S1.1 Algebraic method of solving the 1D harmonic oscillator eigenproblem(2)在线视频

下面呢我们来证明第一件事

energy level operator N

它的本征值

不仅仅是包括0在内的正实数

而且是正整数

第二要证明a是降低的算符

a\dag是提升的算符

怎么证呢

我们知道了a和a\dag的对易子

所以呢就会有下面两个关系

这个N就是a\daga

它和a\dag的对易子就是a\dag

它和a的对易子呢就是负的a

这个大家一推就出来

好 有了这个

我们就把第二个式子拿来

作用在N的这个本征态vector |n>上

好 我把这个对易子展开

N和a的对易子就是

Na减去aN

分别作用在|n>上

然后再相减

第一项不动它

第二项我们知道

n, vector |n>是operator N的本征态

它的本征值就是C数n

所以我这得出个C数n来了

把C数n可以提到a的前面

没有关系

C数 所以这是左边作用的结果

然后大家看

我用原来第二个式子

右边呢是-a

作用在n上

所以就有这个关系

现在啊我把左边的第二项

提挪到右边去

那就得到的就是下面的式子

你看剩下的是左边的第一项

把这个挪到右边去以后

右边变成n-1了

你现在来解释这个式子

这个式子代表什么

|n>是一个vector

我拿a作用一下得到一个新的vector

好 那么a|n>

这个新的vector有个什么性质呢

你看它也是这个capital N

就是N的 energy level operator的本征态

本征值现在变了n-1了

你就懂了

我本来是|n>这个状态

我拿a作用它一家伙

它就变

变成n-1了

能量就低了

所以这个a呢是一个lowering operator

这个就证明了

也就是刚才这个式子

说的是什么呢

我的|n>就a来作用一下

它也是我这个

energy level operator N的本征态

它的本征值就是n-1

好了 你本来处在|n>上

n-1 n-2 n-3

有没有完呢

你最后总不能

n不能等于负的吧是不是

那应该大家直觉一想就知道

n的最小值就是0

那么怎么表现呢

在我们的理论里边

好 我现在加一下

我这个最小的值

我先不说它是0

我先说它是n0

那么到这了

怎么代表它最小呢

就是本来啊你拿这个

a作用在一个状态上

就把这个状态的能量降低

降到最低了

|n0>这个状态

这个vector

我现在还要拿a来作用它

按照道理本来应该得-1了

不能得 没有啊

所以我就要求

a作用在这个最低态

也就是基态上要等于0

就要求这个结果

有了这个结果你再来看这个n0

必须等于0

为什么

你把这个式子拿来

左边拿这个energy level operator作用一下

那么N作用在|n0>上

那N的定义就是a\daga

作用在这个|n0>上

刚才我们说了一个条件

就是a作用在|n0>上要得0

所以这右边就是0

那也就是0来乘这个|n0>

你把这个式子你怎么来诠释呢

|n0>是我的operator N的eigenfunction

它的本征值是谁呢 就是0

所以说这个n0就是0

也证明了我的

这个谐振子的能级是用n来表征

n呢是一个包括0在内

还有正整数

就是这样的话就证明了这一点

而且刚才证明了

a是lowering operator

那有了刚才的这个办法呢

在这就大家可以自己来看一下

这几行就明白了

就是你原来有个状态|n>

你现在用a\dag作用它一家伙

你会发现什么

它得到的这个新的状态

仍然是energy level operator

N的本征态

它的本征值呢n+1

所以提升了

所以这样一来的话

那么就知道我的energy level operator N

它的本征值是什么呢

0 1 2等等等等

这就是证明了

好 那下面呢知道了

这个a\dag的意义

你就可以从基态出发

从基态这个地方

就用这个|0>来代表

这个就是基态或者叫真空

从这个状态开始

我前面用a\dag作用它n次

你看这个地方不是n吗

作用它n次

本来是在0这个水平

你作用n次呢

它当然就跑到第n个水平上去了

所以这个得出来应该就是我的

operator N这个状态

可是要有规一化

所以你这规一化因子呢就是

一算就知道是n!

怎么算呢

你先证明一下这个式子

这个式子证明了

就可以一下就知道这个地方n!

实际上大家你作用一次

作用两次 作用三次

你就知道这个地方必须是n!

当然我这说你要严格

你有这个数学严格的这个要求

你就要用数学归纳法

来证一下这个式子

否则你一看就知道

它就是n!

那这个时候你就得出

我的体系的处在n水平的

这个波函数来了

那不同的水平上的状态

它是正交的

同一个水平

它这个状态必须是归一的

所以这个就是正交归一关系

好 下边呢我要告诉大家

你有了以上的这些理解

你就可以知道

我这个体系的n水平状态

用这个n来代表的话

那我的a和a\dag

以及它们的各种幂次

它们的这个矩阵元你怎么来算

其实这是好算的

怎么算呢

大家看这个式子

我从上面这个|n>状态的

这个state vector

就是叫做矢量态出发

我把这个n呢都写成n+1

你看前面这是n+1状态

这个地方a\dag要作用n+1次

前面的归一化因子n!

现在变成(n+1)!了

有了这个你立刻就可以说

我在这提出一个a\dag

在这提出一个a\dag

然后你就把它组成后边的作用项

你就可以写成|n+1>这个状态

怎么得到呢

你可以从|0>开始

拿a\dag 作用n+1次

你也可以从n开始

拿a\dag 作用一次

就到了|n+1>了

那前面这个地方

这个规划常数就是在这

所以我现在把下面的这个数值

根号下面的数乘到左边去

你就得到下面这个关系了

你把它乘到左边去

我现在把它写到右边了

|n>用a\dag 一作用

你得到的是|n+1>

提升了嘛

前面要有个因子

如果这个地方呢

我把|n>拿a作用一下

它应该变成|n-1>

大家自己可以写一写

立刻就可以写出来了

有了上面这两个你就得出来

a\dag 的矩阵元和a的矩阵元

就是这两个

这两个呢是比较好记的

为什么呢

就是说a\dag 是提升的

所以|n>一提升就变成|n+1>

你记住了右边要有一个常数

这个常数是个根号

根号底呢

你记住要用那个大的

n和n+1比 n+1大

所以这是n+1

你n用a来作用

给它降低变成n-1

你这个地方根号底下要大的

这俩一比谁大 n大

所以忘不了

好 下面呢

我们理论物理的好处

就是把有些东西设置成1

算起来好算

但是你真正老师问你

我让你算一算这个x的

就是量子力学里面位置

坐标的这个算符

它的矩阵元是什么

你怎么算

那你 我事实上

刚才知道这个x是什么

是根号二分之一底下

a\dag 加上a

你现在a\dag 和a的矩阵元有了

我一代不就完了吗

不行 你就要记住了

把那个量纲要拿回来

量纲拿回来啊

现在你算的是x是长度

所以你要把这个长度的量纲

拿回来就在这

如果你算的是p呢

p这个右边除了i以外

这是a\dag 减a

你把它们的矩阵元都拿回来了

你不要忘了 量纲要恢复

p是动量 动量的量纲原来说过

是square root 下头 mhbarω

所以这个就把这一段

给大家就介绍完了

a|n>的物理意义

energy energy operator

a是降低的

a\dag 是升高的

它们的矩阵元都已经算出来了

下面呢得到觉得这就完了

是不是我们的量子力学解决

这个谐振子波函数是不是就这样

你从Heisenberg来讲

就到此为止了

我的能级知道了

然后算符都有了

我的本征vector和本征值

都有了

从一个到变到另一个怎么变都有

大家不放心呢

我原来学Shroedinger原理

那好 下面给大家讲的是

我从Heisenberg的结果

可以得Shroedinger的结果

那么现在呢我们知道

Heisenberg的这个state vector |n>

那我现在要把这个本征态

我写成Schroedinger就是用r表示

那么就是ψn of x

应该就是这个

我现在先给大家求基态

求基态的时候请大家看

基态的定义是什么

是你拿a一作用它要得0

好 那么a

现在呢我用x和p来代表

就是x+ip就是a对吧

所以这个作用上应该得0

我现在呢要过渡到

Shroedinger的表象

Shroedinger表象的基态是ψ0 of x

这个0就代表

是它的基态的x表示就是坐标

那么这个东西呢

实际上用这个代数的表达呢

你看这个|0>就代表基态

左边的x就代表我现在用了x

表示了

实际上这个就是|0>

这个状态在x表示里面的波函数

这个就是Schroedinger波函数

好了 所以利用这个|0>

你用Schroedinger波函数ψ0把它写出来

前面x在Schroedinger表示里面

就是乘以上x

p呢就是-i*hbar*(\partial)/(\partial)x

或者现在我只有一维

就是d/dx

负i乘正i是1

hbar现在是1

所以就得到的

这个就是Schroedinger基态

所满足的方程

你一解就解出来了

对啊 Gaussian

大家知道谐振子的基态

就是高斯波函数对吧

可是大家不要忘了

你要把量纲找回来

量纲找回来怎么找呢

你看在这里

一个exponential

指数函数上边是没有量纲的

你这有了一个x平方

代表长度平方的量纲

所以你必须得前面还回一个

长度平方分之一的东西

那就是mω/hbar

这个就是整个的这个高斯的

波函数

你要把它归一化

前面有个归一化因子

所以大家安心了吧

你看看这就是你过去学过的

这个Shroedinger基态波函数

有了这个下面大家一看就知道

我现在是第n个状态

那怎么办呢

第n个状态用刚才的表达式的写法

就是这样

第n个状态的Shroedinger波函数

就是|n>在x表示里面的这个scalar product

这个就是波函数

所以呢那就是说

|n>就是在|0>上面用a\dag作用n次

前面有这个

而a\dag的表达式知道

请大家注意

在这里本来是根号二分之一

x-ip

现在呢我要把量纲拿回来了

这量纲拿回来

所以说最后你写波函数

第n个状态的波函数

你要完全写出来

这个就是本征值

现在我就把Heisenberg

给它解法完全还原到Schroedinger

这个解法了

下面呢要交给大家

理论物理里面

一个很有用的方法

叫做什么呢

叫做类比和推广

第二节的题目叫做

Particle number representation

particle creation

annihilation operators

刚才我们讲了是一个谐振子

为什么要讲谐振子啊

就是为了现在做准备

谐振子有什么好处呢

它的能级之间是等间距的对吧

我现在就要来做类比了

我有 这一边我是有谐振子

等间距的能级

我这边是什么呢

我现在用N个

大N个玻色子

这些玻色子都是属在同一状态

我先不分能量状态

下边再告诉大家怎么分

首先呢他们都在同一的

能量状态上

那剩下是什么就数数了

你就定你这个玻色子系统

有几个粒子啊

没有 零

或者一个 或者两个 或者八个

你现在一般比如说是N个

有了这两个正好比

为什么好比啊

我现在玻色子体系

一个两个三个

这都是等距离的啊

一个到两个差1

七个到八个差1

这个正好和我刚才介绍的

量子力学的波函数的能级

这不正好一样吗

所以呢就来了一个类比

有了类比就可以有推广

你看左边我是谐振子

右边是多体的波斯系统

我谐振子一个粒子

我现在假定我的玻色子都

只有一个能量模式

先不分 一会儿再分

好处这两个类比呢

左边呢谐振子的能级是等间距

右边呢玻色子体系的粒子数

也是等间距的呀

刚才说一个到两个差1

七个到八个也是差1

好 所以呢左边我这是代表

谐振子的能量

右边呢就是我玻色子体系

这个包含几个粒子的这个状态

这时候这个n呢就不代表能量了

就代表粒子数了

刚才我证明了

在谐振子里边a是降低的算符

a\dag 是升高的算符

而在这重要的请大家注意

a代表的是什么

代表的是消灭一个粒子的算符

a\dag 是产生了一个粒子的算符

左边这个N a\dag a

刚才代表的是什么呢

代表的是我的谐振子的能级

operator算符

右边呢这个N应该代表什么

a\dag a

那就是代表我的玻色子体系

有多少个粒子

这个粒子数算符

所以这里呢就有了一个

这个类比和推广

原来谐振子有用的那些个

理论物理的关系

我现在一搬

一搬家就搬到了这个多粒子体系

这个就是理论物理里边

有一个很典型的

模拟和推广这个方法

好 我们现在这课就先讲到这

下面呢我们要讲的是怎么

把这个不同的能量状态

给包括进来