S7.1 Spin wave theory in Heisenberg model在线视频

今天我们开始一章新的内容

题目叫做Topological phase Factor in QM

在物理学里面出现拓扑

我们在后面一章

是要讨论这个问题

就是在量子霍尔效应里面

第一次把拓扑引到物理学来

或者说是引到凝聚态的物理了

其实在研究场论的时候

经常会碰到拓扑的问题

在关于凝聚态物理的

场论的一本书

Altland和Simons做的

这里边他用整整一章讨论拓扑

拓扑可以用各种方式进入物理学

我们现在是从讨论

这个自旋波理论叫做spin wave

从自旋波理论把这个拓扑引进来

看看它在物理学里面的重要性

其实刚才说过

拓扑在物理学的里边的表现

那是在很多地方

很多分支很多具体问题里面

都会出现的

我们现在是从自旋波开始

所以下边先讲自旋波

然后说它这里边

怎么会出现拓扑了

所以我们第一节是讨论

spin wave theory in Heisenberg model

就在凝聚态物理学里边

一个模型叫做海森堡模型

这个讨论磁性的时候

是经常要用到的

这个Heisenberg model就是来描述

在格点上的这些自旋

Hamiltonian用这个来表现出来

SiSj代表在第i个格点上

和第j个格点上的自旋算符

那么在两个格点之间的自旋

它会有相互作用

这个相互作用就是

是用它的dot product来代表

系数就是J_ij

当然我在一个格点上来讨论

所以要对所有的i和j求和

i是不等于j

就是不同格点上的自旋

有相互作用

J_ij这个系数有个名字

专门名词叫做exchange integral

所以在这恐怕得介绍一下

这为什么它叫exchange integral

也就是说

如果我们讨论自旋二分之一的

这个粒子体系

比如说电子

那这个时候这个J_ij

实际上它就是跟多电子体系的

那个交换积分发生关系了

所以在这还得介绍一下

多电子体系Hartree-Fock theory

那现在我有很多个电子

它的每一个电子

它的这个坐标就是ri

那这个电子处在什么状态上呢

那这个用单粒子波函数来描述

它是处在第j个状态上

所以这个单粒子波函数

就是Φj of ri

Φj就代表这个单粒子波函数

这是第j个状态的

那哪一个电子占有这个状态呢

那是在第i个格点上面的

这个电子

所以这个波函数

就是ri的这个函数

这是Fock

他注意到你讨论多电子问题

你要注意它的自旋

在这个刚才写的

这个单电子波函数里面

他并没有特别标明自旋

当然实际上自旋是很重要的

那如果你一个多电子体系里边

有若干个电子它是处于

比如自旋二分之一向上状态

另外一些是处于向下状态

那同样自旋的这些电子

它的波函数必须是反对称的

所以必须就用一个Slater

行列式来代表

就是画在这个地方

这里第一行就代表

我是考虑了第一个状态

在这个状态上

你可能是第一个电子

在这个上面

也可能是第二个电子在这个上面

所以这就成了一行

那第二个状态就是第二行

所以你把这个所有的状态

都用完了

那就这个Slater行列式

就完成了

为什么用Slater行列式呢

它就是明显的要满足

泡利不相容原理

你比如我现在粒子的编号来说

我把第一个电子

跟第二个电子交换

那什么那就是第一列

和第二列来交换

行列式是不是你两个列一交换

它当然有编号

这不就泡利不相容原理吗

如果我们也可以用状态

比如说我把第一个状态Φ1

和第二个状态Φ2来变换

那这个就相当于

是两行之间的交换

那它当然也要变号

所以不管你怎么说

它都是满足泡利不相容原理的

在多电子体系里面就有一个积分

就叫做exchange integral

或者叫做exchange energy

本来在Hatree的多电子理论里边

没有这个东西

Fock引进这个行列式了

你算这个它的这个电子

和电子之间的相互作用

那你这个这其实

就是前面的行列式

后面一个行列式一展开

那就除了经常见的

那个库仑相互作用以外

就出现这种exchange integral

那我这里写的这个就代表是

exchange integral

你看上面

这里都是单电子的波函数的乘积

r1第一个电子r2第二个电子

这个就代表了第一个电子

和第二个电子之间的相互作用

好

下边是两个电子的坐标的差取模

这就是两个电子之间的距离

上面这个就有点不平常了

这就是Fock添进来的

Slater也有他的库仑能量

但是那个里边写的你看

我现在比如注意第j个状态

那就是Φj*(r1)

还有一个Φj*(r1)

这就代表我第一个电子

它占据了j状态

第二个电子占据了j状态

那么这两个电子之间的相互作用

这不就是库仑相互作用吗

但是我现在你看它j状态

这是r1

跟这个j状态这是r2

它把这个r2和这个里边的这个r1

它换了一个个儿

你比如说把这个r1换到这来

好 这就是第j个电子的它的probability

把r2换到这来

这就是第二个电子的probability

也就是库仑能量

exchange energy就把1和2在一个地方换

Φj本来这是r1

Φi是本来是r2

我就换这个了

一换就岔开了

所以这个就主要叫做交换积分

就表示你把两个换了个儿了

好 现在你看这个交换积分

算出来的结果

这个前面是一个负号

它是减低这个体系能量的

这个积分前面这个地方prime

表示r不等于j

就是不同状态之间的

它一个交换能量

好 那现在我考虑

在一个多电子体系里面

它的能量算好了

有库仑能量有所谓的交换能量

现在本来我这所有的这个电子

它的自旋方向都是一样的

所以我在这不标了

就是我用那个Slater行列式了

现在我把其中的一个电子

它这个自旋一反个儿

一反个儿以后怎么样呢

它就不再处于

这个Slater行列式了

我的Slater行列式

就少了一行少了一列了

那当然这个时候

我自旋反个儿的这个电子

它和其他的电子的交换能

就没有了

所以这个时候

你这个负的能量就少了一项

这时候它的能量就增大了

就激发了

那你俩差多少呢

好办

我现在一个

电子自旋反个儿的能量

这个地方叫E1

原来的是叫E0

E0就是一个交换积分

你现在把一个一反号

你有一个电子和其他剩下的原来

同样自旋的电子

现在一跟它不一样了

就没有了

所以它就少了一个负

那也就增加了一个

变了自旋的电子

和其他所有的电子的

交换能的之和

所以你看这里就是sum over j

我把i状态上的电子

跟自旋反个儿了

它就不在Slater行列式

这个差就是你现在能量大了

大多少

就是大了反了自旋的电子

和其他所有的电子

这个交换积分之和

所以实际上

你就可以把它定义有个J_ij

这个就是在多电子体系里面

交换能量的这个定义

就是我这个有二分之一还在

sum i还在

把e^2乘进去

剩下的这个积分整个的积分

就是J_ij

好 这个是说的多电子体系

那和我们现在海森堡模型

有什么关系

好 下面我就来证明

在海森堡模型里头

如果我一开始

我这两个电子的自旋一样

那么它的这个海森堡的能量

就是这么大

-J_ij Si.Sj

我现在对于这两个电子求平均

两个电子原来自旋都是朝上的

我来算这个

那Si.Sj如果你对于

自旋来进行运算的话

那它最好是不是用xyz来表示

z分量保留

这是量子化轴的方向

另外Sx和Sy

我把它用这样一个组合

Sx+iSy

或者是-来定义一个S+和S-

这个大家在量子力学里面

已经学过的

S+它的作用是干吗的

它是把这个自旋往上

自旋的z分量往上增加一个单位

S-是减少一个单位

所以这个Si.Sj表示出来就是这样

算一算的话我就不仔细算了

大家二次量子化已经熟悉了

你一算就算出来

如果我两个电子都是朝上的

自旋都朝上

算出来的这个Heisenberg energy

就是-J_ij over 4

如果我现在

把这两个电子其中的一个

它的自旋给它反到下头来了

这个时候你再算的话

你就会发现

它这个能量是+J_ij/4

事实上你只有这个你算的时候

这个Hamiltonain

只有这个z component是起作用

后面这个平均都是0

算一下就知道了

所以说好 我本来能量是这么大

我把其中一个电子自旋反个儿了

它能量变到这么大

差别是什么

二分之一的J_ij

如果你是个多电子体系

你把其中的一个电子自旋反个儿

它的差别就应该是这个

你看这个就正好是原来那个Hatree-Fock

多电子体系里面这个差别

因此说在海森堡模型里面

为什么把这个J_ij叫做exchange energy

它的来源就是Hatree-Fock理论来的

好 现在我们就来

具体讨论海森堡模型

原来在海森堡模型

那是Si.Sj

这个i和j可以是相邻的邻居

那远处的你也算

其实事实上只有最近邻

它这个exchange integral才是最大

因为每一个格点上的电子

它的波函数和它相邻的这个

它才有一定的这个overlap有交叠

远了它没有交叠

你那积分不就等于0了嘛

所以你只有最近邻

它的exchange integral才最大

所以说

你看这里我第i个格点上的自旋

只和它的最近邻这地方表示i+δ

那就是第i个格点附近的

δ当然东边西边南边北边

上面下面

这是指的立方格子了

都有近邻

都得算上

那么在最近邻的情况底下

这i和j的距离都一样

交叠都一样

所以那个j下边

不用再用ij来指标来标明

只有一个

所以这个时候海森堡模型的Hamiltonian

写出来就非常简单

就是这个右边的这个式子

就写出来了

那么我们知道如果j要是大于0

注意你前面有个负号in Hamiltonian

如果j要是大于0你这个体系

什么时候它的能量最低呢

那你就希望前面无负号

你负的越多越好

所以我的Si.Sj

那干脆你让它这两个的自旋一样

它当然就大

所有的格点上自旋全都一样

那这个时候当然它加起来

正的最多

前面有个负号就负的最多

因此我们的结论是如果j大于0

所有的自旋就趋向于

都在一个方向排起来

这时候能量最低

基态这就是基态

这个就是铁磁态Ferromagnetism

如果j要小于0呢

那我这个Si.Sj

那你都希望它是0最好了

它是0的话那你就加起来是0

前面那是个正值

那就我的能量是0当然就最低了

所以这个时候相邻的自旋

它就希望它这个排起来是相反的

这个时候就是反铁磁Antiferromagnetism

好 我下面就具体讨论

我现在这个粒子的自旋

我给定的就是要S

S当然

它可以是整数也可以是半整数

那么我现在就考虑这样一个状态

这个状态用Φ0来表示

它是什么呢

就是每一个格点上的自旋

我是写的是Sz自旋的z分量

它的z分量大家都一样

都是那个最大的那个Sz

因为这个粒子的自旋是S

它的z分量当然最大的就是+S

然后是S-1

等等到0

最小的是-S

我现在让它

都是用那个最大的Sz排起来

好 那这个时候我就问

我这个体系的这个能量是什么

那么我假定

我这个晶格每一个格点上面

它有ν个最近邻这个ν

就代表最近邻的数目

这时候大家一下子就算出来了

我这个给了Szm是给定的

Szm是个是量子数了

那我现在这样当然一算

每两个乘起来都是S平方

所以把所有的这个能量

都给它加起来

i是从1加到n

j必须是i的近邻

所以这是i+δ

好了 这就好算了

我每一个i这个sum都一样

这个sum跟i没有关系

所以我就算它的近邻数

就是这个ν

然后i一共有多少个

有n个

所以就算出来

这个时候很简单

这样的一个状态

就是我H的本征态

本征值就是这一个

所以这一个

我给前面那个能量本征值

-jnνS^2起个名字叫做E0

那这个时候Φ0就是H的本征态

它的本征值就是10

现在根本没管铁磁还是反铁磁

下面我们具体讨论铁磁

当然就根据这个讨论下去了

下边我们就讨论铁磁了

铁磁讨论完讨论分铁磁

我们就会发现铁磁跟反铁磁

好像说起来

是两个不同的磁的状态

你会最后发现它就很不一样

好 现在看铁磁

铁磁的基态和它的自旋波的激发

还要讨论它的激发

刚才说过j大于0

前面有个负号

所以铁磁态应该是基态

所以刚才讨论那个Φ0

就是铁磁的这个基态

现在我这个S还是任意的

一个任意的一个数

好 我现在看这个状态怎么激发

我试试做

我的做法就是我一共有n个格点

其中第m个这个格点上

本来在这个格点上

它的自旋是S朝上的

我现在用这个Sm-作用一下

什么意思呢

我就是把第m个格点上的自旋

z分量给它减低一单位

那就是我给它创造一个状态Φm

就是这个东西

你看原来后面这个product Sn

对n有乘起来

这个就是我体系的波函数

我现在把第m个格点上的自旋

给它减1

这就是我定义的状态

那么定义了这个东西

那这个状态还是不是

我的Heisenberg Hamiltonian的本征态呢

一试你就发现它不对了

我们先给一些关系

我这个晶格上

第m个site 和第n个site

它上面的自旋是互相独立的

所以它的这个任何S的commucator

一定有个δmn

你是n不等于n

它都是独立的

它就是0

n等于n

你再来算

那我们知道这个量子力学里

原来都已经有过

S+和S- commucator 就是两倍的Sz

然后S-和S

S+和Sz的commucator都给出来

大家做个练习这个很简单

你就会发现

你把Heisenberg Hamiltonian作用在Φm上

你得到的就是E0这原来定义过了

就是你的基态能量

那乘上Φm

再加上这样一项两倍的jas

后面是有一个Φm

但是多出一个它近邻的δ来了

还有一个Φm+δ

那Φm就表示

你本来大家自旋都朝上

你把第m个site上面的自旋

降低一个单位

那个m+δ就是

你把那个m+δ是m的一个近邻

某一个近邻

这个上面的自旋降低一个单位

所以你一看坏了

我H作用在Φm上

右边它不只是Φm多了一个近邻了

所以说这个Φm它不是H的本征态

其实大家回想一下

学物理的时候

大家都见过这样一个表演实验

就是把好多个重物都是球

吊在上面

然后球和球之间

都有弹簧把它连起来

不知道大家记没记得

这个表演实验

你把其中的某一个球

你给它拨一拨让它动一动

结果怎么样呢

结果并不是这个球在这动来动去

因为它两边都有弹簧

它结果你把它激发一下

这个激发最后就传传传

传到你整个这一串球上

你就发现这个球

大家都在那晃来晃去

正好那形成一个波

现在你碰到了相似的情况

你一串自旋

咱们考虑最简单的一维

你有一串自旋

你把其中的一个你给它激发了

你把它的这个自旋给它反个儿了

那你exchange energy增加了

所以这是个激发

你单个的你换一个

它结果不是你海森哈密顿的本征态

结果怎么样呢

就通过这些相互作用

等于到它把这个激发

传到整个这一串上

这个时候你就得到本征态了

所以下面我们要做的是什么呢

就是我想办法找各个地方

不同的地方都有的激发

这就形成一个激发态

所以说你看刚才就是我讲过的

你考虑我有这个一串离子

你比较一下

我这个一个离子我把它移开

从它的平衡位置移开

这个时候怎么样

这就是说的是

刚才那个重锤挂在架子上面

然后锤之间都有弹簧

你动一个它就传的到处都是

所以我们现在就来考虑

我让这个第m个site

上面的自旋

从它的Sz分量从S变到S-1

那这个时候就是Φm了

你单个的Φm形不成本征态

你必须把它在这个激发

传到整个的site上去

所以我就定义一个Φ_k

k是代表模式

将来就代表这个激发

传到整个的这个晶体上了

这个时候这个晶体

就表现出集体运动

集体运动实际上就是波了

那个波的这个波矢就是这个k

所以你看这里就有这个关系

我本来是按site了激发的

那是Φm

现在我是按模式

整个的晶体它用一个模式来激发

k模的激发

这个之间当然是一个

傅里叶变换的关系

这个地方是一个什么样的关系

第m个格点在这个地方

它的这个位置是Rm

它的一个近邻Rm+δ在这里

那它差别多少

它的差别就是2δ

这个图表明的

那么我做傅里叶变换的时候

我就是把这个m

和它的近邻都给它关联起来

所以这个时候

将来这个傅里叶变换这个模式

就是Eik.Rm

但是我不只是拨了第m个粒子

我可以拨任何一个粒子

激发任何一个粒子

所以你还要对m求和

我这个时候就定义了一个

集体的激发模式Φk

有了这个的话

好 那Φm

Heisenberg Hamiltonian作用在Φm的关系式

刚才我们算过了

回头看一下就是这个式子

这个式子知道了

我现在求它的傅里叶变换

那当然我就知道了

用傅里叶变换来做

那么这个Hamiltonian得的结果

第一项第二项

当然很容易你看出来

这个Φk这个地方也都是Φk

第三项本来有个邻居

现在那个邻居还在这

那个Φm的它的变换那是好办

现在它这个邻居

你也得了一项就在这个地方

这个就是刚才那个式子

最后的那个括弧的那一项

你最后得出来的是这样一个结果

也是傅里叶变换

但是你看这个地方是k.Rm

这个地方是邻居不是Rm了

是Rm+δ了

这个好办

怎么办呢

我把这个Rm你看这个图

我把这个Rm换成Rm+δ

你说一换你不对你不差了个Rδ吗

没关系

我在前面再把它减掉就完了

所以在这我把Rm换成Rn+δ

多的那个我前面减掉

剩下的就是这个

后面这一项你一看

跟我们这个定义很像

就是这个m这个地方是m+δ

大家知道在求和里面这个指标

往往叫做哑巴指标

dumb index

什么意思呢

你就是说你用原来都是m

我现在可以把它都换成n

它是哑巴它不会抗议你随便换

那我现在把原来的m

都换成m+δ当然也可以

我还是对m求和

那你把这个mδ

现在你也把它换成n

一换成n后面这个就是Φk了

所以这个时候你来看

后面剩下什么

是Φk的傅里叶变换

所以这一项就可以把上面这个

所以最后就可以

得到这样一个结果

这样有一个结果

大家注意前面有这个factor

就是我刚才说你变了怎么办

我前面给它减掉的那个factor

这个factor

现在就包含这个γk里了

就是这个γk

刚才讲是最后那一项

γk里就有我刚才添回来的

那个factor

所以现在你看我这个集体的模式

就是H Hamiltonian

它的本征值是什么呢

你不是激发了吗

原来基态的能量是E0

现在你有一个便于

整个晶体的一个集体的激发模

这个模的能量就是这个的

这个和晶体结构是有关系

因为这个γk你跟近邻有关系

不同的晶体结构

它有不同的近邻安排

所以那就是这个东西

后面这个factor里边

本来没有ν

我把它要跟刚才

这个第二项合在一块

所以把这个ν还写在前边

我后面这个这一项本来没有ν

所以这有个ν分之一

这个ν分之一是这么加起来

好了 现在就证明

这个时候这个激发能量就是它了

这就是一个集体模式

引进集体模式了

那好这个图像是什么呢

实际上是我现在是一个

一维的一个自旋链

一维的一个自选链

我原来大家都是一个方向的

我现在把其中的一个

这个自旋上让它减少1

它的这个激发

最后就传到整个的这个链上

于是每一个地方的这个邻居

都按照原来的那方位都给挪一下

这样一挪以后我是k模

整个的这个波长就是2π/k

所以你看从原来这样它的邻居

它的位置各有不同

然后转一圈

等到回到原来这个位置

这个site到这个site

就是一个波长

你从上边看就更好看了

给你显出一个波来了

这个就是集体模

刚才讲那个集体模是什么样子

好 那刚才说我是一个集体模式

这个k有多少种可能呢

那我现在是一个有限的晶体

它有n个格点

那这个时候k的可能的值就是n个

那看你有几个格点了

所以最后那么多的k

其实是重复的

不重复的就在

这个大家固体物理里面学过的

那就是在部里面区里面

部里园区的这些模式

是独立的模式

看你有多少个粒子这样的

好 下面这是一个疏理

这个固体里面可以有自旋波

这个自旋波它的色散关系是什么

就是dispersion relation色散关系

色散关系是在你激发能

比较低的时候

你就问这个问题

我的激发能E和我的模式的波数

with number k就是E和k的关系是什么

求的是这个

好 你要求这个好办

本来有这样一个factor

就是对于各个近邻

来求和的这个factor

这个factor实际上

你就等于是加这个cos(k.R)

为什么

我们拿立方晶格做例

你一个格点它左边有一个邻居

右边就有个邻居

前边有个邻居后边就有个邻居

上面有个邻居上面就有个邻居

这些邻居左和右不同

就这k一个正一个负

把左边邻居右边邻居一加

好 这就是这个这是一正一负了

前面后面上面下面又是一样

所以最后这个就等于

你对邻居求和的时候

你把那个exp正负不一样

它虚部消掉

实部剩下就是这个cos

所以你就是等于这个cos样

我问低能的时候

它的色散关系

所以我把这一展开

展开就是这个

有了这个

你把它带回刚才我们求出来的

k模的激发能里边

你看它的色散关系就是这个

E这是能量和k有什么关系呢

你看这有k.R的平方

你按照具体的晶格

我们下面要计算

那这个地方

它就是说k和k的平方成正比

所以说对于铁磁它的色散关系

是k平方的色散关系

好 最后我们大家可以看到

反铁磁它不是k平方的色散关系

它是k为的色散关系

所以这就很不一样了

好 下面我们就来讨论一下

自旋波的这个量子化

为什么要量子化呢

对于铁磁我们量子化以后

就可以得到你这个

集体模式之间的相互作用

这个就比单独的量子理论

要前进一步了

你量子化了

这个自旋波的量子化

它叫做magnon磁化子

好 我们现在

要被量子化的是什么东西呢

就是自旋波就激发

我要量子化这个激发

那所以a是代表消灭激发的算符

a^\dag是代表产生激发的算符

所以下边

我们就有这样一个图像了

基态是什么呢

就是所有的粒子它的Sz都等于S

就都在这个状态上面

这是最大的Sz

我把不同的Sz我就都画在这里

这里是0 Sz等于0的这个状态

这里是这个-S的状态

我怎么就激发了呢

我把这个上面的这个粒子

如果我把它的这个Sz减少了

不在这了

我把它比如减少到这了

那我就一般的

我就这个的第i个粒子

第i个site上的粒子

我让它的Sz的值等于Siz

就是这个值

那这个时候

它激发了多少个单位呢

我们知道你把这个和S减一减

S减去Siz

这个就是它们激发的程度

这个激发就是n个单位

好了 那我们下面就这样来做

基态是什么呢

所有site上面的Sz都是S

这也就是最大值

我第i个格点上的

激发的多少单位呢

就是S-Sz

刚才这画过了

我用ni来代表

它激发了ni个单位

这个ni的定义就是原来是S

你现在是这个Sz了

那么你就是减一减的

所以这个地方它ni是大于等于0的

我的基态怎么表示呢

那大家都是0

就都没有激发

那就大家都在这了

n个site上都是0

都没有激发

普遍的状态就是第一个

site上我激发程度是n1

第二个是n2等等

这个就是一个Fock态了

实际上就是一个Fock态

它不是代表粒子数

它是代表激发程度

好 所以这个n就实际上是什么意思

在这定义

就是deviation of spin on site from S

就是我在某一个site上面

它的这个Sz偏离S的程度就是这个

所以好 那我就问了

我在第j个site上

我的这个激发的数是多少

激发数就是aj^\dag aj

这个代表它的激发数

在这里我们Heisenberg model是用S表示的

下边用a来表示

所以我就要把原来的S算符

想办法代成a算符

那么a代表的是什么

是消灭激发

你怎么就消灭了激发了

它本来在这

你把它往上挪

你就激发程度不就减低了吗

所以a是相当于S+的

那就是增加自旋分量

就是减少了激发

那么a^\dag就是增加了激发

减少了它的S的值

把它减少就是你从原来的上面

你往下挪

这不是Sz减少了吗

那这时候就相当于激发增加了

所以这个时候就有个翻译

我下面把它翻译一下