S9.4 Quantum anomalous Hall effect(1)在线视频

刚才我们介绍了分数

量子霍尔效益

整数和分数

量子霍尔效应

就是传统意义上这就叫quantum Hall effect

量子霍尔效应

但是后来其实在讲整数量子霍尔效应的时候

就和拓扑打了交道

这就是说解释为什么quantum Hall conductance

是跟你具体的Hamiltonian

居然没有关系

只要你满足了我样品的条件

它就是这么一个值

而且这个值可以准到很多个有效数字

作为电阻的标准

结果闹了半天

他是个拓扑量

这是拓扑的关系

下面要讲的就是量子霍尔效应另外的

它一共是叫做三兄弟

前面讲过的是第一个

还有叫做anomalous quantum Hall effect 反常量子霍效应

为什么叫反常

到时候讲过来的历史和他主要的作者发表的文章

才明白为什么它叫anomalous

这个是典型的拓扑的东西

所以我们上来就要必须得从拓扑开始

另外一个spin quantum Hall effect

或者就是二维的topological insulators

topological insulators 把拓扑就写出来了

拓扑绝缘体

它的二维的拓扑绝缘体就是quantum spin Hall effect

那个来源

所以quantum Hall有三兄弟

下边我们就来讲

三兄弟都和拓扑有关系

但是关系不一样

用不同的角度来和拓扑发生联系

所以下面极简单地介绍一下2+1维的

物理学的拓扑

因为量子霍尔效应都是二维样品

这三兄弟都是二维的

当然拓扑绝缘体有三维的

它就不属于这quantum Hall范围里头了

所以2+1这1是时间

2是空间

2+1维的物理学它有它的拓扑

本来这是一个很内容丰富的题目

大家一看这个图 你看

这个中间说的是拓扑

2+1维的反常叫做反常

它有哪些表现

就是三角形的三个顶点

一个叫fermion zero-mode

费米子的零模

一个叫做你预料不到的量子数

unexpected quantum numbers

一个是abnormal vacuum current 你有了规范场以后

你真空里面会有反常的真空的流

这个是2+1为拓扑的这样三个表现

做这个工作的主要是Jackiw

还有其他的人

本来这里面的内容非常之多

我们在这里没有时间来给大家仔细的来

这个介绍

所以我就找着我们下面的东西

必须要用的

给大家做一个介绍

我们要讲的刚才说过Jackiw也可以是一个主要

有一篇文章是他在1982年在Ann Phys上面发表

作者是三个人

Deser, Jackiw, Templeton

他们题目就是2+1维的无质量的Dirac场

它和规范场相互作用

这篇文章是1982年在这个杂志发表

后来在以后2000年

又重新在同样的杂志里边把这个文章又重印了一遍

说明道以后到了这新的世纪之交的时候

那个时候当然量子霍尔研究的就非常热

所以关于拓扑的问题就非常重要

所以这个时候就把他这篇文章重印一遍

同一个杂志

同一篇文章印两次

我真是第一次碰见

这就说明这个问题到后来非常重要

你看写在这儿很简单

这就写的是Dirac方程

Dirac方程这个是

2+1维的

Dirac粒子

它是一个二维的spinor

不是四维的

是二维的spinor

然后它是两个的单元的一个竖条

但是和它操作起来的就是2×2的矩阵

那么这个矩阵3+1维的有4个矩阵

2+1维的只有三个矩阵

就是这个地方\gamma\mu

这个\mu实际就是1 2 3

跟原来0有关系的就是\gamma 0

就是\sigma 3

\gamma 1 \gamma 2分别的就是Pauli 这个\sigma是Pauli的2×2（矩阵）

而我这里写的就是\gamma 0 \gamma 1和\gamma 2

这个就是它们写的方程

主要要介绍的是这个方程的它的在空间反演

时间反演和电荷共轭的性质

其实主要用的是前面两个

后面一个当然它也都会碰到

但是我们在这里不仔细来讲

先讲2+1维的物理

它的空间反演是怎么定义的

大家一看写在这个东西就怪了

你看2+1维的坐标x 它有三个分量

x1

x2

空间的 t是时间的 对吧

好 我说来个空间反演

大家一想 嗨 那不简单

你把x1 x2变号就完了

可是你去看

不是我新坐标是什么

我单x1变号我x2不变

t当然不便

你说这哪叫空间反演空间是两维

你两手都得反演

其实这空间反演主要起个什么作用

它的作用就是把左手变成右手

三维空间好办

你伸出右手来 xyz轴

你空间反演一反演

右手变了左手了

对吧

右手你没法你怎么转

你也转不成左左手

对吧 好 你现在看二维有一个x1 x2

你俩都变

俩都变怎么样

在右手还是右手

左手还是左手

对吧 你要想让左手变成右手

你就必须或只能变一个

所以你看什么叫空间反演

就x坐标变号

y坐标不变

这叫空间反演

然后当然一个矢量 矢量的零分量和二分量

在空间反演底下

它不变

它x变成\prime的

它本身不变

一分量呢 x变成x\prime

它的一个矢量的一分量要变号

所以你看这是个负号

一个Dirac spinor

现在是个二维spinor

在空间反演底下怎么变告诉你

用\sigma 1乘一乘

如果是量子场

那就是\sigma 1在前

\sigma 1在后

这样就是 这是空间反演 时间反演

当然就是t变成负t 那么Dirac spinor怎么变

当然就是这么变

对吧 前面有个\sigma 2 这样告诉你了

我一个矢量

一个2+1维的矢量

在时间反演的时候

它怎么变呢

它的空间部分

当然对时间你时间反

我空间分量不变

所以你看空间分量没有变化

而时间分量前面要有个负号

对吧 下面就说一下电荷共轭的时候

电荷共轭我加进去的potential

它的坐标是不变的

但是我这scalar potential一样 就变了负号了

因为你电荷变号了 电荷一变

好 那当然它charge density变了 current density也变了

所以都是变一个负号

然后它的Dirac spinor

你必须得先取它的complex conjugate

然后前面用是一个\sigma 1

这里就给大家介绍一下

它这个三种操作是怎么样的

下面我们就要利用它来讲这个anomalous quantum Hall

所以下面我们就开始介绍

Haldane model

Haldane model给出什么东西来呢

他在原来的论文的题目就大致是Realiaztion of 2+1D anomaly

大概就是这么样的题目

他这个model最后就给出来满足他这样条件

的一个平面的蜂窝型的结构的band

它会出现霍尔效应

我不加磁场

它会出现霍尔效应

这个东西和2+1维反常有关系

所以后来就管它称为anomalous quantum Hall effect

这个反常因为它正好我不加磁场也没有朗道能级

它居然会出现quantum Hall effect

因为它这个 因为是由2+1维的anomaly这样的

理论描述

所以这个anomaly相当于这个anomalous quantum Hall effect

对吧 好 这就是讲Haldane model

Haldane model是发表在1988年的Physics Review Letter上面

这个文章确实看起来是很难懂的

我们下面具体讲的也不是根据他的讲法讲

在他以前早四年 Semenoff就研究了

跟他同样的结构

研究了这样的一个结构

它的能带的性质

他没得出quantum Hall

为什么没得出quantum Hall呢

下面我们就知道

Haldane看准了这一点了

为什么他没得到

因为他那时间反演是对称的

我得想办法破掉了时间反演

然后是quantum Hall就出来了

这个过程就是这么一段过程

好 我们先来介绍Semenoff的工作

Semenoff 他就是realization of 2+1D anomaly in condensed matter system

他呢就是这样一个图

他这个是考虑的是band structure of tight-binding model

他用的是准束缚近似

这是一个二维的一个蜂窝的这样一个晶格

你看画的这不是蜂窝吗

都是六角形

很多个六角形都把它连起来

Semenoff研究的六角形的

他有两个子格子

你看一个六角形

六个顶点

三个涂黑了

三个是白的

这就说明两个子格子

这两个子格子上面可以有不同的原子

你有不同的原子

它当然可以有不同的能量

所以就两个子格子

你要区别来对待

那么它的布里渊区呢 也是个六角形

只不过你把它转个角就是了

对吧 那么因为你原来有两个不同的子格子

所以现在这个布里渊区的六个顶点也分两组

这两组呢就不等价了

也就相应原来在空间结构的两个不同的子格子

所以我比如说现在在布里渊区上

我这个地方叫K1 这个地方叫K2

他们就是属于不同的两个不等价的顶点

也就是说K1和左上角和左下角和

K1这是属于等价的

然后K2呢 和右上角和右下角这个是

属于等价的

因此我们就把K1 K2当成两个

不等价的布里渊区的顶点的代表

我算的时候我就分别算这两个就是了

它们就是这三个的代表

好 下边有经常要碰到的一个a矢量

一个b矢量

a矢量是什么呢

就画在左边红颜色这样的三个a vectors

还得说明一下

我刚才蜂窝状的这个六角格子

它的边长就叫做a 这个a当然是个标量的a

那么现在我这说有三个a矢量

a1 a2 a3 是哪三个呢

我比如说从黑的这个B点开始

这是a1 往右上是a2

往左上是a2 往下方是a3

就是这么三个

这三个矢量的坐标就写在这里了

这就是这三个矢量的坐标

我就拿这个做顶点

拿B作原点

我就这三个矢量的分量

就写在这里

这个a就是我这六角形的边长

另外我在一个子格子这里边

比如说就B子格子

这三个黑点之间

我把它连起来

用vector b连起来

这个上面没有画箭头

其实你一看这个分量

你就知道b1是从下面往左上面走

是吧 然后b2是这个 那就是从右上往左下走

b3呢 就是从左方到右方这样走

那么是b vectors 有三个b vectors

它是连接同样子格子的这个三个矢量

而红颜色的a呢 是连接不同格子上的三个矢量

那么b的三个分量也写在这

下面有一个非常重要的性质

就是说我来看布里渊区的这六个顶点

这六个顶点呢 离布里渊区的原点

我都叫做K 这用vector K来连接

那么当然有六个K vectors了 是吧

我现在就说一个吧 拿一个出来说

它和这个a的这个dot product 这不是有a吗 就我有三个

红颜色的a 我一个K和坐标空间的a vector

之间的dot product

这个a可以是a1 a2 a3 是什么呢

告诉你 你这六个不同的K

跟着三个a dot出来都是这三个

只不过它的次序不同

就是吧

都是一个是0

一个是三分之二\pi

一个是负的三分之二\pi

这就是K dot a a是1 2 3

你就得三个数

不同的K也是这三个数

只不过次序不一样

下面我举出来

比如我说K1 就是右边的K1

K1 dot a是什么呢

次序是这么排的

这是dot a1 dot a2 dot a3

那么K2 dot a呢

是dot a1 dot a2 dot a3

这个后面老要用的

所以以后我就不翻回来了

就说一说就是了

这个就是Semenoff的开篇

好 现在呢

Semenoff假定我两个子格子上面摆的是不同的原子

所以说它这两个能量不一样

那么 a子格子上的他能量叫\Delta

B子格子上叫做minus \Delta

一个特殊的例子

graphene graphene就是石墨烯了

石墨烯它这六个上面它是一样的了

所以它的\Delta等于0就是了

一般的情况下我的Hamiltonian写出来很简单

紧束缚近似 这个Hamiltonian写出来很简单

就是这个样子

你看第一项是hopping term

j呢 我让它是B子格子上就黑点的那个地方的原子

叫做j 那么i呢就是A子格子上的

好了 hopping从B子格子开始

cj就是把j点上的原子取消了

跑哪去了 这跑到c\dagger

在这产生了 原来的j加上一个a 我们知道

a是连接不同子格子

所以从B格子你加上了一个a 不管哪一个a

就都跑到A子格子上来

所以第一项这是从B子格子上往A子格子上跳

前面有个hopping constant t

那你说A往B跳呢

就说Hermitian conjugate 就这一项

好 这是hopping term

然后每一个格点上的能量

这是B子格子cj\dagger cj B子格子上

能量是minus \Delta

所以你看这是个负号是 这是\Delta

第一项是A子格子上的

这就是Hamiltonian

好 我们现在因为在

布里渊区里面讨论问题

所以我现在做傅立叶变换

把这个c operators变换成\psi operators

因此\psi A和\psi B就代表消灭任何一个

A子格子上的原子的算符

你说哪一个A子格子有三个点

哪个点呢

我这有k呀 拿k表示对不对

你可以是相应的

当然不是不叫子格子

它就是equivalent corners 那这三个corners

我就用k来表示 对吧

所以跟这边的也是完全对应的

好 \psi B就是消灭B子格子上

一个原子的算符

就是做傅立叶变换

现在我把\psi A和\psi B当成一个两个元素的

spinor的上面那个元素跟下面那个元素

所以Hamiltonian就可以写成2×2的矩阵了

就写在这里了

上面的Hamiltonian

就写成下面这个矩阵

你看\psi A of k \psi B of k 这就是两个元素的spinor

这个是它的Hermitian conjugate 中间这个matrix

当然中间的我叫做h0 就可以把它通过

\sigma 1和\sigma 2 \sigma 3写出来

\sigma 1 \sigma 2是反对角子

所以和t有关系

就是cos和sin

然后对角的就是\sigma 3 这是正的 这是负的

所以\sigma 3 这个就是把我准束缚近似的

Hamiltonian写成matrix的形式的这样的一个Hamiltonian

这样的一个东西很简单

大家一看就知道

我立刻就可以把这个2*2的矩阵对角化

对角化以后的能量

我们下面还要仔细来讲

对角化和它的一些具体的运算

大家就都知道

你看 这个就是对角元\Delta square

这就是反对角元那个东西

对吧

这两个平方相加再开根号 正负

这就是我得出来的这个

把Hamiltonian对角化得出来的能量

所以你看出这个能量它是两个能带

一个正的 一个负的

下面蓝色为主的这个能带 这个就是下边的能带

上面一个能带

在这六个 布里渊区的六个顶角上

如果你这个\Delta不等于0

它这中间有个gap

中间有gap 就这两个 它并不接触

中间有gap

如果\Delta等于0 graphene它有接触

所以这画的实际上是graphene是吧

这个它的能带结构

那么如果我就只在这个顶点附近

你看画出来是六个顶点附近

这个就叫Dirac cone

、Dirac圆锥

这就是个massless Dirac 它这儿

中间是连着的

是个无质量的粒子 对吧

这就是画的是graphene

一般的情况

你要把这两个band拉开就完了

对吧 如果我是一个元胞里一个原子

不考虑spin 那结果呢就是

下边的这个valance band全填满

这个上面的conduction band全是空的

这就是它的一个元胞一个原子填充的情况是这样

刚才说我有两个代表点

因为一般情况我的布里渊区这六个corners分两组

三个一组 这两组inequivalent

所以一个代表是K1

一个代表是K2

我们就来看在两点附近的性质

为什么说要看两点附近的性质呢

刚才说过它填充的状况下边是全满上面全空

所以低能的情况就是下边会激发一个上去

对吧

或者激发两个上去 少数的上去

所以整个的低能的物理学就都在这个接触的六个

顶点接触的上下的地方

这个是代表它的物理

你用K1 K2

比如说这个是K1

就在很小的区域里边给出物理来

K2附近呢

就在这个地方给出物理来

整个的就都在这六个corners附近

上下给出它的物理来