当前课程知识点：数字信号处理 > 第1章 离散时间信号与系统 > 1.5 连续时间信号的理想抽样 > 1.5 连续时间信号的理想抽样
同学们好
今天这节课我们一起来学习
连续时间信号的抽样
在我们的左图中
第1个信号
为连续时间信号xa(t)
第2个信号
为我们的抽样脉冲
pT(t)
我们将这两个信号做乘法
就可以得到第3个信号
xa(t) hat
这个就是我们的抽样过程
抽样脉冲
pT(t)
每个脉冲持续的时间
为τ
当τ趋近于零时
我们就可以得到右图中的
抽样脉冲
δT(t)
它和连续时间信号
相乘之后
就得到
一个理想的抽样
关于连续时间信号的抽样
我们需要讨论如下两个内容
1
采样前后
信号的频谱的变化
第二
什么条件下
可以从采样信号
不失真的恢复出原信号
我们首先来看理想的抽样
也就是我们的抽样脉冲
每个脉冲持续的时间趋近于零
那么抽样脉冲
就是我们的
δT(t)函数
其表达式
如1式
连续时间信号
经过δT(t)抽样之后
得到的输出
xa(t) hat
其表达式
如2式
接下来我们来求
理想抽样之后
该信号的频谱
Xa(jΩ) hat
连续时间信号
xa(t)
其频谱为
Xa(jΩ)
表达式
如3式
抽样脉冲δT(t)
其频谱为
δT(jΩ)
其表达式
如4式
因为抽样
在时域
是一个相乘的关系
所以
到了频率
就应该是一个卷积
因此
抽样信号的频谱
Xa(jΩ) hat
其表达式
就应该如5式
也就是
连续信号的频谱
和抽样脉冲信号的频谱做卷积
我们把5式的卷积
用卷积公式
描述成
6式
6式中
抽样脉冲
的表达式
我们将其带入
就得到7式
7式中
积分号里面的系数
我们把它放到积分号外面
得到8式
8式
我们应用
冲激函数的筛选性质
我们就可以得到
9式
在这个推导过程中
我们来看
最终的结论
Xa(jΩ) hat=1/T的
∑求和
k从负无穷到正无穷
Xa(jΩ-jkΩs)
也就是说
抽样之后的信号的频谱
应该是抽样前
信号的频谱的
周期延拓
其
周期为
ΩS
然后前面还要乘一个
1/T的系数
抽样前后信号的频谱
我们
看到如下图中
第1个图
为抽样前信号的频谱
第2个图
和第3个图
均为抽样后信号的频谱
从图中我们可以看出
抽样信号的频谱
是模拟信号频谱
以抽样频率为周期进行周期延拓而成
而频谱的幅度
是原连续信号频谱的
1/T倍
若信号的最高频率
Ωh＞Ωs/2
则
延拓分量
会产生频谱混叠
如第3个频谱图所示
我们刚才讲过的
连续时间信号的抽样过程
我们可以得出
奈奎斯特抽样定理
要想抽样后
能够不失真的还原出原信号
则
抽样频率
必须大于两倍信号谱的最高频率
也就是
ΩS＞2Ωh
以及
fs＞2fh
看完了抽样信号
在抽样前和抽样后的频谱关系之后
我们来看
如何对抽样信号
进行还原
也就是恢复
通常我们会利用
低通滤波器
来还原
满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号
其恢复的过程
如a图所示
我们给出来的
理想低通滤波器
其频率响应表达式
如1式
该理想低通滤波器的
频率响应图形
如b图所示
在恢复的过程中
输出频谱
Ya(jΩ)
是等于
Xa(jΩ) hat
×H(jΩ)
若
能做到无失真还原
最终的结果应该是等于
Xa(jΩ)
接下来我们来讨论
由抽样信号xa(t) hat
还原
原连续时间信号xa(t)的过程
我们刚给出来了
理想低通滤波器的频率响应
我们可以求出
该理想低通滤波器的冲激响应
其表达式
为1式
通过理想低通滤波器之后
我们的输出ya(t)
就应该等于
xa(t) hat
和h(t)
求卷积
其公式如2式
我们将抽样信号
xa(t) hat的表达式
代入到2式之后
会得到3式
改变积分
和求和的顺序
我们得到4式
在4式中
运用
冲激函数的筛选性质
我们可以得到
最终的表达式为
5式
在刚刚讲过的5式中
其中
h(t-mT)的表达式
也就是6式
即为我们的内插函数
内插函数的图形
描述为图a
经过内插之后
得到的还原之后的信号
为b图
在
信号恢复的过程中
第一
在抽样点上
信号的值不变
第二
抽样点之间的信号
则由各抽样函数波形的
延伸叠加而成
也就是输出
是等于原信号抽样点的值
与内插函数的乘积和
所以
信号的抽样值
xa(mT)
经过内插函数
就会得到连续的信号
xa(t)
同学们
关于连续时间信号的抽样
我们就介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
