S9.5 Quantum spin Hall effect 在线视频

下面我们就讲反常后效应的实验探测

好Haldane的文章实际上在物理上实验上怎么

实现大家都知道是几乎是没办法实现

因为要想实现他那个

Next nearest neighbor这样的

hopping的话

它要在一个里面元胞分了4个区

中间一个三角形的三边

还有三个小三角

中间的比如说如果是\phi的话

三个小三角个字是-1/3\phi

然后他总的flux是0

你再怎么做没法做

所以早就有很多的讨论

像比如说用二维的磁性的薄片

有的用半导体

半导体当然一般得必须得让他带点磁

就用掺杂的办法磁化

但是掺杂的东西你又很难管理

所以这里面有很多工艺的问题

那么比较有希望的是用拓扑绝缘体

而当时已经新发现的东西

用拓扑绝缘体 拓扑绝缘体

你这个里面你还得给它加上一些掺杂的

这个离子

让他整个的拓扑绝缘体是有一定的磁化

强度的

当然也有的就把拓扑绝缘体夹在两块铁

磁体

中间 也有那么做的

大家可以看一下这篇文章

这个文章就是薛其坤领导的组

在科学的快报上就是science杂志

Express 2013年这个文献号 这一篇文章一开始

就给了一个简单的引言

就说明过去有人想做anomalous quantum Hall用的

各种各样的方法

都有什么各种各样什么样的困难

到这个时候薛其坤组

在跟张守晟的讨论以后

就他们决定用topological insulator 用的

晶体

在这里我就不念了

挺复杂的这样的一个topological insulator

但是用Cr来做掺杂

Cr是磁性的金属原子

所以这个图就是一个实验的原理图

就是在拓扑绝缘体是怎么用拓扑绝缘体

来测量

反常霍尔效应

这些带红剑尖儿的这些就是Cr离子

这些离子的掺杂造成了拓扑绝缘体它有

一定的磁化强度

这是由这个磁化来导致的

这样的Hall效应

那么

图画的薄片

这就是一个拓扑绝缘体的薄片

两边是通电的电极

实际上他是拓扑绝缘体

是什么样的东西

我们下面要仔细一想

现在大概一说就是他的本体

他的Bulk是绝缘体

所以他才叫拓扑绝缘体

但是它允许在它边上

外面一个边里面一个边

上面可以有电流

通过在边上它会出现一系列的这个状态

多数情况底下是没有耗散 出现一些表面态

通过这些表面态电流可以通过是这样

下边是一个衬底

衬底干什么用的

你可以门电压

门电压可以从正的变到负的 可以很精细的

调节

门电压的调节实际上就是决定这个里面它

的载流子就是沿着边上载流子是电子的

或者是带正电粒子

可以调节

当然最后他们实验成功的都是负的

门电压 测量怎么测呢

它中间是绝缘的 电流只在边上

一个里边的是向左流

一个是外边向右流

我们想测量两种量

一种量是霍尔电导

就是\sigma_xy还有一个是纵向电导

是sigmaxx 0是实际上和将来它要加

一个辅助的磁场

为什么要加

下面大家一看结果就知道了

当然最后你就得回答这个问题

0磁场的时候的纵向

电导和霍尔电流各是多少

纵向电导怎么量呢

你看这个地方

这不是有画的黑线

这是\rho_xx你量电流量电压

你就可以得出\rho_xx

那么你有电流

你量这两边的电压

就得出肉XY来

这个就是实验的原理图 希望得到的实验

结果什么样子

就是这样

你在调开chemical potential 就是调下面的

门电压的时候

在一定合适的区域

霍尔

电导就是蓝颜色的

你看在这合适的区

它就出现一个霍尔电导的平台

量子化的值原来讨论过

就是e^2/h就是那是个平台

相应的纵向电导

在这儿是0

就是红线画的

这个是实验想得到的结果

他们这个实验在这儿还是用了这个标题

叫做 struggle for the holy grail

好

holy grail就是基督教文明里边的耶稣的最后的

晚餐

他用的圣餐杯

当然在西方文明里面这是个宝物

大家都要想得到圣餐杯

所以一个极困难的任务

那就叫做

struggle for the holy grail

薛其坤他们组从2008~2012年

整整5年来做这个实验

当然这个组里面有很多人

有教师

有博士后

有博士生

也还有兄弟单位物理所的合作的人员

大家看这个论文就知道作者名字就写了好

几行

那么他们得的结果是这样

先我讲插图 插图量的就是sigma_xy就是说

或者叫\rho_xy一样

它是倒数两个都是对角是0的

这样的矩阵

好

那么

量

Hall conductance

Hall conductance

Hall conductance

和温度的关系

你看温度比较高的时候

在就有下面是温度卡尔文它的Hall conductance一直是

0

一直要降到15k 这个时候就发生相

变

就成了一个反常量子Hall的一个材料

这个时候你看它的Hall sigma一直上升到

最后我们要的值为止就是量子化的值

顺便说一句

在历史上也已经有好多人刚才说过有

各种各样办法量过

但是从来没有任何一个实验组

他们的Hall 电导到最高的值 第1个达到

最高值就是薛其坤领导的组

他们实验曲线大家可以看这里

画的就是\rhoxy 单位利用的是K Ohm 到了

上面就达到了量子化的值了

你看它在温度比较高的时候

起初是随着磁场的关系是从负的到一定

程度变成正的

很难再往上走了

到了最后2012年到最后的一段时间

他们实验在成天24小时在那坐过一天

看这个曲线往上升一点

过一天看这个曲线往上升一点

一直到了最后

你看温度到了15K了

你变更磁场的时候

他从负的到正中间的还有一个磁滞回线

这样的话就才达到了最后的需要的量子化

的Hall quantized conductance的值

在这里又有另外两个图

说明调门电位还是很重要

门点位调到负的1.5伏的时候是最好的

这个时候Hall conductance量出来的也就是蓝色

的曲线

上边到达量子化的值

而且这个地方有一个平台

plateau

对吧

那么如果你的门点位是负的1.5伏的时候

它是个plateau是最宽的

相应的纵向的电阻的值相应的也是在门点位

是-1.5的时候它是最低的

这是和门电位的关系

然后还有一个辅助磁场

那么这个辅助磁场

因为他最后你观察到的

刚才大家看的它是有磁滞回线的

你不变更磁场

你看不到磁滞回线

好

所以你说你其实用的辅助磁场的值都是

很低的

你看这个地方你想得到磁滞回线

大概是0.2T就够了

这个远远不是产生量子霍尔效应需要的

那样强的10T那样的磁场

它就是让你看到这个地方会出现磁滞回线

而最后要量H=0的时候

Hall conoductance当你H从负变正的时候

就是红的曲线和温度有关系

你的温度越低

它的结果越好

最后刚才说的对电压研究是在30mk

现在如果我们这边也用30mk的

话

结果磁滞回线就非常之窄

去的时候是这个红的

变化 正负都是

到了量子hall conductance这个值

回来的时候是个蓝色的

曲线

蓝的就紧贴着红的

那么纵向电阻是相应的

基本上是0 只在变化的过程里面冒了

一个尖儿

也是去的时候是红的

回来是蓝的

所以这个实验是一个高水平的

结论非常明确的实验

就看到了反常量子霍尔效应

那么这是关于反常量子霍尔效应

下边我们要讲topological insulator了

就是拓扑绝缘体

它实际上如果是一个二维的样品的话

它同时quantum spin

效应的体现者

在要讲这个问题以前先要讲一下边缘态

刚才其实我们讲薛其坤实验的时候已经

说topological insulator

他是中间Bulk是根本不导电

它只在边缘上可以有边缘态

可以导电有edge current

这是讲到二维了

在边缘上

而且是dissipasive

为什么是dissipasive一会给大家看一个图

这是个很好的一个说明

好

所以下面我们就要来讲edge state

上面的边缘态叫做domain wall fermion

为什么叫domain wall

所谓的边缘它是在普通的绝缘体和

Topological insulator

这个边缘上面就是两边的拓扑性质是不

一样的

上面当然真空也算在内

你是任何一个绝缘体也可以

他的Chern number是0

下边的Chern number是一

它的拓扑性质是完全不一样

只有在拓扑性致不一样的物质的边缘上

才会出现这样的边缘态

所以这就是相当于一个domain wall

是吧

是一个畴在上面的

费米子就是domain wall fermion

而且这种现象它还有一个叫做bulk-boundary correspondence

这个拓扑绝缘体

你别看它中间是绝缘的

好像有他他不吃惊

不是的

它的边缘性质和它的中间这个大块里面的

性质是一一对应的

那里面的性质变化就会影响到边缘的性质

所以有一个bulkboundary的一个对应

这个就是拓扑绝缘体很突出的现象

那么刚才下面这一段就是我刚才叙述过

不同的拓扑性质的物质的边缘上会有

边缘态

这个边缘态一般它只是一个方向

它是chiral 还有你看这画的

他是从左往右流

他不能从右往左流

刚才给大家看学习实验的时候

靠我们这边的

他是往右流

离我们远的那边他是往左流的

这样的叫做chiral

他是手征的

你反过方向是不会有的

而且他是没有耗散能就是nondissipative

我们下面有一个来说

首先给大家介绍一个理论上的文章

这个是Hasan在RMP里面

讨论到

其实当年做还是Jackiw-Rebbi做的

这个首先要告诉你有两块不同性质的物质

这以y=0作为边界

比如说看下面这个图

这是横坐标是Y 左边Y是负值的

这是个量子Hall spin quantum hall材料

N等于1

右边是一个trivial insualtor 是N=0的

那中间有interface就是Y=0

现在我要证明在Y=0的上面会有边缘态

怎么证明好

就开始从一个最一般的Hamiltonian

你比如说Graphene就是这样子的

Hamiltonian

我们原来讲过的中间

如果你让有两个不同的子格子

一个A 一个B出来一个\delta

那么这个地方就是\delta\sigma_Z对吧

这个是破坏了space

inversion 也许后来

Haldane不要这个 Haldane引进的是一个破坏time reversal

T' k1 k2不一样

现在Jackiw-Rebbi m所谓的质量项 他是Y的

函数

在左边拓扑材料里边M是负的

你比如你看在这儿画红的曲线

M是负的有负的

然后到快到边界的地方

很快的就跑到正的

到了右边的普通的绝缘体里边

它是正的

就是这样一个变化的M(y) 这样的一个问题

解这个解还是很好解的

这是有sigma sigmaz

那么你把它写开sigmax sigmay在反对角上

m(y)在对角上

这个时候写出来说这个薛定谔方程

他们用这样一个ansatz

因为你现在看有变化的是Y Y从负值到

正值的时候

他M(y)会跳一下或者所以Y我是不知道的

我这有个f(y) X方面是Hamiltonian里面没有x

所以X这个地方就是一个X的一个平面

波exp(Iqx)另外它上下两个component是

一样的

他就是11这样一看

上下两个都给出这样一个微分方程来

这样的一个微分方程

只是和y有关系

就是f(y)满足的微分方程

他们给出来

下面这样一个解 X是平面波 Y他干脆就把

M(y)在这里

你给什么样的东西我就做个积分

就是如果是这样一个猛地一跳的

很陡的过来的得的

f(y)就是指在这个边缘上有一个值是比较大

的值的这样一个波包

左边往右边很快就变成0了

所以这又是一个边缘态

这样Jackiw-Rebbi他们告诉你

这个边缘它的存在

你必须两边拓扑性质不一样

具体在他就让mass term变号

比如说我们得到的这个图 这个图是另外一个文章

这是Hasan或者Kane的Review paper里面 两边是

清楚的

你看一个M是正值

一个M是负值

中间M=0

这是个边界

右边的是trivial insualtor N=0

左边是topological insulator N=1

所以得出来的解

他和X的关系

那是个平面波

当然它能量就是这样

和KX是个线性的

dispersion relation 就在零点附近

就是这样一个东西

好吧

所以说好在Y=0这个domain wall

它这个地方是画的M

M原来是负的

到这一跳是个正着

就出现了一个domain state

这个叫domian wall fermion

好

有了这个下面我们就来从Kane和Mele原始

的文献开始

他们是做的实验

发现在这以前有一些理论的文章

还是Kane和Mele比较早

大概是2002年

然后张守晟和Bernveg

他们在2003年有理论文章

下边这个理论就说是他们的提出来的理论

Kane和Mele在2005年做了实验发现

好

那么把他们的那些理论拿来

这是给Hamiltonian开始还是Haldane的

Hamiltonian

后来你要做到topological insulator

要往里面加东西

加东西加什么是这样加的

第1项是个hopping term

你还是给的原来蜂窝形的晶体结构

它的布里渊区中就是这样的一个六边形

这是一个元胞

第1项是hopping term

这是最近邻之间的不同的子格子之间的

hopping

Haldane加的是next

nearest hopping是这样

Haldane给了一个\phi 告诉你去和回来\phi的

号不一样

在这儿他们用了个\nu_ij 在这他怎么定呢

\nu_ij我从j到i的hopping

这是next nearest neighbor

它旁边有离它最近的有一个T的

nearest hopping

从他往这边拐

要是往左拐就是正的

你看如果是你要是考虑a2离它最近邻

之间的

hopping

是这个 一拐是往右拐

这个\nu就是负的

你说怎么体现

一回头他就变号

那好办

我现在这不是从这i到j而是从i到i

这个箭头反过来

那么离它最近的nearest hopping

在这上边

所以你看从他到这儿

那就是往右拐

所以就负了

这就能够实现好

那么下面原来kane和Mele还有张首晟和Bernverg

他们的工作

他们的工作是什么

在Haldane的工作的基础上

加上一个spin因为原来做quantum Hall的时候

极强的磁场

他根本所以spin是极化的

到了

Haldane就没管spin他说我这仍然是 比如说只有

一种spin

我不管他的spin

但是实际上你不管要管了有很大的好处

在这里Kane和Mele还有张首晟Bernverg他们就

把自旋放进来

就在Haldane hopping里边

\nu_ij保留

把spin放进来

也就是说实际上他们的工作 Kane Mele

张守晟他们的工作

我是two copies of Haldanem model

就把Haldane model拿来给双倍把它自旋朝上朝

下分开了

所以写出来就不是2×2的矩阵了

就变了4×4

你看上面两个元素

这是自旋朝上

所以这儿原来2×2

下面是自旋朝下的

这有个新的2×2

在这儿有个不同

就是你把spin加进来

你有个\sigma_Z在那了

对吧

你sigma_z他是+1-1

所以你spin变了以后

他把这个\nu的convention上给他倒一个个儿就

完了

所以就是说take care原来的sign

而原来的2×2的矩阵里边有\gamma和g

g是叫k dot A

这是在前面是t这就是在不同格子之间的

最近邻的hopping

它是在不同格子之间的hopping

所以他你看占据的是反对角元

而Haldane加的那是在原来同子格子里面的

hopping

所以在这儿它就是占据了对角元\gamma

原来t'现在叫\lambda

所以这是 A是在两格子

之间

毕竟是在同格子之间它这两个有区别的

好了

有了这个原来解过

现在好多问题都可以重复

但是你要是就多了一个spin

take care看你这个spin是怎么表现对吧

结果他是这样

我给一个电场有一个很小的电场

是个垂直于样品表面

这个时候就在他的两个边缘就会出现流

在同一个边缘上

它就会出现两种是spin的流

而且这两种的spin的流它的方向是相反的

我们借这个图来看

我这一个样品是他讲的是Graphene和我们讲的

下面Kane和Mele是不一样的

这个时候这是一个样品

在长方形的样品中间

一个是最左边缘

一个是右边缘

你看左边缘这儿它的自旋的流向

正自旋是从下往上的

就不许有从上往下的了

从上往下的是负自旋的

你看这个地方一个的箭矢尾部翎毛那个

地方

所以这个是负自旋

这是一个点

箭头冲着你

这就是正自旋

到了右边的边缘正好反向

正好是反向

当然有关topological insulator

他理论有很详细的描述

让你能够看到这一点

我们在这里只是把物理上的概念给大家说

一下

所以这样一来你给一定的电压

它就会引流出来

自旋的流

这是自旋流

自旋流就是在一个边缘上

比如说这是自旋往上的流和自旋往下的流

它的方向是相反的

所以实际上只有自旋流

从电流来讲

它的大小相等

方向相反

所以它几乎是消掉

所以一个电压可以使得两种自旋来流动是

吧

这两种自旋实际上是它的方向

在一个边缘上

它方向是相反的

所以实际上合成的它是一个自旋的流动

当然你要测量conductance的时候

你不能让它全抵消掉

你得考虑他不是加上一个电场加上一个

电场

它是有自旋流的

那么这个时候就是你在边缘上流动的

他只是自旋流

这个时候他的自旋流

他的Hall conductance

不是电流的Hall conductance

而是自旋流的

conductance 他是e/2\pi

是这样的一个量子化的值

所以这个就是topological insualtor

你量出来的Hall

conductance不是电荷的

Hall conductance

而是自旋流的和Hall conductance

那么从电流的方向来讲

我们刚才讲的薛其坤的实验

是说的topological insualtor

它有边缘上的电流

那就是真正的电流

是吧

我们刚才讲的那是个自旋流

所以刚才那就是说明topological insulator

它的另外那一面spin quantum insulator

他是让你看到他在spin 流是在两边可以聚集

起来而不是电荷在两边聚集起来

所以希望大家不要混

就是我们原来讲的薛其坤实验

他沿着两边流的是电流

你用一个电场引发的spin流自旋流

这个是电流 这个电流是由于磁化M所

induced

这是电流

所以这个地方画在这里的

这就是一个六角格子的这样一块样品

平面的样品

你看沿着一个边

他的正自旋往右走

负自旋往左走 黑的

我这有个箭头告诉你自旋往下

这个自选往上

这是沿着它的一个边

沿着另外一个边自旋

往上和上面相反

它从右往左走

然后自旋往下是从左往右走

所以这样一来的话

就刚才我们讲过Jackiw和Rebbi这个工作

两边的材料不一样

比如假如说一边是普通的insulator

一边就是他topological insulator

那么在topological insulator

左右两边那就会出现这样的edge state

这一次你看我们现在看正自旋 正自旋

我们看它是从左往右

就相当于这是它的边缘态

你看这个正自旋它边缘态是这样的

他和Femri surface 交点是在这

所以就说明这个是可以占据的

请大家注意

为什么它能够传导呢

下边本来是valence band

上边是conductancce band valenc band填满了

conductance的全空

这个就是普通的insulator

现在

topological insulator

它会出现这样的状态

这个状态从下边一直延伸到上边

所以它gap中间是有状态的

它是可以有电子载流子的在这流动

这个画出来的线

你看dispersion curve左边是-K右边是+K

所以波包他的群速度是从负的到正的方向

就是从左往右这个方向是带正号

箭头

那么在这个边缘上冲下的自旋

它是从右往左的

那代表的就是这一条

能带他和fermi surface交在这一点

所以你看他的K是稍微一个很小的负值

他group velocity就是从右往左的 这种这个性质有

多少个边缘态

这个我就不来仔细来讲了

刚才有一段话

就是说边研究边缘态的性质

我有几个边缘态

这个问题刚才说过

边缘它有几个

有一个数就是NR减去NL就是往右边

可以有几个边缘态

往左边走有几个边缘态

一种材料它的拓扑性质定了 他的bulk的

拓扑是定了

就决定了你边缘态往右又何往左的数的差

这个差是个拓扑数的差

你的Bulk的拓扑性质这个数就定了

你Bulk拓扑性质性质可以变

当然也还得是拓扑的

这个时候上面这个数可以变

但是这种材料它这个数也是一个拓扑不变

量

所以这个有一个名字叫做bulk-boundary correspondence

就是

说明往右的和往左的surfacce state

它的差是一个拓扑不变量

这个就是补充的

刚才我没有讲的问题

现在把它说明一下

好

好

这个就是拓扑绝缘体的基本的来源

有一点特别重要的要给大家强调

你要想得到anomalous

quantum Hall

只是Haldane的理论实验实现

完全是不能用

他原来这个理论它是要破坏时间反演

对称性

因为我们知道原来按照的做法

它时间反演对称结果K1 k2

对于Hall condutance的贡献消掉了

你怎么让他不消呢

Haldane聪明

就在我引入破坏time reversal invariance

这样就得到anomalous quantum hall

这quantum Hall当然指的是电荷的 两边

电荷是不一样的

对吧

所以你可以量它的电压

那么现在到了spin quantum Hall或者是topological

insulator

我们刚才看到Kane Mele的工作

他是把spin引进来了

spin引进来

刚才我们回头来看这个Hamiltonian这一项

其实就是说明我的spin和orbital很有关系了

刚才我们说你上面和下面往左往右它的

电子的或者是载流子的轨道运动

就和spin有很大的关系

这就是spin-orbital coupling 有了自旋轨道耦合了

我刚才特别要提醒大家注意

自旋轨道和这样的相互作用是保留时间

反演对称性

所以这个和Haldane那个完全不一样

好

但是要破掉时间反演

现在你要想得到spin quantum Hall或者得到

topological insulator

spin 加进来spin-orbial coupling

它是使时间反演守恒的

这是两个最大的不同的地方

是吧

所以这个是时间反演有这么一个性质

在这说一个定理

这个定理说如果有时间反演存在的话

那么所有的本征态都是二维简并

这是一个非常有名的

叫做Kramer's theorem

Kramer定理

这儿有一个极为简单的证明

我在这就不费时间了

大家自己自学的时候一看你就懂了

Kramer定理证明非常简单

我们结合现在的实际来说

Kramer定理怎么表现呢

我们来看绿颜色和蓝颜色

这是代表它自旋不一样

它的动量呢

也不一样

动量相反

自旋相反

能量是一样

它K你看这两个K它是一样

对吧

一个是正的

一个是负的K 它的动能就一样

所以这两个状态

好

我从绿的状态出发

我现在做时间反演

时间反演里边动量是要反号的

所以从右就变了往左了

自旋是转动

你从右旋你来一个时间反演

你反着转就是左旋了

所以说它自旋反过来了

能量在时间反演的时候能量是不变的

所以这一对正好就是Kramer pair

绿的边缘留你做一个时间反演

它就变了

它的Kramer pair就变了

左边的流

这是一对

现在最后要说一下

为什么

它是没有耗散

当然样品里面主要有杂质

你比如有杂质

当然我所有的杂质指的都是非磁性的杂质

非磁性的杂质

为什么让他没有耗散

请大家看这个图

这个是张守晟和祁晓亮在Physics today的一篇

通俗文章里面首先给出来

也就是说我杂质这儿有杂质是非磁性的

也就是说我一个带自旋的电子过来

在他上边反射我们研究非磁性杂质

所以进来的和出去的

假设他打回头了

进来和打回头的它动量反个

它自旋是不变的

你看自旋

假如我这么转自旋

就是箭头的方向

回来是这样的

对吧

自旋是

朝下了

自旋朝下是可以回来的

为什么

自旋朝上的是不可以回来的

就是说如果你假设他自旋朝上的回来

它可以这么转

打回头

他也可以这么转

从下边往上传打回头你看

围绕这个杂质

一个是右手转

一个是左手转

所以这两个最后他在进来和出去的平面波

转了一圈相差是多少

正好是pi

所以这两个资源不同的转法围着这个杂质

是相毁的干涉 destructive interference

所以才消掉了

我散射要回去

行不行

不行

他消掉了

所以它在非磁性的杂质上

它根本没有回头的散射

它通过它见了面绕着就过去了

所以是能

dissipative因此现在我们就把quantum Hall的

三种effect就都讲完了

一个是普通的Hall effect

有纵向的强磁场

那么这儿来了两边的是电荷的集聚

一个是spin

quantum hall

没有磁场

没有磁场

结果它的自旋的表现是不一样

自旋如果是往左边走

spin current就往左

那么反过来的往右

比如你加一个电场

他就会出现这样

两边有自旋的集聚

anomlous Hall

他其实可以通过各种各样的办法来实现

比如我们讲薛其坤那个实验

它是通过掺杂让他有magnetization

所以可以有magnetization

这个时候它也会发生quantum Hall

quantum Hall他们怎么发生的

一看这个图你就明白了

因为两种自旋都有

刚才说过我向上的自旋往左

向下的自旋往右

你这两边的voltage怎么过来呢

你有了magnetization你左边

的电子多

右边的电子少

所以仍然反映出来quantum Hall这就是

anomlous quantum Hall

好

关于quantum Hall的哥仨

到这就都介绍完了