S8.11 Dicke Model and Phase Transitions(3)在线视频

下面我们来讨论Dicke model

给出来的相变

Dicke原来只给了很重要的图象

就是你把很多发射体

让它能够处理在一个相干的状态

结果就可以使辐射大大的加强

这个就是superradiance

但是它并没有给出来

你把一个多体系统

那个时间还是比较早

他没有考虑到什么条件

会让它从一个普通的不相干的状态

一下就变相干了

你这需要条件

所以后来这是Hepp和Lieb

在差不多20年以后了

因为原来Dicke在50年代

他们是在70年代

完全有条件考虑在物理上

如何去实现

这个时候他们就要来考虑相变

Hepp和Lieb

他们首先比较深入的讨论了

怎么来算这个体系的自由能

然后在热力学极限底下

我怎么样增大我的原子

和我的腔之间的偶合

让它能够从正常状态

一下就变成超辐射状态

但是他这个讨论比较深入

也比较仔细

下面我根据的是

另外一篇比较简明的文章

Wang和Hioe也是同时的

Physical Review A 1973年

根据这个来讲

他们即使是比较简明

但是作为我们教学来讲个

也不能讲的那么详细

所以有些地方我只给结果

是要跳的

好 下面就要来讲他们的工作

这个体系的Hamiltonian

是什么呢

是我有N个两能级的原子

放在腔里面

这时候写出来

这类的Hamiltonian一般都叫

Dicke Hamiltonian

当然Dicke当时还没有考虑

整个原子腔相互作用的

现在可以了

他们这个论文里面

用了这样一个特殊的单位制

\hbar等于1 \oemga等于1

也就是说这个腔的频率等于1

什么意思呢

就是实际上我把能量的单位

去做\hbar\omega了 是吧

所以说这个时候Hamiltonian

写起来就简单了

第一项是腔场的能量

a \dagger a 是腔里面的光子数

\hbar\omega呢 等于1了

所以这个就简单了

后面这个第一项是原子的能量

从j等于1求和到N

把N个原子能量都加进来

这后面有个\sigma j z 这就是Pauli \sigma

也就是处于激发态的时候

它的能量是正的二分之一

\epsilon

处于基态的时候

那就是\sigma z

分别的正1或者负1了

那当然能量就是负的二分之一

\epsilon

所以这个是原子的能量

后边这一项代表腔场

和原子之间的相互作用

\lambda代表场和原子之间的

coupling

现在他这儿用\lambda来表示

后面这个地方

你看就是说用了rotating wave approximation

因为他只把

如果你的原子要是激发的话

就是\sigma +

从基态到激发态

你必须得吸收一个光子

前面是消灭光子的跟它配

后面这个呢

你退激的时候要发射一个光子

没有哪个交叉在那个底下

所以这个是rotating wave approximation

下面这个腔场他们用Glauber coherent state

然后呢

原子的就用pseudo spin

实际上代表基态或者是激发态

pseudo spin

他为什么要用Glauber state

因为在算统计物理里面

配分函数的时候

另外算这个跃迁矩阵元的时候

它都有它的方便

比如说你算跃迁矩阵元的时候

本来是有腔场的光子的发射

和吸收算符 a和a \dagger

你把 a和a \dagger作用在Glauber state上

好办了

原来我们用的是z那个parameter 现在我们用\alpha 就是Glauber state的parameter

a就用\alpha代替就完了

这算符就不算了

a \dagger 用a star代替就完了

所以一下你看把刚才Hamiltonian

变成什么样子

这里面就没有光子的算符了

这就很简单

原子和腔场的Hamiltonian

就变成这样了

第一个这个代表是原子的激发态

或者是基态

这是\sigma z

这儿写的单原子

你一求和

当然就是多体的

后面就是相互作用

原来a和a \dagger

现在变成a star和a了

这不就简单了吗

这是一个简单

你在算统计物理

partition function的时候

那那个时候呢

你本来应该是个e exponential

这好比求和Hamiltonian

这个时候你要是用了Glauber state

作用在原子上的时候

它都可以 这个factor

这个H可以fact out

因为这个原子能量就两个状态

然后光子的算符没有

所以你下边就完全可以把

e exponential上面的sum

就变成了exponential的

一个product

因为什么呢

因为你作用在i个原子上

和第j个原子上的这个算符

它是对易的

所以你这个上面的加

你就干脆把它写成exponential的乘

就完了

所以这样算起来很好算

下面就给结果了

我就不来算了

首先当然给出它的根据

根据partition function

这个我们在讲前面

path integral的时候

Feynman把这个path integral

和统计物理联系起来了

这个地方本来partition function

它是trace这样一个Boltzmann factor \beta就是1/kB T了

写成路径积分的形式

就写成这样

前面这个时候腔场

你可以写成exponential后面

乘起来就是

所以这个地方你就对\alpha做积分就完了

这个地方是path integral对不同的\alpha

然后后面trace power N

然后这个里面小的h

你看这儿不是没有光场的算符

写成这个

当然你就可以把它写成

exponential

上面是sum 就可以写成product of exponential分之N

这就是N次方了

就简单了

然后你有了partition function

怎么求free energy呢 关系式

在这个地方

free energy在这里

这个就是partition function

然后呢

他们要考虑的就是

free energy of per-particle

平均一下就是

下面被N除一除

N逼近于无限大

thermodynamic limit 然后per-particle

这就是小的f

就是这个

将来要求最小的话

就是求它的最小

这个free energy最小

给出来他们的结果是什么呢

他们的结果就是要问

我现在能不能得到

一个自由能的最小

那我现在做变分的时候的参数

就是看\lambda

\lambda在这儿

就是coupling

coupling要是弱的话

应该没有solution

coupling强的话才有solution

他在求最小值的时候

就看你的最小值有没有解

最后他得出来那个公式就在这里

就是说

看你这个\lambda的大小

临界值这 \beta临界值就是这个温度

就是一定的温度底下

你来变你这个coupling

coupling强就是\lambda square大于这个\epsilon

coupling够强它就会有解

\lambda square小于这个\epsilon就没有解

他怎么得到的这个呢

我们下面看图

那个图就是说这个式子它的图解

看图解判断什么时候有

什么时候没有

也就是说我当我这个\beta

就是1/kT 大于\beta的临界值

那也就是T

小于温度的临界值的时候才有解

但是还要看一个条件

所以是这两个条件

一个首先是温度的条件

温度必须要小于临界温度

在这时候只要你场腔和原子的

coupling够强你就有解了

好 我们来看这个图

这个图呢

刚才那个式子的左边就是纵坐标

横坐标就是式子的右边

\beta c改成\beta就是了

你来看画出来那个呢

右边是个hyperbolic tangent

回去看一下

这个就是纵坐标把括弧里面的这个

当成横坐标

括弧里面的这个是横坐标

这就是\beta

那么这俩的关系是hyperbolic tangent

所以你画出来就是这样一个

这就是hyperbolic tangent的曲线

这是负1，这是正1

这就是那个hyperbolic tangent

这个横坐标就是右边括弧里面的量

括弧里面的量\beta要是越大的话

你画出来当成一个直线

不看hyperbolic tangent

就是右边的圆括弧的直线

\beta越小

你画出来的直线

它的inclination越大

当你\beta大到够大的时候

它这个线就跟hyperbolic tangent相切了

那这已经开始有一个相交的点了

就是这个0

你要是再大 它就交于一点了

这个时候

如果你的coupling够强

刚才那个式子就有解了

本来Dicke原来那个解有没有superradiance

要看它那个标准的boundary condition

\lambda是square root \omega \omega 0

这个\omega 0代表的是原子跃迁的角频率

这个\oemga是腔场的角频率

刚才它得出来的\lambda

和习惯的不一样对不对

刚才它得的\lambda是什么

\lambda平方大于或者小于

\epsilon

这是它的条件

可是我们记得这个\epsilon是个能量

它的单位是什么

是\oemga做单位的

所以你在这儿你必须把刚才的\lambda平方

变成\lambda over \oemga square

把\epsilon变成\epsilon over \oemga

你把这个往刚才那里一变

就得出一个Dicke

原来的标准的强度的要求

就是这个式子

所以好

现在就得出一个

critical temperature

温度必须比Tc要低

然后强度必须要比这个值要大

这两个条件都满足就行了

就有了superradiance

现在我们把标准的Dicke Hamiltonian

写在这里

单位都给它复原了

单位复原你看

\hbar还是等于1

\hbar等于1

这个是腔场的能量

这个是原子的能量

这个是腔场和原子的coupling

这时候有多少个原子呢

你可以有很多个原子

但是很多个原子它的基态和激发态

都是只有一个

这个transition angular frequence都是\oemga 0

这个写出来看起来好像是个单粒子

其实是个多粒子Hamiltonian

这个就是怎么样从Dicke model

开始得出与发生superradiance

它的条件

下边呢我们讲一个实验

这个实验是很有意思的实验

这是瑞士的联邦高工

英文叫ETH

其实它按照瑞士当地应该叫

（德语：Eidgenossische Technische Hochschule）

一般都说这是Eidgenossische Technische Hochschule的工作

英文是ETH 联邦多科性工业大学

这个为首的是Tilman Essinger

这个工作就是Dicke quantum

phase Transition with a

superfluid gas in an

optical cavity

给的明确它superfluid gas

当然就是BEC

达到了BEC就具有超流性质了

然后要用一个optical cavity

他用的是光学谐振腔

所以在实验上这是一个非常先进的

这么一个情况了

好 先介绍一下他这个系统

我们的系统跟Dicke model

有什么关系

好 现在他用的是一个叫

open system of a BEC coupled

to an optical cavity

那这个就画在左边这样

你看这个

在x轴水平方向这个叫x轴

x轴这是一个optical cavity

open system

但是整个的你还必须要有

一定的低温的条件

一团BEC在这里

需要有trap

这是一团BEC

这是optical cavity

这就是刚才说的BEC

和optical cavity

但是同时它又有一个pumping laser

这有一个

另外一束沿着z轴

我们现在水平方向叫x轴

坐标在这里

水平方向叫(x轴)

垂直方向叫做z轴

在z轴有一个pumping laser

这个laser将来的强度

也是可以调的

这就是那个体系

这个地方有个反射镜

你这个laser进去以后

通过反射镜回来就形成驻波

你看这个一条一条深红色的

比如说代表驻波的峰

潜在的地方就代表驻波的谷

这是我们的体系介绍完了

当你的pumping laser的功率

要是小于一个临界值的时候

那这个就是这样

这个时候没有superradiance

如果刚才你要是想探测

那这个地方有一个探测器

探测什么呢

探测你这个光学腔

这个里面有没有发生

superradiance

我先说实验结果

如果你这个pumping laser它的功率

要大于一个critical value的话

就发生了superradiance

superradiance是什么呢

那就是右边这个图

你看现在pumping laser功率加大

颜色比这边这个要深

这个腔场里面

就不是有个别光子的问题了

而这个时候光子的数目也就是

和你的BEC

BEC当然是个宏观数的原子在这儿

它也是一个宏观量的这样的光场了

所以你看这画上

光场当然在cavity里面

它也是驻波了

这个就是superradiance

说明了这个广场发生了

superradiance

但是不仅如此

这个实验它的有意思的地方

就是BEC也发生了变化

原来是BEC这一团

就是说原子在里面可以自由的运动

但是大家都处在同一状态上

所以这是BEC

在发生superradiance以后

你这两个场

一个是腔场 一个是pumping field

这两个都是成了驻波了

于是它就产生了一个optical lattice

这个lattice你看就是一个棋盘样的

因为两个方向都是驻波了

所以你比如说最强的假如在这儿

是蓝的

另外最弱的就是圈的是空的

所以它就发生棋盘式的

你可以有两个紫格子

而这个BEC妙的是

根据一定的条件

这个在课件里面有

但是恐怕我们讲不了那么详细了

它或者占有蓝格子

或者占有空格子

就是BEC就在光学

光晶格上面给你分布好了

这个作者们管它叫做

self-organization

自组织

就是棋盘上这个棋子

不用你这个实验家往哪个上摆

它自己就组织上了

根据条件它或者是在蓝格子上

或者是在空格子上

这个是由它来选择

根据条件来选择的

所以这叫自组织

self-organization

而且下面我们做

具体的物理的分析的时候

你会看到下面的这一段

emergence of a self-organized

phase is observed

这是刚才说过发现自组织的

这样的一个项目

这个自组织 which is driven by infinitely long range interaction

between the condensate atoms

induced by two-photon processes

involving the cavity mode

and a pump laser

它怎么会发生一个自组织啊

你本来BEC里面原子和原子之间

要有相互作用的话

你比如说它是Van der Waals interaction

那是非常短距离呀

你要让它组织成一个长程有序

BEC我们说它有什么呢

有off-diagonal long range oder

它的长程序是非对角长程序

不是这种对角的长程序

现在发生的是对角长程序

它哪儿来这样的长程序呢

就是实际上原子和原子之间的关联

它是一个无限大的力程的关联

那也就是说你看

你比如说这点

它可以在这样一个宏观大小的里面

这头到这头它都有关联

所以你要说这个力程多大呢

它是infinitely

long range interaction

为什么呢

这一会物理上分析的时候

给大家分析来看

刚才也说过它分析条件

它可以占偶格子或者是奇格子

那就是蓝格子或者是红格子

根据条件它自组织

这就是实验最后的结果

当然最后要给大家看它的实验的图

然后下面我们来做物理分析