当前课程知识点：数字信号处理 > 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT） > 2.7 z变换的卷积定理 > 2.7 z变换的卷积定理
同学们好
今天这节课我们来接着学习
z变换的基本性质和定理
第10条性质
序列的卷积和
也称为时域卷积和
我们设y(n)
为x(n)与h(n)的卷积和
且
x(n)
求z变换的结果为X(z)
其收敛域为
z的模
大于Rx-
小于Rx+
序列h(n)
求z变换的结果为H(z)
其收敛域为
z的模
大于Rh-
小于Rh+
则
y(n)求z变换的结果
Y(z)应该是等于
X(z)H(z)
其收敛域为
z的模
大于Rx-和Rh-中的较大值
小于Rx+和 Rh+中的较小值
下面我们来证明一下时域卷积定理
x(n)卷积h(n)求z变换
我们将其代入到
z变换的公式
得到1式
我们在将
x(n)卷积h(n)
代入卷积和公式
就可以得到2式
在2式中
我们改变求和顺序
得到3式
在3式中
方括号中的这一项
其实应该就是
序列h(n-m)求z变换
我们利用序列
h(n)
的移位性质
可以得到4式
在4式中
前面对项
∑求和
m从负无穷大到正无穷大
x(m)乘一个z的-m次方
其实就是一个z变换的公式
为
X(z)
所以我们可以得出最终的结果为
Y(z)就等于
H(z)乘以X(z)
其收敛域为
z的模
大于
Rx-
和Rh-中的较大值
小于
Rx+和Rh+中的小较小值
下面我们来看一道例题
已知
LSI系统的单位抽样响应
h(n)的表达式
我们要求系统的
输入x(n)=a的n次方u(n)时的响应
在求解这道题的时候
我们知道
若已知系统的单位抽样响应
以及输入
要求其响应
其响应y(n)应该是等于
x(n)和h(n)求卷积所得
而我们刚刚学过
z变换的性质中的
时域卷积定理
我们就可以
把x(n)和h(n)
各求一个z变换
然后在z域相乘
继而再求一个逆变换
求出我们的y(n)
现在我们先
计算出序列x(n)
其z变换
代入到z变换的公式
求出其结果为
z/(z-a)
收敛域为
z的模大于a的模
再将h(n)
代入到z变换的公式中
求出系统函数H(z)的表达式
其为
z-b分之
z-a
其收敛域为
z的模大于b的模
Y(z)就应该等于X(z)×H(z)
乘完之后的结果为
z/(z-b)
其收敛域为
z的模大于b的模
收敛域
如图所示
已知Y(z)
现在要计算我们的输出y(n)
只需要计算一个
z反变换
已知Y(z)等于z/(z-b)
其收敛域
为z的模大于b的模
所以
y(n)就等于
b的n次方u(n)
第11条
序列相乘
也叫Z域复卷积定理
说若
y(n)是等于x(n)×h(n)
且已知x(n)求z变换的结果为X(z)
z的模
大于Rx-小于Rx+
而h(n)求z变换的结果为H(z)
其收敛域为
z的模大于Rh-
小于Rh+
则
y(n)求z变换的结果
Y(z)
就等于
X(z)与H(z)求卷积
如1式
其中z的范围
如2式
而v的范围
如3式
我们对刚才的这条性质进行一下证明
将x(n)×h(n)
代入到z变换的公式中
h(n)
写成z反变换的形式
代入到公式中
得到1式
2式中的
积分和求和的顺序
进行一下调整之后
我们就得到3式
3式中的求和式
其实质就是为一个
z变换的公式
所以我们可以得到4式
在刚才的推导过程中
推导出来的范围为
v的模大于Rh-
小于Rh+
而
z比v的范围
其模是大于Rh-
小于Rx+
所以
我们就可以得到
最终其收敛域如
6式
12条性质
Parseval定理
若已知序列x(n)求z变换的结果为X(z)
其收敛域为z的模
大于Rx-
小于Rx+
h(n)求z变换的结果为H(z)
收敛域为
z的模大于Rh-
小于Rh+
且1大于Rx-
乘以Rh-
小于Rx+
乘以Rh+
则
序列x(n)乘以h(n)共轭之后
再来对它进行求和
其中n从负无穷到正无穷
其表达式应该为
1式
而v的范围为
2式
关于Parseval定理
我们对它进行一下证明
我们首先令y(n)是等于x(n)
乘以h(n)的共轭
由于h(n)的共轭
求z变换的结果
我们在前面已经学过
就是1式
所以我们就可以利用
复卷积公式
求出Y(z)的表达式
也就是y(n)求z变换
得到2式
时域相乘
z域应该为卷积
所以我们可以用2式推出3式
又因为
1大于Rx-乘以Rh-
小于Rx+乘以Rh+
则我们可以得到
当h(n)是实序列
且v等于e的jω次方时
这时x(n)Xh(n)的共轭
再来求和
n从负无穷大到正无穷大
其表达式为
5式
将v替换成e的jω次方
得到6式
6式中的
e的jω次方求导
我们得到7式
7式中
e的-jω次方
同e的jω次方
相乘之后为1
所以我们最终可以得到结果为
8式
当 x(n)= h(n)的时候
我们可以把上面的定理
推出9式
这也就是
时域和频域的能量的一致性
同学们
关于Z变换的性质与定理
我们就全部介绍完了
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
