1.4 常系数线性差分方程在线视频

同学们好

我是湖北大学

计算机与信息工程学院的教师

沈君凤

欢迎大家来到

数字信号处理的线上课堂

今天我们来为大家讲述的内容是

常系数线性差分方程

用差分方程

来描述时域离散系统的输入输出关系

一个N阶的常系数线性差分方程

我们一般把它表示为

1式

其中

a0是等于1

ak和bm是常数

求解常系数线性差分方程

我们一般有如下几种方法

一

经典解法

这种方法类似

模拟域求解微分方程

它

包含齐次解和特解

用边界条件

来求待定系数

比较麻烦

第二种方法

递推解法

又叫迭代法

适用于计算机来解

只能得到数值解

不易得到公式解

第三

变换域方法

我们可以将差分方程

变换到Z域

来进行求解

我们来看一道例题

已知常系数线性差分方程

y(n)-ay(n-1)=x(n)

若边界条件

y(-1)=0

求其单位抽样响应

求解时

我们令输入x(n)=δ(n)

则输出y(n)

就等于单位冲激响应h(n)

又已知边界条件

y(-1)=0

我们由

y(n)=ay(n-1)+x(n)

可以迭代出

y0

y1

y2

y3的值

最后得出结论是

当n≥0的时候

y(n)等于a的n次方

我们把差分方程变形

得到

y(n-1)

等于1/a的y(n)-x(n)

由这个式子

和y(-1)=0的值

我们可以迭代出

y(-2), y(-3)等等这些值

最后

表达式写出来为

当n≤-1时

y(n)=0

综合

刚才迭代的结果

最后我们可以写出

h(n)的表达式

就等于a的n次方乘以一个u(n)

接下来我们再来看一道例题

已知常系数线性差分方程

y(n)-ay(n-1)=x(n)

这个差分方程

和我们刚刚讲过的差分方程

表达式是一样的

若边界条件y(0)=0

求其单位抽样响应

求解时

我们令输入x(n)=δ(n)

则

输出y(n)就是单位冲激响应h(n)

又已知边界条件

y(0)=0

我们可以由

y(n-1)

等于1/a的y(n)-x(n)

迭代出

y(-1)

y(-2)

y(-3)等值

结果为

当n≤-1时

y(n)等于

负的a的n次方

我们根据差分方程

y(n)=ay(n-1)+x(n)

以及边界条件y(0)=0

可以迭代出

y(1)

y(2)

等值

最后的结论是

当n≥1的时候

y(n)=0

综合

刚才迭代的结果

最终得出h(n)的表达式为

负的a的n次方

u(-n-1)

下面我们再来看一道例题

还是刚才的常系数线性差分方程

y(n)-ay(n-1)=x(n)

现在边界条件

为y(-1)=1

我们来讨论系统的

线性性和移不变性

首先我们来令

x1(n)=δ(n)

由y(-1)=1

我们可以求出输出y1(n)

采用迭代法

分别迭代出

n≥0

以及

a≤-1的值之后

最终我们得到

y1(n)的表达式

如1式

然后我们再来令

输入x2(n)

等于δ(n-1)

由y2(-1)=1

我们来求

其输出y2(n)

我们还是采用迭代法

分别的迭代出

n≥1

其n≤-1时的各项值

最终可以得出

y2(n)的表达式

如2式

现在我们再来令输入

x3(n)=x1(n)+x2(n)

也就是=δ(n)+δ(n-1)

由边界条件

y3(-1)=1

我们来求输出

y3(n)

同样我们采用迭代法

分别迭代出

n≥1

及n≤-1时的表达式

最终可以得到

y3(n)的表达式

如3式

当我们输入

x1(n)=δ(n)的时候

输出

y1(n)的表达式

也就是1式

当输入

x2(n)=δ(n-1)时

输出

y2(n)的表达式

如2式

由于x2(n)

是等于x1(n-1)的

而我们的y2(n)

并不等于我们的y1(n-1)

所以

在y(-1)=1的边界条件下的系统

不是一个移不变系统

当输入x3(n)=x1(n)+x2(n)

又=δ(n)+δ(n-1)时

输出y3(n)

并不等于

y1(n)+y2(n)

也就是说

它不满足可加性

因此

在y(-1)=1的边界条件下

该系统不是线性系统

在讨论常系数线性差分方程的过程中

我们需要注意

第一

一个常系数线性差分方程

并不一定代表因果系统

也不一定表示线性移不变系统

这些都是由边界条件所决定的

第二

我们讨论的系统都假定

常系数线性差分方程

就代表线性移不变系统

且

多数代表因果系统

同学们

关于常系数线性差分方程

我们就介绍到这儿

谢谢大家