当前课程知识点：数字信号处理 > 第3章 离散傅里叶变换（DFT） > 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义 > 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
同学们好
今天我们要来学习
周期序列的傅里叶级数
在我们前面学过
连续的周期函数
它的傅里叶级数
函数xa(t)
是一个
周期为T0的
周期信号
xa(t)
展开成傅里叶级数的形式
如式所示
以上是对一个连续的周期函数而言
对一个离散的
周期信号
也是一样的
序列x(n)
是以N为周期的一个周期序列
我们也可以把它
进行傅里叶级数展开
得到表达式为
x(n)
等于
∑求和
k从负无穷大
到正无穷大
A(k)
乘以e的j倍kω0乘以n次方
周期序列的离散傅里叶级数
正变换和反变换的公式
如下
由周期序列x(n)
求DFS
得到周期序列X(k)
由
X(k)
求IDFS
得到我们的周期序列x(n)
我们可以比较一下这两个式子
从形式上看
它们是非常相像的
反变换公式
相比于正变换公式
前面有一个1/N的系数
另外
从求和符号
看它的求和区间
正变换和反变换的求和区间是一样的
这就说明
序列x(n)
和求IDFS的频谱X(k)
应该都是一个点数为N的序列
在我们刚刚介绍的
离散傅里叶级数的表达式里面
出现了一个旋转因子WN
关于旋转因子WN
它具有如下几个性质
第1个
共轭对称性
也就是
WNn是
等于WN-n的共轭
第2个
是旋转因子的周期性
WNn
是等于WN
n加iN
这个周期性的证明可以把
后半部分的指数
拆成两项
其中WN
iN这一项
就应该是等于1
把它写成复指数的形式可以很明显的看得出来
旋转因子的第3个特性
是可约性
可约性
是因为
旋转因子展开呈负指数形式之后
上标和下标
分别位于
分子和分母的位置
所以
上标和下标
同时乘以某个值或者除以某个值
就可以直接消掉
会和原来的值相等
旋转因子的第4个特性
叫正交性
如下所示的式子
最后
等于
1或者0
在n-m
等于iN的时候
也就是
N的
整数倍
这个时候取值为1
而n-m不等于
iN的时候
取值为0
接下来我们看一道例题
已知序列x(n)
是周期为6的周期序列
如图所示
我们可以看得出来
在这个图形上
序列x(n)
周期为6
反复出现
周期延拓
现在我们要求来计算其DFS的系数
根据我们前面所学的
DFS的定义式
我们将它代入
代入之后
这个求和式
n是从0开始一直到5
所以它是6项求和
计算完之后的结果
X(k)
k的范围也应该是从0到5
所以
我们把k从0到5
依次代入
求出6个结果
这
就是我们所要求的
DFS的系数
接下来我们再看一道例题
这道例题是说
已知序列x(n)
是等于R4(n)
R4(n)为一个矩形序列
我们前面学习过
也就是
从0到3
它的取值为1
将x(n)
以N=8为周期
进行周期延拓成x(n)
求x(n)的DFS
这道题我们给出两种解法
第1种
就是我们
上一道例题所讲的
定义式的求解方法
我们把序列
首先
周期延拓
因为
n
是以N=8为周期进行周期延拓的
因此我们计算出来的X(k)
也应该是
k的范围从0到7
这样的一个8点序列
把k从0到7
依次代入
求出
X(0)到X(7)的值
这就是我们所需要的
DFS的系数
接下来我们为大家介绍第2种解法
叫公式解
把序列x(n)
代入DFS的公式
我们把这个求和式
进行一个处理
得到
∑求和
n从0
到3
e的-jπ/4 kn次方
用求和公式
把它写出来
得到分子 分母
两部分
我们再对分子分母
两部分分别进行处理
提出一部分因式
构造成欧拉公式
继而得出最终的结果
最后我们给大家介绍一下
DFS的系数X(k)
与Z变换的关系
我们令
序列x(n)等于
周期序列x(n)
其中n的范围为
从0开始到N-1
在其它的位置都取0
我们现在对序列x(n)做z变换
代入z变换的公式
n的范围从0开始到N-1
然后x(n)乘以z的-n次方
把我们刚刚学过的X(k)的表达式
也写出来
两个式子进行比较
最后发现
X(k)
等于X(z)
其中
z等于
WN-k
也等于
e的j倍的2π/N乘以k次方
也就是说
X(k)
可以看作是对x(n)的一个周期的x(n)
做z变换
然后
再将z变换
在z平面单位圆上
按等间隔角
也就是2π/N
抽样得到
同学们
今天这节课我们就介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业