当前课程知识点：数字信号处理 > 第7章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器设计方法 > 7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件 > 7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
同学们好
今天这节课我们一起来学习
FIR数字滤波器的线性相位条件
当h(n)为实序列时
其频率响应H(e的jω次方)就等于
h(n)求DTFT变换
我们又可以把它写成
H(ω)乘以e的j倍的θ(ω)次方
还等于
正负H(e的jω次方)的模
乘以e的jθ(ω)次方
在这个式子中
H(e的jω次方)的模
为频率响应的幅频特性
而H(ω)为数字滤波器的幅度函数
其中
线性相位是指
θ(ω)是ω的线性函数
即
θ(ω)对ω求导之后
再取负值
等于τ
为常数
线性相位一般有两类
第1类线性相位
θ(ω)是等于-τω
第二类线性相位
θ(ω)是等于β0-τω
根据我们刚才讲过的
H(e的jω次方)的表达式
代入第一类线性相位
θ(ω=-τω
H(e的jω次方)就等于
正负H(e的jω次方)的模
乘以e的-jωτ次方
我们观察上面连等式
其第2项和第4项对应相等
这两项中都有一项复指数
其中一个为e的-jωn次方
另一个为e的-jωτ次方
这两个复指数
均可以用欧拉公式将其展开
展开之后
这个表达式
就为一个实部加一个虚部的形式
因为它们相等
所以实部和实部对应相等
得到1式
虚部和虚部相等
得到2式
我们用2式比1式
得到3式
在3式中
其后两项分
分式是交叉相乘
应该是相等的
我们移项
两项相减等于0
得到4式
在4式中
前后两项的求和区间
和求和变量均一样
而且其中还有一个公共项为h(n)
我们将其合并之后
为
∑求和
n从0~N-1乘以h(n)
sin(ωτ)cos(ωn)
-cos(ωτ)sin(ωn)
由三角公式我们可以得到5式
对于5式
只有当h(n)乘以一个sin(τ-n)ω
对以上求和区间的中心点
n=(N-1)/2
呈奇对称的时候
这整个求和式才会等于0
由于sin(τ-n)ω
对于n等于τ是呈奇对称的
故我们要求τ=(N-1)/2
此时
我们就必须要求
h(n)对n=(N-1)/2呈偶对称
因此
我们得到第一类线性相位
θ(ω)=-τω的条件为
h(n)要等于
h(N-1-n)
其中n的范围为
大于等于0 小于等于N-1
其中
n=(N-1)/2
为h(n)的偶对称中心
群时延τ=(N-1)/2
对于我们刚才讲到的
h(n)=h(N-1-n)
这个条件
有以下两种情况
第1种
是当n为偶数的时候
我们以n=10为例
看a图
因为N为偶数
所以其对称中心
出现在n=
9/2也就是4.5的位置
n=4.5左右两边的各项值
对应相等
当n等于奇数
我们以n=11为例
看b图
其对称中心
出现在n=5的位置
在对称中心两边的其它项
对应相等
这就是我们
h(n)满足偶对称时的两种情况
接下来我们再来看第二类线性相位
第二类线性相位
其θ(ω)=β0-τω
采用刚才
与第一类线性相位
相同的分析过程
我们将θ(ω)
代入相位函数中
最后得出其成立的条件为
h(n)=-h(N-1-n)
其中n的范围为
大于等于0 小于等于N-1
n=(N-1)/2
为h(n)的奇对称中心
τ=(N-1)/2
另外
β0=正负π/2
这个奇对称也分两种情况
当n为偶数时
以n=10为例
我们来看a图
其对称中心出现在4.5的位置
左右两边的值互为相反数
当n为奇数
以n=11为例
我们来看B图
在对称中心两侧
其幅值互为相反数
n=5处的值
必须为0
同学们
关于FIR数字滤波器的线性相位条件
我们就介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
