S9.4 The fractional quantum Hall effect在线视频

下面我们来讨论分数量子霍尔效应

Fractional Quantum Hall effect

分数量子霍尔效应

它的实验条件和整数的有所区别

一个是它的温度要更低

它是在0.1Klevin 甚至于就是几个milli Kelvin

那样子来做实验

然后磁场强了

它可以到20T

另外样品的要求严格了

原来整数的用的是low mobility sample

现在这个地方要用high mobility sample

做实验的一个是Stormer

一个就是崔琦

他们发现当你把实验条件改过了以后

重复原来整数量子霍尔效应

你把磁场从低到高来增加

一开始原来跟原来的整数量子霍尔效应一样

你比如说这就是第1个

N=0的那个Landau level 最低的

你把它填满

底下纵向的电阻是0

你看相当宽

然后上头就有一个plateau 一个平台

这就是N=1的Landau level的平台

可是在这种好的条件底下

当你把磁场再往上增加的时候

上面又发现了一系列的plateau

但是这一系列的plateau有的性质是非常典型的

比如看这一个下边这个地方的纵向电阻也

有相当的一块是0

上面这个Hall电阻呢 这个Hall电导呢 它的plateau也比较宽

它的占有数是多少呢 是三分之一

就是我这个Landau level上 我有多少间房子

有N间房子

实际上它只有三分之一的房子有人住

所以叫做分数

量子霍尔效应

除了三分之一很典型

下边的plateau很宽

上边的plateau也很宽

当然其他有三分之二

七分之三 五分之三 三分之二

凡是分母上是奇数这样的

好多态上都有plateau

所以上面Hall电阻是吧

这些显示出在分数的填充数上面

它也会显示出有量子Hall电阻的平台下面有

相应的纵向电阻为0的平台

但是下边的往往不太好

就是说有的它很窄

就这五分之一的

你看就比较窄了

大概这样

下边这个地方是一些典型的数字

它N就是电子的密度是多大

平面密度了

当然是是这么大

然后化学势是多少

左边这个图是更宽的范围

你看右边这个我看得清楚

讲比较容易讲明白

是从0到15个Tesla

它这儿前面这部分后面一直到30个Tesla了

你看中间还有很多这种分数量子霍尔态

这个画方块的是特别的

不属于分数量子霍尔效应

你看它填充数分母是2

这填了一半

这个是二分之三

不属于这个范围

我们在这里不来讨论

这个是实验的情况

理论上就费劲了

为什么你想Landau他在做的Landau level

的理论是单电子的量子力学

它电子之间没有相互作用

就靠一个个往里填

你把给你的第1个Landau能级填满了

好 你就可以开始填第2个Landau能级

所以那个是比较简单的

现在三分之一居然是一个很好的量子霍尔态

填三分之一就行了

那怪了

那我填比如说不是0.3333...

我填0.3

我从0.3

0.31 0.32 0.33

0.331 0.332 0.333

后面逼近0.3333的时候

它出来的特别的态

从Landau能级一个一个电子的填充

你解决不了这个问题

你这有什么特殊

你看不出来

所以Laughlin做理论的时候

他首先就想到分数量子霍尔态

它肯定是电子之间的关联

它会起非常重要的作用

所以难是难在我们碰到的是多电子理论

你把Hamiltonian写出来

那么第一项

这个就是dynamic momentum那一项

前面这个是canonical momentum

后面这个地方你不是得加一个垂直磁场吗

所以这个时候就是vector potential进来了

然后电子之间它会有相互作用

那是这一项库伦相互作用

另外电子在离子所形成的周期势里面

它也感受到这个周期势 那就是一项V这一项

把它具体写出来

这样就代表离子提供的背景场

前面这个地方就是电子的密度

好 这就是Hamiltonian

谁有本事你把它的这个解写出来吧

在这儿Laughlin在他获得诺贝尔物理奖的时候

做的Lecture里边说了这么一件故事

这个人可够绝的 他拿他自己的学生开大玩笑

他这段说明什么

就说明你没有谁有这能够从第一原理来把

多体波函数写出来

怎么办

你只有根据你的物理直觉来猜

当然物理直觉不是从天上掉下来

也是从一步一步从简到繁想出来

Laughlin在我们原来给的那本参考书

就是Quantum Hall Effect 这个Prange和Girvin编的的里边有一篇文章

就专门写他怎么把

分数量子霍尔效应的某些波函数写出来

他写的当然首先写三分之一

\nu等于三分之一

也就是Landau level填充了三分之一的那个态

他写波函数的经历

这篇文章的名字叫做Incompressible fluid

Incompressible quantum hall fluid就是讲

这个分数量子霍尔态

他是一步一步想

最后得了一个直觉

有灵感就写出来了

写出来了然后跟实验去比

那是很好的能够说明实验

所以它这个理论就站住

他跟他的学生怎么开玩笑

这一段我不一句一句念

就是说他是给拔尖的学生讲课

他说他每年到了春天

他就会有一般非常聪明的研究生

当然这就是研究生里面学的好的来选他的课

最后到了学期考试了

美国的考试往往是出了题拿回家做

不许彼此讨论

他就出了这么个题

让学生从第一原理出发

要把超流性给推导出来

他这是恶作剧

因为这个超流是个集体的现象

是吧 我们在这里没有讲

但实际上你比如说液氦的超流

它的色散曲线一开始就是 所谓色散曲线

就是它的能量和它动量的关系

一开始是线性的

这个就是叫做声子谱

到了一定的一个最高点叫做maxon 最大的

然后就下来了以后又有一个最低点

最低点叫做roton

然后再上去

这是集体现象

你要把它越分越小

你就追求

那么最细的那个 从第一原理出发

你把它越分越小 超流就没了

所以Laughlin自己说这事

在地狱里边就给我留了一个位置

他给他学生开玩笑

开的太大了

就是这样

好 下面就是说Laughlin当年 他是怎么做的呢

我在一个强磁场里面我就先考虑一个粒子

我们当然无所谓了

两个粒子开始研究两个粒子

然后研究三个粒子

那是你说你不是傻吗

你三个就算你研究好了

四个、五个 你怎么在写它

你越来越难办

你写不出来

不对 他在研究三个粒子

往里填的时候

得到了一些启发

他用这个启发

然后按照物理直观

把波函数就写出来

我们大概的说一说

如果尤其是大家对这一段历史感觉兴趣

就说Laughlin里怎么写出来

你就去看他那篇文章

我刚才说过在Prange和Girvin那个书里面那一章专门讲这个

好先说两个粒子 两个粒子的好办

角动量是0的

这个Landau level那一项对吧

后边的exponential的这一项

两个粒子你要写它的关联

当然就是这个写法

zj minus zk 这个函数我暂时不知道

然后把所有的j 定一个j

所有其它的k拿来

再换一个j

又是其他的k拿来 都乘起来

当然是两个电子之间两两的有关联了

这个呢 当然你要满足几个条件

第一前面的这个从哪来

Landau研究的是单粒子的

在磁场里的行为 多个呢

当然你要从单个的来构造

对吧 所以第一要从单粒子的最低的Landau能级

里边来构造它

当然应该是写出来的

你给数值那也很难办

你没法往上推广了

第二 你两个电子之间的关联

你这个中间写个减号对吧

当然你这么写实际上就代表你这两个电子之间

相对运动的一个角动量就是对吧

这个函数以zj和zk换个的话

它必须是反对称

这是Pauli不相容原理的要求 对吧

第三 它必须是角动量的本征函数

因为刚才说过这个已经给出来相对应的角动量

对吧 好 当然很简单的写法

我就直接写zi minus zj to the power m

然后都乘起来

m必须是奇数

因为否则它就变对称了 对吧

你换个它就对称了

你现在中间减号

你这是个基数

这样才能够保证它掉个儿

确实是

反对称 当然两个的比较简单

我这么一说大家都明白对吧

大家要是自己猜

也许能够猜得出来

好 下边就是三个的

三个的我在这儿也不仔细说了

三个的比较麻烦

三个粒子有一个简单的描述的办法

就是你把它的质心坐标给它拿出来

因为质心坐标在动力学里不会起作用的

对吧

剩下的有两个坐标

一个叫za一个叫zb 等等

然后他三个的你要得不到物理的启发的话

你就别往下做了

他得了什么物理启发

就发现三个电子在这里边排

当它的角动量是3 6 9这种数字的时候

它这个体系可以得到最低能量

具体的我就不说了

只是说他得到了这么一个启发

所以他说好 我以后干脆我就这么写

你看他说我就写出来了

分数量子霍尔效应

m的物理意义

我们下面就会讨论出来

我就写的波函数

就是这个 这是一种类型的

下面我解释了m的话

大家就知道这是哪一种类型

后面当然原来那个m等于0的这个Landau能级

前面就是两个电子 两两之间

它要有关联

你就把所有的两两配对都给它写成括弧乘起来

上面有个power m

m当然首先必须是一个奇数

下边我们说m的物理意义是什么

怎么看呢

你看我们就把这块东西拿出来

我就问这个波函数固定一个zj好了

zj的最高幂次是几

我问这个问题

后面就不去考虑

我们就考虑前面的前面的这个 这个地方是m

我先不说它是3就是m 那zj的m次方

一个括弧就给你zj的m次方

你有多少个括弧

你把zj确定了以后

一共有(N-1)个括弧

我总的电子数目是N 所以zj的最高幂次

很明白

就是这么多 m乘(N-1)

当N很大的时候

这个1就甭减了

它就是mN了

这个就是我 Laughlin写出来的

波函数zj的最高幂次

它是由单粒子的朗道能级的波函数拿来构造

所以我们从另外一方面想

我是朗道能级m

把这个能系拿来

我们原来说过它是高重简并的

它简并度多少

我知道任何一个朗道能级大家都一样

它的简并数是一样的

对吧 是多少呢

我的样品面积是A 单位面积的

能级数是nB 乘起来就是整个样品的对吧

好了 现在你整个的样品在这

你把波函数写出来了

zj的最高幂次就是mN对吧

所以一个朗道能级上面你填到最大的那个角动量

当然它的degeneracy的数目就是nB乘上A

所以M应该等于nB乘A 对吧

可是呢M又等于小m乘上大N

所以小m乘上大N就等于nBA 也就是小m等于什么呢

nB下边是

大N over A 好 现在就知道它的物理意义什么意思

我一共手里边有N个电子

这N个电子被A除

就是单位面积上的电子的数

可是我这个朗道能级在这

它单位面积上最多的是nB个

那就好了

这是最多的是nB 我现在手头有的是大N

被A除

当然这个\nu就是填充数

所以m就是填充数分之一

如果我填了三分之一 这个m就是3

所以如果这个m你写成3

也就是m是3

那就代表什么

我写的是填充数为三分之一的分数量子霍尔态

好 这个说明当年Laughlin

怎么写出来他的波函数

下面要说一个概念

分数量子霍尔效应

你要是看有关量子霍尔效应的书

它就占很大的篇幅

有好多好多讨论

当然在这里因为不涉及量子力学的最基本的问题

所以很多很多好的物理内容我们不能讲了

但是有一个有意思的东西来要讲

也是和原来Laughlin当年的工作是有关系

我们简单地讲一讲

在分数量子霍尔效应里面会出现什么

会出现fractionally charged excitation

就是有一种集体激发 这类的集体激发

当然这普通都称作准粒子了

它带有的电荷是分数

不是整数电荷

这有意思啊 就是在分数量子霍尔态

一般就叫做量子液体

因为这是当年Laughlin管它叫做incompressable quatnum fluid 它不可压缩

它稳定啊 三分之一

我就是自生系统

我是个稳定的系统

五分之一也是个稳定的系统

三分之二也是个稳定的系统

所以都叫做quantum Hall droplet

一个量子霍尔液滴 这个里面会有集体激发

集体计划怎么来的呢

Laughlin就说 好 假想你现在有个quantum Hall droplet

比如说吧 里边电子填充的一个

朗道能级上填充的三分之一这种状态

我现在把一个磁通量子慢慢的

在这个里边的某一点上面

让它穿过这一点

让它慢慢的从0一直增到一个磁通量子

那我们原来说过一个磁通量子

你可以用gauge transformation把它gauge away

物理没有变化

所以你引进一个磁通

让它从零增加到一个磁通量子

物理没变化

物理没变化什么意思

就是你这里边朗道能级

原来在哪

现在还在哪儿

原来怎么填充的

现在还是怎么填充的

但是我一个磁通从0增加到一个磁通量子

会有个什么变化

实际上我在这里面就多出一个集体的激发态

这个也就是我从我们原来讨论这个adiabatic hypothesis出发

如果你有一个东西

比如说磁通它慢慢的随时间变化

原来我们讨论的一般情况就是原来你一个状态

单粒子物理的某一个状态

它最后比如说原来是基态现在还是基态

可是我们现在不同了

现在是个多体的系统

多体系统

你中间让磁通从0变到一个磁通量子

单粒子的朗道能级没有变化

但是我这个quantum Hall droplet里边

我可以有集体激发啊

那么看好 这个时候集体激发是什么性质

原来我的朗道能级是高度简并的

比如说简并度是大N sub B 这么多

比如说是一亿或者是几千万

有这么大的一个degeneracy

我这里边填了三分之一的电子

它可以填多少

可以填到就是这个\Phi你加进去的磁场

它的flux被\Phi0除

也就是说你加进去的磁通有多少个磁通量子

你就可以填多少位

现在你填了三分之一

你的这个磁通里边有的多

还有三分之二没填

所以相当于一个电子分了三个磁通量子

好 现在你又加进来一个磁通量子

没有电子跟它结合

所以这代表什么

这就是代表一个空穴型的集体激发

你一个磁通不够啊

你必须得有三个磁通才能有个新的电子

比如说被你拿走一个电子相当于三个磁通

因为你磁通增加了

你空位增加

当然显示的就是你是打明拿走一个电子一样

可是你现在只有一个磁通

所以怎么办

它的电荷 就是空穴型的集体激发

它的电荷就是三分之一

你要粒子型的激发怎么办

好办 你把这里边的磁通一个磁通量子

从1你给他慢慢来减小

就是减小你的磁场

减小一个磁通量子

所以这个时候电子有的多了

所以就出现一个粒子型的激发

这个当然我在这里只是给大家说

等于说是argument一样

真正Laughlin做的时候

他把这个波函数写出来了

你从那个波函数写出来那来看出来

它的电荷就是三分之一

这是跟三分之一的填充有关系

我一个朗道能级填充了三分之一

这时候它的集体激发带的电荷

就是三分之一的电子电荷

这个 不只是随便说说 这是可以做实验的

那么这个实验也就是一个argument 怎么样

你磁通变化电子就会出去

这里边就有空穴

你出去三个磁通

等于你可以减一个电子

你出去一个磁通

所以里边的空穴有三分之一

而且可以做实验

这怎么做

集体激发的电荷你怎么量

这个时候最早在80年崔琦就有过一个建议

就是说你用发射噪音叫做shot noise

用shot noise来量

shot noise怎么量

你要能量这个就好了

怎么量呢 理论家文小刚出来就说

分数量子霍尔这个集体激发

这个准粒子它可以沿着你这个droplet的边缘

它有边缘态

所以它有电荷

它可以在边缘上流动

于是Kane和Fisher 这俩也都是理论家

就建议怎么做呢

用一个quantum point contact 量子点接触来做

量子点接触就是这样的东西

比如我这是量子霍尔的样品

这个样品呢 我朗道能级上面让它填上三分之一

然后我在这个地方做一个

很窄的这么一个瓶颈似的东西

就是这个地方中间通过传导电流的时候

就不那么容易了

这个就叫做量子的点接触

这个时候它的集体激发

可以沿着这个边缘在这流

比如说在上头是从左往右流

它在下头就必须是从右往左流

这是chiral 好了

一个集体激发的准粒子流到这儿

它一看这对过这距离很近

于是就可以发生tunneling

好 你通过量子点接触tunneling

你就可以量 量出tunneling的流

你怎么来区别它是三分之一

也许你比如说一通过一个tunneling

你量出来了

这就相当于噪音一样

因为本来集体激发就少 tunneling几率也不大

所以可能半天“邦”过来一个 半天“邦”过来一个

你怎么知道它的电荷是三分之一还是一呢

实验家 很聪明

就说怎么回事呢

这就跟你下冰雹子一样

你比如说现在下冰雹子

我在一个铁皮的房子里边待着

于是我就听着房顶上落冰雹

下冰雹吗

跟这个shot noise一样 它是噪音

它不是给你非常均匀的“邦邦邦邦”

不是这样响

它是这样“邦...” 这样下是吧

三分之一电荷的冰雹

或者是三个三分之一电荷的冰雹

和一个电荷唯一的冰雹

它的电荷量是一样

所以你经过tunneling的时候

它总的效果一样

可是一个是三

一个是一个

所以好电荷唯一的一个冰雹

这一下电荷为三分之一的三个冰雹呢 可能是

这样

它是随机的呀

所以呢 实验家根据最后可以区分

我对实验了解的并不那么好

所以在这给大家一篇文章

你看一看这中间是个点接触

两边是这个quantum Hall liquid

那个时候在边缘上会有电流是吧

在这儿会有tunneling

然后你就可以测量

测量完了以后

你看这就是随机的量出来的东西

这就是他们实验做出来的结果