S10.1 Introduction S10.2 Order parameter and phsae coherence(1)在线视频

下面我们要开始介绍另一个很重要的内容

这就是Bose-Einstein凝聚

Bose-Einstein condensation

作为学科来讲

它当然是属于原子物理

光学方面

但是一开始我就想

你做别的研究方向凝聚态物理

甚至于你做天体物理的

宇宙学的或者做粒子物理

希望你们也都来关心这样一个学科

因为这方面的研究从理论上来讲

可以有好多体系

可以允许你做精细的理论的工作和实验去

对比

在实验方面也可以创造很好的条件

所精确的测量

在这儿你可以模拟大爆炸宇宙学

也可以模拟固体物理里面

比如说Hubbard模型

他的描述的各种各样的东西

包括量子相变

很多东西他都可以来描述

好

关于这个课题现在时间也不少了

1999年RMP上面的有一

篇Review paper

当然这些人也都是做Bose

Eninstein凝聚方面的专家

关于Bose-Einstein凝聚在2001年给了诺贝尔

物理奖

这个里面Cornell和Wieman

他们是美国的nist就是national

institute of standard and technology

还有Ketterle是美国的MIT

他们领奖的时候做的诺贝尔做的Nobel lecturer也登在

RMP上面

是2002年

好

下面我们就来做一个介绍

大体上会讲到这样一些内容

最后特别要提醒大家

Cross discipline significance

它跨学科它有什么意义

你说我做天体物理的

你那爱怎么样怎么样

结果好多东西在它上面它会模拟

像这个inflation

inflation astronomy

好多过程里边东西

但是他认你可以设定条件做实验模拟

当然你没办法

现在让大爆炸再来一次

你去观察

这是不可能的

好

那么下面我们就来讲历史

历史是1924年的一位印度的青年Bose

他研究个什么问题

很多的光子我来做他的统计

把光子当成全同粒子

最后做来做起来很妙

他把Planck的黑体辐射公式给推出来

当时他是青年了

得了这么一个很特殊得很有意思的

结果他没把握就寄给Einstein

Eintein一看太棒

就帮助他把他的文章发表

Einstein当然究竟是Einstein

他往前走了一步

Bose做的光子质量是0

你的体系的光子数是不一定的

Einstein就把它推广了一下

我做的是有质量

玻色

或者是fermi

两种不同的统计

Einstein做的是有质量的Bose

那么

这个时候它的数粒子数可以是一定的

所以这个时候他就比玻色作的扩大了一步

在工作玻色的基础上

他做了扩大的一步

而且这是Einstein得出来的

我们现在在统计物理

量子统计都要学这个

这是Bose-Einstein统计他统计的分布函数

所以他们两个人就奠定了Bose-Einstein statistics

怎么叫做condensation

我们传统的玻色子体系

它的温度你给他降到一定的温度

这个是Einstein他发现这个时候所有的粒子

它的宏观量的粒子全聚集在它的基态上面

在一个状态上可以有宏观量的粒子

距离这个是condensation就是后来Einstein的

工作

Einstein做出来以后太妙了是吧

第一他有这么一个统计

第二温度够低的话

他都凝聚在一个状态上

这是从来没有过这种情况

我们下面会分析你玻尔兹曼统计不可能产生

这种现象

所以说Einstein得出这个结果来以后

连他自己都不相信

他给他的好朋友Ehrenfest在写信的时候

说明它这个工作

然后有这么一句

那事能是真的吗

连他自己都不相信

所以后来可惜的是他自己不相信他一辈子

以后就再也没回来

想这个问题

否则也许早就会有更多的进展

真正把Bose-Einstein

condensation和物理体系联系到一块

最早的是London

London

照片London

他在一个1937年的讨论会上

这个讨论会是纪念100生van der Waals 生日100

周年的讨论会上他有一个说法

就是说当时以研究的液He

他的\lambda_C是液氦到了多少

2.178 可能记得不清楚

但是这么一个温度K的底下

它会变成超流的这个现象

那么

而且在当时的背景就是另外一个重要的

物理学家George Uhlenbeck

他本来对于Einstein

统计Bose-Einstein 统计是反对

那个时候他撤回了

这个时候London就宣布液氦的\lambda

transition就是Bose-Einstein统计

这是真实的物理系统

把Bose-

Einstein

statistics联系起来

这就是London的

这是历史

好

下面这就是F. London

他在1938年大学生是发表文章

说是把联系起来

而且他做了计算

他算出来的临界温度3.2k

我刚才说了实验是2.17K的超流

所以基本上正确不那么好的原因是什么

因为这个理论太难做了

他有比较强的相互作用

所以很难作准得到3.2K已经不错了

好

那么

既然液氦是condensation很好

但是理论不好研究

后来就把希望寄托到气体上面

气体怎么能不能做成

Bose-Einstein condensate 那么比较做的多的一个是

Rb87

就是在NIST

Wieman和Cornell他们做的是Rb87

MIT

Ketterle里坐的是Na23

大家可以研究这两个东西都是Bose

这上面这是质量数

当然你从质量数上你看不出来它是什么

但是这都是碱金属

碱金属它的电子是奇数

所以你看87个核子和奇数个电子合起来

是个整数

所以它的自旋是整数

那么那里也是一样

就是说它核子数都是奇的

电子数也是奇数

奇数核子加奇数电子

他本来都是费米子 两奇数加起来是偶数

所以结果还是玻色子

好

从早期从上个世纪中叶开始

就做起

这个也是圣餐杯

一直到什么时候做出来实验

做到低温

那是困难的

在这儿应该提到在上个世纪的80年代

有三位物理学家

这个是朱棣文

S. Chu

朱棣文

还有Cohen

Tannoudji 和 Philips

他们研究用激光来冷却

这样的话就可以把气体的温度冷却到足够

的程度

我们回头来说这个参数

那么使得有可能实现不散散凝聚已经到了

上个世纪的80年代

然后继续做了10年左右

在1995年就有三个实验组

刚才说过的在NIST的Wieman和Cornell

和MIT的Ketterle

另外在Rice university Hulet里也做

成了

那么后来前面两组三个人获得了2001

年的诺贝尔物理奖

这个是Wieman和Cornell和Wieman做出来

的BEC

这个图上面的图就是你把Rb87给它

冷却到足够低的温度

说的具体一点

比如说Ketterle做的实验温度是到了150nk

这样低当然Cornell和Wieman也

差不多是这样的量级的

所以你没有激光冷却

你达不到这么低的低温

对吧

所以最后得出来的实验

就是做到那样低温的情况底下

这个图是在转变温度上面一点点

这个图第2个图是在转变温度下面一点点

第3个图是在离转变温度更低相当低的

温度

比如说是刚才说的150nK这个时候得

出来的图

这个图是什么

你做完了实验让它稳定了以后

你把这个trap就是来符合你原子的俘获的potential

给它去掉

让它自由膨胀

自由膨胀一段以后你来做造影

这就是前面

这三个图有什么好处呢

你让它一膨胀

它是自由膨胀

所以膨胀完了以后

离着你中心越远的地方的原子

就代表它的速度是最大的

你这个图从远到近

你就可以让你量出来

有多少个原子

它的速度或者它的动量是在某一个很小的

间隔之间

所以你就可以做它的动量分布了

所以下面这个图画的是动量分布

对吧

把它上面的经过处理以后

你看在临界温度以上

当然低动量的粒子数也多

但是总的来讲

这是一个非常宽的一个分布

这就是普通的一个热分布

热的原子就应该是怎么样的分布

而到了这个就不一样了

就让你明明看出来分成两部分

中间这一部分

是个冒尖的

你要把它单独拿出来

它一直从底下冒尖冒起来

它的宽度很窄

就是BEC Bose-Einstein condensate

暗示他凝聚体

还有一部分就是热原子

它的分布和原来没有两样

这是刚刚在临界温度下面离临界温度比较

远了

你看他基本上都是Bose-Einstein condensate的也有

一点点thermal gas

这个图或这样漂亮

下面这个是MIT的Ketterle组的做的

这个也是在临界温度上面

这是刚刚在下面一点

就是在下面很多非常好的不在Einstein这样的

一个动量分布

Kleppner MIT

一个老教授很多

在MIT也好

或者在外面也好

很多领先的一些学者

都是他的学生或者学生的学生

他的评价在这儿

你只要对这个是数据看一眼

就足以能够说明最会提怀疑论的人

说服他们

这实在太漂亮了是吧

为什么重要

这就是我一开始说的

它不仅仅让你对于Bose-Einstein condensation本身

的物理有深刻的理解

而且因为是他理论可以做得很细

实验条件又很好

又可以变化的范围很大

实验和理论有非常好的一个比较的平台

而且另外你不仅仅了解这个领域本身还

可以了解很多物理其他方面的东西

这个我们后面会有两个简单的粒子

不过大家可以去了解很多地方

比如说你像天体物理

Astrophysics

Cosmology condensated matter physics等等

可以和他发生联系

好

下面就是说Bose-Einstein condensate它的典型参数

温度150nK他的trap里面做

的Bose

condensate

的大小

MIT愿意做cigar shape的condensate

他的大小10到50mm很小的

了

这是作为如果做成球形的

它的半径大概从10~50

根据需要

如果做Cigar shape它的半径还差不多

但是直径是300个

A

有多少个原子呢

他们做的是Na23

2000万

这个是宏观量了

那么原子之间的相互作用的能量是不大的

因为否则人家都不做气体的是吧

在harmonic trap里边

它的相互能量最多

100nK 这个trap它的Zero

trap是10个PK

这是很低的

是trap的样子

如果你要做cigar shape 径向是150个

Hz比较大

他的trap frequency又比较小

18Hz

所以径向约束的多

轴向约束的少

就是Cigar shape 好

下面这个是Ketterle

上个世纪90年代

在这个设备前面

这一个摄影

为什么要给大家看这样一个摄影呢

让大家看到和后来到发现BEC和以后研究

BEC的

它的设备变成什么样子

再回去让大家看一眼

这是原来的比较简单

这个是后来的

是多么高级的设备

所以这样的设备上你做起实验研究来可以

研究好多东西是吧

甚至于我们后来会讲到

通过Feshbach coherence可以让原子之间

的相互作用都会变

你可以让相互作用是排斥

也可以让它吸引和不同的大小

所以这个实验的余地实在太大了

好

下边我们就来讲具体的概念

第1个概念是叫做Order

parameter和phase coherence

这样两个概念

你要讲到Bose-Einstein condensate

玻色-爱因斯坦凝聚体和thermal gas

这是两个不同的像

它要经过一个相变

那么thermal gas

他就没有Order parameter 经过相变变了

玻色

爱因斯坦condensate就出现了一个Order Parameter

到我们下面看到实际上就是condensate它的

wavefunction

这个是所以他从量子力学的角度来看

你来描述一个BEC

这就是量子力学的波函数

好

首先说那BEC是一个量子统计的现象

你要是用玻尔兹曼统计

你根本得不到condensate

什么意思呢

是因为你玻尔兹曼统计它就是一个玻尔兹曼

factor

exp(-\bete E)

对吧

\beta是1/kT这个时候 对于一般的

物理系统

你的能级之间的距离是很小的

比起你的一般的实验的温度

KT要小得多

那是什么意思

就是在你做实验的温度底下

你会有很多个能级

上面都会有你的粒子

比如说原子

也就是说你有宏观量那么多的原子

你有宏观量那么多的能级要来在上边布居

所以结果你只能撒胡椒面

每一个能级上面分布到很多 基态上或者

多一些

比如说十几十个

但是第一激发态上跟他就差不多

在往上的都差不多

你撒胡椒面了

不可能让所有的或者是绝大多数的

绝大多数的人都会聚集到你的基态上面

第一激发态上和所有上面是撒胡椒面的

所以一定要到量子统计里

什么时候要用量子统计

就是当你体系的研究的

比如说气体原子

它的密度要大到多大

要超过quantum concentration

在这儿给出来NQ它的值是

然后总的有一个3/2 power

这样的东西是和温度有关系

这个浓度叫做量子浓度

如果你的体系的浓度要是小于这个浓度

那你就省事了

你就用经典统计就行了

如果你的体系的浓度要是比他大

对不起

你的经典统计时效必须用量子统计

那是什么意思呢

你在concentration之下

你把它到一个那么然后这个地方是1/2次

方

得出一个波长

就是在T温度底下的原子

它的德布罗意波长

你把它放过一个个来

也就是说什么时候你的体系达到quantum

concentration

concentration

你两个原子之间的平均距离小到一个的

德布罗意波长了

这个时候这两原子彼此那就不能当成独立

的

他就都得当成全同粒子来看待

所以什么时候用量子统计

那么BEC的情况是一般的

当然都是大过quantum concentration

所以说你必须要用量子统计

用量子统计最初都是Bose-Einstein统计

这就是Bose提出光子

然后安全把它用到带质量的粒子

那么统计里面起重要的作用就是这个\mu

chemical potential

chemical potential

哪来的

就是做统计的时候

你要做一个变分法

比如说我要取极值

你要取能量的极值

但是你同时要注意你有个附加条件

就是说你的粒子数也是确定的

所以这个时候你要最小化的话

你要最小化的不仅是一个能量

你还要加上一个Lagrange term

Lagrange term是什么

就是你要做的取极值的就是exp(-\mu N)

N就是粒子数

你不是要让粒子数一定吗

你前面就有个Lagrange multiplier

Lagrange multiplier

就是我们这儿的chemical potential \mu

就是那么来的

好了

为什么说在BEC的时候\mu非常重要

因为我们简单的讨论

我们就用理想气体没有相互作用

你不考虑相互作用的时候

这个\mu是很容易算出来的

\mu

下面我们可以看你可以看出来

在低温的时候\mu=-kt/N

就是他你在温度低的时候\mu就要

从下边它是起初是负值

逼近于0往0

这还靠我们一个自由粒子体系

它的基态是什么

基态动量是0的态

所以能量是零

好了

你温度越低

你chemical potential就从下边往上

逼近于你基态的能量

好

刚才说过\mu

是kT/N所以说当T越来越小

的时候

\mu的值是比KT要小得多的

好

所以你看这个分布

我就问我现在在基态上有多少个粒子

基态呢是\epsion_0 是一个比KT小得多的

数

所以这儿是一个很小的数

e的一个负得很小的数就和1非常之

接近

减掉了一

下边就是个很小的数

分母是个很小的数

你翻上去就是一个很大的数

所以只有\mu很接近于\epsion_0的时候

你在基态上才能布居有宏观量数的这样的

粒子

所以你必须要用量子统计

下面咱们具体来算

算什么呢

我要来算在我的研究的体系里边

所有的激发态上一共有多少个粒子

把基态刨掉

看你剩下多少

怎么算

首先我们要用能级密度

态密度

这就是态密度

density of energy state

density of energy state

除了宇宙常数和粒子的这质量以外

这个是体积

当然你体积越大

你那边排的能级越多

这个无所谓

关键的是有一个能量的1/2次方

注意这个记住了

然后我们下面要来算

这一算所有的激发态上的这个粒子数总数

我就是

这就是我的分布粒子的分布函数

Bose-Einstein distribution function

第一就是刚才介绍的态密度

好

我们看这个积分

Bose-Einstein 分布

Bose-Einstein 分布

Bose-Einstein 分布

Bose-Einstein 分布

分母写在这里了

前面是

\mu非常小

我不要了

所以就是E/KT在这儿就是X所以

我这是e^x-1就是在这这就是分布

函数的分母

这个分子是从态密度里边来的

X^1/2

其他的就都在前边

都在前面

好

我们现在来看

我在这个地方特别要说明下限

我干脆写成0了

大家说你算错了

下线等于0

不是你把基态都包括进去了

我告诉大家没有基态进不去

为什么进不去

这儿有个X 12次方

X^2=0的话

态密度是0

所以你这写成零不要紧

我反正没把基态算进去

算的仍然是从第一激发态开始的

那个时候上边的X就不是零了

所以都算进去了

因此大家注意

我不是写了个红箭头吗

就是告诉我没骗你

这是真的

好

那么一算就算出来了

激发态上总粒子数在这

被我基态激发在一块的粒子数

这个比值就是

T_E就是写在这里

这里出了2.612是什么

就是这个积分可以算出来

它是和\sqrt(\pi)有关系

这个不是数值计算

是包括\sqrt(\pi)

所以最后这出来一个2.612

就是因为有sqrt(\pi)

然后算出来是这么大

好

也就是说所有激发态上的粒子和总粒子数

的比

是这样一个东西

当然你T要是大于T_E你就甭算

因为他那个时候不是Bose-Einstein condensate

T=T1的时候

我激发态上的数和总数差不多的

就刚刚开始

有粒子聚集

好

你现在让T往下走

比T一来的小

比如说我来到T_E的一半的话

是吧

那么是多少呢

T=T1/2的话

我所有激发态上的原子数是总原子数的

多少

35%

也就是65%

全跑到基态上去了

这个基态上的粒子数当然就是宏观量

你比如说2000万

你65%差不多1000多万

对吧

当然是基态上是宏观量

所有激发态上你有宏观数的激发态

所以上面是撒胡椒面的

当然刚刚是T_E 1/2已经就到这个状况

所以说就给大家一个概念

我做实验的一个Bose-Einstein condensate

他是什么呢

它是有两个部分合成

一部分是我做实验的体系

低温的

当然这个原子现在一般都叫做Altracold

gas

超低温的气体他有两个组分

一个组分是

Bose-Einstein condensate

Bose-Einstein condensate

Bose-Einstein condensate

这是Bose-Einstein凝聚体

还有一个就是thermal gas

下边的理论我只描述凝聚体

就不管是thermal gas

好

凝聚体的波函数是什么

你要是找麻烦要写多体波函数就在这

多体波函数

我一共是N个原子

他就是N个\psi的乘积

N个很多个

单粒子波函数的乘积

这个单粒子波函数就是你这个体系的基态

如果是自由的

他就是动量是0的状态

如果是个Harmonic trap

它就是Harmonic trap的最低的状态

也就是说高斯波包就完了

所以你又可以用一个单粒子波函数来代表

你整个的Bose-Einstein condensate

就是他作为代表了

所以说Order Parameter是

什么

就是它的基态波函数就完了

好

下边就是说

Order parameter

他的演化的一个历史

在1951年和1956年这个时候

当然知道要研究Bose-Einstein condensate

Penrose 和Onsager

他们就提出来这个Order Parameter就是

这个东西

\rho(x,y)它实际上是一个单粒子的关联

函数

\psi(y)

前面那个是\psi(x)^\dag

什么意思

我在y这消灭了一个粒子

我在X这儿有把它产生了

所以也就是说黄克孙给了一个解释

在下一页上

他就是说roughling speaking 我们原来其实已经讲

过了

原来讲这个粒子的关联函数和2粒子的

关联函数 单粒子密度矩阵

这就是密度矩阵 实际上对吧

这就是密度矩阵 一个x一个y是吧

好

那个时候已经讲过

大体上说起来就是你在y这儿丢了一个

粒子

你同时在X那把他发现

也就是说一个粒子

他又在Y又在X对于一个普通的粒子来说

你比如说一个多体系统

你在某一点消灭了一个粒子

在另外一个点产生一个粒子

如果这两个点你要距离的很远的话

也就是说你让一个粒子又在天津发现

又在北京发现

这肯定几率是0

所以一般的情况不是

如果他要是Bose-Einstein condensate \psi就是一个

波函数

你一个波函数

比如一个波包

你在波包

比如说右边一点和左边一点

你这个粒子同时有存在的几率

所以说这个时候他就可以逼近于同一个波

函数f(x)*f(y)大

当你把这两点即使弄的多远

他也是这个样子

当然所谓的无限大

你就可以想象它是一个宏观距离就完了

对吧

你一个波包他是一个体系

你他占据一定的一个宏观的体积

有个宏观的距离

但是它这个波函数是一样的

是吧

你说他在东边一点和西边一点

你在宏观的体系里面是两个和很远的点了

已经是

但是它的波函数是一个

所以你一个你来看它的Y和X实际上

同时发现的几率仍然是有限的

所以Penrose和Onsager

它体现BEC

它是用一个波函数来描述的这个特点

就是说它的密度矩阵

当你两点距离很大

他照样不为0

就是表现BEC和普通体系不一样的地方

这个就是上面黄克孙原来说过

x y即使他

变成无限大

你也可以发现

但主要是杨振宁用来来研究

off-diagonal long range order

叫做非对角长程序

这个是描述BEC的一个非常重要的性质的

一个物理量

这是杨振宁在1962年RMP上面

发表

他就是根据Penrose Onsager那来的

我研究密度矩阵

密度矩阵在这儿

我把它作为一个Fourier变换

原来的\psi^\dag\psi的平均值

在这就变成a_p^\dag a_q的平均值

我做了傅立叶变换了是吧

这个平均值是指的ensember average 量子力学

ensemble average 但是平常说热平均值就是

一定的温度底下

我体系平衡了

我来看它的平均值

好

我们现在这个体系是具有平移不变性

当然我这个里边假定我condensate它这里边它

是均匀的就行了

是个均匀的condensate

他当然是具有平移的不变性

它的大小你可以认为是宏观量对吧

所以它有平移不变性

而平移操作

量子力学里面是由动量算符来作为生成元

的

所以平移不变形就要满足这个条件

你体系的Hamiltonian和总的动量是对易

因为总动量就是平移变换的生成元

所以说这两个应该

对易

而总动量是什么

就是说我现在有好多自由的原子

自由的原子

后来我们知道有相互作用

照样能够用我们 这个原子

它是具有一定动量

具有Q动量的有多少个原子

就是a_q^\dag a_q就是粒子数的算符乘上

这个动量

这就是总动量

对吧

好

我们接着算

我来考虑这个量

就是p和a_q^\dag a_q他的对易子的平均值

因为你a_p^\dag a_q就出现在我们的密度

矩阵里边

我现在研究密度矩阵

所以我就看对易子是多少

它的平均值是多少

我们知道平均值

统计物理里面你把密度矩阵拿来

你取trace就好了

你现在被平均的量在这儿

你就把他乘一乘

是吧

密度矩阵在统计物理里边就是e^-\betaH

玻尔兹曼factor

对吧

玻尔兹曼factor在这 我把对易子分成两项

一项是PI a^\dag a 一项是-a_\dag a_p

对吧

都要成一个玻尔兹曼取trace

你没归一化

所以下面要有

partition function 我来算trace trace是有个好的性质

trace(ABC)=trace(CBA) 我把后面这一项

trace(ABC)我写成trace(CAB)

P跑到前头

exponential跑到后头

算符还在后头不管

你跟前面这项来比

前面这一项exponential

在前

P在后面这一项exponential在后

P在前

所以我可以把它写成这样一个

commucator

对吧

我们来看

commucator

P和H是对应

因为我们的体系是平移不变

那么P和H对易

当然P和H的一个函数也是对易

现在这个函数就是exponential 函数

所以这俩对易是0

这个是0

当然整个就是0了

所以我们就知道我们要算的我最左边的

平均值应该是0

好

我下边直接算很好算

我先不算平均

我就算commucator

commucator是很好算

因为P前面给过了

就是用A^dag和A表示

所以你最后一算下来就是

现在我来求平均

一求平均

我知道这个家伙的平均非等于零不可

对吧

所以说你求上面这个式子

右边的平均

就是对于这两个A算符的乘积求平均

所以就得出来p-q乘平均值是0

好

我说看这个式子

P不等于Q当然前面就不是0

它就非得零不和

所以我平均值P不等于Q的话

它等于0

P=Q他可以不等于0

所以好我这个平均值一定是个Kronecker \delta

对不对

Kronecker \delta你看P=Q他可以不为零

它是1 P不等于Q他非是零不可 正好满足

刚才这个性质

P=Q它是多少

P=Q在这儿

这个P等于Q前面就是粒子数动量为P的

粒子数

所以后面就是这个 好了

刚才要算什么

刚才要算的东西

在这儿我要算的是density matrix 这个density matrix

右边有了这么exponential

的东西

我刚证明了我后面平均值

它是kronecker \delta_pq

所以P一定要等于Q 所以前面exponential

就变成了P乘上X减Y对吧

好

现在把刚才算出来的结果带到density matix

里边去

就得到density matrix

什么刚才我说过了

exponential变简单了

后边有个NP就是这个东西

好

这个东西是什么呢

我体系的density matrix 右边这个是对于所有

的P的求和

我可以把P因为它值虽然是分立的

但是他很密

所以我可以把它写成一个积分

就写成这个积分

但是我密度矩阵并不等于这个积分

为什么

那个道理刚才说过了

在基态上P=0

那个状态上是个特殊的

在这为什么特殊

你看这个积分测度

积分测度d^3p是什么

就是p^2dp对不对

所以它积分测度里有P^2

你这个里边NP你把N0带进去

他管你N0等于多大

你前面有个P^2 P^2=0

他给你砍掉了

所以必须把基态上的粒子数必须得给它

提出去

所以就提到这儿

这是N0被移除

对不对

这是基态上的粒子数

我这个积分

虽然将来我的积分下限带成0

但是实际上由于积分测度他根本不包括0

的积分下限

好

下面我argue这一项可以忽略

为什么

因为当你P的值很大的时候

这是一个震荡的非常厉害的一个fluctuating

factor

所以他把正负的都消掉了

你要说我这个说的太马虎了

你可以去看黄克孙统计力学的书

上面的把积分可以算出来

算出来就是这个值

这还是个

所以说你R一大的话它就是零了

这个地方有R0

就是这个值

我在这他是做一个习题

让大家证明

好

我就把它写在所以说后面不用算

也就是说杨振宁证明了我的密度矩阵干脆

就是基态上面的粒子

数被V除 也就是Bose-Einstein condensate它的

密度就完了

对吧

好

所以说这就是杨振宁证明什么时候会出现

BEC呢

你在基态上面有了宏观量粒子数的布居

这个时候你就有了BEC了

刚才我们也说过

T达到了Einstein temperature的时候

他基态上就开始布居的越来越多

等到下降到一定的程度

基态上就是宏观量的布居

在这儿就得到了

证明这个就是BEC存在的一个条件

它是显著得不为零

它是个宏观量的密度

这个时候你就有Bose-Einstein condensate

所以说杨振宁把它叫做非对角长程序

为什么

你看X减Y毕竟无限大的时候

他老老实实在那带着并不为零

所以这是个长程的序

为什么说非对角它是个密度矩阵

X不等于Y他不是说的密度说的是密度

矩阵

所以就是非对角长程序

这就是杨振宁的对于BEC的贡献

简写为ODLRO这个是off-diagonal

Long Range Order

这off-diagonal就是非对角了

Long Range Order 长程序

这就是一般就管它叫做这个东西

好

下面再说

有了相互作用

甚至于对于费米子刚才的结果也是有用

因为在证明的时候是吧

并没有用玻色统计对吧

当然大家知道有个N0或有限的概念

这个不是在证明过程里

证明过程只是证明我的密度矩阵等于N0

的平均值

被V除就是了 N0多大

并没有说

所以你用在费米子上也可以

用在费米子上就是二粒子关联函数有用

可以算2粒子关联函数

这个将来也可以取它的非对角

长程序 取什么呢

我让X1和Y1差不多很接近

X2和Y2很接近

大家说这什么意思

其实我这是算Cooper 对

对

我一个Cooper 对

这是一个Cooper 对

所以H1和Y1很接近

X2和Y2很接近

但是这俩Cooper 对可以离得很远

你可以让他离一个宏观量的距离

而那个时候你2粒子关联函数仍然有非

对角长程序

为什么

你还在你的Condensate里边是吧

在你的超导体里边

我超导体的东边的边缘有Cooper 对

我超导体的西边的边缘有Cooper 对

Cooper对的波函数完全一样

所以你说你发现的是哪一个你不可区别

所以它密度矩阵并不等于0

这也就是说完全可以把杨振宁的非对角长

程序用到费米子的多体系统上

今天我们就讲到这里