S7.3 1D quantum AFM chain ＆ Topological phase factor在线视频

我们原来讲过自旋波理论

自旋波理论原来的结论

都是从三维空间来考虑的

原来也曾经提到过

到了一维的话

比如说我有个一维的反铁磁链

它这个时候它的量子涨落

是比较厉害的

出现了红外发散

以后有一个定理

叫做Coleman定理

就是针对有红外发散

它就会有什么结论

所以一维反铁磁链应该拿出来

专门来考查一下

所以这一节题目就叫做

1D quantum AFM chain & Topological phase

就是通过一维的反铁磁链

就会出现一个拓扑的相

拓扑相因子

其实呢关于一维的

自旋二分之一的反铁磁链

早就有过精确解

这就是Bethe Ansatz

Bethe有个Ansatz

这个在1931年就提出来了

他就关于这个

一维自旋二分之一的链

他就给出过精确解

他这个精确解的结论是什么呢

就是一维的自旋二分之一的

这个链

它会有无质量激发反铁磁的

反铁磁链会有无质量激发

这就肯定了无质量激发

因为它是精确解

但是它同时指出它没有长程序

这个是很重要的一个结论

就是如果你这个无质量激发

是由对称的自发破缺来的话

那么就出现这个Golstone模

这是个无质量模

但是对称的自发的破缺

它是有长程序的

因为各个地方

它的真空都是一样的

它是有长程序的

所以根据Bethe Ansatz

我们就知道

自旋二分之一的反铁磁链

它这个无质量激发

应该是跟对称的自发破缺

也就是出现Golstone模是没有关系

这个认识应该是没有任何问题

Bethe他只是考虑了

自旋二分之一的情况

那么下面我们要提到呢

有个叫做Haldane conjecture

Haldane conjecture是1983年提出来的

这是Haldane的一个猜想

他不是给了证明

他说他认为是这样

也就是说什么结论呢

是半整数的自旋有无质量激发

整数自旋就没有

这个很怪啊

Haldane这个思想灵敏到

这种程度

因为我们最后要证明

整数和半整数自旋

它的拓扑性质是不一样的

也就是我们这一节引出来

要有个topological phase factor

有一个拓扑的相因子

就是说明区分开

整数和半整数自旋

所以Haldane这个猜想确实是猜

他这个思想真是够灵敏的

好 我们下面呢就介绍一个

I.Affleck在1989年提出来的

一个一维反铁磁链的

一个量子场论

量子场的理论

我们来看这个图

这个红点就代表A子格

比如说它是自旋向上的

蓝点代表的是B子格

它的自旋比如说是冲下的

我们这注出来了

这蓝点的这是B子格

红点的是A格子

那么为了标明这个格点的位置呢

我们是这样用的

蓝的子格子是双数的ai比如说

你看这是ai减2 这是ai加2

红的子格子是用的单数的这个指标

你看这是ai加1 这是ai减1

这个就是晶格的表征的办法

另外这个Affleck

他就定义就在

他把这个自旋

比如Heisenberg模型

自旋都在格点上

他定义了它的这个场量

它这个场量就是在格子之间的

你看红格子 蓝格子之间

我这个地方标的这个x这个地方

这个就是Affleck定义

它的场量的这个位置

场量都是在这个

两个子格子之间的

中间的这一点来定义的

那么好

Affleck他这个场论做的东西

就是它把Heisenberg模型的

一维反铁磁链来映射到

一个1+1维的量子场论上来

而且它取了一个大S极限

这个对它的理论的推展

是关键作用

S必须得大

最后它就证明出来有一相

拓扑相叫做Wess-Zumino topological term

这个topological term是干吗用的呢

就是来区分整数和半整数自旋

这个也就是Haldane猜想

猜想的是这两种东西不同

结果I.Affleck的工作证明

它这个里面有一个拓扑相

这个拓扑相

恰恰就是证明这一点

好 我们下面就来讲

大家记住这个图

场量是在两个格点之间的中间点

来定义的

是这样的

然后呢我们有两套子格子

红格子和蓝格子

好 下面呢就是说

它场量是什么

也就是它的量子理论里边的

observable是什么

还有它们的这个对易关系

将来Affleck要做一个场论

场论嘛当然你这个场量

它必须是一个很好的函数

它这个场量是它本身是连续的

而且你可以取它的导数

可是反铁磁它恰恰是不连续的

红格子自旋朝上

旁边一个格点

蓝格子自旋就朝下了

这当然不行

所以Affleck

就定义了另外一个场量

或者另外两个场量

你有两个子格子嘛

所以他定义两个场量

定义了这样的场量

将来他就可以做场论了

格点就不是一步一步的跳了

而是整个空间是连续的

就是x空间是连续的

另外还有时间

所以这就是1+1维的量子场论

I.Affleck用的这个场量

叫做Ω

你看它是在2i+二分之一

这就是在两个格子之间的位置

定义的Ω

Ω是什么呢

就是我们原来说

蓝格子是偶数的

是S2i上的

这蓝格子的自旋

前面是红格子上的自旋

红子格子自旋减去蓝子格子自旋

在Neel状态它是什么样呢

红格子的自旋朝上

蓝格子的自旋朝下

这俩的差正好就是两倍的这个S

正好是两倍的S

那当然这个S本身是矢量

那我下边被2S除一下

所以我得出来的这个Ω

在Neel状态来讲

它正好就是一个向上的一个1

一个单位矢量朝上就是了

当然在量子的一维格子

晶格的这个理论里头

那这个Ω也不能说它就是

像Neel状态就是朝上

它会有量子振荡的

所以这个不过大体上

是一个大小

差不多是1的

方向也差不多是往上的

这样一个矢量

还有两个S

现在你把它加起来

它这俩相反呢

所以加起来以后

然后你再被两倍的a除一下

两倍的a是什么呢

你红格子也好 蓝格子也好

它的距离是两倍的a的

那个也是说从2i到2i+1

它是一个a就是这样

单位一个格子它是两倍的a

所以这他还定义了这么一个量

这个量两个S差不多是相反的

所以结果这个矢量就是一个

比较小的矢量

实际上你要做连续的变化的话

就好像是相邻两点的

一个物理量的差

下边2a一除

正好就是它的这个导数了

好 那么对于Neel state来讲

刚才说过

这Ω就是它们都是

一个自旋向上的矢量

l干脆就是0了

对Neel状态

当然对一维量子反铁磁链

不是精确的是这样

好 上面这两个变换

就是我从Heisenberg模型的自旋

来定义了两个物理量

一个叫Ω 一个叫l

都是在格点之间的位置定义的

有这么两个物理量

那刚才这两个式子

是用Heisenberg模型的自旋

来表示新的量

那它的逆变换

就是你要用我们的新变量

来表示Heisenberg模型的自旋

因为将来你要变换

你就首先就要用这个幂变换

来把Heisenberg 模型变成Affleck的模型

就要用这个逆变换

好 那么还有个重要的性质

这个Ω.l

那实际上下边有个4倍的Sa

上边呢就是红格子的自旋平方

减去蓝格子的自旋平方

这个它当然就是0了

所以Ω.l应该是0

另外还有一个重要关系

你把刚才逆变换的那个

逆变换就是用Ω和l来代表S

你算一下这个量的话

你就发现它正好就是S平方

那就是S乘S加1

好 有了前面这个等式

我就可以把a平方 l平方

挪到右边去

然后左右都被S平方除一除

那就得到了这个Ω平方等于1

后面呢还有两项

这两项呢I.Affleck说

我取大S极限

一取大S极限

当然后面两项都不要了

Ω就是一个单位矢量

所以I.Affleck可观测量的

这个Ω

它是一个单位矢量

这个是

将来呢你描述了它的运动

你就可以在一个单位元上

这个Ω 这个场量

它这个代表点就在单位球上面跑

就是这样一个好处

然后呢我们来说

我们这个新的物理量

它的对易关系是什么

那当然你还要从

Heisenberg 模型的自旋开始

这个是标准的S的对易关系

有了这个对易关系

我们就可以求出Ω和l的对易关系

那这个里面εabc就是一个所谓的

一个单位的一个反对称张量

就是abc只要有两个相同它就是0

三个都不一样

abc是123它就是1

这就是常用的那个反对称的

单位张量

好 有了S的对易关系

有了我们新定义的Ω和l

和S之间的关系

我们就可以得到Ω

两个不同的点你看

一个是2i+二分之一

一个是2j+二分之一

这个i和j一般可以不一样

所以你算它的对易关系

一个简单的代数

就可以算出来

它是右边这样的一个表达式

你看两个不同点

Ω的对易关系

右边它出来的是l

而且这个对易关系

只有在i等于j的时候

它才不为0

当然实际上就是

不同点的场量它是独立的

你必须得在同一个点

它的场的两个分量

才有这样的的对易关系这是一个

而且你看

它好好在它下面是个S平方

在大S极限这右边干脆就是0了

好 这是说到Ω

l你看很简单

它的对易关系其实就是代表一个

角动量的那个对易关系

右边也有个δaj

这表示你必须得在同一个格点上

l的分量它才有不为0的对易关系

一个a分量b分量

一对应这边是c分量

所以这是个典型的

角动量算符的对易关系

然后l和a之间的对易关系

这个我们以前见过这样的例子

这样一个对易关系

l的一个分量和Ω一个分量

对易出来是Ω的另外一个分量

这个也就是告诉你说

在三维空间旋转情况底下

Ω是一个矢量

这个当然我们一开始

就假设它是矢量

当然它应该具有这样的性质

那么这个大家可以看一下

我那书的252页

说明它怎么过来的

其实都是简单的代数

现在我取连续极限

连续极限在这我是让这个格距

本来的格点之间的距离a

要趋向于0

那这个时候（英文）下边

被这个格距除

因为i和j

你一个比如说2i+1 2j+1

最后你这i要等于j了

所以实际上

它在一个格子里面取的

i不等于j

一个格子它就是另外一点就是了

一个格子里面

它当然它的格距就是2a了

所以下面被2a一除

kronicker δ被2a一除

这个就是Dirac δ

那这样的一个量

它的量纲是长度是-1

因为左边你这a是长度量纲

所以右边你一定得是个δ

δ函数它的量

一维的δ函数

它的量纲就是l分之一

好 所以刚才的这三个对易关系

现在就非常漂亮了

你看Ω的分量

它是相互对易的

l的对易关系是第一个式子

这是个典型的角动量的对易关系

第二个式子就告诉你

Ω在三维空间旋转底下

它是个矢量

因为l角动量算符

就是三维空间旋转的生成元

所以这就是刚才的这个结论

定义了场量

一个Ω一个l

知道了它们的对易关系

下边就可以写出

它们的量子场论了

这量子场论是直接

就从Heisenberg Hamiltonian开始

那里边是Si.Sj

我们现在把它这样

我只对于蓝格子求和

你看这是sum of all 2i

2i这就是蓝格子的指标

那蓝格子在Hamiltonian里面

它出现在什么地方呢

它跟它左边的这个

红格子上的自旋

要有相互作用

和它右边的红格子自旋

也有相互作用

所以你看这右边的相互作用

这是2i这是2i+1

跟左边的那是2i-1

我现在我对一个子格子求和

我把它分开写成两项就够了

好 现在大家可以从书里面看到

你把那个Affleck

给的变换的那个逆变换

就是用Ω和l来表示S

你把它代到这个式子里面来

你看就可以得到

下面这样一些结果

这个都是简单的代数

那么在书里面对这个代数

有个简单的一个叙述

这一共是四行

最下面这行是个常数

因为你给定的你是整数自旋

或者是半整数自旋

你S是个确定值

J就是那个exchange integral的值

所以这个是个常数

Hamiltonian里面

你一个常数你不加了

加和不加一样的

好 现在再看其他的三行

第一行我看起来挺麻烦

你要是仔细地来想想的话

这个l

本来l是定义

在两个格点之间的那一点

从一点到临近的一点

它这个l的变化是小的

小到什么程度呢

是和这个格距a成正比的

所以它临近点的l

它相差是a

所以你看这在这里

大家看都有a平方项

我将来a是要让它逼近0的

是个小量

然后这不同的这个l

它的相差是a的量级

平方的相差就是a平方的量级

我们将来就是保持到

a平方的量级

那这个所有的l不同点的l

当然不同点它要是相邻的你看

加二分之一减二分之三

这样的所有的l的值

你就可以把它看成一样了

那就好办了

二分之五加上二分之一加上1

那就是4

所以第一项

就变了4倍的a方l平方了

就是变这个了

好 再看下面看这个这一行

看这一行

这一行实际上

是两个Ω相加的平方

那我们来看在这里

它中间又是个减号

所以这是这两个相减的平方

我下边给它填进一个2a来

那前面当然就得乘一个4a平方

而后面这个你一看

正好是这个Ω它的一个derivative

这是在这两点之间的

这个场量的差

下边就是这个两点之间的距离

那这两点你让它逼近连续极限

这两点当然就趋近了

a趋近于0

这个正好是derivative

就是Ω的derivative

所以这就前面4a方在这里

这个就是Ω’的square

它取值就在2l+1这个地方取值

这个把第二行就算出来

我们再看第三行是什么

第三行和第四行

第三行的两项

第四行我们是告诉你

大家它是常数

第三行的两项

一项是Ω的derivative

一项是l的derivative

所以就变成什么了

这个是l.Ω'

这一项就是Ω.l'

所以你看写出来就变成这个了

前面有个常数l.Ω'

减去Ω.l'

可是我们可以

把这个两项给它变一变

变得让它更适于

我们的下面的运算

我们知道Ω.l等于0

这个刚才证过了

然后你把这个式子左右各取导数

所以它就是Ω.l'+Ω'.l

右边的导数当然是0

所以你就知道Ω.l'和Ω.'l

这两个彼此是负的对方

所以把这个关系代到上面来

你看我就可以把Ω.l'

换成负的Ω'.l

这个负号在这就变成正号了

好 现在变换完毕

把这上面的这都加起来

那我最后一个结果

就是下面这一行

就是把刚才这个结果都拿来

都是下面的这一行

这一行是我的体系的Hamiltonian

体系的Hamiltonian

我可以用这个体系的Hamiltonian density来代表

这个红的H就代表Hamiltonian density

就是Hamiltonian密度

密度乘上空间积分

那岂不就得Hamiltonian本身嘛

所以这个被积分函数

刚才的这个被积分函数

就是我这个红的H

就是Hamiltonian density

好 下边就给几个缩写

这个完全可以的

下面有三个

一个2倍的Jas叫做ν

还有一个2/s叫做g^2

还有一个这个是最重要的

有一个Captial θ

它就是2πs

你把上面的这个Jas

用这三个新的参数一表示

就得到下面的这个Hamiltonian density

这个红的Hamiltonian density

你看这有ν这有g^2

这有Captial θ这有g^2

就把这个场论的Hamiltonian density全写出来

为什么刚才我说

这个θ是个非常重要的东西

你看如果我的自旋是整数自旋

我这个θ就是2π的整数倍

如果s是半整数自旋

我的θ就是π的它的一个奇数倍

比如说一个π三个π五个π

这就是s是半整数

s要是整数的

它就是0 2π 4π这样的

这个就是将来

你区别整数和半整数

就靠它来区别了

它或者是2π的整数倍

或者是π的奇数倍

这个正好将来好多性质

正好是不一样的嘛

好 那么我们下面来看

取了大S极限

Ω平方

就是1

所以我们这个场量

Ω它作为空间的函数

那就是你可以把这Ω

在一个单位的球上面的

作为它上面的一点

这个时候我描述这个Ω的位置

就是你这个单位球的这个θ和Φ

θ和Φ就是我将来

这个体系的广义坐标

当然它们有它们的广义动量

就是πθ和πΦ

你这个是广义坐标

当然在量子力学里面

πθ和πΦ也就都用它们这个

共轭的这个算符来表示了

好 所以现在

我们刚才得到的Hamiltonian density

我们回去看一下

刚才得到的Hamiltonian density里面

有l有Ω

这个Ω实际上都是

以Ω'的形式出现

Ω'那就指的对x的导数就是

就是对x的导数

你看定义就在这里

这是Ω'

它是你在一个子格子里面

一点到另外一点Ω的变化

好了 这些东西都有了

那下边我就得把这个l和Ω'

用我的场论里边的广义坐标

和广义动量来表示

那就是θΦπθπΦ

用这四个来表示

怎么表示呢

那我们知道l就是角动量

这个你一查量子力学的书

lx ly lz这三个分量

都可以用这个球坐标的这个θ

Φ和它们的derivative来表示

它们的derivative当然就都和

这个广义动量成正比了

Ω是我单位球上的一点

它的xy坐标这个大家都清楚的

sinθcosΦ

sinθsinΦcosθ

那么Ω'

你又把这三个分量拿来

对θ和Φ求导数就是了

那就是下面的这个我就不来读了

就得出Ω'

所以现在我需要的量

都已经用θΦ

和πθπΦ表示出来

好 就写出来就在这里了

你看这里Hamiltonian density

θΦ还有θ'Φ'

还有πθ和πΦ

参数一个ν一个g^2

还有一个就是我们的θ

有了Hamiltonian

这个在分析力学里面就告诉大家

你就可以求出Lagrangian

Lagrangian本身就是Lagrangian density对空间的积分

所以是红颜色的l就是Lagrangian density

红颜色的H是Hamiltonian density

它们之间的关系就是个

勒让德变换

因为在Hamiltonian他是用P和Q表示的

Lagrangian是Q和Q.表示的

所以你要从Lagrangian变成Hamiltonian

你要把这个Q.用P和Q来表示

那这个就是勒让德transformation在这里

Hamiltonian就是πθ θ.+πΦΦ.-l

这个在书的里面

是解释了这个过程

然后我在广义动量

和我的这个θ.Φ.的关系

就通过了Lagrangian density

这样的东西来决定

好了 都有了然后我就得到Lagrangian density

这个是个重要的结果

前面有一项是θΦ和derivative

这个是很普通的很常见的

这个Lagrangian 的表达形式

这一项实际上就是在场论里面

经常讨论的叫做nonlinear sigma model

那个model的Lagrangian

这个我们就在这就不提了

那后面这一项可就重要了

刚才强调过这θ的重要性

你看这里就把它包括进来了

这一项叫做Wess-Zumino term

这是一个拓扑项

为什么是拓扑项呢

下边我们就来证明它

这里边你应该有

有θ有\partialθ\partialΦ

它们的partial derivative

主要的是这有一个Capital θ

它区别整数和半整数自旋

下面是一个非常重要的概念

在理论物理里边是经常要用到的

就是刚才这个Wess-Zumino term

实际上它是一个二维

因为我们现在x一维t一维

这是一个二维空间了

它就是这个二维空间那个divergence

你不信 好

我现在定义一个vector

二维空间的vector

Kμ它用θ和Φ来定义

就是这么定义的

大家看

我现在来求它的divergence

那就是\partialμKμ

你一求就求出来

就得出来就是这一项

这一项是什么

就是我刚才得的Wess-Zumino term

把前面那个θ /8π拿掉

就是这个我们现在倒回去看

是不是

我把θ /8π拿掉

剩下的就是我刚才的那个

所以这一项是一个某一个矢量的

二维空间的divergence

那么二维的空间divergence

有个什么重要的性质呢

就是如果你在一个Lagrangian density

里边有个divergence term

结果它对你

求你这个体系的运动方程

它是不起作用的

为什么呢

你来看二维的高斯定理

我们二维的作用量

就是\int L dx

那l是Lagrangian density

对x积分就是S

再对t积分就得action

根据高斯theorem

变到这个二维积分

那就是一个面积分

面积分上面是什么

就是一个vector k

这个时候你看这个积分

对我们的体系来讲

我们一个二维空间的体系

那就是相当于它的边界

高斯积分就是本来

它是一个二维积分

和三维积分的这个关系了

那么现在我这个二维空间

它的边缘

那就是等于一个面积分了

在这个边缘上的k

边缘什么意思

就是x是正负无限大

t也是正负无限大

跑到正负无限大去

那个地方当然就不可能有场了

没有场呢

那你这个k是用场量来表示的

那在那个地方这个积分

它就是一个常数了

它不可能有变化

因为你在无限大那个地方

它的变化它不应该有变化

所以在那是个常数

你在action为里边添一个常数

对于你求这个体系的运动方程

它是根本不起作用的

那说好啊不起作用

咱们给它扔了不就完了嘛

不行 本来你想啊

我就把那个Captial θ

让它等于0不就完了嘛

那项没有了

本来我求运动方程它又不起作用

我写它干吗呢

在理论物理里边是不行的

为什么呢

你比如说我可以写一个Lagrangian

那Captial θ是0本来没有

我对于这个体系

我当然可以做幺正变换了

你可以做一个幺正变换包含θ的

你就把这个θ变回来了

所以说你不能随便扔东西

而在我们这

这是一个最重要的东西

这种项就叫做拓扑项

拓扑项对于你这个体系的动力学

是不起作用的

但是它这一项的存在

它就告诉你拓扑平庸的

和拓扑非平庸的情况

它的性质是完全不一样的

这个请大家去看一看

我那个书里面有

有比较详细的讨论

所以在理论物理里边有个说法

Everything is allowed if it is not forbidden

就是你如果不禁戒的话

所有的东西都是允许的

你不能随便扔的

当然如果它被禁戒

你有个forbidden rule

把它禁戒了

当然你可以把它扔掉

实际上这一项就是要通过

非微扰的效应

发挥它的拓扑项的作用

这个后面我们要提一提

这个Affleck以后还有一篇论文

我们不来仔细去讲

但是要说它的结论

好 所以现在我们就把这个Lagrangian density

再来写一遍

那我的场量Ω

那dΩ当然可以把它写成

在Φ方向的differential就是dθ

θ方向的differential就是sinθdΦ

这个大家做微积分

求面微积分的时候经常要碰到

所以我们得到两项

刚才说过第一项是个标准的

非线性θ模型的Lagrangian

第二项就是一个拓扑term

这个拓扑term

在Lagrangian density里边写了

它对于action的贡献是什么呢

你要把这个l做二维积分

你要做二维积分

好 那θ/8π就是它

然后把它做二维积分

你这action

当然就是E的i乘上你这个积分

就是E的iθ.Q

这个Q就是我在这里写的

把i和θ拿掉

就是1/8\pi

然后后面这个积分

就是叫做这个Q

这个Q又叫做topological charge

它是一个拓扑荷

我们要最后要证明

它就是一个整数

它的几何意义就叫做缠绕数

是个winding number

这个后面要说

所以对这个体系你写它的path integral

那它的权重因子就是E的-Sa

这是个Euclidean action

这个它就会包含什么

包含我们现在的E-iθ.Q

就是这个东西

E的-SE了

这个是SE当然就是这个东西了

这时候这个θ为什么起重要作用

因为对于整数自旋它是什么呢

是2π的整数倍

就是0 2π 4π

如果它是半整数自旋

那就是π的奇数倍

π 3π 5π

那正好它的性质会完全不一样

我们下面会证明

θ等于0就是整数自旋

整数自旋那θ等于0

当然这项就没有了

剩下的就是nonlinear sigma model

我们的体系的性质

就和nonlinear sigma model一样

nonlinear sigma model

它的三维的情况

就是有对称自发破缺

因此它就有Goldstone mode

有0质量的激发

但是后来出来一个Coleman Theorem

它告诉你什么呢

如果那个体系有了红外发散

这是我们证明过的

这个我们现在这个一维反铁磁链

它是有红外发散的

Coleman定理告诉你

有了红外发散

它就使得这个对称的自发破缺

Goldstone mode是不可能出来的

所以说θ等于0

整数自旋

它就没有这个无质量的激发了

而θ等于π

它因为拓扑的原因

下面Affleck专门有一篇文章

来论证

拓扑的原因它通过非微扰的效应

使得Coleman定理用不上

Coleman定理用不上

它就会出现无质量激发

但是不是Goldstone mode

我们一开始就说

根据Bethe ansatz

一维反铁磁链

不可能有这个长程序

好 我们这一节就到这里就结束了