S1.6 Density matrix & 2-particle correlation function for non-interacting Bose & Fermi gas在线视频

下边我们就来讨论自由的玻色气体

它这个里面要突出一个特别的地方

就是它会发生玻色爱因斯坦凝聚

这一点是

当然另外它在统计的意义上

也和这个Fermi这个统计是不同的

不仅仅是它不归Pauli不相容原理管

但是它要归量子统计管

所以它要显出

量子统计的关联性质

我们一会儿就会看到

先讨论它的单粒子的密度矩阵

这个定义你看这样

除了这地方没有σ

不写σ以外

和这个电子的费米子的是一样的

当然下面你要具体计算

就不一样了

我同样的必须把ψ

在r表象里的ψ算符

用这个p为表象的a^\dagger

和a算符来表示

因此也就出现这样的exponential function

就写成这个样子

这就是密度矩阵

玻色子的密度矩阵就是这个样子

再往下我用积分来代替求和

所以我把\sum of p前面我

就写成这样一个在密度空间的一个

三围的密度空间的积分

前边我又多加了一项

叫做N0 over V

N0什么意思

就是动量为0的这个粒子数

那被V一除当然就是动量为0的

这个粒子的密度

你说不对你这个求和变成积分

那你应该把这个p等于零

它包括在这个里头

这个积分你就是在整个的

这个一个分布里边积分

这个Np是玻色爱因斯坦分布

这个我下面具体解释

你已经积分

当然包括p等于零这一点了

你干吗还给它挖出去

这个当然是一个很细致的问题

因为在低温的时候

玻色子会发生玻色爱因斯坦统计

玻色爱因斯坦统计这个时候

粒子的动量都是0

所以你在动量为0的这个状态上

会出现宏观量那么多的粒子

那看你

你整个的体系里头都是什么粒子

它比如说有90%

在一个相当低的温度底下

90%的粒子都发生凝聚了

你这N0就代表了

整个数值的这个90%了

那你本来在这不是有吗

在这它算不了N等于零的那一点

为什么

请大家看这个积分测度

d3p

它写开了以后

那就是p^2 dpdω

ω当然就是θ到φ的部分了

它有一个p^2dp

你p等于零了

它那个p^2你不管

你后边这个Np是多少

是一百是一千是一万

你前面一个p^2一等于零

你后面那个N0就进不来了

它是个起点实际上是

所以我要这一点给它挖出去

专门把它写出来

甚至于主要的贡献在这了

发生爱因斯坦凝聚的话

主要的贡献是在这

后面的这个Np我就不仔细解释了

这个大家熟悉的

这个就是玻色爱因斯坦distribution

这个地方写的是p^2

你叫energy distribution也可以

你叫momentum distribution也可以

这样就是这样的distribution

你做计算的时候要用这个

这个地方不是有Np吗

你要用这个来进行计算

这个在曾谨言的书里面有

做出计算来

就得出来就是后面的这一项

所以我这个密度矩阵

就有两项做贡献

一项是p

p等于零的moment是0的这个贡献

一项是一般的更高的这个分布

这是在温度等于T

所以这个是叫thermal

热玻色子的贡献

这个是p等于零的这个condensation

凝聚体的贡献

那这里边有一个r0

这个在曾谨言的书里面细分

大家可以看出来

r0给出来的是这个

这个里面的包含我

刚才介绍过的那个概念Nq

叫做quantum concentration

你的气体的密度大到这个quantum concentration

这个时候你就要用量子统计了

就是这个意思

下面我们来看这个

一个玻色子的一个特点

我这个T逼近于0了

就说后面这个thermal boson

这个concentration没有了

我所有的粒子都会凝聚到

p等于零的这个状态

也就是玻色爱因斯坦condensation

作为一个凝聚体出现

那这个时候

N0就是就等于N自己了

那我的这个密度矩阵后面

这一项就没有

那就是N over Z就是N了

什么意思

请大家看这里我的这个密度矩阵

也和这两个粒子之间的距离

没关系了

没关系是什么意思

你说我让两个位置

让它趋向无限大行不行

这个式子不管呢

式子告诉你

它就是个常数就是那个密度

你这里边两个点你讨论密度矩阵

密度矩阵那有两个点

这个两点的距离多大我不管

你多远它都是一样

所以这个时候

我这个体系就出现了一个长程序

叫做long range order

长程有序了

你这个密度矩阵

不管你这两点多远

它都是一样的

所以这个其实

就是一个很重要的物理概念

也就是杨振宁

提出来的叫做ODLRO

Off-diagonal long-range order

当然我们讨论一个气体

说它这个

它的粒子之间有关联

它这个关联是很强的

你甚至于两点的距离

你让它很大很大

你一个粒子

就能够同时又在这又在那

这个关联性那是由于

玻色爱因斯坦统计给出来的

为什么叫做Off-diagonal

long-range order

就是它不是密度的虚参量

而是密度矩阵的虚参量

密度矩阵一个是r一个是r'

所以这是Off-diagonal

这是杨振宁给它起的名字

叫做Off-diagonal

long-range order

就是这个意思

所以它的特点玻色子

这个特点就在这里

下边关于二粒子关联函数

我觉得简单的说一下

大家可以看课件去进行学习

二粒子关联函数它的定义

和原来费米子的那个很像

也是这样四个operator

有一定的次序

你换出来以后也是两个exponential

然后它这没有自旋的问题

所以它的配对也是有两种配对

一四配对二三配对

或者是一三配对二四配对

这是有两种配对的方式

但是它更多出一个特点就是什么

它这里比如说你配对完了以后

一个叫p一个叫q

在费米子的情况

p不能等于q

那你两点到一块Pauli就不干了

那玻色子你p可以等于q

你两点动量一样

它在一块没关系

不止没关系

下面我们看到它

实际上这它会更欢迎

玻色子它的特点和费米子比

它这没有自旋了

所以也是有两种配对的办法

这个和费米子是一样的

但是有一个突出的特点

是一三配二四配

或者是一四二三配

两种配法

你得出来的是这个配这一对

和另外一个配这一对

一个动量是p

一个动量是q

你在费米子的时候

p是不能等于q的

那样的话这个两个粒子

跑到一块去了

不可能的

Pauli不相容原理要禁止

而在这里玻色子它不管

它p可以等于q

所以它会多出一项来

我下面的一个简单的说一下

二三一四配对

费米子那你个a算符倒个的话

它这两种不同的配对中间

是一个减号

玻色子不是

没有这个变号的问题

所以大家看这里

红的这是个加号

另外有两种可能

一种就是和费米子一样

还有一种它p可以等于q

这是多出来的

那么下面曾谨言那个书里面

给出来的计算

把这个p等于q的这部分也算出来

所以最后是这样三项

这个我不仔细说

仔细要讨论的在下面

就是我把二粒子关联函数

这个时候我让这个r和r'

让它凑在一块

r和r'凑在一块

去出现一个g0

这个时候你再来看这个g0的话

最后算出来这个g0等于2

它不是1它是2

这就怪了

那出现这个2

物理现象这叫做玻色子的聚束

The bunching for bosons

就是玻色子它不仅仅是

不受Pauli不相容原理的约束

而且它不仅没有排斥的这个趋向

而且有一个趋近的趋向

就是玻色子它愿意往一块凑

所以这个你叫做bunching

那么大家来看这个点我画出来的

它的这个二粒子关联函数

它的这个曲线是这个样子

这个我们在这也做了近似了

因为你要真是用

玻色爱因斯坦凝聚

那样来算也比较麻烦

曾谨言那个书里边他也是

我假定了我这个分布

是一个高斯的分布

那算起来比较容易一点

这样就算出来以后

得出这分布函数

就画在这里是这个样子

刚才我强调的那一点

就是r-r'的绝对值是0的话

两个粒子跑到一块来

它这个关联函数不是1

而是2

这就代表这个玻色子它要趋近

其实这个性质你在量子力学里面

也能够看的出来

比如在量子力学里讨论全同粒子

两个粒子全同粒子

它一个在α态一个在β态

它的波函数

大家看写出来就是这个

这是大家经常在量子力学

碰到的一个关系

如果我现在两个粒子

处于同样状态

这个玻色子当然是这个允许

它你看这个前面

出现了一个根号2的

它不仅仅是独立的粒子

如果它是可以区分的不同的粒子

它两个粒子

一个在α态一个在β态

它当然就是α1β2

两个粒子是同样状态

它就是α1α2

但是玻色子不同

玻色子你αβ不一样

那就是上面

这个它的波函数有对称性

它有对称性

你αβ换个个儿它不变

但是两个状态一样了

它就不单纯是α1乘α2

前面有个square2

你一平方它就出现一个2

实际上这是代表玻色统计的性质

所以关于粒子的密度矩阵

和二粒子关联函数

它突出的表现了量子统计的性质

就是玻色子和费米子它是不同的

那么我们用二次量子化

在这可以把它比较完整地

把它表现出来

那么关于第一个应用

我们就讲到这里

下面又要讲第二个应用就是超导