S6.1 Schroedinger's harmonic oscillator wave packet S6.2 Coherent states在线视频

下面开始新的一章

叫做Border between quantum and classical mechanics,

Entanglement and Decoherence

量子力学跟经典力学的界限

在讨论界限和关系上核心的两个概念

一个就是纠缠

一个就是退相干 entanglement and decoherence

谈到量子力学和经典力学的关系

最早伯尔他的主张就是他们之间有个严格

的界限

量子力学适用于微观世界

经典力学适用于宏观世界

但是强划的界限不行

对

It did not work

我们下面讨论的说定谔猫的时候就知道

这个界限划不了

那么现在当前关于量子力学和经典力学

关系

看法是这样

整个的来讲

量子力学是一个正确的理论

他不仅对于微观世界可以应用

对于宏观世界也可以应用

比如我们这一章里面就专门要讲宏观体系

的量子力学

具体的就是超导和超流

这都是宏观体系

但是你必须用量子力学

那么

当你一个体系它的作用量如果比hbar要

大得很多的时候

就有可能从量子过渡到经典

我说可能

但是不一定准

过渡

你比如说超导和超流

它的作用量当然比hbar要大得多

它是宏观体系

可是结果仍然要用量子力学描述

所以当你的体系的作用量大于hbar的

时候

有可能从量子过渡到经典

这样的话量子力学是个总的理论

经典力学是它的一个极限的情况

当作用量很大的时候

就有可能是要用经典力学了

但是你怎么证明这点 和一般看一个理论

它的极限情况的时候

你是在理论里边

你让hbar比如说你的总量很大

你让hbar近于零

那不行

那说那个方程就没了是吧

所以这个是不是不是很简单的

我们下面主要从薛定谔的猫要讨论的时候

我们就可以看到

你不单纯是让哪个常数一设就完了

这个里面有个退相干的问题

所以我们这一章里面专门把退相干

decoherence

要来仔细来讨论好

下面我们就来说退相干

你要想量子变成经典

你就必须经过一个退相干

所以说退相干必须是从量子力学出发得到

的一个结果

你不能从外边加进来

你量子力学就不是一个完整的理论

我现在总的量子力学是对的

在某些情况底下

从量子力学的推论出来

就发生了退相干是这样的

所以说退相干的还不单独是你要求或者你

加一个条件就完了

它必须是量子力学的一个必然结果

所以这一章也就是关于理解量子力学最

根本问题的这样一个很重要的内容

好

我们下面就说这一章里面我们要讨论一下

薛定谔的一个企图

他从量子力学出发

我写出一个波函数来

你看看吧

他就跟经典的谐振子表现完全一样

所以他当时非常高兴

可是结果他说我往下要做氢原子的波包

结果就失败了

我们知道他必然要失败

在这个问题里边

我们会讲到在理论物理里边一个很重要的

问题就叫做动力学对称性

当然没和氢原子它的对称性

一般咱们当然一讨论就知道它是SO(3)

对称性

它是满足你三维空间的旋转

但是不是

它是属于一个SO(4)四维空间的旋转

这个里面是个动力学的symmetry

我们到时候要仔细一想

再有一个就刚才说过我们要讨论退相干的

动力学

他完全从量子力学出发

考虑了环境的影响

让它发生退相干

最后我们要讲宏观体系

的量子力学 就是量子力学

对于某些宏观体系

你必须用量子力学

也就是超导超流和BEC都要用量子力学

好的

下面先讲说薛定谔

对于量子力学的不仅仅是他创建了

量子力学的几个科学家之一

主要是薛定谔和海森堡

海森堡

当然Dirac也起了很重要作用的

那么

海森堡

就专门强调量子跟经典不一样

薛定谔

你专门说他不一样

我就看他一样不一样

于是他就来研究从量子力学出发

研究量子力学的谐振子的问题

你看我想办法让我写出一个波函数来

他的表现和经典的学生完全一样

我们学量子力学的时候

对于谐振子的概念

首先比如谐振子的基态

它就是个高斯函数

对吧

他的probability

amplitude 在零点的时候是最大的

你看经典的谐振子好了

比如你把经典的谐振子

你看这个谐振子是振来振去

我要画出它的在不同位置的几率振幅或者

是几率应该是什么样子

你知道这个振子它振到两头的时候

它的速度是最小的

他在那里要

会过很长比较长的时间

等他到了平衡点着

它的速度是最大的

很快就过去

所以它在probability或者probability amplitude

就都一样

你看是这样的一个曲线

它临近两个极端的时候

婆婆为例的最大

在中间平衡点的时候最小

你说这俩太不像了

你这个怎薛定谔么做呢

薛定谔

遵守波尔的指示

就是说量子到经典

你让一个量子体系

它的激发态处于很高的激发态的时候

他比如说能量的量子数N很大的时候

这个时候他的行为就趋近于经典

好薛定谔

记住他就写一个波函数

这个波函数是从谐振子的波函数里边找

那些激发高的这些波函数来把它叠加起来

形成一个波包

这个时候就像你这时候他得出来的

probability amplitude

像经典的样子

好

先说要求

所以想创造一个波函数

量子力学的波函数\psi(t)对于这个波函数

它的X的平均值就是坐标的平均值

你看右边这一些

这就是经典的些振子

他要求我能写出一个波函数来

你算它的坐标

平均值就是经典的表现

他怎么做

好

这就是说薛定谔1925年他创立了

量子力学的用偏微分方程的这种解法来

创建

那么海森堡早一年是代数的方法

好

薛定谔在1925年创立了量子力学

1926年他就来找量子力学和经典的

关系

你看谐振子要满足的薛定谔方程就写在

这里了

左边没有特殊

就是

右边动能也没有特殊

特殊的在于些振子的势能

它的势能就是 这就是大家

很熟悉的

好

他现在要创建的波函数

当然是它是含时的

我就可以把若干我的量子力学

谐振子的包函数

比如说这个

\psin下面我们给出来

这是他在X的部分

乘上它的能量

随时间变化的因子

我现在把很多这样

的东西叠加起来

叠加系数是Cn

我将来选择Cn选得好

我就能够让他表现的跟经典一样

刚才给的Cn本质函数大家熟悉了

一个高斯乘上厄米多项式

这就是能量的本征

函数能量本征值大家都知道

1/2就是所谓的零点能

时间等于0的时候

我将来要做一个很好的波包

那么时间等于0的时候

你波包怎么做

当然实验就定下来

所以Cn实际上就是时间等于0的

你创建的波包前面乘以\psi_n*积分

这就得出展开系数Cn 这是量子力学典型

的本质函数展开的方法

好

下面说就根据波尔的

只是我用高激发态来做

这就是波尔的对应原理

corresponding principle 怎么做呢

好

我最后的要求应该是这样

刚才已经解释过了

应该满足这个要求

我现在就写X的平均值

当然就是X我这是|\psi|^2积分

这就是求X的平均值

这个\psi我用刚才的展开式把它写开

就是\psi*\psi \psi就是Ck

后边有个CK

对吧

然后相应的因子

这是CK

\psi*这个展开

当然这就是Cn*

后面就是\psi_n*

是吧

我现在要求X的平均值

X就在这里

那么我们知道后面这个是怎么算

量子力学告诉你

对于谐振子问题

它X这个变量的矩阵元

就是下面这个式子给出来

这个是在大家学量子力学的时候就遇到过

了

我们在讲海森堡的代数方法的时候

也曾经用过这样X的

矩阵元就是这一个

你看我算平均是一个N一个K我这里矩阵元

实际上要求你刚才展开里边的K和N他

只能相差1就是N可以等于K+1

也可以等于k-1这两个可能

所以你把这个东西带进去以后

X的平均值就写出来了

就是这样

所以里边的\omega t来N和K只能相差一

所以exp(i\omegat)

要不然就是exp(-i\omegat)

前面的系数照常

你看这已经要差的不太多了

我最后要求有个cos(\omegat)你看这

一\omega t有个一的-\omega t 没问题

你只要让前面两项相等

他这就是cos

cos\omegat

对不对

好

我们知道C是负数

所以你要让前面两个系数

他复数的部分

C的c*的复数的部分

一个是exp(i\alpha)

一个是exp(-i\alpha)就够了

那你完全就是cos(\omega t+alpha)

了

你怎么让它相等呢

我们知道只要我们要求Cn

你可以把它分成

|C_n|

和这个地方的phase \phi_n就够了

分开了以后好

你要求Cn在n很大以后

他CN和CN+1和减一都差不多

当然是对

确实就是如此

所以我要让magnitude让这两个差不多加减

都差不多

\phi

我让不同的发之间它的差是\alpha

这样的话

你前面的magnitude的一样

phase是不一样的

正好phase它插一个负号就并到\omegat

里边去了

所以将好可以做到是上面这个样子

A就是前面这有个

sqrt(N)

然后有个|C|^2对吧

所以你就得出来的事

这样一个东西了

这是|cn|的

平方

前面那个地方是sqrt{N}你要注意

到我们谐振子的能量本征值是这个式子给

出来

我刚才有个sqrt(N)对吧

所以它就是sqrt(En)对不对

后面还有个sqrt(En)

前面一合并就合并成这样

所以你就得到的是这个式子

这个式子

前面sum物理意义是什么

我做展开的时候能量的平均值

|Cn|^2

就代表你做

叠加的时候

Cn它的权重的大小

权重乘上要的物理量

sqrt(En)

这岂不就是能量的平方根的平均值吗

所以求和就是sqrt(E)你看这完全经典

力学里边的谐振子表达式

对不对

而且最妙的一点

量子力学我们知道它可以做成波包来模拟

粒子

但是一般情况他肯定波包你在t=0的

时候

你做的挺好

你过一会这波包就扩散

你在这看没有扩散

不管你T是多少

他先严格的就是一个cos

对

当然相应的动量你可以得到这个表达式

所以说完全成功

他写的是纯粹量子力学的

波函数

这是个波包

也就是波函数的叠加

对吧

他的行为完全是经典的

所以说非常高兴就给朋友写信

说

我下边我就要做开普勒运动

就是氢原子里边的电子

我把它给你描述成一个根据行星运动一样

的

围绕原子核在那运动

他先把支票开出去

但是可惜它这个支票没有能够兑现

为什么没有兑现

我们早就知道谐振子时候很特殊的系统

再加二次量化

我们知道讲到为什么你从谐振子出发

最后可以到我一个多体系

就是因为你谐振子的能级

他是等间距

有了这个特点

在二次量子化的时候

我们好把它跟不同粒子数的体系联系

而在这儿等间距一个好处

它就是使得波包不扩散

为什么谐振子到了氢原子

他就失败了

因为氢原子能级不是等间距

所以你可以做波包

我们下边要给一个图给大家看

但是波包是扩散

这就是薛定谔的最早的一个企图

以后我们就知道

您要想拿量子力学完全模拟性的一个只在

这一个特例底下是可以做到

其他一般的情况是不可能的

好

从这儿我们引到理论物理里边一个很重要

的概念

叫做相干态

coherent state

相干态

就相干态在理论物理里面有很多应用

比如激光和BEC都会用到它

相干态的定义是通过Fock state

来定义

Fock state

就代表我一个多粒子体系

它的粒子数是确定的

如果它的粒子数是N那么这个状态就用

这样的一个Fock state来表现出来

我们在讲二次量子化的时候讲过

你这是真空

真空上你用粒子束产生算符A^\dag

作用N次

你得到具有N个粒子的状态

如果你要你的状态矢量是归一化的

下边有个归一化

因子

这个就叫做Fock state

我们通过Fock state

是吧

就可以看到我们的相干态和Fock state有很

重要的关系

相干态的定义是什么呢

相干态

你任何一个状态

你要给一个指标来这个描述它就代表他

那么相干态

它这个指标叫做Z是一个复数

那么我相干态canonical coherent state是

你在真空0的上边用这样一个算符

特定的算符作用

一下算符就是

就是算数

这样一个exponential上面有两项的和组成的

算符

算起来是不容易的

运算它有一系列的公式

叫做

Baker-Campbell-Hausdorff formula

关于算符有一本老书

这个叫Louisell

它的书名叫做

Quantum statistical theory of radiation

Quantum statistical theory of radiation

这个是在激光发展到相当兴旺的时候

应运而生的

刚说过激光老要用coherent state 对于这样的一个

state

你要做运算

你就需要这种样的公式

现在我exponential是上面有两个

算符就在这儿

你看

上面是算符

不是C数C说好办了

他就等于E^A×E^B对吧

现在A和B它是不对易

它有个commucator

所以你要算的话

在一个简单情况下边你算一次

看commucator可以

你再把看commucator和A或者是B再来算

他们的commucator时候

那个时候就对易了

也就是[A,B]

和A对易和B也对易

这个时候你用的贝壳看Baker-Campbell-Hausdorff formula

了

比较简单

一项就完了

如果AB的commucator和A或者是B

不对易

那个时候你这得到的是一个级数

我们下面就要用到

也会见到

好这个式子就告诉你

你把E^A和E^B你可以拆开

但是中间你要放上一个

commucator

你把E^A放在前头

commucator这有个符号

你把E^B放在前头

commucator是一个+

所以好

现在我就来算一下A和B的commucator

这commucator 主要就是A^\dag和A的

commucator

Z是C数

所以A\^dag和A的commucator=1

所以前面有个

抵消

就剩下的是个

|Z|^2对吧

那么这儿还有个1/2

所以你这个算出来

我现在用前一半这个公式来算

所以是E的负的

Z^2/2

就是1/2就是这个

来的

好了

所以等于这回他是个C数了

你就可以把它提到前面去

后边是 根据定义要作用

在真空上

后面这个因子作用在真空上就是一

因为你把这个因子做展开的话

只有第1项一作用在真空上还等于真空

以后都是A的

幂次A是消灭算符

真空里没有粒子

所以后面那些相作用都是0就是1

因此剩下的所以Z这个东西

好

有了这个以后

你把它和Fock state来比

Fock state是N那么这个地方也是N

剩下的这一个exp你写在前面

我这个东西作用在真空上

你把它一展开以后

你就知道那是

然后是A\^dag

作用在以不同的幂次作用在0上面是吧

所以你一前面有个Z所以实际上你得的是

个Z的

幂函数

后面A\^dag作用在零上

这个地方就是N所以你看我

canonical coherent state

实际上就是Fock state的一个叠加

它是有各种各样不同数目的N的状态叠加

而成

你下边就要问

那它的分布是什么

你这么做他也叠加

你叠加的规律是什么呢

好

下面我们就要给出那个规律来

canonical coherent state有时候干脆就叫

Glauber state

因为Glauber是研究激光有很大的贡献

他是2005年的诺贝尔奖的获奖人

所以后来有的人就干脆把canonical coherent state

叫作Glauber state

好

刚才提出来了

它的分布的规律是什么

首先我给一下coherent state的性质

第一它是归一的

你求他Z和Z scalar product

当然就是右边的这样

而右边你sum和前面

我那时候乘起来前面是负的

后面exponential乘起来就是1

第2大家千万记住

不同z的这样canonical coherent

不正交

你看你把Z1和Z2来做一个

scalar product

他不得零

所以你记住他可不正交

这就是coherent state和一般的量子力学里面一个

正交完备基

不同

他这儿归一了

下边我们会证明他完备 任何的一个东西

你可以用它来展开

但是他们不正交

有这么个特点

下面这里就是说明我的coherent state是把

一个算符D\alpha

作用在真空上的结果D\alpha它的性质

是个shift operator

它作用在A上

就给出D\alpha所谓的作用

你一个算符

他来做变换

对一个A做变换

这是作用在A^\dag

它作用在A上挪一个

\alpha

作用在A^\dag上挪一个

也用刚才那个公式就可以证明就不仔细说

了

后面我们会碰到它性质

好

下面要给大家完备的性质

完备的性质是这样

Z是一个连续变量

所以它不是一个sum

最后你看这个地方是一个

这样的一个组成的这样

的一个东西

Z是一个复变量

所以它的积分测度就是它的实步他的虚

部的两个D或者你完全用实数来写

就可以用极坐标就是

这是它的积分测度

这个时候你要把z zbar拿来

本来这是一个算符了

我们原来用的都是分立的变量

那个时候你如何sum 后面的

是

你最后就得出一个一来

一是单位算符

现在你把拿来

对于Z的做积分 复变量是z 做积分

前面要拿\pi 除一除

这个时候你就可以根据它的定义把它写

出来

就可以写成这样一个东西

这个东西的积分可以直接计算

因为Z是个复数

这里你就可以把他的幅角积分

出来以后

好

m=N所以这个时候你就简单了

这下面就是一个 里面

你看剩下的就是这个东西

这个东西你就用高斯积分的公式

你就一积出来就得1了

所以说它的完备的性质表现在不是一个

sum

而是一个积分

还要被\pi除一除才能得出单位

算符

完备条件

有的时候叫做resolution of unity下边有一个

性质重要的性质

其实刚才说过

是个shift operator

所以你看这个地方

你用的是

把A夹在中间

那就等于把他shift了一下

shift的多少

就是前面的这个式子请大家证明一下

怎么证明呢

大家可以用这一系列的公式

这个公式大家可以当做已知的

而且我刚才说过的Louisell这本书叫做

quantum statistical theory of radiation

他那里面有很多这种

有用的公式

上面这个公式是他那给的

如果我这个F是复杂一点

F是A^\dag的函数

你用这第1个公式

如果F是A的函数

那你用第2个公式

A和A dag都有

那类似的公式也能用

大家可以参考一下

好

我们请大家利用这两个公式

证明前面那个式子的性质

就是我 A在这

我用这两个算符一加

就等于把他shift了一个Z这么大小

所以我现在就把拿来这是shift opearator

这个它就等于A+Z我两边作用在真空上

右边很简单

A是消灭算符

所以就是Z作用在0上面

而前面一A\^dag作用在零上

你把Z\^dag一展开

Z就得出phase factor

然后A\^dag作用上去

你就会发现

你用这个关系

你把这个算符作用

在0上coherent state的定义就在这了

一这个算符作用在零上是什么

就等于你把exponential

搬到左边区

-的那就变+

所以这样你看是正作用在E上面

这就是左边

那就行

所以说我就知道把上面的得到的关系

你就可以得到A作用

在Z上看看它是什么

现在这个factor我可以把它搬回右边去

对吧

前面有这个算符

我把它抄到这儿

这个算符抄到这儿

后面我再把它搬回去

剩下了一个A了

A作用在Z上边

就等于我把exponential搬过来是吧

本来原来就有这个算符搬到这儿来

作用在谁上边呢

作用在Z0上面

所以你看把Z拿到前面去

后面这个定义就是coherent state的定义就

在这儿

对吧

这就是coherent state的定义

所以你就得到一个非常重要的结论

我的canonical coherent states是消灭算符A的

本征函数

你看A作用在Z上等于什么

所以说本征值就是

Z 好

这就得出这句话来

是一个非常重要的性质

有了接下去又是紧跟的一个重要的性质

就是说我把a|z>做他自己的scalar product

a|z>前面放过去

那就是

刚才A作用在Z上就是Z对吧

那么前面

z*

所以那么Z你又可以写成是A的Z的

matrix element刚才证明的当然Z*就是A

matrix element

这个关系告诉你什么

我有两个算符

一个A\^dag

一个A他们不对易但是你看他们乘积的

平均值等于分别的平均值的乘积

这是等于

在量子力学里边

如果你有两个不交换的算符

通常你右边要大于或者是等于

左边

你现在等于>没有了

这就说明它具有个重要的性质

这是由Glauber证明的

就是说你这个coherent state它有个好的性质

就是它的

\delta q \deta p

等于没有大于1/2

hbar

你从这儿就看到苗头

Glauber用了这个性质就证明出这个东西了

所以说重要结论coherent state

最小的不精确

态就是这样的态