S10.2 Order parameter and phase coherence(2)在线视频

上一次我们介绍了杨振宁引入的

非对角长程序的概念

非对角长程序的存在

就是有没有BEC的物理上的判据

在这个里头

我们当然就用了一个场算符\psi

那么\psi场算符它的平均值

就是我们BEC的波函数

那BEC的波函数

我们在这里就把它写成

这是波函数

可以写成它的振幅

乘上后面一个像因子

θ就是相位

那我们知道在量子力学里面

有波函数的相位很重要

但是你要注意

这个相位不是一个绝对相位

在那起作用

你把一个状态

通过一个比如说分束器

给它分成了两个状态

这两个状态相遇

它要干涉

在干涉里面起作用

是它的相位的差

所以一个波函数有相位

你可以前面随便乘上一个E的α

它在物理上表示的状态

完全是一样的

所以这是量子力学里面

相位很重要

但是并不是绝对一个波函数的相位

它的值可以解决什么问题

你可以随便乘上一个E的α

你也可以加上一个常数的相位

好 那么下面在量子力学里面

给了波函数

你就可以求probability current density

就是几率流的密度

你把sin带到这里就是

好 我现在把这个表达式带进去

带进去以后得到probability current density

就是这样一个表达式

这个N就是我原来波函数模的平方

所以刚才我就强调过

一个相位的绝对值

就是它这个值本身

你可以给它加上任何一个常数

但是gradient那只有一个了

你求它的gradient

所以在这儿你看

物理上的probability current density

和相位的关系

它这是个规定的θ的关系

那我们知道

玻色爱因斯坦凝聚体它是超流体

反过来说London

当年解释超流液氦的时候

他说这个东西就是BEC

所以BEC就是超流

超流的速度叫做V

它和probability current density的关系

J就是N×V

所以你在这儿把N拿掉

hbar/m就是superfluid velocity

大家注意

superfluid velocity这个矢量

它是和gradient成正比

所以我来取curl curlV恒等于0

所以curl V一定是0

因此说我一个BEC它是超流体

这流体的本身它是一个

irrotational flow

这个流体它在流动的时候

是一个无旋的流

它的curl 是0

但是请大家注意的一点就是说

你要看这个V

如果它是一个好的函数

这个结论没有问题

但是它会有起点

在起点的地方

情况就不一样了

所以下面我们就逐渐的

要过渡到给大家讲一个

在BEC里面一个非常重要的

物理的现象就是涡旋流

我们现在就把刚才那个

superfluid velocity V拿来

我做这样一个contour integral

就是integral ds

integral ds是一个线积分

而且这个contour integral

是一个封闭的线积分

就是你在某一个空间

比如说在某一个二维的曲面上面

你画一个封闭的曲线

那这个时候

你就沿着这个曲线

来做V的线积分

我把V带进来

当然就是

你看看这个积分很有意思

gradient \theta是代表θ的变化率

\dot 上一个ds就表示

矢量厂沿着封闭曲线相位的变化

你现在是close integral

你转了一圈回来了

那你相位的变化是多少呢

由于我的波函数具有单值性

所以这个变化只能是2πn

就是2π的整数倍

所以你看这就是

N是一个整数

不过有前提条件

什么前提条件呢

就是我这个被积分函数表现很好

它不止是单只的

而且在contour integral里面

没有起点

那这个条件就是我这个积分有个名字

用\Gamma 表示

它在物理的名称叫做环流circulation

circulation是\hbar/m的2πn倍

这个条件叫做

Onsager-Feynman condition

of circulation

就是你在超流里面

你要是求这个circulation

它一定是某一个宇宙常数的

\hbar/m的2π整数倍

但是呢

当然如果我被积分函数表现很好

而且contour没有奇点

那当然我这个n

很容易你就看到它是0

为什么

你一个函数在表面上某一点

有一个值

你绕一圈回来

回到原来那点了

那这个函数的值

当然还就是原来的值

因此θ没有变化

但这个前提条件是

里头不许有起点

那个n就是0

里面有了起点怎么办

这就引入一个重要的概念

就是vortex

所以下面来讲vortex

vortex这个状态

这个当然就代表

BEC里面的激发态

BEC的基态

如果你是一个homogeneous BEC

那这个时候它的基态

就是动量为0的状态

如果你是一个harmonic trap

那么harmonic trap的基态

就是你的BEC的基态

vortex是BEC的

一个集体的激发态

它的图像我们现在就来研究

在BEC的wave function里面

你设θ和方位角\phi

是成正比

也就是这时候

我在XY平面里面有一个方位角

这个θ相位

波函数的相位就等于

\phii乘上一个比例常数

这个比例常数叫做vorticity

涡旋度

就是涡旋转的剧烈的程度

当然根据波函数是单值的

\phi转一圈回来

变成\phi+2π

那θ只能是2π的整数倍

所以\kappa一定是

一个整数

那你现在来算这个BEC

它的superfluid velocity

在这它只是\phi的函数

你求gradient的时候

只求\phi分量就够了

所以这就是

就是从平面原点到你的某一点

R的值叫做R_\perp

因为现在没有z- component

所以就是

这是它的大小

gradient的方向

就在方位角增加的方向

你把刚才那个带进来

实际上 正好得1

所以你就得到的是hbar/m

前面有个\kappa

是原来的\phi的

单位矢量

就是这样

请大家注意这里

这个superfluid velocity是有奇点的

在R等于0的这一点

你看它在分母上

所以这点是singular point

所以对于这样的一个东西

就是一个vortex

这个vortex superfluid velocty 和 R成反比

所以你离原点越远

superfluid velocity越小 转的越慢

离的越近就转的越快

这个有点像什么

你就是一个洗脸盆

你放满了水

你把下水道塞子一拔

你看严格的意义上来讲

并不是我们定义的vortex

不过你看它离下水的地方越近

它转的越快

离得远的地方转的越慢

这是形象的来说明这个东西

所以说原点或者我们叫做

vortex的轴是一个起点

那在这点的地方

就没有BEC了

因为BEC它对相位的要求非常严格

它有phase coherence

你跑到相位的起点那去

那当然不行

所以实际上vortex是什么

就是一个超流在那转

但是起点那没有流体存在

这就是vortex

这个话都说过了

我如果原来contour integral

现在我在这画的是这样一个

红的这样的一个封闭曲线

这个里边没有起点

所以这个contour integral

转了一圈就是0

这个时候你这个superfluid velocity

转一圈回来还是原来那个值

但是如果你这有一个vortex

这是vortex的原点

垂直于平面的轴

就是叫做vortex的轴

如果你要是围绕它

你比如我画一个圆

来作为contour integral

这个时候怎么样

ds就是2πrdr

所以那个时候整个积分

gradient \theta\dot ds转了一圈

正好就是vorticity \kappa

这个就是围绕vortex

你做一个contour integral

当然不一定做圆了

做圆你好算

其实你把contour

怎么扭曲只要不碰到这个奇点

它的值是一样的

这个就是vortex的概念

这个就是把一个BEC

或者你用一个更好的实验的方法

让你的BEC沿着它的某一个轴

比如你一个圆筒型的BEC

你沿着圆柱的轴

让它很快的转起来

给BEC搅动量

这个时候你就会发现

将来BEC你把trap去掉

让它膨胀做造影

你就发现这里面出现好多黑点

黑点是什么意思

就是这个地方没有BEC

亮的地方就是有BEC的

所以你看你转的越快

vortices就越多

这个是16个

这个是32个

这个图是80个

这是130个vortices

而且不止是形成vortex

这个vortex还形成了

很规则的晶格

所以它是三角形的晶格

这个是很漂亮的图大家看到

下面我们来讲一个很重要的概念

就是说BEC它有很好的

相位相干性

也就是我们刚说过

BEC的波函数

可以把它写成一个负数形式

它有一个振幅

还有一个相位

当然一般来讲

相位可以是空间的函数

如果它是一个BEC

相位在每一点的

作为一个函数

它是一个很确定的一个函数

但是这个在原则上来讲

不是无条件的

那我们来看

在量子力学里面我们知道

number operator N

和phase operatorθ是一对

canonical variables

所以他们的commutator

应该是I

他们的uncertainty relation

应该是\deltaN \Delta\theta≥1/2

在BEC里面是没有问题的

因为什么

因为在这个不确定关系里头

我们有了一个自然的条件

就是\Delta是很大的

可以大到比如说几百几千几万

你说那么大

因为问题在于

比如说我们现在有一个

条件很好的置备好了BEC

置备好了以后

一般来讲它是可以用一个

相干态来描述的

就是Fock state

好多n不同的n来叠加

它的粒子束是不确定的

但是它有一个平均数

我们原来说过

BEC里面原子的平均数是多少

当然你愿意做实验也不要多

你愿意几千几万都可以

但是你要多的话

十万百万千万

在一千万个粒子里面

你差个100个

这可以忽略了吧

所以说这个\Delta N n

可以是很大

但是实际上BEC粒子束的平均值

它的variance仍然是很小的

因为它的variance squre root

一千万个或者一百万个

10的6次方

square root是1000

差1000个

我现在实际上差不了那么多

所以说你有很大的n

很大的n就要保证很小的θ

所以说在这个条件底下

你就可以认为你的BEC

它的相位相干性是非常好的

前提就是说实际上

粒子束的不确定性可以比较大

但是实际上作为BEC本身来讲

它的variance仍然是很小的仍然是很小的

所以还是可以很好的描述

顺便说一句

在理论上处理BEC的时候

一般的不要求这个n具有确定值

当然你要求也没什么不可以

那个时候你做起来当然就很麻烦

而且它的phase本身有问题

所以一般都用粒子束不来确定

但是我有平均数

这样就是了

这就是刚才说的那段话

我用相干态来表示BEC

它的variance是很小的

因为相干态它的粒子束的分布

是Possion分布 Possion分布和n比起来

当n很大的时候

squre root相对来讲是很小的

相对的值是很小的

好 在这附带说一句

这个量子力学里的不确定关系

到现在还没有讨论清楚

因为什么

因为\delta N理论上说

\deltaN 是0

完全确定粒子束

\delta \theta是无限大

那没意义

θ是一个相角

它的值是 mod 2\pi

所以你说\delta是π

或者2/3π

这物理上都有意义

你说θ是5个π

物理上没意义了 对吧

因为到了2π又回去了

这是一个

还有把θ作为算符

你就发现这个东西

e^i\theta phase factor 本身不是unitary

还有一个怪的性质

就是n和θ

它的commucator应该是I

I取n的平均值就应该是I

如果n是归一化

它就是I

可是你真正算算它是0

为什么

你看我现在要算这个东西了

中间是

两边对n求平均

前面第一项你把n往左作用

小n是大n的本征态

所以前面拿一个本征值出去就完了

后面这个你把n往后作用

不一样

都是拿出一个n

所以就变成n-n了

中间是θ的平均值得0

本来是I怎么能得0

所以这个问题其实是很复杂的

这个在量子力学前沿问题里第九章

这是葛墨林教授写的

关于这个问题有仔细的讨论

有兴趣的同志可以去看

我们那本书的第九章就是

在这附带的提一下

在BEC不确定规则没有任何问题

下面就继续深入这个问题

BEC有很确定的相位

那实验上是不是如此呢

这有一个Ketterle判别性的实验

非常重要

他做的是Na

MIT做实验多数是用这个

Na23这样一个原子来做BEC的实验

他们在这制备了一个

cigar BEC雪茄型的

你看它是一个长的两头尖

中间这个地方粗

这个很像一个cigar

这个我们知道里面的相位

你说它是常数也好

你说它可以稍微的

随空间变一变也好

它都是很确定的

现在它用激光在中间打它一下

激光一打

吸收了激光的BEC温度升高

就跑掉了

trap不住它了

所以拿激光一打

你看就变成了两团BEC

中间空了 对吧

你用的激光越粗

可以打出距离越大的两团BEC

你用比较细的激光打

得的是距离比较近的两团BEC

好 现在把trap去掉

发生什么事情了

这两团BEC原来在一个

chamber里面

很细的cigar

现在你把trap一去掉

没有trap没人管他了

它是感受到引力的

它会一边往下掉 一边膨胀

一膨胀这两团

不就又交叠在一块了嘛

交叠在一块不就会干涉嘛

那我们看看它干涉的结果是什么

就在这

两团距离比较近的condensate

距离是多少

32个\mu

得出来是比较密集的条纹

说明它的phase coherence

保持的很好

你拿激光打了一下

它仍然很好

所以仍然两团coherence

是很好的

所以得出这个干涉条纹

距离大的那个

得的条纹越密集

也是有条纹存在的

所以说phase coherence

得到很好的证明

还有呢有个刁钻的问题

这个刁钻的问题是艾德森提出来的

艾德森提了一个问题

就说是我现在

我置备了两团超流体

superfluids

比如说两团原子

置备的时候条件是完全独立的

这两团谁也没见过面

你看艾德森提的很刁钻这个问题

the two superfluids that

have never seen one another

possess a definite relative phase

这两团没见过面

它们的相对的相位是不是确定了

我们刚说两边的相位

它的值是没有直接物理意义

你可以给它这边加一个3

这边加一个5

那你加的时候不一样

它的相对的相位不就变了嘛

到底有没有确定相位

所以这个问题是个非常刁钻的问题

还有同样的刁钻的问题

我现在制备两个Fock state

粒子束是完全确定的

所以说它们的相位完全不确定

这个时候你把这两个

Fock state两组原子

让它相遇

它干涉不干涉

没有绝对相位

你想准不干涉

结果这两个刁钻问题的答案

是一样的

这个有很多人研究的

在这儿我们引了一个

Castin Dalibard

这是法国的一个组

在PRA上的

另外在理论上描写的很深入的

是刘力

这就是我们物理系的尤力教授

Villain Castin

他们在PRL有两篇文章

深入的讨论这个问题

可惜我们没有时间在这

没有空去讨论它

可以告诉大家的结论是什么

就是下面这个

两个Fock state它也照样干涉

给你干涉条纹

那你不说Fock state

相位完全不确定

那它为什么干涉

结果这个里面有动力学

叫做quantum dynamics of phase in BEC

就是BEC它的phase

它是可以动力学的来演化的

你把两团Fock state

本来phase并不确定

一相遇以后

结果由于动力学

就演化出来它一定的相对的phase

结果你就看到了干涉了

上面说你置备了两团超流体

比如两团BEC

你让它相遇

它干涉不干涉

这个实验很容易做

就是这个

这个就是Ketterle

他们做的实验

就是你从两个独立的BEC的源

放出来BEC

把trap去掉

让它们相遇

结果干涉条纹都具有确定的phase

但是你不知道相对的

phase是多少

往一块一放

一干涉你就知道它的相对相位了

做成另外一组

也是两团 也让它相遇

结果比如在同样条件里得到的条纹

你会发现它的相对的相位不一样

这个还比较好说

因为它本来是两团BEC

它就有很好的相位

更刁钻的那个问题

就是下面的这个问题

两团Fock state它照样有

所以这个确实是个非常重要

又有趣的问题

这个就是Castin 尤力

他们做的工作