S3.1 The propagator在线视频

下面我们要开始新的一章

题目叫做

The Path integral Formalism

路径积分的形式

量子力学里面有各种各样的形式

比如说海森堡的形式

它是用代数来做的

这个像薛定谔形式

主要就是借偏微分方程

那么路径积分形式

也是量子力学的理论架构的一种

你可以在这个形式里面

解量子力学的

量子理论的任何问题

而且这个办法

就是路径积分这个办法好

好在哪

它形式是很灵活的

对于一个粒子的量子力学

它可以用

对于量子力学的多体力系统

也可以用

对于量子场论它也可以用

都可以用路径积分的形式

来架构这个理论

来进行推演

路径积分形式是由Feynman创立

Reviews of Modern Physics

1948年发表的一篇文章

他的这个做法是源于他

在普林斯顿做博士生的时候

开始做的一个研究

原来的这个研究呢

还是个很有趣的事情

但是在这我不好仔细的来讲

不过主要说明的是

Feynman原来做这个工作的时候

他的目的是解决

场论里面的发散问题

他想场论里发散很多都是

在这个积分里面对于这个

比如说是量子电动力学吧

对于这个光的场

光场的频率

频率上限要大了

它就要输发散

那他就想我干脆我不用了

这个电磁场好不好

我就是电子和电子之间

有相互作用

我这样来做

那当然当时他的导师呢

J.Wheeler就和他一起

他的导师才比他大九岁

和他一起干

他导师就说你得考虑

电子和电子作用

你这个

其实场的作用

有个时间的推迟的问题

那现在怎么办

于是他们就一块做

我就用这个一半推迟一半超前

这样子来做电子和电子

当时他们做的

Feynman来做这个

对于这个辐射阻尼问题

radiation damping还是很成功

但是这个理论是个经典的理论

于是他的导师J.Wheeler

就找了这个管这个普林斯顿讨论会的

这个Wagner

Wagner结果请了一系列的名人

包括爱因斯坦

当时泡利访问的也请去了

这个还有J.Wheeler

请了好多名人

于是Feynman就很紧张

他导师告诉他 你别紧张

有什么难题我帮你答

好 于是他就做了报告

其实后来就是泡利在报告以后

就告诉这个Feynman了

就说这是现在是经典理论

J.Wheeler要做量子理论

我告诉你 他不可能做成的

做不得的

当然最后Feynman也把

他原来的想法放弃了

因为什么呢

因为不久

这个贝特就关于这个

量子电动力学里面

这个所谓的Lamb能移

Lamb shift

就用场论的办法做

发散怎么办呢

他来一个切断

于是 后来Feynman就做了

在贝特的这个安排之下

做了一个相对论性的

这样的理论

做得比较成功

所以后来

Feynman就把原来的东西放弃了

不过他原来做他这个

工作的一些思想

就是说粒子和粒子的相互作用

粒子嘛它总有轨道的

这个轨道的概念

怎么在量子力学里面把它实现

因为量子力学呢

它不能说一个粒子

从一点到一点

是有个确定的轨道

是不可能的

Feynman就想我怎么样

在量子力学里面实现

后来就形成了

这个所谓的路径积分的

这个formalism

这就是Feynman

比较年轻的时候的一个照片

好 这个path integral formalism

刚才说它是一种形式

但是它具有很强的适应性

可以适用于各种情况

所以后来

这个杨振宁和Mills提出

非阿贝尔的规范理论

到后来呢又发展到了

这个QCD

就是夸克和交子的这个相互作用

这个它就是一种

非阿贝尔的规范理论

这个比电磁场要复杂

电磁场量子化好量子化

容易量子化

到了这个非阿贝尔规范理论

量子化的时候

处理这个规范条件是很难的

因为你要做理论

你必须选一定的规范

选了这个规范

那实际上就等于对你这个

量子规范场的

它的这个场本身

比如说交子场

它这些分量之间

那就有一定的关系了

它不是独立的

你怎么解决呢

这个问题Dirac

有一个解决的办法

我曾经听过一个讲座

( )的一次这个讲课

就讲Caltech当年怎么来量子化

这个非阿贝尔规范场的

这个推导是很长的

说老实话我听完了以后

并没怎么懂

后来也没去攻

因为有更好的方法

这个更好的办法就是

Faddeev-Popov

两个苏联的理论物理学家

利用了Feynman所创立的

这个path integral formalism

来解决了非阿贝尔规范场的

量子化问题

为什么呢

因为刚才说过

Feynman这个理论

它有很强的适应性

它适用于你用

非相对论量子力学它可以

你用相对论的量子理论也可以

非阿贝尔规范场理论

当然是相对论性

而且它对于粒子 多粒子都可以

对场论也可以

所以正好Faddeev和Popov

正好把这个规范条件

规范条件是一个限制性的

一个条件了

它就写成一个δ泛函

就是δ泛函就是

实际上就把这个规范条件

放进去了

这个条件把它

实际上呢就在这个

路径积分这个形式里面

放进一个δ泛函

你所有的计算都要满足

我这个δ泛函

因此这也就是满足规范条件

就很简单的很漂亮的解决了

非阿贝尔这个问题

所以这个代表这个方法

这是个很有效的

很有力量的这么一个办法

所以很有意思

就是本来呢

Feynman就想把场整个扔掉

而最后他的这个formalism

对于量子化

这个非阿贝尔规范场是起了

绝对性的作用的

这个Faddeev-Popov

这个工作是非常有名的

好 下面咱们就来

正式的来介绍 path integral formalism

首先要讲的一个概念

暂时还没有出path integral formalism

叫做propagator

这个propagator

就是量子力学里面那个传播子

不过在这用

下边很适应于 path integral

这个办法来把它引进来

好 我们先来考虑一个

量子力学的问题

现在用单粒子量子力学

就比较简单一点

那么它的这个state vector是ψ(t)

那么它的state vector要随时间演化

随时间演化

就由薛定谔方程来决定

这就是薛定谔方程你看

这个state vector随时间怎么变化呢

决定于你的Hamiltonian

把这Hamiltonian作用在这个ψ上面

如果我知道了t这个时间的state vector

那根据这个微分方程

你就可以知道t'

这个时间的微分方程

当然实际上我形式化的

把这个一阶的偏微分方程一减

就可以得出这个关系

也就是我在t时间的

这个state vector

前面就是一个time development operator

这个H就在这个exponential的上面

这就是一个叫做

时间演化的算符

从t演化到t'

你组成一个时间演化的算符

作用在ψ(t)上

你就会得到ψ(t')

这个呢当然

你这个算符在exponential上边

你这个

当然它不是很简单就能做的

这是个形式解

不过呢这个可以从这块引出

propagator这个概念

最后引到我们path integral的概念

好 我现在用coordinate representation r表示

用r表示 我上面这个式子

左边用这个r'

来做一个这个Dot product

所以这就是左边

右边这个地方是个Dot product

然后这个地方有这个time development operator

我根据r表示里面

它的本征函数 本征态r

它的完备性

你就有这样一个结果

就是你把这个projector

对应所有的q积分

这个我们讲

二次量子化的时候讲过

代表它这个

q这个集它是完备的

那它就要满足你对所有的q积分

这个得要得1

所以我在原来这个式子

这个地方我就插进一个1来

这个1当然就是积分r

这是这个projector

后边要对r来做积分

这三维空间

这是个three r

有了这个以后呢

我把matrix elements

也就是time development operator

它在r和r'之间的

这个matrix element

我给它起一个名字叫做k

这个就叫propagator

就是从rt演化到r't'

也就是说r位置t时间

演化到r'位置t'时间

t'当然要比t来得大

它就是时间是往前走的

这个就叫做propagator

这propagator的物理意义是什么呢

那就是这个意思

就是说如果我在时间t的时候

我的这个粒子在r

这个时候它的probability amplitude知道

那么我在时间演化到t'

它的probability amplitude就是

这就是代表propagator物理意义

它就说我知道了rt的这个

probability amplitude就会得到r't'

怎么见得呢

你看我把这个matrix element我叫做k了

所以上面这个式子就写成这样了

这个是写成k 后面照常

这个式子你看

就是我刚才解释它的物理意义

你给定了ψ rt

我拿这个propagator一作用于积分

你就得到r't'

通过propagator就可以得出来

这就是刚才那个式子的意思

如果在时间t

我的体系probability amplitude是ψrt

然后我拿propagator乘它一下

对于r积分

这个时候就得到t'时间的

这个probability amplitude

好 刚才写在那里这个

是一个形式的一个表达式

我要是想用量子力学里面

熟悉的东西来计算的话

那我需要变换一下这个表示

我现在就用能量表示

能量表示的

它的这个本征值呢就是

就是这个能量谱

所以说我把这propagator拿来

它本来是r'和r之间的

一个这个矩阵元

我在中间又给它插进completeness条件

这回是能量本征态的completeness

在这插的是n'

在这里插的是n

这时候我的matrix element我就会算了

虽然你的Hamiltonian在肩膀上

可是呢因为我现在这个j啊

正好就是你H的本征态

所以呢你在肩膀上我也不在乎

我就H作用在后面这个n上

有一个En乘上t'

有一个nt

作用在前面有一个

是n't'

所以这个时候

我就把这个H换成了这个En了

你看后面的这个r n代表什么呢

代表我这个jr状态在n表示里面的

这不是那个全权代表本身

而是全权代表的complex conjugate

全权代表在这 这个好认

这个就代表我有一个状态

是n'

这是我能量表示里面的一个状态

这个能级就是n'

它在r'这个表示里面

全权代表

这个就是波函数

就是我这写的ψ sum n of r'

后面那个它倒过个来了

那所以它是ψn sum of r

就是这个

那么而这个就是我刚才算出来

这个时候我就一个En就完了

我用不着En'

因为什么呢

这个地方一作用完了一个

C数拿出来

你得到的就是n'和n 的scalar product

所以它是δn n'

大家看在这里

所以说我就把它

可以进一步的写出来

这个里边不再包含Hamiltonian

我这个地方只有Eigenvalue En了

就可以写成这个了

那么下面说呢

如果我用的这个时间是欧式时间

也就是虚时间

有什么好处呢

这个下面我们具体可以

在路径积分的表达式里看出来

跟最小作用量可以联系起来了

所以我现在用虚时间

用了虚时间

刚才的这个propagator

就可以用ψ和ψ*

还有后边这个地方

原来是-iEt

现在就变成了-Et

因为τ就是i乘上后面这个time difference

这个东西有什么用啊

就是如果你要把这个propagator

给它算出来的话

把propagator算出来的话

这个能量本征值

和能量本征函数

你就可以从右边把它读出来

因为左边你算出来

右边就是已知的了

那你右边

波函数呢在哪 在这了

这不是就波函数嘛

能量本征值不就在这嘛

你直接就可以读出来

我们下面有一个例子

就是这样做

我就用路径积分

把propagator给它算出来

算出来以后一读

就把本征值 本征函数读出来了

那现在如果要是简单的一个特例

就是t等于t'

它不演化了

那这个propagator是什么呢

这个propagator实际上就在这

就是这个completeness relation

因为刚才那个式子里面上面那个E

那后边有个t'-t

t'等于t

那个没有 就剩前面这两个

这两个你看

正好就是completeness relation

它就是delta函数

我们的这个propagator

传播子有一个重要的性质

叫做transmi property 传递的性质

这也就是说我从t演化到t'

再从t'演化到t''

实际上它效果

就是我从t直接演化到t''

是一样的

那也就是说

我将来要证明的关系就在这里

你看这是t演化到t'

这是t'演化到t''

我把中间的这个阶段

就是r'来积分一下

我就得到直接的t到t''

你从原来propagator的

它的定义你就可以看得出来

你看我从t直接演化到t''

那我对于它中间的

这个r积分一下

我就可以得到这个地方

这个ψ(r'',t'')

我从t 从直接演化到t''

我就可以得出我最后的

这个ψ(r'')

那么它这个做法呢

就是我从t'演化到t''

是满足这个式子

可是我这个t'到t''

这个式子我可以让它分两步走

一步在这里 这是原来是ψ(r,t)

我一步演化到t'

然后呢我再演化一步

演化到t''

你把这个式子

这里的这个k和我这个

两次积分的这个k

这俩式子一比较

我就可以得出

我从t直接演化到t''

它就相当于t演化到t'

从t'演化到t''

这个结果

当然你要把这个中间阶段

中间阶段这个r'在哪

你在哪块来取这个中间的地方

它是任意的

你可以在任意的地方来把它

取做个中间阶段

所以你最后要有这样一个积分

好 下面就有人问了

我这个propagator

满足什么样的方程

我们知道这个propagator

我刚才说过它的物理意义

它就相当于就是个probability amplitude

你知道了

你在t时间的这个它的状态是

ψr of t

那我到了t'

我的probability amplitude

这个时候我当然变量

我得用另外一个变量

我就用这个r'

这个时候我ψ r't'

就是我的这个propagator

就是那个matrix element

既然propagator就是probability amplitude

所以说作为一个probability amplitude

我现在刚才已经说过有个限制

我的时间只能往前传递

所以我要是把这个

以后的时间

下面这个地方的符号

有一点和原来不一样了

我后面的这个时间

t比原来的时间t'必须得大

所以t必须得大于t'

这个时候你才能用

这个time development operator这个概念来解释

所以说这个时候

我的probability amplitude它其实

我现在故意的要它的变量是r

所以我才导过来

它的变量是r在t时间

我这个波函数它随时间的变化

是这个

所以右边一定是Hamiltonian

作用在我的波函数上

这个波函数就是rt

其他的那个是起始条件

这个就是

我刚说明

它本身就是一个probabiltiy amplitude

所以它满足这个条件

现在呢我就必须得

把我刚才那个老用嘴说

我前面那个时间要大

这个时间t要大于这个t'

我现在就用一个办法

我就有定义

如果这个t大于t'

好 一切都没问题

t要小于t'

这个k就得0

这就行了吧

所以我就把上面这个式子

改写一下

就用一个step function

这个step function表达用θ来表示

它是τ 时间的函数

如果时间大于0

没问题 它就是1

时间小于0 它就是0

当然这个函数有个性质

就是你要算它的derivative

它就是δ函数

因为在这是个跳变

跳变的大小是1

所以正好

这个地方就是这个δ函数

好 我现在把刚才那个式子

左边给它乘上一个θt'

减去t

右边就还是原来

我左边乘到这

那你不是方程变了吗

实际上没变 为什么呢你看

如果我t'要大于t

我现在请大家注意

我前面的是t'后面是t

和刚才那个并不一样的

所以说我t'大于t

左边这个θ就是1

你这个式子就是刚才的式子

如果t'要小于t怎么办呢

左边是0

右边我刚才说了

如果我这个前面的这个时间

要小于后面时间的话

这个k就是0

所以它就是0等于0

并没有变

所以说我现在就加了这个的话

我就不用老说t'

和t谁大谁小

加说这个它反正对

你t'大于t它也对

t'小于t它也对

就是把这个式子就等于说

省得我老说那个话了

这个是有原因的

因为下边我要求

这个propagator K满足的方程

所以我就用这个算符

就是把Schroedinger方程

那个H挪到左边来这个算符

我现在这个时间用的是'

所以这有'

我把这个算符作用在

刚才这个式子的两边

不是schroedinger 方程

就是这个propagator定义的

这个式子的两边

你看左边

左边是两个因子

一个就是ψ

一个是我的θ

所以我拿这个作用的话

H'好办

它就是H'作用在

整个这个上头就是

但是第一项

它是对于t'的一个derivative

所以作用在这两个因子上

它是两项

因为这两项都包含t'

作用在第一项上好办

刚才说了

你作用在θ上

给出来的是个δ函数

所以把这个δ函数写上

这是作用在第一项的结果

作用在第二项上的结果呢

就是作用在

好比这个ψ上

就是实际上整个就写在这了

所以作用在左边

它是得两项

作用在右边呢

这个积分是对r的积分

所以我可以把这个算符放到

积分号的右边去

就得到了这个式子

我们一看这个第二项它是什么

ψr't'

前面这个就是Schroedinger方程的两边

我把右边这项挪到左边

所以这个operator

作用在ψ上应该得0

这就是Schroedinger方程

所以第二项没有就得到左边

好 这回我就知道

我这个K应该满足什么方程

那我就问

我把这个ψrt单独拿出来

前面这个家伙

就是这个算符作用在K上

应该等于什么

我才能让右边等于左边

好 左边δ函数

δ函数是t'-t

所以你要想算符作用在k上

能够得到第一项

左边第一项

而第一项里面有个ψ

正好是我后面的ψ

所以说它这个计算的结果

必须是下面给出来的这个

δ(t-t')

还有一个δ^3(r-r')

三维的δ函数

为什么呢

你看如果我前面这个东西

等于两个δ函数的乘积

那么δ(t-t')得到的就是这个

还有后面有个三维的δ函数

三维的δ函数就是

就是乘在整个的这个右方了

你整个的右方是对r积分的

r积分这有个三维的δ函数

所以这个ψ

这这个r就要改成ψ(r')了

正好是我左边要求的ψ(r')

那你说不对啊

这是t'这是t啊

没关系

前面这个δ函数在这

所以你可以把t'改成t

并不改变它的值

所以说好 我就得出结论

我这个Schoedinger operator

这个operator作用在k上

就应该等于这两个δ函数的

这个乘积

好了 方程得出来了

方程得出来了

你看这就是那个左边的算符

对吧

这个原来的写法

我是用H写的

我现在把H写开

这个是动能 这个是势能

这是左边

右边呢是两个δ函数的乘积

本来前面有一个factor ihbar

所以这个就是propagator

所满足的方程

我们知道在微分方程理论里面

这个K就叫做格林函数

格林函数在微分方程里面

它的应用就是这个性质

就是说我知道了在t时间的

这个波函数

我这个微分方程的解

我拿格林函数乘一乘

把这个变量一积分

我就可以得到

另外一个时间的波函数

这就是格林函数的定义

这是微分方程里边

讲格林函数的时候

格林函数的用法

那么我们现在来看

格林函数满足的方程呢

在微分方程理论里面

你知道

我把原来的这个算符不变

这个地方是我的新的解

这就是格林函数了

格林函数满足的方程就是

我把原来微分方程的算符不变

本来的微分方程右边是0

现在这个地方改成格林函数

右边就是δ函数

所以这个正好就是量子力学里面

Retard Green function

好 我们现在休息一下