S6.8 Wave function with a macroscopic significance在线视频

这一节是

Wave function with a macroscopic

significance

就具有宏观意义的波函数

这个在我那书里是5.1节

也就是说在

波尔本来想用微观和宏观

来区分量子和经典

但是实际上宏观体系

照样用量子力学描述

我们刚才讲的薛定谔猫

那就是个宏观系统

完全是量子来描述的

那另外

在物理学里边我们知道

超导 超流

这都是宏观体系的性质

他们也都爱用量子力学来描述

比如说超流He London就是指出

它就是玻色-爱因斯坦凝聚

玻色-爱因斯坦凝聚是凝聚体 是宏观

但是它只有一个波函数

这个波函数是量子力学的波函数

这个最早Penrose和Onsager

后来杨振宁就都告诉你

你这个体系是个宏观的

它有一个序参量

这个序参量就是库珀对的波函数

这里有振幅 有这个相位

这个波函数

它不是描写一个粒子的

而是描写宏观量子粒子

用一个波函数来描述

这里ρ和θ都是实数

而且这个ρ它是

我这个condensate的密度

就是凝聚体的密度就是ρ

所以ρ本身是一个宏观量

这样的波函数

你就可以写它的current

按照量子力学的规律写current

写出current来你就知道

它这个phase的物理意义是什么

gradient of phase是决定了

你这个超流里面的流

或者是超导里面的电流

那个j就是ρ乘上V_s

V_s就是superfluid velocity

这个超流体的速度

它是和\nabla θ成正比

下面要介绍

是一个非常有意思的事情

那么Ginzburg和朗道

在1950年就提出一个超导的

现象学的理论

phcnomcnological thcory of supcrconductor

它是从朗道的这个相变理论来的

由于这个工作

Ginzburg在2003年获得了诺贝尔物理奖

当然朗道更早得了

他们是个现象学的理论

请大家注意1950年

那么库珀对在超导里起作用

这是1956年的事情

当时当然不知道什么是库珀对

所以他们的理论不是微观理论

请大家注意phenomenological theory

现象学的理论

好 下面我们就先介绍这个理论

最后发现这个理论猜得真妙

原来实际上也是一个微观的理论

先讲朗道的一个相变理论

这个很简单

这是朗道铁电的相变理论

那么铁电体在高温的时候

就是一个paramagnetic state

它的自旋是无规的

那你必须得到温度够低

过了铁磁的相变转变温度的时候

它这个顺磁体里边的这些个自旋

一声号令都排好了

取了一个方向

这个时候就成铁电体了

那么这个相变怎么做

这个朗道你看他确实

想了一个很简单的理论

就把它做出来了

我们从这个Hamiltonian出发

就是我一个顺磁体里面

它有很多个自旋了

这些自旋的相互作用

就是在最近邻的两个自旋之间

有Si.Sj

这样的相互作用

前面有一个系数j

叫做exchange energy

习惯的前面还有个负号

什么意思呢

就是如果你这个j要是正的

那么你这个Hamiltonian就是负的

后面这个- scalar product

那你什么时候能量最低呢

就是自旋大家排好

这不就铁电体了嘛

如果J本身是负的

那H右边是正的

那什么时候这个能量最低

就是你这些自旋越乱越好

它scalar product有正有负

一求和消掉了

0就是能量最低

所以说

这个跟j的符号有很大的关系

刚才说过j是正的

那它就会自旋都排好

自旋都排好以后

就出来一个自发磁化

叫做spontaneous magnetization

就是磁化强度是什么

你就把所有的自旋

都够它加起来嘛

大家的方向都一致

那它当然给出来

这个总自旋最大

那给出来的磁化强度也最大

所以你把这个自旋求和

前面除一下V

这个就是一个平均值

这个平均的磁化密度

就叫做自发磁化

所谓自发磁化

就是它自个儿排好了

你外面不用再加磁场

它自个儿就排好了

好 所以说

刚才说过铁磁体大家都排好了

这个M就有限

那你必须得低温

温度小于铁磁转变温度

那如果n等于0那就是顺磁状态

它自旋是乱

那就是温度比较高的情况

这就是说这个中间有一个相变

那这个相变的温度

一般是J被Boltzman k除这个量级

kT和J相比了

温度和你原来的这个

铁磁里边管住它排队的

这个exchange energy相比

你温度再一高

它管不住了就乱了

就这个意思

所以你可以猜得出来

它和它是同样量级的

朗道的理论怎么样 很简单

我就写我体系的自由能

体系的自由能和什么有关系

和温度当然有关系

还有一个跟你自发磁化密度有关系

和M有关系

朗道就这么一写

第一项是M等于0的时候的自由能

M等于0了

当然你就没有自发磁化强度了

这叫顺磁态

所以这就是顺磁态的自由能

你要想得铁磁态靠后边

后边一项是M平均值的平方

一项是M的四次方

前面有系数了

α和β

α和β

一般来讲可以都是T的函数

但是最后做的时候

β就作为常数了

就是β0

但是α是和T有关的

朗道说

我的α设成这个数

你看这个设的妙不妙

α0是一个正数 常数

如果你看温度T大于

铁磁转变温度的话

那前面这个大于1减1是个正数

所以这个α就是个正数

如果T要小于铁磁转变温度

α就负了

所以正好在相变点的时候

α变号

所以下边你就想办法

让这个α

在你需要的时候一变号就到了

铁磁的转变温度了

现在朗道聪明在于

他就后边加了个T四次方

大家看这里

他加了这么一个T四次方项

β总是正的

α会变号

那好了 我们来分析

二次方和四次方

这样的曲线

那么如果你这个M很小的时候

比如说比0大不多少

那这两项谁更厉害呢

离0很近的时候

是这个二次方厉害

因为你一个小数平方固然很小

你再平方它不就更小了嘛

所以在接近于0的那个地方

是α的这一项起主要作用

β这项起次要作用

等你这个变量越接近于1

那那个四次方的作用就更大

超过1

那显然四次方的作用

就比二次方更大了

所以你要把它在图上

画一画的话

你就会发现这样这个东西

如果你的这个α要是正的

那好 你画出来那个曲线

都是这个样子的

因为什么

你二次方的是抛物线

四次方抛物线的平方

大家离开0都是往大增加

呈这样的曲线

但是如果α要是负的

那就会发生什么

那平方项它是负的

所以在离0很近的地方

那个平方项起作用

它先往负的地方走

越走越走

那当然四次方的作用

就越来越大

到这这俩就摆平了

到这个地方就是正好

那个变量1的地方

以后四次方越来越厉害

所以就把这个曲线拉上去

好了 朗道就是要这个结果

那我们再回来看 来分析

朗道要的这个结果是什么

如果我的温度T

大于铁磁转变温度Tc

那这个时候

我的自由能最小点在哪

刚才我们画过图了

大家看

如果T大于TC

α是正的

我这个自由能的最小点在哪

在这

就在M等于0的地方

所以说自由能最小

你就没有磁化

这就是顺磁体

如果α要是负了

那你这个自由能的最小在哪了

大家看这个曲线

自由能最小跑到这来了

也就是说

它是在有一定

有限的M的地方

它达到最小

自由能最小要求你M有限

M有限是什么

有了自发磁化了

这不就到铁磁体了吗

所以说α是正还是负

正好就是给了你相变的转变点

好 刚才算的

这个什么时候发生最小

M的这个自发磁化的值

就是这么大

在这个地方就发生相变

相变得到的自发磁化强度多大

就是这么大

你把那个自由能拿来一求

极值就完了

非常容易就算出来

好了 所以朗道就得到了

这个相变的这个性质

但是有两个问题要回答

第一个问题从顺磁到铁磁

我们说这是自旋排队

那你问了自旋冲哪啊

冲东还是冲西啊

没有规定 它是随机的

它是这个里边

比如说原来有点剩余的

冲东的多大家就都冲东

剩余的冲南的多

有点剩余

那结果大家都冲南

它是随机的

第二个问题要回答

我这个整个的这个体系

M作为变量的体系

刚才说它什么方向

说是任意的

为什么任意

就是这个理论本来对于M

它是各向同性的

它有个各向同性

有个旋转的对称性啊

你说它随便选

因为它本来就是

各个方向都一样的

现在它选完了

你方向就有个确定方向了

比如它选朝东

那么东就是个特殊方向

所以有个东

这个东就不满足你的这个

对称性了

所以说现在有个对称性的

破缺的问题

破缺是怎么破的

不是你物理上

有什么原因让它破

就是说

因为你的自旋选了方向破

所以这种破

它有一个名字

叫做自发对称破缺

spontaneous symmetry breaking

也就是原来有一个旋转对称性

不是由于物理原因Hamiltonian变了

没有

它那个Hamiltonian或者Free energy都没变

什么变了

你自旋选了方向

是你这个基态本身

不遵守你的对称性

它选了个东边

东边就特别

选了南边

南边就特别

这个是由于它的基态选的

是state选的

不是Hamiltonian变了

所以这种自发破缺叫做spontaneous symmetry breaking

这种现象就是叫自发破缺

是在粒子物理里面出来

应该说是粒子物理里

把朗道的相变理论

拿出来用出来

使得物理学界大家都知道

其实朗道原来早就提出来了

而且朗道和Ginzburg做了他们的理论

后来当然到处都有了

比如下面的这些现象

在这个宇宙学

在这个固体物理里面

这个domainwall和monopole等等

宇宙学

多体物理和凝聚态物理

都有很多应用

好 下边咱们来说Ginzburg和朗道理论

就是利用刚才这个朗道相变理论

他们就说

我们现在来做一个超导体理论

这个超导体理论

在我的理论里边产生超导转变

我的温度变

然后经过了超导临界温度

它就会发生相变

那我这个理论里边

就要体现这一点

可是我要解决超导体的性质

所以下边怎么写这个自由能啊

这个就大有讲究了

好 我们原来说过超导里边

这个原最早Penrose Onsager

后来杨振宁

都强调了

超导的序参量是谁啊

就是这个ψ

有个ψ就是超导序参量

然后也许杨振宁在那个库珀对以后

不过Penrose和Onsager

原来就给了一个超导的序参量ψ

有一个ψ就是超导序参量

这个ψ有没有什么微观基础

当时咱是不知道

我们就宏观的用它

在统计物理里边来讨论

好 他们猜的free energy在这

第一项就是normal state

正常态

后边这个是他们两位的贡献

你看后面这两项

这个a就是原来的α

b就是原来的β

你看这不是二次方嘛

这不是四次方嘛

这个就是朗道的相变理论

搬过来了

但是我将来解释超导体

你这个超导体里边

它的序参量在不同的位置

序参量可能变的

怎么办呢

加了这么一项

大家看这是gradient ψ

ψ可以是x的函数

所以gradient当然可以随

它的地方变了

大家一看

你这不是量子力学里的动能项吗

hbar^2 2M*

他们说我这是微项加进去的

我不知道ψ微观的是什么

我就加了这么一项

因为超导是量子现象

当然要用hbar了

要不然hbar怎么进去

在这加进去了

M*是什么 不知道

这就是个有

某一个有效质量

加进来的结果

他们要求这个a

随超导温度有个这样的

线性的变化

你看T大于Tc

这个a就正了

T小于Tc a就负

那这里α是比例常数

α是大于0的

这个b也是大于0的

相变的问题完全按照

刚才朗道的那个说法做

下边就说明他们

怎么把它这个free energy往下推

好 他们又做两件事情

因为他们要研究超导

超导你必须考虑电磁场

讨论迈斯那效应

所以这个里面他们做了两件事

第一件事有了磁场

所以我在free energy加了一项

这是磁能的密度

总的积分嘛

\int dx对空间积分

这个加进去大家好想一下

另外还妙的一个是什么

大家回去看

它这不有个

像量子力学动能的那个东西吗

现在有了电磁场

电磁场怎么进free energy

他们说好 咱们仿照

这个地方量子力学

你看在这做了 substitution

在原来的gradient后边添了一项

大家说你这不是量子力学

他说不是不是

我这有个e

这个e是某种有效电荷

是什么我不知道

但是我电磁场怎么加

就从这加进去

所以你看现在他们写自由能

这加了一个磁能

这块加了一个电磁场

怎么影响这个体系

好 下边就好办了

就是按照理论的一般的做法

首先我考虑相变

我这体系是处于平衡的

所以它的自由能必须最小

我就必须做变分

让自由能最小

我的自由能现在里边

有两个函数

作为变量

一个是ψ

这就是超导的序参量

还有一个是a

这俩我对ψ变分

得出了右边这个方程

对a变分得出第二个方程

这两个方程就叫做G-L equation

然后第一个方程出来了

我们看

前边这个怎么看

怎么像量子力学不管

后边这个

就是朗道相变理论给你准备

它就会能产生相变

而且非常自然

那就是a是变号不变号就完了

你让a变号 发生相变

第二个方程里边对a做变分

这是个curl B等于4\pi/c

这块出来一个j

这个j是什么

就是下边的东西

完全是Ginzburg朗道的东西

e*和M*这是俩参数

ψ就是我超导体的order parameter序参量

A是外加的电磁场

你越看怎么越像

你这不就是量子力学的current

他说你先别管

他说我根本

我没用量子力学

我就这么写

你再往下看就是了

好 再往下看

把这个ψ写成这个形式

这个当然实际上

后来杨振宁就是这样写的

前面这是\sqrt \rho

后面e^iθ

前面那个j你要用这个ψ代进去

你就发现它是这样的东西

所以你的超导的supercurrent

就和你这个序参量的phase是有关系

这个我们原来就知道了

后面当然还有一个电磁场有一项

你看他们得到的这个G-L equation 第二个方程

看起来这就是电磁学的

这不就电磁学嘛

但是这个j

跟我的这个超导的序参量

有很大的关系就在这

这个东西在超导里起什么作用

下边Ginzburg Landau的

第一个伟大的贡献出来了

什么呢

对这个j取curl

一取curl

cirl j这项curl B是0 没了

然后后边curl a是什么就是b

所以得到了这么一个方程

这个方程在超导里是有极大的运用

它有个名字

叫做first London

London给了这么一个方程

但是他并没有推导

他就建议的

这是London在 大概是1935年

他就建议了这么个方程

你拿这个方程在超导里

就可以有很重要的应用

所以你看Ginzburg Landau这么一猜

这么一弄

证明了first London equation

这是他证明的

从Ginzburg-Landau到第二个方程

然后你把ψ

序参量用这个微方程的这种样子

他不承认是波函数

我这就是order parameter

这么一写就得出来了

所以这个就是第一

第二把他们这两个方程去和

超导的所有的现象去比

特别是迈斯那效应都非常符合

而且这个时候跟实验一符合

就把他理论里边这两个

他原来不知道的参量定出来

是什么

一个是effective mass一个是effective charge

一定出来 好

M就是两倍的电子质量

e就是两倍的电子电荷

在这了

那说明什么

你说的这个序参量

原来就是库珀对的波函数

这是杨振宁指出来的

你这个超导的序参量

就是库珀对波函数

所以当时你要问

你们这个理论这么成功

你这个人又知道

你的effective charge and mass

那你这个

到底这个ψ的物理意义是什么

Ginzburg和朗道

当年只能说我不知道

你这就是个宏观的序参量

因为到了1956年

库珀对才确定

这个东西一确立以后

1957年就有前苏联的

一个物理学家Gorkov

就给这个G-L equation

给一个microscopic derivation

微观上知道库珀对存在了

然后把Ginzburg-朗道

这一套给推导出来

所以说Ginzburg朗道

你现在这个理论

你知道它肯定是对的

他描写超导也是很成功的

但是不完全成功

他也有他给不出来的

最后说他给不出来的

好 现在在G-L方程里边

出来ρ了

出来j了

出来gradient θ

这都是把ψ写成\sqrt\rho e^i\theta以后

那么这个都是物理上的

这个可观测量

j就和superfluid velocity

这个V有关系

ρV M*

V就是superfluid velocity

M乘V实际上就是库珀对的动量

它就等于这个东西

重要的就是说这样的j

和这样的这个a

它是gauge invariant

确实是

从Ginzburg-朗道的结果

下面你去推

A做规范变换

j随之变

结果完全就符合规范变换的要求

a这多了一个gradient θ

θ是wavefunction的phase

出来一个phase

好 另外当然从他这

可以有很多重要的推论

比如说在大块超导体里面

我们知道ρ是constant

ρ是constant

那当然你在这个equation of continuity里面

divergent j要等于0

你现在ρ是常数

所以\partialρ\partial t是0

所以divergence j就是0

所以j它是没有divergence

另外你再加上coulomb gague

因为这是gauge transformation

这是我加的

有了这个

好 你把刚才这个关系拿来

把这个关系拿来

你取它的divergence

左边是j

这个地方的V当然就是j/rho

你一取divergence

我知道divergence j是0

所以divergence左边是0

右边divergence gradient是Lapalacian

第二项A我取divergence这是0

因为我现在取的是Coulomb gauge

所以最后得出来就是Lapalacian θ是0

在大块的超导体里边

你想让这个second derivative得0

那你第一first derivative必须是0

你否则first derivative是constant

那就不行了

你θ从一个地方起

你往东它越来越大

往西越来越小

你这个

最后你这一大块超导体里边

order parameter

东和西怎么会那么不一样

那不可能

所以在超导

大块超导体

你想让Lapalacian得0

你必须让θ本身就是constant就是了

就必须有这个结论

所以θ是constant

好 那么θ是constant

你现在那个j本来有两项

第一项是gradient 那一项

θ是constant

所以第一项没了

j和a就直接就有这个关系了

刚才已经说过了

这就是Ginzburg 朗道方程的

第一个伟大成就

这是确实是1935年London建议

证明了London方程

有了London方程

Meissner effect, quantization of magnetic flux

全都可以得到

所以这个那是厉害得很

他就把超导里面

很多的问题都解决了

另外你把这个order parameter

写成ρ和θ的函数

那么ρ和θ满足什么方程

你直接一代就得到这么两个方程

好

所以这个就是Ginzburg-朗道理论的

他的所有的结果

然后这就是朗道和的相Ginzburg

Ginzburg在2003年获得了

诺贝尔物理奖

朗道是1962年就得了

另外他们的这个工作里边

你把刚才的那个current

那个方程拿来

把这个m*V写在左边

这是那个右边

你现在左右取curl

那curl是0

所以你就得到这个东西的

它的curl等于0

那么curl V就是B

所以你得到这样一个重要的方程

这个重要的方程告诉什么

你没有B

curl V就是B

这是个irrational flow

就是说超导体里头没有vortice

你有想办法把这个B

放到超导体里边去

这就是所谓第二类超导体了

Abrikosov

那这个里面有了B了

那这回curl V就不是0了

那就出现什么

出现vortex

所以这个也是

直接从Ginzburg-朗道

就可以得到那个结论

Ginzurg-朗道解决了那么多的问题

但是它有两个东西给不出来

什么东西

一个是transition temperature给不出来

他告诉你α变号了就发生相变了

那什么时候变号啊

他给不出来

还有gap structure

这个gap structure他给不出来

因为实际上它不是量子力学

gap structure完全是量子力学的性质

superconduct gap也是由量子力学给出来

所以他给不出来

因为它本身是个phononemological theory

所以说他们虽然给了超导

这么大的贡献

可以说明很多问题

但是最后它仍然是一个

phenomenological的理论

当然这个贡献也足够了

使得Ginzburg在2003年

获得了诺贝尔物理奖

关于波函数

也就是量子力学的宏观意义

我们在这着重的说了超导

但是实际上超流

也是量子力学在宏观里面的

这个重要应用

这个我们在这就不来

再给大家介绍

这一章就到这