2.10 离散线性移不变系统的频域表征在线视频

同学们好

今天我们一起来学习

离散线性移不变系统的

频域表征

首先我们来看一下LSI系统的描述

通常我们会采用

单位抽样函数

和系统函数两种形式

来描述一个系统

其

单位抽样响应求z变换

就应该得到我们的系统函数

而

系统函数H(z)

又可以写成Y(z)/X(z)的形式

其中

y(n)是等于x(n)卷积h(n)

所以

Y(z)就等于X(z)乘以H(z)

接下来我们来讨论

系统函数与差分方程之间的关系

常系数线性差分方程

其表达式

我们写为1式

我们对1式的左右两边同时取z变换

就可以得到2式

我们由2式

就可以求出

Y(z)/X(z)

它是等于H(z)

也就是这系统的系统函数

其表达式如3式

下面我们再来看系统的频率响应

系统的频率响应

H(e的jω次方)

其实是等于

单位抽样响应h(n)的傅里叶变换

而

H(e的jω次方)

其实是等于

H(z)

令z等于e的jω次方

也就是说

系统的频率响应

其实是

在单位圆上的系统函数

下面我们来讨论

因果稳定系统的条件

首先我们来看

若一个系统为因果的

则其收敛域为

z的模

大于Rx-

小于等于无穷大

接下来我们来讨论稳定系统

稳定系统的序列h(n)

是绝对可和的

也即

h(n)的绝对值

n从负无穷到正无穷来求和

应该是小于无穷大

而

h(n)的Z变换其

收敛域为

h(n)乘一个z的-n次方

其

绝对值

n从负无穷到正无穷来求和

应该是小于无穷大的

所以

由上面两个式子我们可以看出

稳定系统的系统函数

H(z)的收敛域

必须包含单位圆

即

频率响应存在且连续

最后我们来看

一个因果稳定系统

且应该满足

收敛域

包含

z的模

大于等于1

小于等于无穷大

也就是说

H(z)

需从单位圆

到无穷大的整个z域收敛

即

系统函数H(z)的全部的极点

必须在单位圆内

我们来看如下一个系统

这个系统

有6个极点

如图所示

现在我们来问

在什么情况下

系统为一个因果系统

在什么情况下

系统有一个稳定性

我们观察这6个极点

会发现

其中一共有

4个不同的模

对于这4个不同的模

若要求系统是因果的

那么其收敛域应该是

模最大的极点之外的部分

也就是

z的模要大于2

我们再来讨论稳定系统

前面刚说过

一个稳定系统

其收敛域应该是包含单位圆的

所以

稳定系统的收敛域

应该是

z的模

大于0.4

小于1.5

下面我们来看一道例题

已知离散LSI系统的差分方程

如式

其中

x(n)为输入

y(n)为输出

第一

我们要求系统函数

还要指出系统的零极点

第二

若该系统是因果稳定的

指出该系统的收敛域

第三

求该因果稳定系统的单位抽样响应

求解时

第1步

我们先对差分方程的两边来取

z变换

取完z变换之后

我们得到1式

由1式

我们就可以求出该系统的系统函数

H(z)等于Y(z)/x(z)

表达式如2式

系统函数的零点

为

z=-1/3和0

极点为

z等于1/2和1/4

如图所示

第2步

由于我们的系统为一个因果稳定的系统

所以

我们的收敛域为

z的模

大于1/2

第3步

我们对H(z)

求z反变换

即可以得到

单位抽样响应 h(n)

把系统函数

H(z)

其分母

分子进行因式分解

得到3式

3式的左右两边同时提一个z

然后再进行部分分式展开

得到4式

4式中

存在的两个未知系数

分别是A1和A2

我们采用留数法

来算出A1和A2的值

其中A1等于10/3

A2=-7/3

求出A1和A2的值之后

我们就可以写出

系统函数H(z)的表达式

如5式

根据我们前面求过的收敛域

z的模大于1/2

就可以求出

单位冲激响应

h(n)的表达式

如6式

现在我们一起来看一看

系统的频率响应的意义

第1条

LSI系统

对于复指数序列的稳态响应

序列x(n)

等于e的jω次方

其中n是

大于负无穷大

小于正无穷大

我们的响应y(n)

其

表达式为1式

我们对表达式1进行计算

会得到2式

第二

我们来讨论LSI系统

对于正弦序列的稳态响应

正弦序列x(n)的表达式是等于

A倍的cos(ω0n+φ)

其稳态响应y(n)的表达式

如1式

输出

同频的正弦序列

而

幅度是受到了频率响应的幅度

H(e的jω次方)的

模的加权

相位

则为输入相位

与系统的相位响应之和

其中

频率响应

H(e的jω0次方)

其

写成模和相位的形式

如2式

H(e的jω0次方)

是ω的周期函数

其周期为2π

且是ω的连续函数

第三

我们来看LSI系统

对任意输入序列的稳态响应

响应y(n)是等于

x(n)卷积h(n)

而

响应的傅里叶变换

Y(e的jω次方)

就应该等于

输入和单位冲激响应的

傅里叶变换做乘法

我们要求响应y(n)

它可以

写成

Y(e的jω次方)

求

傅里叶逆变换所得

其中

x(n)

应该为

X(e的jω次方)

求傅里叶逆变换

最后

我们来看

系统的频率响应的意义

系统的单位抽样响应h(n)的傅式变换

也即

单位圆上的z变换

H(e的jω次方)

我们称为系统的频率响应

对一个线性移不变系统

y(n)是等于x(n)卷积h(n)

而Y(z)

就应该等于X(z)×H(z)

而且

Y(e的jω次方)

应该是等于

X(e的jω次方)

乘以H(e的jω次方)

也就是说

即输出序列的傅氏变换

应该等于

输入序列的傅氏变换

与频率响应的乘积

同学们

关于离散线性移不变系统的频域表征

我们就学习到这儿

谢谢大家