S7.1 Spin wave theory in Heisenberg model(2)在线视频

我们这个是从量子力学里

来的结果

我的Sz我拿S+一作用就等于这个

那么拿S-一作用就等于这个

我现在把自旋的Sz状态

用Fock 态来表示

一般情况那我是Sz

那我也就相当于我的激发是n

但是如果我把Sz加减1

那相当于什么呢

Sz增加了

就代表激发减少了

所以Sz+-1

就相当于n+-1

而且原来我们说过

n代表什么激发程度

就是Sz偏离S的程度

所以n等于S-S1

好 下面来做翻译

刚才这一行就是翻译的公式

怎么把原来的这个

用Sz表示的状态

翻成Fock态

那就在这里

S是常数不用换

Sz你就把它换成S-n就完了

所以这直接翻译

翻译出来了就是这样两个式子

但是这个不完全满意

就是说我想办法我得把S+和S-

用这个a和a^\dag表示

关系上一页给出来

我们做量子化的时候

本来海森堡模式是用S算符

可是你要把这个铁磁自旋波

给它量子化

你要用的这个算符是a和a^\dag

a是消灭激发的算符

a^\dag是产生激发的算符

那激发的程度是用这个n来表示

前页就有

nj等于aj^\dag aj

那么好 我们现在这个翻译

怎么翻译呢

就是这个是表示

一般的一个状况

我们要现在要改变了

原来是Sz

它这个状态

也就代表n这个激发程度

Sn+-1就相当于n-+1

就是刚才那个图大家看出来

你要想增加激发的话

你就得把这Sz往下拉

所以你这个减等于激发增加

然后这n是激发程度

它就是S-Sz

就是我的Sz的值偏离我最大的

这个基态的这个S值激发程度

你离基态的越远

那你的激发程度越高

所以像下面

我们用这个转换的工具

就可以把经常

我们在量子力学里碰到的

S+和S-

作用在n上的这样的两个公式

当然另外还有个Sz作用

这是本征态这个好办

怎么样把它翻译过来

那就是利用

我们在二次量子化的时候

引入的a作用在n上

a^\dag作用在n上

利用这两个就可以

把这两个给翻译过来

这个地方好办

因为我\sqrt{n}乘上这个

你一变就把它变成a乘n了

没问题

但是这个地方这个n

它是a^\dag a

它在根号底下

在根号底下的这个operator

那你很难作用

所以下面就在量子化的时候

经常要采取的就是你在把S+S-

换成a和a^\dag的时候

要用的一个变换叫做

Holstein-Primkoff transformation

这个变换

还从原来的那个地方开始

刚才翻译的时候S+后面有个a

我们这个好翻译

刚才说前面这个地方有个n

是a^\dag a

我这一翻译我本来前面有个+1

我们现在再返回去看一下

你看这个地方有个+1

后面好办刚才说这就是an

这个地方n换成a^\dag a了

为什么

这个1没了

怎么随随便便就把个1弄没了呢

这个是很严格的做

在这 这一步没有做任何近似

为什么

你想我这个算符S+

是作用做一个状态n上的

好 在S+

如果作用在状态n上

那个n就是a^\dag a

现在你这个地方后边有一个a

它干吗的

它是消灭激发程度的

所以本来那一个n那个状态

它一作用上去

你把那个激发变成n-1了

所以你前面这个地方

你换成a^\dag a的时候

a^\dag a就不再是n了

而是n-1了

所以那个地方

把那个n就吸收进去了

所以在这你看这有个nb

就是说这个地方

这个a^\dag a在这

后边如果有个a的话

它实际上是相当于根号下面

2s-a+1

所以这点大家要特别注意

那个1哪去了

1没了

就是因为这个关系

好 就是我们翻译

第一个式子的时候

费了点劲儿

那么翻译第二个式子要好办了

为什么

S-和S+是什么关系

S-就是S+^\dag

好了 我把它来^\dag一下就完了

两个算符的乘积

取它的Hermitian conjuagte

所以a^\dag在前面

后面这个就写到后面去了

后面这个

这个本身是Hermitian

所以不用变就完了

Sz这个这就是本来是S-n

那个n就是a^\dag a就完了

这样的话就是翻译完了

翻译完毕以后

我们要做的是什么工作呢

就是傅里叶变换

我要把原来site上面

我在某一个site上面

来消灭激发或者产生激发

那是什么呢

aj^\dag就在j site上产生激发

ak^\dag就是

在产生一个k模式激发

所以你要从site变到mode

那当然这是一个傅里叶变换的关系

这是a^\dag

那这是相当于是ak^\dag

这都是增加激发的

消灭激发的是aj

这是ak

然后你有了site上面的commutation relation

你就有mode的commutation relation

傅里叶变换不会改变你commutation relation

但是下面往下做就要用近似了

为什么要用近似

因为你这个在根号底下出现算符

你这个运算起来

把它作用在本征态上好办

你作用在一般的一个状态上

它不是本征态

你就不好办了

所以得把它在这个n小的时候

S很大

你现在n很小

比如是这个激发数是1

那你当然就可以把它后面

这个作为一个小的数来展开

你展开以后那所以说S+-

它要expand in term of a^\dag a

这个当然是在后面这个

是低激发的时候可以展开

这一展开以后

你就发现S^\dag里头有什么呢

你看如果我这展开

是前面的常数项

那当然是这有a

你看写作ak

如果你取它的线性项

就出来一个a^\dag_k'

a_k'

这是因为要跟后面的ak区别

所以它有这样的项

有这样的项

这是刚才说的S+

S-它这是a^\dag

所以这有个a^\dag

后面那展开一项那有个

a^\dag_k' a_k'

所以有这个也有这个

下面就是机械地往里代

我这里就不仔细做了

这个可以参考Madelung

就是固体理论那本书

他有稍微仔细的推导

这个其实就是普通的代数

所以我现在这样做了以后

我就得到这样一个Hamiltonian

它是用a和a^\dag表示

这个是常数项

就是基态

大家看这一项

看它的物理意义

ak^\dag ak就代表第k个模式的

这个激发的数目

激发了多少个这个k模的自旋波

有了这个激发数

这个显然就是k模式能量

对不对

这个东西我们一点也不眼生

因为刚才得过

我们现在回去看一看

k模式的能量是多少

在这里

这就是k模式的本征值

那它就是在基态的基础上

这个就是k模式的激发能

对不对

我们现在在量子化以后

正好你看就得到了这个激发能

量子化以后这个代表

我k模式一共有多少个

每一个有这么多的激发能

这个原来已经得过

这个不新鲜

新鲜的在这里

这个是你量子化以后

得到的新的结果

原来我有两个模式

一个k一个k'

或者说有两个准粒子

它一相互作用以后

各自都会有跃迁

你看k这个状态变成k-\kappa

k'这个状态变成k'+\kappa

所以这就代表我有两个量子

就是两个磁化子

它可以有相互作用

它可以散射

就多出了这么一项

这个就是量子化的好处

那么这一段就看我们知道了

这个自旋波的量子

是怎么量子化的

这个就是刚才那个第二项

我说的有一个k模式

有一个k'模式

两个准粒子它可以有碰撞

碰撞的结果k减了一个\kappa

哪去了

跑到k'那去了

在这加了\kappa

所以这就是量子化的好处

铁磁的讨论就暂且到这告一段落

下面是反铁磁

反铁磁在Heisenberg Hamiltonian里面

J是小于0的

所以前面是正数

因此Si.Sj越小越好

因为你有了有限值

你就要对能量提贡献了

所以说这个法国的

研究磁的物理学家

Neel他就想

状态一定是这样的是基态

用一维来说的话

那么我就可以分成两个子格子

红子格子自旋就是冲上

蓝子格子自旋都是冲下

所以说每一个格点

它的邻居的自旋都和它相反

所以你算这个Si.Sj

或者是Si.Si+δ的时候

你都会得-1

你前面是个正数

所以后面你的所有的最近邻的

这个它都是-1

所以这是反铁磁

所以我们本来想

你既然是反铁磁

那你相互作用相给它-1就完了

下面看没那么简单

就实际上我们首先

得回答一个问题

这样的状态

这我只是一维了

三维也一样

你一个格点它的所有的近邻

的自旋都

和这个格点上的自旋相反

这个就叫这个Neel state

那我就问了这个Neel state

它是不是我这Heisenberg Hamiltonian本征态呢

其实你就会发现它不是

首先你先问它是不是基态

你就当然你就要算了

你就要算拿那个Hamiltonian

作用在它上面

如果等于某一个数还乘它

而这个数又是最小的

那就最好了

你一看就不是

因为现在在红格子上

指标用i来代表

蓝格子我用j来代表

你红格子上是S

蓝格子上自然是-S

好 我现在用Heisenberg Hamiltonian作用上去

Sz的那一项没问题

但是到了S+S-你作用上去看的话

S+是让S增加

我本来我已经到了最大了

你还让它增加

这个我们知道它就得0了

所以这给出0来了

如果你拿S-S+作用在这个上头

那它倒不得0

你让i的这个S值-1

S-1

j的上面+1

所以是-S+1

也不等于原来的

所以你的这个Neel state

根本就不是Heisenberg Hamiltonian的本征态

但是我们下面还拿它作为基准

这个问题怎么解决

我要找Heisenberg Hamiltonian的本征态

你在这个量子的力学的水平上

你找不出来

你还得把它量子化一下

好 那么现在量子化怎么做呢

我还是用Neel state作为基准

所谓的|00000>就是红格子上

我都是+S

蓝格子上我都是-S

这样的状态我就叫它|00000>

那么普遍的状态

还是Fock state |n1n2>等等

这个时候这个激发怎么激发

红格子蓝格子就不一样了

红格子基态在这

Neel所有的粒子它的自旋都是+S

那你要想让它激发

你第i个粒子上你要让它激发

你就必须让它自旋小下来

所以在这个i site

上面的激发的程度

就是我原来的S-Siz

这个激发才大于等于0

就是你得红格子

你得让自旋小才激发

而蓝格子本来都在这

基态的这Neel态的时候不是基态

Neel态的时候它都在这

你要让它能量大怎么办

让它Sz增加

所以nj等于什么呢

就等于你现在Sjz减去原来的

原来是-S

所以结果变成是S+Sjz

当然这个也是大于等于0

所有的这个激发ninj

不管哪个格子都是大于0的

但是这个时候你就要看出来

这俩格子和S的对应它就不一样了

你看红格子

S+是让自旋增加

你在一个一般的状态上

你让它自旋增加

它岂不是激发就减少了吗

所以S+就相当于a

S+ i就相当于ai

反过来你让自旋减少

自旋减少它激发就增加了

所以Si-就相当于ai^\dag

那么正好到了蓝格子上

它反过来了

所以Sj+就相当于b^\dag_j

这不是bj

红格子S+相当于a

那蓝格子S+就相当于b^\dag

两个格子不一样

我当然要用不同的

二次量子化的算符

红格子用a

蓝格子用b

所以说S+S-

如果是S+下边是i

红格子那你就用a

在这

j是蓝格子

S-在这

所以相当于bj

S+ S-就变成ajbja了

那么S-S+就相当于

a^\dag b^\dag了

它两个格子不一样

就有这样的麻烦

所以我们要引进

Holstein-Primkoff变换的时候

干脆我就省事点吧

因为麻烦

还在对付两个格子不一样

所以我那个根号里面

那个a^\dag a

那个小项

小量我就不要了

我就要那个前面那个1了

后面那个a^\dag a就不要了

那就简单了

那刚才说过Si+相当于ai等等

别的都是照样

一般的情况红格子和蓝格子

定义是不一样的

刚才都有过了

红格子用a和a^\dag

蓝格子用b和b^\dag

那么我从site到mode

就是我从格点到模式

这个就要做傅里叶变换

那a我傅里叶变换的叫c

b傅里叶变换我叫d

因此现在翻译的语言就是

我怎么从红格子和S蓝格子

变到c和d呢

那就是就这个翻译就在这里

就是翻译的这个公式在这里

有了S+那么就S-我就不写了

Sz因为它是本征态

所以这个还写成这种样子了

好 下面我就把简单的Holstein-Primkoff变换

这个当然有了近似了

那么代进去以后就得到这个结果

这个原来是跟根据Madelung那个书

我那个书上也有这个仔细这结果

具体的代数也不做了

在这现在这个n

和原来的这个n不大一样

原来那个n是我整个的晶体里

有多少个格点

我那个n就代表那个东西

现在这个n我是代表

我子格子的总的粒子数

所以你看这和原来比不一样的

这就出来个2

原来那个铁磁体没有那个2

这个2有这个差别

好 后面刚才说两个格子它不一样

你看麻烦就看出来

它除了这个对角项以外

这个代表什么

代表红格子的激发c^\dag c

d^\dag d代表蓝格子的激发

我除了这个以外

前面出来c和d的乘积

c^\dag和d^\dag的乘积

那就是因为你两个格子

你的处理不同

那碰到这种情况

那我要量子化我得让它对角

你这个出来非对角的怎么办呢

其实咱们碰过

在超导的时候我们见过

博戈柳博夫变换

所以现在照方抓药

还是用博戈柳博夫变换

这个时候我就从c和d

在红格子和蓝格子上的

激发的消灭和产生算符

我就得把这俩混起来了

因为博戈柳博夫变换

就得把两种不同的

元激发给它混起来

所以现在

你就得把c和d^\dag混起来

c和d^\dag

为什么c和d^\dag混起来

不是c和d混起来

因为它的来源c干吗用的

它是消灭红格子上的激发

那就是要增加自旋

它是S+

d是蓝格子

它这个要减少激发的话

它必须是增加自旋

所以是d^\dag

c和d^\dag和混合就代表

原来两个格子的

处理的办法是不同

所以我现在从c和d^\dag

我可以根据博戈柳博夫变换

就引入了一个αk和一个βk

就相当于这两个的组合

那么你两个算符做正交变换

当然一个x轴一个y轴不一样

所以你有一个α一个β

那么αβ的Hermitian conjugate

那就是在后面这个地方写出来

原来是c d^\dag

现在是d c^\dag了

那么前面就有个u和v是实数

这个地方

要请大家特别注意的那里

本来在超导的时候做博戈柳博夫变换

我们遇到的是什么

遇到的是u^2+v^2=1

而现在你看这个地方是-

为什么

因为原来我们处理的是电子

是费米子

现在这个磁化子它是玻色子

它两个全同的k模它就全同了

它没有自旋来区别它了

所以这个时候你这个u和v的关系

它这个地方是个-

如果你要用+

你从原来的这个c和d的这个commutation relation

变到α和β

你就变不出来了

现在磁化的时候是玻色子

所以我们用的是commucator

而不是像超导的时候

我们用的是anti-commucator

所以你只有u方减v方等于1

你才能保证c和d的commucator

变成α和β的commucator

这就写在这里

好 这个准备工作有了

那下面我们代进去

就可以得出用αβ表示的这个Hamiltonian

下面我们要介绍一个办法

确定u和v怎么确定呢

有各种办法

下边我们要介绍的这个办法

叫做这个Equation of motion method

Equation of motion method

就是叫做运动方程法

什么意思呢

好 我现在把c和d换成αβ了

我的目标是什么呢

我的目标

是我的Hamiltonian将来要对角化了

原来不是除了c和d^\dag d以外

多出来c^\dagd^\dag和cd嘛

现在我做了博戈柳博夫变换

我将来只有αk^\dagαk

βk^\dagβk

没有那个俩α俩β乘积都没有了

那么这个代表什么呢

就代表αk模式的激发数

这个代表βk模式的激发数

α和β的区别

那就是在你转轴的时候

一个x轴一个y轴就是了

它当然是相当的

所以它们是两种不同的模式

因为它是和d和c^\dag的

是有不同的关系的

所以这是不同的模式

但是它在这个能量是一样的

我将来要得出这个γk来

然后我从要求我的

Hamiltonian是这种样子

我就确定为u和v

当然也最后就确定了γk

什么叫Equation of motion

就是我这个要求是这样

那好了既然我的Hamiltonian是这样

我就来做它和αk和βk这个commucator

你看我把αk^\dag

和我这个新的H做commucator

代表什么

这个就是αk^\dag的运动方程

它就是αk.

这就是αk.

那么你要做这commucator

因为这个很简单你就会得出来

它就是负的γkαk^\dag

你用αk和H做commucator

这个是就代表什么

就是αk.

这是αk的应用方程

就得这个结果

好了 有了这些我下面再加真正

把一套东西代进去以前

我做两个缩写

一个叫ω0

它的定义就是2Jνs

一个叫做ω1

它的定义就是2jνsγk

注意我现在做的是反铁磁

所以j是大于0的

好 下面我们把刚才这个

本来我的这个H

是用S+S-SkSz代表的

现在我把S+S-Sz用c和d^\dag

最后又用αkβk来代表

所以我现在就把原来的Hamiltonian用

c和d代表的

好 就在这

你看这个地方我已经把H

用c和d代表了

我说不理想

因为这个地方有这个ck

和c^\dag d^\dagk

这个我知道

我用博戈柳博夫变换

把cdc^\dagd^\dag

用α和β代表

那个关系就是这个关系

我把这个关系求它的逆变换

我就知道c和d^\dag

c^\dag和d是如何用αβ代表的

我把那个逆变换

代到这个式子里面去

就会得到新的这个H和αβ的关系

这个是个简单的代入

下面就是得到了这个关系

这个就是我把那个新的H得到

得到了以后我来算它和αk^\dag

和其他的算符的关系

我用一个就够了

我就算它

因为H现在已经用αβ表示了

我来算它和αk^\dag的

这个commucator是很容易的

我得出来就是这个结果

这个是我得的结果

上面有我要求得的结果

我要求得的结果在这里

这是我要求的

我要求什么我要求我将来

要得这么一个简单的Hamiltonian

所以我要求这个

但是我实际的Hamiltonian现在

是得的是这个

它和u和v是有关系的

我现在把这个一个要求的

一个实际的

它的ck^\dag和dk的系数来比较

我就得到了这样两个关系

什么关系呢

得到的是uk和vk满足的

线性代数方程组

好 我要要求

这样的线性代数方程组

有非平凡的解

那就是除了u等于v等于0

那当然满足了没用

非平庸的解就是实际上

是我要这个行列式得0就是了

这一下就把ksquare求出来了

就是ω0出来了-ω1出来

这两个就是我们刚才

缩写的这一个ω0

这一个ω1

所以结果我一下

就把λk就求出来了

把λk求出来

同时就把u和v也就求出来

好 λk有了

u和v也有了

就可以代回刚才那个H

本来是用这个cd表示

然后我用α和β表示

现在你都把它代回去以后

得到的那个Hamiltonian

就是最后得到是这样

是经过两个变换

一个是 Holstein-Primkoff

一个是博戈柳博夫

变换了以后得了这个结果

这个结果才真正给了

你非铁磁的量子理论的一个答案

因为我们想象中的是Neel state

但是Neel state根本不是H的本征态

现在H它的最后经过了两个变换

得出来了

你看这个东西是什么呢

我现在这个地方

是αk模的激发数

这个地方是βk模的激发数

现在两个都不激发

你得到的是什么

得到的就是反铁磁体的基态

是什么

把这两个V等于0

得到的就是我这个E0

这个关系非常重要

这个就是反铁磁基态的能量

你看这两项头一项是什么

头一项就是Neel state的能量

但是Neel state不是本征态

所以真正的基态

是H的本征态的那个基态

它的能量还有加了这一项

这一项是和你的晶体结构

是有关系的

它代表什么呢

也就说它反铁磁体

它的真正的量子的基态

不是Neel态

是什么呢

我们知道量子理论

和这个场量子化

就是你这个magnon

它原来的自旋波理论

和量子化的反铁磁的

自旋波理论有什么区别

量子理论得的那个结果

是没有量子涨落的

量子涨落是0

你一量子化

就把这个量子涨落找出来

是什么意思呢

就是Neel state

里面红格子上面那些

它并不都是老老实实规规矩矩

都是冲上

蓝格子里面它不是老老实实

规规矩矩都冲下

它都会有一些量子的涨落

它都在那有量子涨落

这个量子涨落有个能量

就是我们后面的这一项

所以为什么刚才我们

这个量子理论做不下去呢

你没有量子理论

没有量子化的理论

你那个Neel state它不是本征态

你要想得到本征态

你必须得把这个量子涨落

包括进去

所以这就是我们必须得做

量子化的这个道理

你做了量子化才能得到

一个自洽的一个理论

这是Neel态

这个是在Neel态基础上

会有量子涨落

所以这个是量子场论的

反铁磁理论的激发态

而这个时候你也就得出

这个量子涨落的

这一部分的这个激发能了

就在这里

所以这个就是反铁磁体的

这个量子涨落的激发能

你和铁磁体一比

你发现就不一样

反铁磁这有个二分之一

铁磁这没有二分之一

那这带着γk不好比

我们把这γk用立方晶体

来表示出来

立方晶体你是可以算的出来的

那个αγk

对于铁磁的是这个数

对于反铁磁的是后面这个数

这个γk的定义你就在这里

这 在这当然

这固体物理的数字有了

你可以算出来

算出来以后你再看

有了激发态了

这时候

激发铁磁体是和k平方成正比

反铁磁比是和k的1次方成正比

所以说现在我们得到的是什么呢

得到了反铁磁体的

自旋波的量子化理论

就是用量子场论来描述的理论

我们得到的这个本征值很简单

量子的本征值就是它

这就是quasiparicle energy

但是你现在问它

是被包括在那个真空能量里边的

基态能量里边的

这个就是它由于没有量子涨落

那请大家回去看

基态的能量就是这么两项

这项是Neel的能量

这不算数

它不是Eigenstate

你要算eigenstate必须得加上这个

那你说好了eigenstate你有了

那你的这个vector你怎么写

只能有一个定义

eigenstate vector定义在这里

这就是这个ground state vector

它的定义是什么

它就是particle vector

什么是反铁磁体的基态

基态没有这quasiparticle

因为你看前面这个

还再看一下前面这个式子

有了quasiparticle了

就是有了这个αβ激发了

这个是激发能

而后面这个1

就算到这个基态里去了

在这

所以这个是量子涨落

因为这个是量子化的这个结果

这是量子涨落

你知道这个基态的能量

可是基态的这个vector

你只有定义

基态vector的定义就是什么

基态就是quasiparticle vector

就是没有这个αk和βk激发的

那就是这两个n

这两个n在这里都是0

αkαk^\dag

就是nαkβ^\dagβ就是nβ

所以这nαnβ都是0

这是什么

这才你就得到个vacuum

所以说vacuum的定义它就是vacuum

它的定义就在这了

这就是vacuum怎么定义

好 关于这个反铁磁的量子化理论

这就说到这了

我们再休息一下