S9.2 2D problem under strong magnetic field在线视频

下面呢

紧接着我们要讨论

量子霍尔效应

所以再明确一下

我的二维问题

强磁场底下的二维问题

所谓强磁场

就是spin degrees of freedom frozen

它的自旋的自由度冻结了

就是它都极化了 是吧

电子都极化

所以能量本征值

就是这么大

n等于0就是基态

1 2 3等等都是激发态

这些就是朗道能级

那它的波函数就是在x方向是平面波

y方向是谐振子

好刚才那我们用的是朗道level

就是朗道最初做工作

简单起见用那个完全合法

那么我们得说的这个简并度

是什么呢

朗道能级的简并度

就是你在y方向不同的地方

可以放上电子

不同的地方由谁决定

由px决定

所以说

你这个朗道能级的简并

也可以用我在这上面的

这个电子

它的在px方向的动量

这是运动常数

它可以等于不同的值

从最小到最大

你把你的电子都放完了

这个时候

他这个简并度是由不同的px来的

下面呢

我们换一种这个规范

这个叫做symmetric gauge

对称的规范

刚才朗道规范呢它很简单

Ay等于Az等于0 只有Ax

现在我就只让一个Az得0

Ax和Ay分别是

Ax是二分之一的B乘y

Ay是负的二分之一B乘x

这样的一个vector potential

你算得的curl A

curl A的z分量是\partial Ay \partial x

所以就是负的二分之B

然后减去\partial Ax \partial y

那减去二分之B

负二分之B减二分之B

所以curl的z分量就是负的B

就是这个数这个值

好有了这个

我们就写Hamiltonian

现在写出来很对称

你看还好吧

这个x和y对称

这个时候只有Pz是运动常数

那另外一个怎么办

我们下面找

不用讲大家就猜出来

原来那个

我在朗道难题上简并是哪儿来的呢

不同的px

我现在是一个对称的规范 xy

那显然呢

这个时候呢

它的几何那就是个圆

那在也就相当于我在朗道能级上的

一个简并的能级 哪儿来的

就是不同的角动量就是了嘛

这个一猜可以猜出来

下面当然我们要把它做出来

好

现在呢

就引入复的 complex coordinate

复的坐标

z z star z star就是z的complex conjugate

它们分别是x+iy x-iy

它的scale是2a0

a0刚才说过这个是magnetic length

x和y是两个独立的坐标

现在我们通过它们

引进了z和z star

所以这两个应该是

作为独立的坐标来处理的

所以下面呢

我们就要做变换了

把x y变成z和z star

那么首先说derivative \partial \partial z

这是简单的微积分了

所以根据上面的dependence

\partial \partial z就写成这个样子

\partial \partial z star就写成右边这个样子

都是用\partial \partial x和\partial \partial y来表示

那么另外呢

原来有x square y square 是吧

然后呢

动能项里面会有这个gradient square

所以会有二次导数

所以现在我们把

x square y square用z来表示

就是z z star 就是它

然后呢

我们的这个动能里边的

这个对x和y的二次导数的和

那就是\partial \partial z乘上\partial \partial z star 就是这样

另外呢

还有一个重要的主角那在这里

就是我们如果来算一算

z \partial \partial z - z star \partial \partial z star

用xy来表示

一看哎呀

这是很熟悉的

这个就是orbital angular momentum

所以就是Lz是吧

然后i乘上它

实际上就是Lz被\hbar除就是了

所以这样一来Hamiltonian

立刻就写出来

写出来就是这样

那我们已经知道

这个运动是原来那个与谐振子嘛

那我们从二次量子化的表达式

也可以想一下

这个一定是个a \dagger

这个一定是a对吧

a \dagger a就代表什么

代表你谐振子激发的程度

所以肯定是会有这样的一个关系

好下面我就把它引进来

前面那个就是这个a \dagger

后面那个就是a是吧

分别呢

前面有个根号二分之一

现在我们就引进二次量子化的算符来了

本来是微分算符

现在能引进这个

这个是lowing operator

降低能量

这个呢

是一个raising operator 增加能量

那么a和a \dagger应该有一个commutator

就是1

这个都和过去完全一样

所以Hamiltonian写成这样 能量就写成这样

那么

现在我们引进一个新的物理量

就是

因为现在是一个对称的gauge

所以是圆的

要把这个角动量引进来

把角动量引进来就要引进一个B来

这个b和a

它正好是差着一点

就是这个地方的a \dagger

是z star减去\partial \partial z

这里面有你把号一改给它定义成b

这个地方你把号一改

你给它这定义成b \dagger

B和××的物理意义

下面大家就能看的出来啊

那么b和b \dagger

也满足标准的对易关系

然后呢

你可以从这个z和\partial \partial z出发

来看 就发现a和b是对易的

所有两个a和两个b都是对易的

下面呢

我们就来看这个b的物理意义是什么

b的物理意义是这样

我现在这个我的一般的波函数

我用\psi nm来代表

从哪来呢

我从这个\psi 00上来

\psi 00是什么呢

看这个大家不眼熟

如果你把这个z和z star用× square y square

来表示出来就是这个

这个就是高斯波函数嘛

这就是那个基态的波函数就是它

我这个地方前面的normalization constant不写

就是你这一看就是基态的高斯波函数

就是\psi 00

我用a \dagger作用一次前面这个n就变了1了

我用b \dagger作用一次后面0就变1了

所以呢

我这个一般的定义

还就是根据二次量子化原来那样定义

从\psi 00出发

你把b \dagger作用m次 代表什么

就代表你后面的这个量子数从0就变了m

你看\psi 0m是吧

你真算的话

它就是\psi 00乘上z的m次方

z是谁啊 z就是x+iy是吧

还有的就是2a0我不说了

x+iy是什么

就是serve harmonics

就是求一些函数的P11 是吧

x-iy就是P1-1

所以这个地方就是把角动量就带出来了

对吧

所以你在这儿来看

正好这就代表你作用m次

就代表它的

角动量在z轴的分量就是m

当然这是个特殊情况

警告

下面要看一般的情况比这个要

稍微复杂一些

对吧

所以说b \dagger其实就是产生角动量的

作用一次

在z方向的角动量增加1

作用m次

就是在z方向的角动量就是m了

所以呢

这个0m就是zm乘上e zz\star

另外呢真空态\psi m0

这个都是朗道Level

Ground level

这个level你要再让它

能量再降低

用lowering operator a作为在上面

你就会发现很容易你就证明

我知道\psi 0m是什么

然后就是这个是吧

你用a作用在\psi 0m上

你就发现它是0

也就是说我这是最低的朗道能级

没法再低你还让它低就不干了

就得0

所以呢

下面就可以正式来问

b \dagger b是什么意思了

那我现在能用这个Lz

就是角动量的z分量

作用在\psi 0m上面

当然现在用z来表示

就是这个operator

作用上去我知道它应该 m\hbar

这就是角动量的z分量乘上\psi 0m

你真正做一做

你就会发现没有错

好

所以现在知道

这个朗道能级是如果有简并的呢

那就是我现在考虑有一个圆

这个圆的这个面积是A

我说我在上面

这个实现的最大的角动量是captial M

所以说呢

我就知道我这个最低的朗道能级上

最大的角动量M这个状态

就是0M可以写称这个样子了

那我这个A ll是什么呢

当然就是\pi r的平方了

所以\pi

r方就是x方加y方

对于这个状态来做平均

在这我不在这儿算了

但是你还要做平均做积分

我分母我没有用这个归一化常数

所以分母就一个简单的积分

就是1的平均值

最后得的就是这个值

(M+1)2\pi a0 square

那也就差不多就是2\pi a0 square M

你像这个M是一个很大的数

我一个朗道能级上可以放很多很多个

圆的具有确定角动量

z分量的值的这样的轨道

所以是N加1就用M来说了

所以说我现在有知道

如果我有一个圆 它的面积是A

我能够最大放到角动量

是M那么大

那我就会有这个关系

A和M就有这个关系

因此

我朗道能级的简并度

总面积是A一共有M个轨道

所以这一除

就是一个朗道能级的简并度

单位面积的简并度

你根据这就是2\pi a0 square的导数 对吧

M在左边把这个除到右边去

那就是所以就变成负1了

而a0 square乘上2\pi就是eBhc

那本来a0你们是\bhar

乘一个2\pi所以变成h

你看这个

得到朗道能级的简并度

也只是和B有关系

你跟刚才这个朗道背景的结果比

完全一样

下面呢

就要把一个关键的东西给大家讲出来

就是b \dagger b到底物理意义是什么

实际上你根据b和a

然后和z和\partial \partial z的关系

你有这么个关系

b \dagger b就是a \dagger a

加上\hbar乘Lz

所以呢

这个Lz作用在\psi nm上

那当然就是

b \dagger b作用一下

a \dagger a作用一下

得到的就是\hbar(m-n)

你把这个 a \dagger a都挪到左边去了

所以这是m-n

也就是说

b \dagger b作用在\psi mn上

结果是什么

那就是

得出来是这样的

角动量的z分量是什么

对于波函数nm来讲

角动量的z分量作用在它上面

得到的本征值就是\hbar(m-n)

你得把这个n得减了

因为这里有一个 a \dagger a

是吧

所以你把它挪过去

你得把这个n得减了

所以说 b \dagger b

不是给出你这个角动量是多少

它要看你处在哪个朗道能级上

刚才我们用那个简单的情况

最低的朗道能级

b \dagger b一作用就给出来的是

角动量的z分量

而对于你量子如是n的朗道能级来讲

你b \dagger b作用上去不直接给你的角动量和量子数

给出来的是什么

你还得把n得减一减才行

好

所以现在这个b \dagger b和角动量的关系

就通过这个给出来

它作用在\psi nm上

得到的是\hbar

不是\hbar m 而是\hbar(m-n)

你要把那个朗道能级的数减一下

好

所以现在就全有了

\psi nm的表达式

你用a \dagger作用n次就得到了第一个量子数

用b \dagger的m次方作用上去

就给出你的第二个量子数

好

所以现在这个基本上就把这个

朗道原来的工作交代了

现在呢我们把朗道的工作

用到这个量子霍尔效应上

刚才说过量子霍尔效应

你在当它那个电流稳定的时候

在y方向要建立起一个电场

也就是说有一个potential

电场强度是E

那么Potential就是-Ey

这个就是在y方向的potential

在y方向这个potential

那是原来朗道做他这个问题的时候

没有考虑

他得到的是一个一个朗道能级

每一个都是高度简并

现在有了这个

那就把这个简并解除了

因为和y是有关系的

是吧

和你y的距离有关系

你刚才说

我y0不同是吧

它实现它的能量是不同的

你看现在我都来看能量的变化

能量的变化

你这就是potential energy

-Ey0

你的平衡位置不同

它的能量不同

你把px带进来

在这

现在你恍然大悟

说为什么这个原来在朗道gauge里面

那个px它不仅能量

它只决定那个位置

其实那个位置跟能量有关系的对吧

它是通过决定那个平衡位置

来进入能量

它在这儿进来了

这真是非常有意思的

所以

原来每一个朗道能级

现在都变成一个朗道能带

所以就是这样一个关系

E不止是和n有关系

n告诉了你是哪一个朗道能级

现在还有一个k

这个k

就是这个朗道能带里面

原来是简并的现在和k有关系

也就是和px是有关系了

px就是\hbar k

所以这个值代表px的值

这样就把这个式子得出来