的部分

这个算符Hamiltonian作用在Psi上就等于Ej乘以\psi {j}

这个就是Schrodinger方程了

这个我们就管它叫做

电子的经典的运动方程

这个电子我们将来要把它看成一个场

要把这个场量子化

Schrodinger方程一次量子化就成了经典方程了

我们知道做二次量子化的时候

要把场，也就是波函数

要把它按照

某一个正交归一完备的

本征函数来展开

现在的这个场\psi是个任意的场

我就把他用\psi j, j=0, 1, 2等

各种状态

用这个完备基来展开

当然

\psi \dagger展开在前面的这个算符就是c j \dagger

c j是代表消灭j状态上的

电子的算符

c j \dagger代表产生j状态的

这样一个电子的算符

当然后面这个地方\psi j来展开\psi, 展开\psi \dagger就用\psi j *，
这个c j和c j \dagger按照常规

他们是满足这样的反对关系

因为电子是费米子

所以他的产生消灭算符满足的就是反对关系

然后我把

一次量子化里边的Schrodinger方程里面的Hamiltonian

现在用二次量子化表示

这个我们知道

就用这样一个式子来表示

这个H 0现在就是二次量子化的

电子场的Hamiltonian的算符

红色的H zero就是一次量子化的Hamiltonian

前面有个\psi \dagger后面有个\psi积分

这就是二次量子化表达的方式

那你要把刚才的\psi和\psi \dagger带进去

利用他们的正交归一性质和反对关系

你就可以得出来

我的二次量子化的Hamiltonian

前面乘上你这个模的本征能量

然后对所有的j求和

电子场的量子化是比较简单的

那么我们说电子产生量子化以后

他的基态是什么呢

他的基态我们用0状态的

这样一个矢量代表

他的定义就是我用消灭算符要作用上去

他得0

这就表示我的真空里面根本没有任何的激发

所以你用任何一个消灭激发的算符作用上去

他都应该得0

因为他的里面根本没有激发

刚才我们介绍了c和c \dagger满足的反对易关系

那么我们现在的二次量子化的\psi场呢

在那个基础上就得到了这样的反对关系

\psi \dagger和\psi他们反对易子是一个Dirac \delta

只有在r=r'的时候它才有反对易的值

否则这个地方就是0

当然\psi和\psi，\psi \dagger和\psi \dagger它们的反对易值都是0

如果我们要问

我的场随时间怎么演化呢

那么

我们由一次量子化的波函数的

随时间的变迁

就是这儿有一个随时间演化的因子

然后你用这个完备基来展开的量子场

这就得到量子场随时间的演化

下边我们来讨论辐射场的量子化

这个里面的物理就比较丰富了

所谓的辐射场

就是真空里面的电磁场

我们下面来看比如说在经典电动力学里面

我们描述的电磁场

可以用full potential，就是vector potential和scalar potential

在电磁场里面

我们会注意到它有规范条件

你可以在不同的规范里来描述电磁场

我们现在用的叫做Lorentz规范

他就要满足这个Lorentz条件

这个条件就是vector potential的divergence加上1/c乘scalar poential的

时间导数

这�加起来得0

这个就叫做Lorentz条件

因为我们知道你用这个full potential

来描述电场和磁场

这是个多对一的关系

很多个选择

我们现在选了Lorentz规范它是满足Lorentz条件的

在这个Lorentz条件底下我们知道

vector potential和scalar potential分别满足这两个

运动方程

这个是一般的情况

比如有介质

空间里面有电流有电荷

他就满足这样的方程

而在真空里面的电磁场

当然就没有这个charge density \rho

也就没有current density j

这个时候他满足的是这两个齐次的方程

右边都是0了

这个时候的电磁场就叫辐射场

所以我们提到辐射场

就意味着真空里面的电磁场

charge density和current density都是0

在这个条件底下

我们就可以做一个很有用的一个简化

就是我描述电磁场

我只用vector potential就够了

我可以根本不用scalar potential

当然这个只有辐射场的情况才能存在

为什么呢

你看我现在我做一个规范变换

把A变成A + gradient \chi，\chi是一个任意的函数

但是它的导数行为是很好的

那么A做这个变换

\phi呢当然就做\phi + one over c \chi dot对吧

A这么变，\phi就这么变

好

刚才说过，\chi我是可以选的

我现在选择了满足这个条件

就是c分之一\chi dot

正好等于我原来的负的scalar potential

你这样一来你看

这两项的和不就得0了嘛

就是你做一个gauge transformation以后

你就把scalar potential给干掉了，没了

就只有vector potential

好

所以现在我们在描述辐射场就很简单了

我们刚才就把这个scalar potential

术语叫做gauged away

我就把它做一个规范变换把它给变没了

所以这个时候vector potential A和scalar potential A

你根据这个变换你就可以看得出来

本来这是左边的

刚才A满足的方程

你现在把它A多出一个gradient \phi来，那这边就是gradient \phi，然后这个A second dot当然就出现一个second dot

那就得到了这个东西应该得0

我现在要求

我刚才的\chi是随便选的

我要求\chi满足这个条件

也就是我的括弧里面的量要得0

我就得到我的A满足的这个方程

那当然你本来右边是4\pi j，你没有j

它就应该满足这个方程

我现在做了规范变换

他仍然满足这个方程

那是当然

你电磁场的运动方程当然是满足规范变换的

对吧

但是这个时候

我原来的Lorentz condition有两项

一项是divergence A

还有一项是one over c \chi dot 现在你把\chi给gauge away了

所以剩下的Lorentz condition现在就变成divergence A是0了

好 我们继续讨论

现在我们来描述真空里面的电磁场就是辐射场

就用这样两个式子就够了

一个是运动方程

还有一个是规范条件

那有了A B和E怎么办呢

B是按照通常的就是curl A

E本来是两项

现在\chi的那个没有了

只剩下一个- one over c partial A partial t了

这就是B和E如何从A里面得到

好 下边我们在研究电子的运动的时候

由它这个波函数

电磁场的波函数怎么写呢

我们现在在真空里面

就把这个mode function电磁场的模的函数就写成这样

这有两部分

一部分是随时间的变化

周期性的变化

这一项

e - i \omega k t

另外呢 你这个vector potential A

A呢它是一个矢量

所以我还要用一个矢量的函数

u sub k of r

当然它是可以随r来变化的

这个就相当于光子的波函数

我们又管它叫做mode function 模式的函数

这个k确定了就确定了我们的模式

模式是由这个电磁场它传播的

wave vector来表示

那你把这个mode function代到刚才

那个达朗贝尔function里面

A满足的那个达朗贝尔function里面去

那你这个随时间的你要求两次导数

所以就出来一个

负的\omega k square，\omega k square在这儿原来是负号

这里变正了

所以你就知道

你这个mode function里面的u k

应该满足这个式子

而且原来divergence of A是0

现在变成divergence of u应该是0

这个就是mode function

因为后面这个exponential是已知的了

前面这个vector它要满足的方程

就是继承了原来A满足的方程

通常在真空里边来研究的话

我们的体系就让它限制在一个方盒子里面

方盒子的长度是L

所以是L×L×L这样一个方盒子

这个时候的模式函数你就可以把它写成

规一化了以后

下面这个地方是个长度的二分之三次方

当然这个也就是

体积V的二分之一次方

你将来做它的乘积积分的时候

这个是规一化因子

这个时候我们先看下面这个条件

divergence of u k应该是0

divergence一个vector那当然就出现了一个k vector

k vector正好是divergence u 那就是k dot后面的结果

这个对k来求

你看我们刚才的模式函数在这里

你要想满足这个达朗贝尔方程它随空间的变化

u k随空间的变化必须是e的i k dot r是吧

这样的话

你对这个u

前面求它的达朗贝尔的时候

这时候它就下来一个负的k的平方 对吧

然后呢这个负的k平方加上这个东西

加上\oemga k square over c square

它必须得0

所以那个时候你就得到了这个条件

k的平方就要等于\oemga k square over c square

这个就是你要求它的divergence是0

你就会得到

一个得到k和\oemga的关系

还有一个刚才说我求它的divergence的话

对于这样一个函数求divergence

当然 求divergence就是对r来做运算了

而这个exponential的divergence正好就是ik写在前面

还乘上这个东西

divergence就是k要dot你原来这个vector ek

好

所以我要要求u的divergence是0

那你就得到e就是前面的这个矢量dot k

然后后面还有个exponential得0

exponential不会得0你就把它拿掉就完了

所以剩下的

原来那个divergence的条件

现在就变成了电磁场的这个k wave vector

必须要垂直于

你前面的代表A的方向的这个vector

那我们知道

你给定了一个电磁波传播的方向k

和它垂直的有一个单位的矢量

这个单位矢量当然有两个可能性对吧

如果我的k是沿着z轴进行的

那么我前面的单位矢量

就只能沿着x或者y的方向

那我们当然知道

这个e上面写个\lambda

这个正好就是极化或者偏振的矢量

代表偏振

\lambda=1和2刚才说过它有两种可能

k沿着z轴它就是x轴和y轴两种极化矢量

这是两种不同的偏振

好 这个我们就

得到了满足达朗贝尔方程的这个模式函数

这个模式函数就是我们写在这里

这个正好就是满足达朗贝尔方程的

同时呢e要和k垂直

而且k和\omega的关系就用这个式子表达出来

这个就是它的色散关系

能量和动量之间的关系

这是色散关系

我们现在把这个模式函数

等于把光子的波函数的性质就研究完了

它就应该是这样一个性质

那我们知道现在

我们把体系关在一个方盒子里面

当然这时候

这对波函数要让它满足一个边界条件

这个边界条件

就正好限定了我这个wave vector k的值

那么kx ky和kz

都应该是2\pi被L除的一个整数倍

kx这个整数倍就是nx

ky的整数倍是ny

kz的整数倍就是nz

所以这三个都可以是0 ±1 ±2等等

这个就是由于你的方盒子的边界条件

给予这个k的限制

所以研究到这里

我们先把波函数写出来

因为它的方程就是原来的达朗贝尔方程

这个就是达朗贝尔方程的解

满足一个Lorentz gauge condition

好

波函数研究完了

最后

原来已经说过

波函数是正交的 归一的

所以u* k dot u k积分就是\delta k k'

好

下面我们就来把它量子化

我们知道量子化的时候

现在我们就只有一个A了

你把A来量子化的时候

你要把他先用一个正交归一完备集展开

那我们刚才研究过

就是这个光子的模式函数

所以你看把A展开的时候

这个就是那个模式函数

u e - i \oemga t

还有就是它的复共轭所以就是u* e - i \oemga t

展开的系数就是消灭和产生算符

a k和a k \dagger

a k就代表消灭一个k模式的光子的算符

a k \dagger就是产生一个k模式的光子的算符

前面我写了这么一个常数

那大家就要问了

你怎么写这么一个常数

下面给你回答

这个a和a \dagger是玻色算符

因为它们是描述光子的

所以它们满足下面这样的commutation relations

就是a k a k \dagger这个是\delta k k'

其他的两个是0

现在我就来回答为什么我这儿写这个常数

有了A你就可以有了E

因为E是什么呢

按照原来给的关系

E就是- one over c partial A partial t对吧

有了这个关系

那我们就可以把刚才的A的展开式对t做偏导

前面乘一个负的c分之一

那你就写出这个E来

如果刚才的这个系数是这样

当然现在把c就消掉了

这就是得出来E的展开的式子

有了E我就知道

我们辐射场它的能量密度就知道了

为什么

这是电动力学的结果

E square + B square 积分 前面 eight \pi

这个就是我们辐射场的能量密度

我现在就回答为什么我这儿要写这样的常数

如果你用了这样的长度

你来算这个能量密度的话

你就正好得到右边的这个关系

这个关系是什么

这个关系是a k \dagger a k

代表k模的光子数

那么k模的光子它的能量是多少

hbar \omega k

所以这个光子数乘上每一个光子的能量

就是它所有场里面光子的能量的和

但是后面有一个zero point energy 有个二分之一

那儿来的呀

大家看

你要算E square和B square

我们知道

辐射场你自己验证一下就知道

它的B square和它的E square是一样的

所以呢运算的时候你只算一个E square就够了

这个E square你算的话

就是等于两个方括弧相乘

方括弧相乘有一个a k

后面有一个a k \dagger

还有一项是a k \dagger a k

你把这两项用刚才的对易关系来变一变

a k \dagger a k就等于-1

前面有个负号

所以就出来个正1

这个时候前面这个a k \dagger a k就变了两倍了

因为你一个是a k a k \dagger 一个是a k \dagger a k

我把这个a k a k \dagger转一个个就是两倍的a k \dagger a k

前面这个对易关系给了你一个1

你把2提出去

正好跟前面的系数消掉

所以剩来一个zero point energy

所以这个关系回答了两个问题

一个问题就是为什么我这个地方写这样的系数

你写了这个系数

你才有这样的关系

第二给非常重要的东西

这个就是zero point energy

可以告诉大家

早期的量子场论的书

量子电动力学的书

都说这个里边zero point energy是个常数

你算起来不要它

你把它扔了吧

不对

不能扔

前一次跟大家说过

理论物理里边有一个说法

凡是不被禁戒的他都是可以存在的

这个就是不能被禁戒的

下边我们会看到它的重要性在哪里

好 下边就来解决

腔量子电动力学的基本的东西了

你把一个原子放在腔里边

那你就要知道

电磁场和原子里边的电子是怎么相互作用的

这个相互作用一写就写出来了

辐射电子的是我们最早写出来的

这就是电子的Hamiltonian 前面一个\psi \dagger后面一个\psi

就是这个

辐射场的就是E平方和B平方

B平方是前面的是curl A

E平方是后面的- one over c A dot

然后你平方就得到这一项

这是辐射场

相互作用的在哪儿

本来的电子的Hamiltonian 你把这个p做一个over substitution

把A就弄进来了

eV是本来就有的

所以你就得到了相互作用的Hamiltonian

相互作用的Hamiltonian我们把前面的这一项展开

展开一项是p square

那你就得到原来的动能了H 0

还有一个是交叉项

我们写在这里

- e over m c对吧

因为两倍把这个2消掉了 A dot p

本来一个是p dot A 一个是A dot p

你干嘛写成两倍的A dot p

没关系

p dot A就等于A dot p +

把这个p作用在A上

还有这一项

而p dot A呢

就等于是有一个gradient dot A, gradient dot A就是divergence A

我们现在Lorentz gauge condition就变成了divergence A等于0

所以说这两个

一个p dot A，一个A dot p

最后就合成了两倍A dot p 那个divergence项没有了

那你说还有个A平方

一般我就不写了

因为我们研究的都是原子域前放一个光子

那你说放两个怎么办

放两个的时候拿回来就完了

好

所以现在相互作用就写完了

写完了以后

下边我们就具体的把这个相互作用的这项

也给它展开

展开呢长话短说了

像后边这个就都不说了

这个是exponential那个部分

前面是a k

又是x的函数又是t的函数

所以结果它就是

原来已经说过

随时间演化给过那个式子

我们现在好

回去再看一看吧

我们翻回去看

这个模式函数随时间

有这样一个随时间的因子

我们后来着重研究的是它r的性质

所以有一个这个u k of r

随时间演化的因子在这里

所以现在我们把整个的模式函数

都把它代进来的话

那大家看

这个地方就是a k和a k \dagger随时间演化的因子

那么你那个u呢

就都包含在这个g这个factor里了

g这个factor除了前面的数值因子以外

他有这个u k

有这个mode function对吧

有u k

有u k在这儿

然后你写二次量子化的表达式的时候

前面有个\psi \dagger后面有个\psi

所以把它的波函数的部分拿来

这就是\psi* \psi

这些统统的我们把它缩写在这个g里面

其他的mode function的东西都把它写出来

原来光子的算符是a k和a k \dagger

电子的算符是c j和c j \dagger

都写齐了

相互作用的式子

展开式

就写在这里了

下面有一个重要的概念

叫做rotating wave approximation

我们现在看

刚才的相互作用的展开式

这两项分别的起什么作用

第一项你看是a k

然后是c i \dagger c j

就代表我

相互作用的结果就消灭了一个光子

k模的光子消灭了干嘛了

它就让电子

从j状态跑到i状态去了

你看这里

消灭j状态的一个电子

产生了一个i状态的电子

所以这个第一项就代表电子消灭了

然后原子有这样的一个跃迁

后面这项是产生了一个光子

本来我这个腔里边没有光子

我现在这个原子有一个跃迁

从j到i

我产生了一个光子

当然刚才我没说

究竟是j能量大还是i能量大

当然你从物理上来讲

肯定的是消灭一个光子

那准是把原子激发了

所以j一定在下面

i一定在上面

后面那项呢

光子产生了

就是我原子本来在激发态上

它放出一个光子

跑到激态上去了

所以那个时候这个i是要比j来得高的

好

由于这个

下面我们就得到一个很重要的概念

叫做旋转波近似 rotating wave approximation

你从量子场论的展开式里面

并不能说i一定比j高 对吧

我们刚才这个你看

消灭了一个光子的话

原子就激发了

j就低

i就高

那你产生了一个k模的光子的话

j就比i来得高

这是你物理上根据能量不变来推断

量子场论没有这个结论

而且实际一般情况下也没这个结论

那是为什么

那是因为你看后面这个因子

这有个e i dot E j

这儿你看有个负的\oemga k

这儿有个正的\oemga k

好 我们来现在看

我们只看光子消灭的情况

这是个负的\oemga k

代进去

它就和这个E j是同号的了

就是E j + \oemga k要等于E i

什么意思

就是E i来得高 E j来得低

你现在消灭了一个k模的光子来干嘛了

它把这个E j的原子里边的电子能量

给提升到E i去了

所以一般情况

满足能量守恒的那个时候

第一项是主要的

第二项就不对了

你把这个i\oemga k拿进去

它和E i站到一边了

你明明是后面那个应该是j在上i在下

那你E j又加了一个\oemga那它更不能等于E i了

所以 对 这个并没有错 都是对的

不要提能量守恒 对吧

如果你要要求能量守恒

那第一项弄进去以后

能量守恒使得你这个exponential上面得0了

这个随时间变化的因子就没有了

所以说这项是代表原子激发的

这项是代表原子退激的

这时候它能量守恒就满足了

你算起来就得到很好的结果

量子场论并没告诉你i高还是j高 对不对

我现在把第一项

用第一项

后面当然还有这个因子

刚才说过他是c j加上\oemga才等于c i

这是一个消灭光子原子激发的过程

你是从物理上来这么说的

量子场论没有告诉你究竟是谁高谁低

你现在如果我把后面的这个\oemga k

你要是要求它来代表j在下i在上的话

最后

这个地方就剩下了一个很大的括弧里边的项

因为什么

因为\oemga这时候帮着E i了

所以你剩一个很大很大的

这样一个圆括弧的因子

这时候就代表一个振荡得非常快的一个

和时间有关的因子

那这样一个东西

很短的时间

这个振荡就把你前面的物理的因子都给消掉了

因此说

你要是让c i大于c j

那你只能用第一项

不能用第二项

要是c i小于c j

你只能用第二项

不能用第一项

这种近似就叫做rotating wave approximation

它是代表能量守恒的

大家要问了

能量守恒是物理要求

你干嘛不把没关系那项干脆用的时候就不用

因为在量子光学里面

有的时候你要用失谐

也就是你能量守恒的关系

并不准确的能够实现

他有失谐的话

这个exponential就不那么大了

所以那个时候它就不能够扔掉

也就是说你离共振很近

让能量守恒近似的能够完成的话

那时候你就用的

光子消灭你用第一项

光子产生你用第二项

这个时候这个叫rotating wave approximation

在失谐的时候是不能用的

好

前面的导引的这个还有一个重要的概念

叫做dipole approximation

这个非常简单

我们知道我用这个腔量子电动力学

光是可见或者是紫外或者是红外

离可见都不太远

这个时候光的波长是比较长的

有多长呢

它是若干个千angstrom 几千个angstrom

而原子的大小是一个angstrom

比如说氢原子一个angstrom

这时候波长比它大得多

所以你让原子来感受电磁波的话

它只能够感受这个电磁波

比如你画一个波长

它只在其中的一个点

所以这个时候

你本来前面的电磁场和电子相互作用展开

有个e的ikr

这个r就代表电子的位置

现在你的光的波长那么长

你的原子只能看见它的

整个的波长里面的很短的一个部分

所以这个时候

你的电子在你原子里面的哪个部位就没关系了

它在原子中间和在原子的边缘差多少

差一个angstrom

而你光的波长是几千个angstrom

所以就干脆

你就把这个地方的r

就改成原子的质量中心的位置那个R

而我们研究原子在腔里面的性质

这个原子不是在腔里面乱跑的了

所以说这个时候我干脆把原子的质量中心

设在原点

而这个时候R就等于0了

所以我原来模函数

后面的e的ik dot r就不要了

你看 就是这么简单了

所以说最后我们这个相互作用

就写得很简单了

那个时候我来算相互作用的矩阵元就很好算了

怎么算呢

现在我们回去看一下那个相互作用

你看在这里

这个相互作用就用这个g来代表

所谓的相互作用

就是我的光场或者电磁场

和原子跃迁之间的耦合

就代表它 就是这个g k

你看这个地方不是原子跃迁吗

这个地方是吸收光子或者放射光子

所以他代表的是这个耦合

其中的重要的核心那个就是这个积分

u k dot p \psi

所以这个时候你再来看

你要算的就是它

而这个东西呢

你的动量是m乘上r dot

而r dot它的量子力学运动方程

就是H 0和r的commutator

当然差一个i over \hbar

我把它写在这儿就是了

P是mv 所以这有个m

这就是那个v其实

而写成这个有什么好处

我立刻把p就算出来

因为实际上你的原子里面电子的状态

它是动能的本征函数

当然你p作用上去也一样

你把这个H 0写出来

往后作用有个E j

往前作用有个E i

所以就算出来就是这个东西

因此那个g k算出来就很简单

就是现在右面的这样一个式子了

而这个里面的d ij就是这个缩写

这个缩写是什么

你看

原子的电子它的始态j 末态i

中间的算符er

r是什么呢

就是电子在原子里边的位置

它的位置坐标

e乘上r就是dipole moment 所以这是dipole mement的matrix element j到i

所以这个d ij就是dipole mement matrix element

大家要注意

你学量子力学就知道

一个恒定态的原子里面的电子

它的电偶极矩的平均值是0

为什么

你看

如果你这个地方两个都是i

\psi* i \psi i这是probability density

你空间转轴的话它不变的

这个r你空间一转轴它要变号

所以你这个积分在空间转轴是变号的

而原子里边的电子

它的量子力学的性质是它有确定的宇称

也就是说它具有确定的宇称的话

\psi是在空间反演的时候是不变的

r是变号的

那他这个d ii肯定是0

但是dipole mement operator是可以有矩阵元的

所以d ij并不是0

如果我们在真空里面

你要发生原子和腔的相互作用

那你必须是你的光场的\oemga

和原子跃迁的\oemga是相等的

这个时候就是完全resonance

所以你就可以用rotating wave approximation

这个时候很简单的

g ij k它们耦合

最后就得到了这个结果

我们下面所有的讨论都

从这个结果出发

现在我们休息一会儿